ОПИСАНИЕ ГЛАВНЫХ ЧАСТЕЙ МЕРОМОРФНЫХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ С ХАРАКТЕРИСТИКОЙ Р.НЕВАНЛИННЫ ИЗ LP-ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.53.

ОПИСАНИЕ ГЛАВНЫХ ЧАСТЕЙ МЕРОМОРФНЫХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ С ХАРАКТЕРИСТИКОЙ Р.НЕВАНЛИННЫ ИЗ Lp-ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ 4

Е.Г. Родикова

Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского

Аннотация. В работе получено описание главных частей мероморфных в круге функций с характеристикой Р.Неванлинны из £р-весовых пространств при условии, что полюсы находятся в конечном числе углов Штольца.

Ключевые слова: мероморфные функции, характеристика Неванлинны, главные части, интерполяция, угол Штольца.

Пусть С — комплексная плоскость, Б — единичный круг на С, Н(Б) — множество всех функций, аналитических в Б, М(Б) — множество всех функций, мероморфных в Б. Для любых а > -1, 0 < р < +те определим класс (см. [5]):

Бра := <( / е М(Б) : у (1 - г)аТр(г, /)^г < +те

7Г

1

где Т (г,/) = / 1п+ |/(гег^ + N (г,/) — характеристика Р. Неванлинны функции /

—ж

(см. [2]), N (г,/) = / 0 < г < 1, п(Ь, те) — число полюсов в круге |г| < Ь,

0

0 < Ь < 1; п(0, те) — кратность полюса в точке г = 0, 1п+ |а| = шах(1п |а|, 0), а е С. Обозначим = Б1 П Н(Б.

Отметим, что классы являются естественным обобщением классов Неванлинны-Джрбашяна (см. [2]).

Хорошо известно, что если Б е М(Б), {гк} — последовательность полюсов функции Б (г) порядка не выше п, то по теореме Лорана в окрестности любой точки гк функция Б (г) допускает разложение вида:

Б (г) = ам . + , ак'п—1 1 ... + -ЗЦ- + ф(г), (г - ^)п (г - ¿к)п—1 (г - ^)

где ф — аналитическая в окрестности точки гк функция.

В данной работе приводится описание коэффициентов г = 1,п, для произвольной функции Б е 5а.

Решение поставленной задачи характеризации главных частей мероморфных в круге функций в классе 5а сводится к решению интерполяционной задачи в классе 5а а. Сформулируем задачу кратной интерполяции в классе £а а: пусть {ак}^° и {7к- произвольные последовательности комплексных чисел из Б; обозначим через qj• — кратность появления числа аj во всей последовательности {акsj• > 1 — кратность появления числа aj на отрезке {ак}к=1. Очевидно, что 1 < sj• < qj• < +те. Требуется выявить критерии для {аки {7кобеспечивающие существование функции / е £а, такой что

/(в*—1)(afc )= 1к = 1, 2,...

4Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (проект 1.1704.2014К)

1

В том случае, если вк = 1 получаем задачу свободной интерполяции. При решении задачи свободной интерполяции, когда на интерполируемую функцию налагаются минимальные ограничения, важно найти естественный класс, которому должно принадлежать сужение функции на интерполяционное множество. Обозначим его /а. Как установлено в [3], если / е то

1п+ М(г, /) = о(-,г ^ 1 - 0,

\(1 - г) р )

где М(г, /) = тах |/(г)|. Поэтому

/а = { 7 = Ь}+=? : 1п+ Ь | = о ( -- 1 „+1+1 ) , к ^ .

I \(1 -а I) —+V ]

Для формулировки результатов работы введем дополнительные обозначения и определения. Для любого в > —1 обозначим через пд) произведение М.М. Джрбашяна с нулями в точках [гк}+=1 (см. [1]), пв,n(z,zj) — произведение пд) без п-го фактора. Для в = т е Ъ+ произведение Джрбашяна имеет вид (см. там же):

I \ +Т Zk— ^ ^^ 1 [1 — ккj+

пm(z, ^) = II -:-=-ехр N —— --—

к=1 1 - ^z ^ э +1V1 - ^z

Как установлено в [1], произведение п^) сходится абсолютно и равномерно в круге Б тогда и только тогда, когда:

- |zfc|)в+2 <

k=1

Углом Штольца Гг(0) с вершиной в точке егв называется угол раствора п8, 0 < 8 < 1, биссектриса которого совпадает с отрезком тегв, 0 < r < 1. Справедлива

п

Теорема 1. (см. [7]) Пусть {ак} с U Гг(0s) при некотором 0 < 8 < 2(a+p+i)• Следу-

s=1

ющие утверждения эквивалентны:

i) {ak}+=1 - интерполяционная последовательность в классе Sp,a;

ii)

p

Е 2k(0+p+i) < (1)

к=1

где nk = card{ak : |ak| < 1 — 2k}, „ = 1, 2,...,

-g(fe)

a ,

(1 — К |) ^

при всех в > ^p1, где e(k) > 0 при всех k =1, 2,..., e(k) ^ 0, k ^

Последовательность комплексных чисел {zk}+=1 с D, удовлетворяющих условиям

|пв(ak)| > exp:-, („a+1 +1, (2)

V^ nk +

2k(a+p+1) < + ^

2k(a+p+1) k=1

. , , ,. s(к)

|nm(zfcj| > exp

(1 -|Zk |) ^+1

при всех т > и некоторой е(к) = о(1), к ^

8ир{<2к} = п,

отнесем к классу Д, здесь — кратность , к = 1, 2,... Справедлива также

п

Теорема 2. (см. [4]). Пусть {ак} с и Гг(08) при некотором 0 < 5 < 2(а+р+1)• Если

8=1

е Д, то для любой последовательности {7ке 1ра, можно построить в явном виде функцию / е 5^,«, являющуюся решением интерполяционной задачи

/(8к-1)(а )= 7к, к = 1, 2,... (3)

Обратно, если задача (3) разрешима при всех > 1 и {7^е 1ра, то {аке Д•

Заметим, что постановка задачи кратной интерполяции в формулировке, предлагаемой в теореме 2 (при сохранении естественного класса /а), возможна, поскольку класс б^а инвариантен относительно оператора дифференцирования, как установлено в работе [6]. Основываясь на этом факте, а также на результатах теорем 1 и 2, устанавливается основной результат:

п

Теорема 3. Пусть последовательность комплексных чисел } с и Гг (08) для

~ 8=1

некоторого 5, 0 < 5 < 2(а+р+1) • Если }+= е Д, то для того, чтобы существовала функция Б е с главными частями

, , п п_1 1 т

Н(г, ^, ^) = --+ --' , 1 ... + 7-^, к = 1, 2,...

(г - ^)п (г - ^)п 1 (г - ^) необходимо и достаточно, чтобы

1п+ |аЛ| = о ( --1 1 а+1+1 ) , к ^ г = 1, п.

,(1 -|zk

Список литературы

1. Джрбашян M. M. К проблеме представимости аналитических функций // Сообщ. Института матем. и механики АН Арм. ССР. — 1948. —Т. 2. —C. 3--40.

2. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции / Пер. с нем./ — М.-Л.: ГИТТЛ, 1941. — 388 с.

3. Родикова Е.Г. Об оценках коэффициентов разложения некоторых классов аналитических в круге функций // Материалы VI Петрозаводской международной конференции «Комплексный анализ и приложения» — Петрозаводск: ПетрГУ. — 2012. — С. 64-69.

4. Родикова Е.Г. О кратной интерполяции в классах аналитических функций типа Неванлинны в круге // Материалы III Международной конференции «Геометрический анализ и его приложения» — Волгоград: ВолГУ.— 2016.—С. 171-174.

5. Шамоян Ф. А. Параметрическое представление и описание корневых множеств весовых классов голоморфных в круге функций // Сиб. мат. журн. — 1999. —T. 40. — № 6. —C. 1422-1440.

6. Шамоян ФА, Курсина И• С• Об инвариантности некоторых классов голоморфных функций относительно интегро-дифференциальных операторов // Зап. научн. семин. ПОМИ. - 1998. - Т. 255. - С. 184-197.

7. Rodikova EG^ On Interpolation in the Class of Analytic Functions in the Unit Disk with the Nevanlinna Characteristic from Lp-spaces // Журнал Сибирского федерального университета, 9:1 (2016), 69-78.

References

1. Djrbashian MM• On the representation problem of analytic functions // Soob. Inst. Math. i Mekh. AN ArmSSR. 2,(1948), 3--40. (in Russian)

2. Nevanlinna R• Single-valued analytic functions — Moscow-Leningrad, GITTL, 1941, 388 p. (in Russian)

3. Rodikova EG^ On estimates of expansion coefficients for some classes of analytic functions in the disk // Proceedings of the international conference «Complex analysis and its applications» — Petrozavodsk: PetrSU. — 2012. — P. 64-69. (in Russian)

4. Rodikova EG^ On multiple interpolation in the class of analytic functions of the Nevanlinna type in a disk // Proceedings of the international conference «Geometric analysis and its applications» — Volgograd: VolSU.— 2016.—P. 171-174. (in Russian)

5. Shamoyan FA• Parametric representation and description of zero sets of weighted classes of holomorphic functions in the disk // Sib. Math. Journ. V. 40, № 6, 1422-1440, 1999.(in Russian)

6. Shamoyan FA, Kursina IS• On the invariance of some classes of holomorphic functions under integral-differential operators // Zap. nauch. semin. POMI — 1998. - V. 255. - P. 184-197. (in Russian)

7. Rodikova EG^ On Interpolation in the Class of Analytic Functions in the Unit Disk with the Nevanlinna Characteristic from Lp-spaces //Journ. of Sib. Federal Univ., 9:1 (2016), 69-78.

Сведения об авторе

Родикова Евгения Геннадьевна, к.ф.-м.н., м.н.с., НИЛ комплексного и функционального анализа, Брянский государственный университет, [email protected].

ON PRINCIPAL PARTS OF MEROMORPHIC FUNCTIONS IN THE UNIT DISK WITH THE NEVANLINNA CHARACTERISTIC FROM Lp-SPACES

E.G. Rodikova

Bryansk State University

Abstract. In this paper we describe the principal parts of a Laurent series of meromorphic functions with the Nevanlinna characteristic from Lp-spaces under condition that the poles are contained in a finite union of Stolz angles.

Key words: meromorphic functions, the Nevanlinna characteristic, principal parts, the Stolz angle•

About author

Rodikova Eugenia Gennadevna, PhD, junior researcher, Research laboratory of complex and function analysis, Bryansk State University, [email protected].