CC BY
3МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА
УДК 517.53
О ПОСТРОЕНИИ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА, РЕШАЮЩЕГО ИНТЕРПОЛЯЦИОННУЮ ЗАДАЧУ В ОДНОМ КЛАССЕ ГОЛОМОРФНЫХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ
В. А. Беднаж, А. А. Дзюбина
ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского»
В статье исследуется задача кратной интерполяции в классах , когда узлы интерполяции находятся в углах Штольца.
Ключевые слова: кратная интерполяция, произведение Бляшке, угол Штольца.
Пусть С - комплексная плоскость, Б = {г еС: \г\ < 1} - единичный круг на комплексной плоскости С. Н(Б) - множество всех голоморфных функций в Б. Классом 4,а>-1 называют класс функций
^Ох =
/ е Н(Б): \ (1 -|г)а 1п+11(г)\йш2(г) < +да
Б
Напомним задачу кратной интерполяции. Пусть X - некоторый класс голоморфных функций; У - некоторое множество числовых последовательностей; {ак -последовательность точек из Б, |ах| < |а21 <... < |ак| <..., |ак| ^ 1-0,к и > 1,] > 1 -
кратность появления числа а. на отрезке {а}I. Задача кратной интерполяции разрешима для
произвольной {ук из У, если существует функция / е X, такая что
ЛСЯ = /(Ч-1)(ак) = Ук,к = 1,2,..., при этом Я(Х) = У.
Обозначим через Pj кратность появления числа а. во всей последовательности
{ак . Очевидно, что 1 < sJ < р} < +да. Если последовательность {ак подчинена условию Бляшке, то число pj конечно при любом целом j > 1.
10
Углом Штольца Г(0) с вершиной в точке е назовём угол раствора меньше р,
10
биссектриса которого совпадает с отрезком г = ге ,0 < г < 1.
Далее будем предполагать, что последовательность а = {ак удовлетворяет условию а^Г(0).
„ , ч В(г) , , ч ак - г ак
Заметим, что из определения Вк (г) = —, где Ьк (г) = к— -г-1— и
ьк(г) 1 -акг \ак\
да
В(г) = П Ь- (г), следует, что произведение Вк (г) j=1
'1 -Ик | ^Р +1
аналитично в Б и не
1 -акг
У
обращается в нуль в некоторой окрестности точки г = ак . Поэтому для любого целого к > 1.
положив Тк (2) =
Вк (I)
1-Ы 2
1 -ак2
Рк +1
gl (I)
-1
, где gl (2) = ехр ——, г е Б, I - достаточно 1 - г
большое положительное число, можно утверждать, что в малой окрестности точки г = ак указанная функция разлагается в степенной ряд
да
тк(г)=Е а (ак)(г -ак у , 12 -аА <л-
г=0
Рк
Также введём полиномы qk(г) = ^ ау(ак)(2-ак)У,к = 1,2,...
у=0
Определим теперь систему (г)^ аналитических в Б функций, положив
С1к(2) =
(2~акУк дк{г)
1 -\ак\' 1 -ак2
. \Рк +1
gl (2)Вк (2) Рк^к (^ -1)! ¿0
ау(ак)(2-акУ+*к-1,к = 1,2,...,
где
ау (ак) =
1 &
V! &
Вк (2)
Л I ,2^ рк +1 1 -\ак\
1 -ак2
(2)
-1
2=ак
Нетрудно установить, что функции системы обладают следующими
интерполяционными свойствами
Введём обозначение: если {ак - произвольная последовательность точек из Б, то
1 ^ (ак) = ]Г = {Гк Г : 38 = д(у) > 0, Бир \ук\ ■ ехР [ к>1
Для любой точки 2 е Б рассмотрим круг
8
1 -\ак\
Кр( 2 ) =
[ I I 1 8
Щ <р = --ехР-( . .ч,
2 (1-ак)
8 > 0 к
Справедлива следующая лемма.
Лемма. Пусть {ак находятся в угле Штольца Г(0), тогда
а) (ак ^ > ехР, 1 |, к = 1д...
1-а
б) тах
{еКР(ак)
|ак|
& "V) < сgl~\ак)
Л = 1,2,...
Теорема. Пусть {ук принадлежит классу I(ак), тогда функция
к=1
удовлетворяет условию
f(sk~1)(ak) = ук,к = 1,2,..., f е ^ . Список литературы
1. Джрбашян М. М. Биортогональные системы и решение интерполяционной задачи с
узлами ограниченной кратности в классе И2 // Изв. Ан Арм. ССР. - 1974. - Т. 9. - №5. - C. 339 - 373.
2. Кусис П. Введение в теорию пространств H с приложением доказательства Волффа теоремы о короне. Мир: Москва, 1984. - 366 с.
3. Нафталевич А. Г. Об интерполировании функций ограниченного вида//Ученые записки Вильнюсского университета. - 1956. - С. 5-27.
4. Родикова Е. Г. О кратной интерполяции в классе аналитических в единичном круге функций с характеристикой Неванлинны из Lp - пространств// Сибирские электронные математические известия. - 2017. - Т. 14 - С. 264-273.
5. Шамоян Ф. А., Беднаж В. А. Кратная интерполяция в весовых классах аналитических в круге функций// Сибирские электронные математические известия. - 2014. - Т.11. - С. 354-361.
Сведения об авторах
Беднаж Вера Аркадьевна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», e-mail: vera.bednazh@mail.ru.
Дзюбина Анна Анатольевна - магистрант кафедры математического анализа, алгебры и геометрии, ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», e-mail: afanasieva.anyuta2014@yandex.ru.
ON CONSTRUCTING A LINEAR OPERATOR SOLVING THE INTERPOLATION PROBLEM IN A CLASS OF HOLOMORPHIC FUNCTIONS IN A DISK
V. A. Bednazh, A. A. Dzyubina
Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky
The article investigates the problem of multiple interpolation in classes when the interpolation nodes are in the corners of the Stolz.
Keywords: multiple interpolation, Blaschke product, Stolz angle.
References
1. Djrbashian M. M. Biorthogonal systems and interpolation problem solution with nodes of limited multiplicity in the class // Izv. An Arm. SSR. - 1974. - V. 9. - №5. - C. 339 - 373.
2. Kusis P. Introduction to the theory of spaces with the application of Wolff's theorem on the corona. M: Mir, 1984. - 366 p.
3. Naftalevich G. G. On the interpolation of functions of a restricted form // Scientific notes Vilnius University. - 1956. - P. 5-27.
4. Rodikova E. G. On multiple interpolation in the class of analytic functions in the unit circle with the Nevanlinna characteristic of spaces // Siberian Electronic Mathematical Reports. -2017. - V. 14 - P. 264-273.
5. Shamoyan F. A., Bednazh V. A. Multiple interpolation in weighted classes of functions analytic in the circle // Siberian Electronic Mathematical Reports. - 2014. - V. 11. - P. 354-361.
About authors
Bednazh V. A. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: vera.bednazh@mail.ru.
Dzyubina A. A. - graduate student, Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: afanasieva.anyuta2014@yandex.ru.
