CC BY
6МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА
УДК 517.53
ОПИСАНИЕ КОРНЕВЫХ МНОЖЕСТВ ОДНОГО КЛАССА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В.А. Беднаж, А.С. Коряушкина
ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского»
В статье получено описание корневых множеств функций из класса N 8 (С+ ) . Ключевые слова: верхняя полуплоскость, голоморфные функции, корневые множества.
Для изложения основных результатов, полученных в работе введем следующие обозначения: пусть С - комплексная плоскость, С + ={ г е С :1т г > 0} - верхняя
полуплоскость, Н (С + ) - множество голоморфных с С + функций.
Скажем, что функция из класса Ns (С ), 5 > 2, если она голоморфна в С+ и удовлетворяет условию
N5 (С+) =
+ +Р+Р 1п +1 /(X + />)| / е Н(С+): { { ( ? Му
0 1 + + /у|
где 1п + |а| = тах(1п |а| ,0) , Уа еП .
Исследование свойств корневых множеств и построение факторизационных представлений привлекло внимание классиков комплексного анализа еще в начале прошлого столетия. В связи отметим классические работы К. Вейерштрасса, Ж. Адамара, Ф. Бореля, Е. Линделефа, О. Пикара о нулях целых функций, имеющих заданный рост вблизи бесконечно удаленной точки, а также работы Р. Неванлинны и В.Н. Смирнова о внешне-внутренней факторизации классов Харди и классов функций ограниченного вида в единичном круге. Эти вопросы остаются в центре внимания и современных авторов, для этого достаточно отметить работы М.М. Джрбашяна, Б.Я. Левина, Л.А. Рубеля, Ф.А. Шамояна и других математиков. Эти результаты изложены в хорошо известных монографиях Р. Неванлинны [3], И.И. Привалова [4], П. Кусиса [2], Д. Гарнета [1].
В работе получено описание корневых множеств из класса Ns (С ), 5 > 2 аналитических в полуплоскости функций. Этот класс функций определяется естественным образом. Корневая характеризация до сих пор полностью не исследована. В работе, в частности, устанавливается следующая теорема.
Теорема. Пусть / е Ns(С+), /(г) * 0, 5 > 2, предположим /(у) = 0, к = 1,2,... у > 1.
Тогда
+<Ю 1
£ у2-2 <+^. к=1
И обратно, если {ук - произвольная последовательность, ук ^ , то можно в явном виде
построить функцию / е N (С+) такую, что /(у) = 0, к = 1,2,... и / (г) * 0, г е С +, г Ф ¡ук, к = 1,2,...
Доказательство теоремы опирается на следующие леммы:
Лемма 1. При всех гей выражение |1 -г|2 +1 + г|2 удовлетворяет оценке
о < ц < 1 - г +1+г < °о,
где ц и со - положительные числа, не зависящие от г. Лемма 2. Пусть / (у ) = 0, к = 1,2,...,
/ 1 , Л 1 + г
1-
F (z) = f
V 1 - z У
Тогда функция F(z) обращается в нуль в точках z^ , удовлетворяющих равенству
z - ^
Ук +1
Используя приведенную выше теорему, строится факторизационное представление функций из рассматриваемого класса.
Список литературы
1. Гарнет Дж. Ограниченные аналитические функции. - М: Мир, 1984. - 469 с.
2. Кусис П. Введение в теорию пространств H . - М: Мир, 1984. - 368 с.
3. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. - М.: Мир, 1941. - 388 с.
4. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. - М: ГИТТЛ, 1950.
- 336 с.
5. Шамоян Ф.А. Факторизационная теорема М.М. Джрбашяна и характеризация нулей аналитических функций с мажорантой конечного роста // Известия АН Арм. ССР. Математика.
- 1978. - Т.13. - №5. - С.405 - 422.
Сведения об авторах
Беднаж Вера Аркадьевна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, e-mail: [email protected].
Коряушкина Александра Сергеевна - магистрант кафедры математического анализа, алгебры и геометрии Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, e-mail: [email protected].
DESCRIPTION OF ROOT SETS FOR A CERTAIN CLASS OF ANALYTIC FUNCTIONS
V.A. Bednazh, A.S. Koryaushkina
Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky
The article provides a complete description of root sets of functions from the class N s (C + ). Keywords: upper half-plane, holomorphic functions, root sets.
References
1. Garnet G. Bounded analytical functions. - M: Mir, 1984. - 469 p.
2. Kusis P. Introduction to the theory of spaces. - M: Mir, 1984. - 368 p.
3. Nevanlinna R. Single valued of analytic functions. - M: Mir, 1941. - 388 p.
4. Privalov I.I. Boundary properties of analytical functions. - M: GITTL, 1950. - 336 p.
5. Shamoyan F.A. Factorization theorem Of M. M. Djrbashian and characterization of zeros of analytic functions with majorant of finite growth // Izvestiya An Arm. SSR. Mathematics. -1978. - Vol. 13. - No. 5. - P. 405 - 422.
About authors
Bednazh V.A. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].
Koryaushkina A.S. - graduate student, Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].
