CC BY
4УДК 517.53
О НЕКОТОРЫХ НОВЫХ ОЦЕНКАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ХАРАКТЕРИСТИКОЙ Р. НЕВАНЛИННЫ ИЗ -ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Е. Г. Родикова, С. П. Максаков
ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского»
В работе изучаются свойства аналитических в круге функций с характеристикой Р. Неванлинны из I-весовых пространств. Получены точные оценки роста и коэффициентов в тейлоровском разложении функций с характеристикой Р. Неванлинны из ¿^-весовых пространств. Также было установлено важное свойство данного пространства: установлено, что функции этого класса образуют ^-пространство.
Ключевые слова: аналитическая функция, характеристика Р. Неванлинны, максимум модуля функции, коэффициенты в разложении Тейлора, Е-пространство.
Для изложения основных результатов работы введем основные обозначения. Пусть С - множество комплексных чисел; через Б = (г: |г| < 1} обозначим единичный круг на комплексной плоскости; Н(Б) - множество всех аналитических в единичном круге Б функций; М(г,[) - максимум модуля функции, то есть М(г,/) = тах^(2)\ Через Т(г,[)
\г\=г
обозначим характеристику Р. Неванлинны функции / Е Н(Б) (см. [1]):
Т(Я,р =^^п1п+\/(Ке1(р)\с1(р, 1п+\х\ = тах(1п\х\,0).
Пусть О - множество измеримых положительных функций ш на А = (0,1] для которых существуют числа тш, Мш, цш, причем тш, цш Е (0,1], такие, что
ш(Лх)
тш < Мш,Ух Е А,Л Е [Чш, 1].
ш(х)
Очевидно, что произвольная положительная измеримая на [0,1] функция ш, отделенная от нуля и бесконечности на отрезке [0,1], принадлежит классу О. Отметим также, что функции вида ш(х) = ха(\п\п ,х Е (0,1], при всех а,р Е Я также принадлежат
п
классу О, а функции вида ехр{-■1},х Е (0,1], а > 0, не принадлежат данному классу (см.
[8]). В дальнейшем для краткости изложения будем опускать индексы чисел тш,Мш, цш.
Доказательство основного результата основано на вспомогательных утверждениях. Теорема А. (см. [8]) Пусть
1
Ыт - - 1пМ
аШ = Ь-Ш = 1 , Рш = =
~ "-Ш ~ 1 > Нш "Ш _ 1"
I п— I п —
Ч Ч
Тогда для функции ш Е О при 0 < х < 1 справедлива оценка
1
хаш < ш(х) < —1Г.
хРш
Теорема Б. (см. [8]) Пусть ш Е О, тогда
а) Найдутся положительные числа а и Р такие, что если 0 < у < х < 1, то
уаш(у) < Мхаш(х),тх-@ш(х) < у~@ш(у). В частности, можно положить
1
1пМ 1п —
а=
I п — I п —
Ч Ч
б) Для любых к > 0,0 < у < 1, функция ш(х)ха+х интегрируема на отрезке [0,у], при этом
тш(у)уа+к+^ r а+ ^ Мш(у)уа+к+1
--—--< I ха+кш(х)ах <---.
а+ р + к + 1 J у J к + 1
Рассмотрим класс S^ аналитических в D функций, таких что
ш(1 — r)TV(r,f)dr <
I
где ш £ П,0 <p < +ю.
Класс S^ был впервые введен Ф. А. Шамояном в 1999 году в работе [6]. Подобные классы являются обобщением плоских классов Р. Неванлинны (см. [1]).
В данной работе решается классическая для теории функций задача, связанная с нахождением точных оценок роста функции и коэффициентов в разложении в ряд Тейлора, в классах SВпервые указанная задача была решена в классах Р. Неванлинны известным советским математиком С. Н. Мергеляном в начале 20-го века (см. [2]). В дальнейшем аналогичные исследования в классах типа Р. Неванлинны проводились в работах Е. Н. Шубабко, Ф. А. Шамояна (см. [7], [8]), Е. Г. Родиковой (см. [3-5]). Справедливы следующие утверждения: Теорема 1. 1) Если f £ S^, то
1
ln+M(r'f)=°L(1 — rX1 — ry+iJ- (1)
2) Оценка (1) не улучшаема, то есть для любой положительной функции а(г),0 <
г < 1, такой что a(r) = o(1),r ^ 1 — 0, существует функция f £ S^, такая что
1
^ ( V
Iп+М(г,П*0(ш(1 — гХ1 — гу+1) .г^1-0-
Следствие. Если f £ S^, то:
ln+M(r,f) = o (-^^ ),г^1 — 0.
Х1 — Г) v
Теорема 2. 1) Если
f(z) = ^ а
+т
п
- ряд Тейлора функции f £ S^, то
п=0
V
то
a^+v+1
(av+V+1U
ln+lanl = o[n(a^+2v+l)),n ^(2)
2) Оценка (2) не улучшаема, то есть для любой положительной бесконечно малой
последовательности {<5п} существует функция / Е , такая что
/ гаш+р+1\\
1п+\ап\ Ф О [бпп(а"+2Р+1) +от.
Теорема 3. Относительно метрики
1 / п
p(f,g) = Ju(1 — r)( I ln(1 + \f(rew) — g(rew)\)de ) dr
при 0 < p < 1,
0
1
p(f,g) = (j M(1-r)(j ln(1 + \f(rew)-g(rew)\)de) dr)
при p > 1 для любых f,g Е S^, пространство S^ образует F-пространство.
Отметим, что при доказательстве представленных результатов используются методы из работ Е. Г. Родиковой [3-4] и С. В. Шведенко [9].
Список литературы
1. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. М.-Л.: ГИТТЛ, 1941. - 388 с.
2. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. - М.: Наука, 1950. -
338 с.
3. Родикова Е.Г. Об оценках коэффициентов разложения некоторых классов аналитических в круге функций // Материалы VI Петрозаводской международной конференции «Комплексный анализ и приложения» - Петрозаводск: ПетрГУ, 2012. - С.64 -69.
4. Родикова Е.Г. Факторизация, характеризация корневых множеств и вопросы интерполяции в весовых пространствах аналитических функций: диссертация ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Родикова Евгения Геннадьевна. - Брянск. - 2014. - 121 с.
5. Родикова Е.Г. О некоторых оценках в классе И.И. Привалова в круге // Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 19-й международной Саратовской зимней школы, Саратов, СГУ, 2018. - С.270-272.
6. Шамоян Ф. А. Параметрическое представление и описание корневых множеств весовых классов голоморфных в круге функций // Сиб. мат. журн. - 1999. - Т. 40. - №6. - С. 1422-1440.
7. Шамоян Ф. А., Шубабко Е. Н. Об одном классе голоморфных в круге функций // Зап. научн. сем. ПОМИ, Исследования по линейным операторам и теории функций. - 2001. -Т.282.- С. 244-255.
8. Шамоян Ф.А., Шубабко Е.Н. Введение в теорию весовых LP -классов мероморфных функций - Брянск: Группа компаний «Десяточка», 2009. - 153 с.
9. Шведенко С.В. О скорости роста и коэффициентах Тейлора функций класса Неванлинны N по площади // Изв. вузов. Матем. - 1986. - №6. - С. 40-43.
Об авторах
Родикова Евгения Геннадьевна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», e-mail: [email protected].
Максаков Серафим Павлович - магистрант кафедры математического анализа, алгебры и геометрии, ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», e-mail: [email protected].
ON SOME NEW ESTIMATES OF ANALYTIC FUNCTIONS WITH THE NEVANLINNA CHARACTERISTIC FROM Lpp -WEIGHTS SPACES
E. G. Rodikova, S. P. Maksakov
Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky
In this paper we study properties of analytic functions with the Nevanlinna characteristic from L^-weights spces. We obtain the estimate of the function growth and the estimate of coefficients in the Taylor expansion of analytic functions from this space. Also it is established that functions from this space form F-space.
Keywords: analytic function, the Nevanlinna characteristic, the growth of a function, the coefficients in a Taylor expansion, F-space.
References
1. Nevanlinna R. Single-valued analytic function. M.-L .: GITTL, 1941. - 388 p.
2. Privalov I.I. Boundary properties of analytic functions - M.: Nauka, 1950. - 338 p.
3. Rodikova E.G. On estimates of the coefficients in the expansion of certain classes analytic functions in a disk // Proceedings of the VI Petrozavodsk international conference «Complex analysis and applications» - Petrozavodsk. - 2012. - P. 64 -69.
4. Rodikova E.G. Factorization, characterization of zero sets and questions of interpolation in weighted spaces of analytic functions: thesis ... Cand. fiz.-mat. Sciences: 01.01.01 / Rodikova Eugenia Gennadievna. - Bryansk. - 2014. - 121 p.
5. Rodikova E.G. On some estimates of the Privalov class in a disk // Modern Problems of Theory of Functions and Applications: Proceedings of the 19th International Winter School in Saratov, Saratov, Saratov State University, 2018. - S.270-272.
6. Шамоян Ф. А. Parametric represrntation and the description of zero sets of weighted classes of holomorphic functions in a disk // Siberian M. J. - 1999. - V. 40. - No 6. - P. 12111229.
7. Shamoyan F.A., Shubabko E.N. On a class of functions holomorphic in the disk // J. Math. Sci. - N. Y. - 2012. - V. 120. - No 5. P. 1784-1790.
8. Shamoyan F.A., Shubabko E.N. Introduction to the theory of weight LV-classes and meromorphic functions - Bryansk: Company group «Desyatochka», 2009. - 153 p.
9. Shvedenko S.V. On the growth rate and Taylor coefficients for functions of the Nevanlinna class N over the area // Izv. vuzov. Mat. - 1986. - No 6. - P. 40-43.
About authors
Rodikova E. G. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].
Maksakov S. P - graduate student, Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].
