CC BY
4ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА УДК 517.53
О НЕКОТОРЫХ ПРИЛОЖЕНИЯХ ВОПРОСОВ ИНТЕРПОЛЯЦИИ В ТЕОРИИ
МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
В.А. Беднаж, А.Н. Ковзикова
Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского
В статье приводятся некоторые результаты, полученные в теории мероморфных функций, исходя из вопросов интерполяции.
Ключевые слова: аналитические функции, мероморфные функции, главные части в разложении Лорана.
Теория мероморфных функций имеет обширные приложения как в теории функций, так и в других областях математики. Ряд важных проблем в теории классов мероморфных функций сводится к решению интерполяционных задач на множестве простых и кратных узлов в соответствующих классах голоморфных функций.
Основополагающей работой в вопросах интерполяции выступает работа Л. Карлесона об интерполяции в классе ограниченных аналитических в круге функций (1958 г.), после которой появилось достаточно много работ в этом направлении.
Интересно, что решение интерполяционных задач имеют приложения в другом не менее важном вопросе: из курса комплексного анализа хорошо известна классическая теорема Миттаг - Леффлера о построении мероморфной функции с заданными главными
частями |gk } в разложении Лорана в окрестности особых точек. Однако, теорема не даёт
ответ на вопрос, при каких условиях на эту последовательность существует мероморфная в единичном круге функция, имеющая определенные ограничения на характеристику Р.
Неванлинны, главные части которой совпадают с {gk }".
Оказывается, исходя из результатов о кратной интерполяции в единичном круге, возможно получить полную характеристику главных частей мероморфных функций при условии, что особые точки мероморфных функций удовлетворяют условию Л. Карлесона. Впервые задача о характеризации главных частей мероморфных в D функций ограниченного вида была рассмотрена в работе А.Г. Нафталевича в 1956 г. (см.[6]) без явного построения функции.
Остановимся подробнее на полученных в этой области результатах. Пусть С - комплексная плоскость, D = \z ■ |z| < l} - единичный круг на С, M(D) -множество всех мероморфных в D функций, H(D) - множество всех функций, аналитических в D. Обозначим Na (a>-l) - класс мероморфных в D функций f, для которых
1
j(l - Г2 )a- T ( г, f ) dr <+да, 0
T(r, f) - характеристика Р.Неванлинны функции f. В работе .[2] получен следующий результат:
Теорема. Пусть последовательность {zk}" удовлетворяет условию Л. Карлесона. Тогда для того, чтобы существовала функция g (z) g Na, z g D, с главными частями
H ( Z Zk, ak ):
a,
k ,n
a
k ,n-1
a,
k\
(z-zj (z-zj-1 - (z-zky необходимо и достаточно, чтобы
£ = 1,2,
£(l-| Zk | )a+2ln+ ЬЛМ <+», i = 1,2,..., n.
k=1
ЫГ
Рассматривая класс мероморфных в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип, Ы^ , а > 0,
Nш =
' а
f еМ(D): T(г, f )<
cf
(1 - г)
-; 0<г< 1
и используя параметрическое представление, полученное в [10], в работе [5] получен следующий результат, играющий существенную роль при характеризации главных частей функций рассматриваемого класса.
Теорема. Класс N^ при любых а > 0 инвариантен относительно оператора дифференцирования.
Следуя М.М. Джрбашяну, введем бесконечное произведение
ЦЛ ад )=п
с Л
1 --Z
k=1
V
Yk
exp <
у
2(ß + 1) j J (1 -p)
ß
о -j(1 -pe^k )ß+2
• ln
1-
pe
iв
Yk
pdpde
которое равномерно сходится внутри Б тогда и только тогда, когда
+<х>
L(1 -Yk I)
ß+2
<+да.
k=1
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Пусть последовательность удовлетворяет условию Л. Карлесона.
Тогда для того, чтобы существовала функция g е Ы™ с главными частями
H Zk, ak ) =
a
k ,n
a
■ +
k ,n-1
a
+ ... + -
k ,1
(z - Zk )n (z - Zk)n-1 (Z - Zk )
£ = 1,2,...,
необходимо и достаточно, чтобы
¿(1 -| Zkl) а+1 ln+ (| ak i |-|nß, kn ( Zk, z, )|)
k=1 v '
I <+oo, i =1,2.....n.
Пусть C - комплексная плоскость, М (С) - множество всех мероморфных функций на C, f е M (С), T(г, f) - характеристика Р. Неванлинны.
Напомним, что функция f е M (С) имеет конечный порядок p и нормальный тип, если существует Cf е R+ такая, что
T ( г, f )< cfrp, г > 1, p> 0.
Множество таких функций обозначим через M (p; +да), а класс целых функций конечного порядка p и нормального типа - H (p; + да) .
Характеристика главных частей в классе M (p; +да) сводится к решению интерполяционной задачи в классе H(p; + х>). Работы А.Ф. Леонтьева, А.В. Братищева,
Ю.Ф. Коробейника (см.[6], [4]) посвящены вопросу характеризации интерполяционных множеств в этом классе
Справедлива следующая теорема (см.[8]).
Теорема. Пусть последовательность {гк }+Ш - интерполяционная в классе Н (р; + ш). Тогда для того, чтобы существовала функция g е М (р; +ш) с главными частями
ак,1 | %,2 | | ак,Рк
в окрестности точки Г^, необходимо и достаточно, чтобы
1т ■
к
1П
ак л
Ы
р
<+Ш, i = 1, Рк .
Для любого а> 0 определим класс 8г0 :
: =
I е М(П): Т(г, /) <
С
I
(1-г )а
где С^ - положительная константа, значения которой зависят разве что от функции /, г е [0,1), Т(г, /) - характеристика Р.Неванлинны функции /. Аналитическую часть класса 8^ обозначим 8^ Хорошо известно, если / е 8™, то
чШ
М(г, /) = max|/(г)\ < exp
г <г
'I
(1- г)
а+1
при всех а > 0, су > 0.
Последовательность комплексных чисел {аj } , удовлетворяющих условиям
г
п(г) = card{ак :| ак |< г} <
(1- г)
а+1
Кр,п (ап,а)■ exp
—/
(1-0.1)
suP {Чк } = я
, С0 > 0,
а+1 ' '0
к> 1
отнесем к классу А.
Теорема (см.[9]). Пусть последовательность комплексных чисел {гк} находится в конечном числе углов Штольца. Если е А, то для того, чтобы существовала функция
Е е 8Ш с главными частями
Н (г,Ч ^к ) =
а;
1к.п
а,
■ + ■
к ,п-1
а
(г - Гк)п (г-Гк)
п-1
+... + -
к,1
(г - гк У
, к = 1,2,
необходимо и достаточно, чтобы
ак А < exP
(1-1 Гк| )а+1
,i = 1,...,п, где с Ф с(Т).
0
Список литературы
1. Беднаж В.А. Описание следов, характеризация главных частей в разложении Лорана классов мероморфных функций с ограничениями на рост характеристики Р. Неванлинны// диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук / Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена. Брянск, 2007.
2. Беднаж В.А., Шамоян Ф.А. Описание главных частей в разложении Лорана некоторых классов мероморфных в круге функций // Вестник Брянского государственного университета. № 4(2004): Естественные и точные науки. Брянск: Изд-во БГУ. С. 84-92.
3. Беднаж В.А., Родикова Е.Г., Шамоян Ф.А. Факторизационное представление и вопросы кратной интерполяции в весовых пространствах аналитических функций//Вестник Брянского государственного университета. 2015. № 2. С. 377-381.
4. Братищев А.В., Коробейник Ю.Ф. Кратная интерполяционная задача в пространствах целых функций заданного уточнённого порядка // Изв. АН СССР. Серия математика. 1976. Т.40. № 5. С. 1102-1127.
5. Шамоян Ф.А., Беднаж В.А. Об инвариантности класса N™ относительно оператора дифференцирования // Вестник Брянского государственного университета. 2009. № 4. С. 106111.
6. Леонтьев А.Ф. Разрешимость интерполяционной задачи в классе целых функций // ДАН СССР. 1949. Т. 66. С. 33-34.
7. Нафталевич А.Г. Об интерполировании функций ограниченного вида // Ученые записки Вильнюсского университета. 1956. С. 5-27.
8. Bednazh V. A. Characterization of principal parts of meromorphic functions of finite order and normal type near singular points // Journal of Mathematical Sciences. 2008. Т. 148. № 6. С. 810-812.
9. Bednazh V. A., Rodikova E. G., Shamoyan F. A. Multiple Interpolation and Principal Parts of a Laurent Series for Meromorphic Functions in the Unit Disk with Power Growth of the Nevanlinna Characteristic //Complex Analysis and Operator Theory. 2016. С. 1-19. DOI: 10.1007/s11785-016-0592-x
10. Shamoyan F.A., Shubabko E.N. Parametrical Representations of Some Classes of Holomorphic Function in the Disk // Operator Theory: Advances and Applications. 2000. V. 113. P. 331-338.
Сведения об авторах
Беднаж В.А. - к.ф.-м.н., доцент кафедры математического анализа, Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, e-mail: [email protected].
Ковзикова А.Н. - магистрант, Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, e-mail: [email protected].
ABOUT SOME APPLICATIONS ISSUES INTERPOLATION THEORY OF
MEROMORPHIC FUNCTIONS
V.A. Bednazh, A. N. Kovzikova
Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky
The article presents some of the results obtained in the theory of meromorphic functions on the basis of the questions interpolation.
Keywords: analytic functions, meromorphic functions, Principal Parts of a Laurent Series.
References
1. Bednazh V.A. Description of traces, characterization of the main parts in the Laurent expansion of classes of meromorphic functions with restrictions on growth characteristics of Nevanlinna // thesis for the degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences / Russian State Pedagogical University. AI Herzen. Bryansk 2007
2. Bednazh V.A., Shamoyan F.A. Description of the main parts in the Laurent expansion of certain classes of functions meromorphic in the circle // Vestnik Bryanskogo universiteta. № 4 (2004): Natural and exact sciences. 84-92.
3. Bednazh V.A., Rodikova E.G., Shamoyan F.A. Factorization and issues of multiple interpolation in weighted spaces of analytic functions // Vestnik Bryanskogo universiteta. 2015. № 2. 377-381.
4. Bratiscev A.V., Corobeynic J.F. The multiple interpolation problem in spaces of entire functions of given the refined order // Math. USSR Academy of Sciences. Mathematics Series. 1976. v.40. № 5. 1102-1127.
5. Shamoyan F.A., V.A. Bednazh The invariance of the class with respect to the differentiation operator // Vestnik Bryanskogo universiteta. 2009. № 4. 106-111.
6. Leontiev A.F. Razreshimost interpolation problem in the class of entire functions // DAN SSSR - 1949. V. 66. P. 33-34.
7. Naftalevich A.G. On the interpolation of functions of bounded type // Scientific notes of Vilnius University. 1956. P. 5-27.
8.Bednazh V. A. Characterization of principal parts of meromorphic functions of finite order and normal type near singular points/Journal of Mathematical Sciences. 2008. T. 148. № 6. C. 810812.
9.Bednazh V. A., Rodikova E. G., Shamoyan F. A. Multiple Interpolation and Principal Parts of a Laurent Series for Meromorphic Functions in the Unit Disk with Power Growth of the Nevanlinna Characteristic //Complex Analysis and Operator Theory. 2016. C. 1-19. DOI: 10.1007/s11785-016-0592-x
10.Shamoyan F.A., Shubabko E.N. Parametrical Representations of Some Classes of Holomorphic Function in the Disk // Operator Theory: Advances and Applications. 2000. V. 113. P. 331-338.
About authors
Bednazh V.A - PhD, assistant professor, Department of Mathematical Analysis, Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky, e-mail: [email protected].
Kovzikova A.N. - graduate student, Department of mathematical analysis, Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky, e-mail: [email protected].
