КОЭФФИЦИЕНТНЫЕ МУЛЬТИПЛИКАТОРЫ В КЛАССАХ ТИПА Р. НЕВАНЛИННЫ В КРУГЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.53

КОЭФФИЦИЕНТНЫЕ МУЛЬТИПЛИКАТОРЫ В КЛАССАХ ТИПА Р. НЕВАНЛИННЫ В КРУГЕ

Е. Г. Родикова, А. Н. Щипка

ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского»

В работе изучаются свойства аналитических в круге функций с характеристикой Р. Неванлинны из ЬРШ -весовых пространств. Получено полное описание коэффициентных мультипликаторов, действующих из указанных классов в классы Харди.

Ключевые слова: аналитическая функция, характеристика Р. Неванлинны, коэффициентный мультипликатор, класс Харди.

Для изложения основных результатов работы введем основные обозначения. Пусть С - комплексная плоскость; Б = [г: \г\ <1} - единичный круг на С; Н(Б) - множество всех аналитических в й функций; М(г,/) = тах^(2)\. Через Т(г,[) обозначим характеристику

\г\=г

Р. Неванлинны функции / Е Н(Б) (см. [1]):

Т(г,0 =±£п1п+\Г(ге1(Р)\йф, 0 <г < 1,

1п+\х\ = тах(1п\х\,0). Введем в рассмотрение также хорошо известный класс Харди (см. [10]):

НР\ = У Е Н(й): | \[(ге1Ф)\Рйу1 <+™,0<р< +ж.

^ -п '

Пусть О - множество измеримых положительных функций ш на А = (0,1] для которых существуют числа тш, Мш, цш, причем тш, цш Е (0,1], такие, что

ш(Лх)

ш(х)

Очевидно, что произвольная положительная измеримая на [0,1] функция ш, отделенная от нуля и бесконечности на отрезке [0,1], принадлежит классу О. Отметим также, что функции вида ш(х) = ха(\п1п ,х Е (0,1], при всех а,р Е И также принадлежат

п

классу О, а функции вида ехр{--1},х Е (0,1], а > 0, не принадлежат данному классу (см.

[9]). В дальнейшем для краткости изложения будем опускать индексы чисел шш,Мш,цш. Функции из класса О удовлетворяют следующей оценке (см. [8]): Пусть

1

1пМ

- - Щ,РШ =

тш < Мш,Ух Е АЛ Е [цш, 1].

1 ' иш 1 ■

1п— 1п —

ч ч

Тогда для функции ш Е и при 0 < х < 1 справедлива оценка

1

хаш < ш(х) < ——

ХРш

Рассмотрим класс Б1^ аналитических в й функций, таких что

1

ш(1 - г)Тр(г,/)йг < +ж,

где ш Е П,0 <р < +ю.

1

I

Класс Б^ был впервые введен Ф. А. Шамояном в 1999 году в работе [7]. Подобные классы являются обобщением плоских классов Р. Неванлинны (см. [1]). В работе описываются коэффициентные мультипликаторы, действующие из классов Б1^ в классы Харди.

Определение. Последовательность комплексных чисел Л = [Лк}'+=:'1 называется коэффициентным мультипликатором, действующим из классов Б1^ в классы Харди Нр, если для произвольной функции [ Е , [(г) = %+=0апгп, функция Л[(г) = ^+=0Лпапгпе Нр. Обозначается А = СМ(БРШ,НР).

Описанию коэффициентных мультипликаторов в различных классах аналитических функций посвящено множество работ отечественных и зарубежных ученых (см. [2], [4], [6], [8], [11]).

Основным результатом работы является доказательство следующего утверждения:

Теорема. Пусть Л = - произвольная последовательность комплексных чисел.

Для того чтобы Л = СМ^Б^, Нр), необходимо и достаточно чтобы при с > 0

(/ ащ+р+1\\

ехр{-ска"+2Р+1)\,к ^ (1)

Доказательство основного результата основано на вспомогательных утверждениях.

Теорема А. (см. [5]) Если / Е Б^, то справедлива следующая точная оценка:

1п+М(г,0 = о |-^1-0.

к(1-г) V

Теорема Б. (см. [5]) Если /(г) = ^+=0 апгп - ряд Тейлора функции f

то

справедлива следующая точная оценка:

/ /ащ+р+1Л\

1п+1ап1 = 0{п\а"+2Р+1) ),п ^ +ж. (2)

Теорема В. (см. [5]) Относительно метрики

р(!,д) = | ш(1-г)^ 1п(1 + \/(геш) - д(ге1в)\)йв) йг

при 0 < р < 1,

1

( 1 (к \Р \Р

р(/,д) = I I ы(1-г)! I 1п(1 + \[(ге1в) - д(ге1в)\)йв\ йг

при р > 1 для любых /,дЕ Б^, пространство Б^ образует Е-пространство.

Лемма 1. Пусть Л = - последовательность комплексных чисел,

удовлетворяющих условию:

' ащ+Р+1О

хш+2р+1 ). , к ^

/ / аш+р+1\\ 1Лк1 = 0( ехр(-скка"+2Р+1 +ж,

для некоторой положительной бесконечно малой последовательности [ск}'+=^1, тогда

найдется положительное число с, такое что выполняется оценка (1).

ащ+1 1

Лемма 2. Пусть д(г) = ехрс(1 — г) р ,ип(с) — коэффициенты Тейлора функции д. Тогда при всех п справедлива оценка

аш+р+1

1ип(с)1 > вхр(сп)а"+2Р+1. Отметим, что при доказательстве представленных результатов используются методы работы Е.Г. Родиковой [3, п. 2.3].

р

Список литературы

1. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1941. - 388 с.

2. Мештрович Р., Субботин А.В. Мультипликаторы и линейные функционалы пространств И.И. Привалова голоморфных функций в круге // Докл. АН. - 1999. - 365(4). -С.452-454.

3. Родикова Е.Г. Факторизация, характеризация корневых множеств и вопросы интерполяции в весовых пространствах аналитических функций: диссертация ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Родикова Евгения Геннадьевна. - Брянск. - 2014. - 121 с.

4. Родикова Е.Г. О некоторых оценках в классе И.И. Привалова в круге // Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 19-й международной Саратовской зимней школы, Саратов, СГУ, 2018. - С.270-272.

5. Родикова Е.Г., Максаков С.П. О некоторых новых оценках аналитических функций с характеристикой Р. Неванлинны из Ьрш-весовых пространств // Ученые записки БГУ. - 2018. - №1. - C.27-30.

6. Шамоян Р.Ф. О коэффициентных мультипликаторах пространств Блоха и Харди в поликруге // Сиб. матем. журн. - 2002. - Т. 43. - № 1. - С. 212-227.

7. Шамоян Ф. А. Параметрическое представление и описание корневых множеств весовых классов голоморфных в круге функций // Сиб. мат. журн. - 1999. - Т. 40. - №6. - С. 1422-1440.

8. Шамоян Ф. А., Шубабко Е. Н. Об одном классе голоморфных в круге функций // Зап. научн. сем. ПОМИ, Исследования по линейным операторам и теории функций. - 2001. -Т.282.- С. 244-255.

9. Шамоян Ф.А., Шубабко Е.Н. Введение в теорию весовых LP-классов мероморфных функций - Брянск: Группа компаний «Десяточка», 2009. - 153 с.

10. Duren P L. Theory of Hp -spaces // Pure and Appl. Math., V. 38. - NY: Academic Press, 1970. - 272 p.

11. Yanagihara N. Multipliers and linear functionals for the class N+ // Transactions of the AMS. - 1973. - V. 180. - P. 449-461.

Сведения об авторах

Родикова Евгения Геннадьевна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», e-mail: [email protected].

Щипка Александр Николаевич - магистрант кафедры математического анализа, алгебры и геометрии, направление «Математика», направленность «Комплексный анализ и алгебра», ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», e-mail: [email protected].

THE COEFFICIENT MULTIPLIERS FROM THE NEVANLINNA TYPE SPACES IN A DISK

E. G. Rodikova, A. N. Schipka

Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky

In this paper we study properties of analytic functions with the Nevanlinna characteristic from L^-weights spces. We obtain the exact estimate of coefficient multipliers for analytic functions from this space. Keywords: analytic function, the Nevanlinna characteristic, coefficient multipliers, the Hardy space.

References

1. Nevanlinna R. Single-valued analytic function. M.-L .: GITTL, 1941. - 388 p.

2. Mestrovic R., Subbotin A.V. Multipliers and linear functionals for Privalov spaces of holomorphic functions in the disc // Doklady Akademii Nauk. - 1999. - V. 365. - No. 4. - P. 452454.

3. Rodikova E.G. Factorization, characterization of zero sets and questions of interpolation in weighted spaces of analytic functions: thesis ... Cand. fiz.-mat. Sciences: 01.01.01 / Rodikova Eugenia Gennadievna. - Bryansk. - 2014. - 121 p.

4. Rodikova E.G. On some estimates of the Privalov class in a disk // Modern Problems of Theory of Functions and Applications: Proceedings of the 19th International Winter School in Saratov, Saratov, Saratov State University, 2018. - P. 270-272.

5. Rodikova E.G., Maksakov S. P. On some new estimates of analytic functions with the Nevanlinna characteristic from -weights spaces // Scientific Notes of Bryansk St. Univ.- 2018. -No 1. - P. 27-30.

6. Shamoyan R.F. On the coefficient multipliers of Bloch and Hardy Spaces in a polydisk // Siberian Math. J. - 2002. - V. 43. - No 1.- P. 169-182.

7. Shamoyan F.A. Parametric represrntation and the description of zero sets of weighted classes of holomorphic functions in a disk // Siberian M. J. - 1999. - V. 40. - No 6. - P. 12111229.

8. Shamoyan F.A., Shubabko E.N. On a class of functions holomorphic in the disk // J. Math. Sci. - N. Y. - 2012. - V. 120. - No 5. P. 1784-1790.

9. Shamoyan F.A., Shubabko E.N. Introduction to the theory of weight Lp-classes and meromorphic functions - Bryansk: Company group «Desyatochka», 2009. - 153 p.

10. Duren P L. Theory of Hp -spaces // Pure and Appl. Math., V. 38. - NY: Academic Press, 1970. - 272 p.

11. Yanagihara N. Multipliers and linear functionals for the class N+ // Transactions of the AMS. - 1973. - V. 180. - P. 449-461.

About authors

Rodikova E. G. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].

Schipka A. N. - graduate student, Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: shipcka. alexandr@yandex. ru.