О почти периодических бесконечных системах линейных Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.6:519.61

О ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМАХ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Ф, М. Федоров

В монографии автора [1] обобщены работы по периодическим [2-4], а также по почти периодическим бесконечным системам [5,6]. В данной работе для изучения почти периодических систем предлагаем более общий подход и уточняем понятие почти периодических бесконечных систем. Более полная библиография по бесконечным системам линейных алгебраических уравнений приведена в работе автора [1].

В случае периодической бесконечной системы характеристику этих систем /(ж) [1] можно составить, вообще говоря, из коэффициентов любого уравнения системы с разностными индексами, соответствующей рассматриваемой системе, поскольку коэффициенты этих уравнений системы с разностными индексами совпадают. Но можно ожидать что, не менее интересными могут быть случаи, когда функции /¿(ж), составленные подобно характеристике /(ж) для каждого уравнения, могут и не совпадать между собой. Тогда, очевидно, характеристика данной системы может быть некоторой комбинацией функций /¿(ж). Данная статья посвящена таким системам, когда два первых уравнения системы с разностными индексами дают две разные функции /(ж) и / (ж), а для остальных уравнений системы эти функции чередуются. Такие системы и будут названы почти периодическими бесконечными системами. В общем случае можно взять произвольное число п функций /¿(ж) (г ^ п), коэффициенты разложения которых в степенной ряд

п

© 2010 Федоров Ф. М.

функции чередуются для соответствующих уравнений рассматриваемой системы.

Рассмотрим следующую гауссову [1] систему с разностными индексами:

ацЖо + а\Х\ + + + а4Х4 + а5Х5 + .. . = О,

Ь()Х1 + Ь\Х2 + + ЬзХ4 + Ь4Х5 + ... = О,

а()Х2 + + + азХ5 + . . . = О, (1)

Ь0Х3 + ^Х4 + Ь2Х5 + . . . = О,

Систему (1) в краткой записи можно записать в виде

Е

р=о

архз+р, ^ОД^..., (2)

где

ар, . = 2/,

Ьр, . = 2/+1, р >0,/ = 0,1,2....

(3)

При этом, не нарушая общности, в системе (2) или (3) всегда полагаем, аЬ

[1] систему (2) урезаем, причем ограничиваемся конечным числом п уравнений сп+1 неизвестными:

п—3

У^ арХз+р = 0, .7 = 0,1,2, ...,п - 1, (4)

р

где х4 ееть п-е приближение решения х4, при этом число уравнений все

п

Решение конечной гауссовой системы (4) известно [1], и его в рекуррентной форме можно выписать так:

Хг= -&п-гХг+1, ¿ = 0,П-1, (5)

где с учетом (3), т. е. в нашем случае, Sn-j примет вид

Sn-j — (

a\ - n-j f E

p=2

n-j

6i - V E

p

П Sn-j-k к = 1

(-1 )Р+1Ьр = ,//

р-1 an-j^

3 = 2/,

j = 2/ + 1,

(6)

П Sn-j-k к = 1

4 = 01, «1 = &1, 3 = 0, п — 2. Поскольку, как видно из (6), выражение для j существенно зависит от четности и нечетности суммы в выражении (6) разбиваем по четным и нечетным значениям индекса р, при этом необходимо

учесть четность или нечетность числа п — При разбивке сохраняем р

["-3-11

Е -—

p=1 П

Q2p + 1

П С

- Е

Q2p

Sn-j — <

P=1 П <-,-(2 k-И П <-1-2 к kk

[HÜ1

3 = 21,

(7)

Е

P=1 П <-1-(2 к-D П

-

p-1 П s

n-jj

j = 2/+l.

p=i п

к = 1

Здесь [z] — целая часть числа z и для унификации обозначений условно о

считаем, что П Sn-j—к = 1- Кроме того, учтены соотношения: если к=1

число m четное, т. е. m = 2/, то / — 1 = [(m — 1 )/2] и / = [m/2]; если число m нечетное, т. е. m = 2/ + 1, то l = [(m — 1 )/2] и l = [m/2].

Пусть существуют пределы последовательностей sn-j ПРИ 3 = 2/ и sn-j ПРИ j = 2/ + 1, не зависящие от j, т. е.

lim sn_j = s' < то, lim j = s'' < то.

n-j

n

n

Весьма важно отметить, что в этом случае величина не имеет

предела при п то, поскольку в зависимости от четности и нечетности индекса ] будут существовать разные пределы, что очевидным образом следует из выражения (7). Введем следующий параметр обозначая 1/в'в" = Предполагаем, что существуют степенные ряды с общим радиусом абсолютной сходимости Е > О, коэффициентами которых являются соответственно подпоследовательности р}, р+1}, {62Р}, {62Р+1 } где р ^ 0. Следовательно, получим ряды

1 = лм, p^p =

p=0 p=0

Ь2p+1МР = Ы, Е &2Р^Р = ^ '

p=0 p=0

(8)

где 0 < ^ < Д.

Тогда из (7) соответственно имеем

~ hW ( )

Отсюда с учетом обозначения 1/s's'' = ^ получим следующее характеристическое уравнение для определения параметра

ЛЫЫм) - мЛЫЫм) = 0. (Ю)

Полагая, что lim x = Xj, из соотношений (5) и (6) находим

n—

%2i = — lim Sn_2iX2i+1 = —S X2i+1 j

n—

X2i+1 = — lim Sn_(2i+1 )X2i+2 = —s"x2i+2.

n—

Следовательно, xi = s's''x2¡4+1). Решая данное рекуррентное уравнение, получим

г = ЩИ И X2j+1 = ---, (11)

x

Исходя из уравнения (10), составим следующую функцию .Р(х):

= к{х)^{х) - х/(х)^(х), (12)

где функции /(х), /(х), ^(х), ^(х) являются степенными рядами х

Подобно периодическим системам функцию ^(х) (12) назовем характеристикой бесконечной системы (1).

Необходимо заметить, что, когда а^ = из ^(х) легко получить характеристику /(х), составленную из коэффициентов а^ для периодической системы [1], т. е.

/(х) = ]Г (-1 )рархр. р=0

Теорема 1. Выражения (11) являются решениями бесконечной системы (1), где м = Мк — нули характеристики .Р(х), к пробегает все нули характеристики ^(х).

Доказательство. Система (1) в краткой записи в зависимости от четности и нечетности ] запишется так:

арх^р — 0, ] — 2/, Г (13)

X; 6рхЛ+р = 0, о = 21+1,

р

где = 0,1, 2 ....

Не нарушая общности, доказательство теоремы проведем для первой системы в (13), т. е. для четных Тогда имеем

^ ^ ^ ^

53 арх3+р = 53 а2рхз+2р + 53 а2р+1 хЗ+2р+1 = 53 а2р^1+рх0

р р р р 1

аг р+1 М хо = хм в р=0

, , Ч /2 (ж) , .

.

Аналогично доказывается удовлетворение и второй системы в (13). □

Замечание 1. Выражения (11) являются решениями бесконечной системы (1) для каждого нуля характеристики .Р(ж) независимо от его кратности.

Пусть задается последовательность чисел 0,33 таких, что 0,33 ф О для любого 3. Составим го этих чисел и коэффициентов ар и Ьр системы (1) систему коэффициентов следующим образом:

а _Г араз+р,з+р> 3 = 2/, / = ОД ..., р = ОД ..^^^ 3'1+р \ Ьра3-+р,з+р, 3 = 2/ + 1, / = ОД ..., р = ОД .... Составим из коэффициентов (14) гауссову однородную бесконечную систему, краткая запись которой имеет вид

араз+р з+р ж3+р — 3 — 21,

Г , (15)

Ьраз+р з+р жз'+р — 3 — 2^+1,

р

где 3 = 0,1,2 ....

Определение. Почти периодической бесконечной системой линейных алгебраических уравнений будем называть гауссову бесконечную систему типа (15) с коэффициентами, удовлетворяющими соотношению (14), с характеристикой ^(ж) вида (12).

Без труда доказывается

Теорема 2. Решения бесконечной системы с разностными индексами (1) и системы (15) с одной н той же характеристикой ^(ж) (12) изоморфны.

Следствие. Выражения вида

жоМ* — жоМ*

Ж2г = -, Ж2г+1 = —--(16)

а2г'2г $ ^г+1 ,2г+1

являются решениями бесконечной системы (15), где м = Мк — нули характеристики ^(ж) (12), к пробегает все нули характеристики ^(ж).

Замечание 2. Если предположить, что а3з = 1 для люб ого 3, то система с разностными индексами (1), очевидно, входит в класс почти периодических систем с характеристикой ^(ж) (12).

Характеристику F(x) как сумму произведений степенных рядов можно разложить в следующий степенной ряд:

F(x) = ]TcpXp, (17)

р=0

где

p

Cp = aib2p+l + ^^ («2m+l Ь2р-2 m+1 — «2 m-2 Ь2р-2 m), P ^ 1, c0 = .

m=l

В данной статье ограничились рассмотрением случая, когда характеристика (17) имеет только простые нули.

Решение бесконечных систем, рассмотренных в работах [5,6], легко сводятся к решению системы (1) или (15).

Примеры приложения почти периодических бесконечных систем к решению прикладных задач математической физики приведены в работах автора [1,7-9].

ЛИТЕРАТУРА

1. Федоров Ф. М. Периодические бесконечные системы линейных алгебраических уравнений. Новосибирск: Наука, 2009.

2. Федоров Ф. М. К теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. I // Мат. заметки ЯГУ. 2007. Т. 14, вып. 2. С. 78-92.

3. Федоров Ф. М. К теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. II // Мат. заметки ЯГУ. 2008. Т. 15, вып. 1. С. 125-140.

4. Федоров Ф. М. К теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. III // Мат. заметки ЯГУ. 2008. Т. 15, вып. 2. С. 69-83.

5. Федоров Ф. М. К теории почти периодических бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. I // Мат. заметки ЯГУ. 2009. Т. 16, вып. 1. С. 100115.

6. Федоров Ф. М. К теории почти периодических бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. II // Мат. заметки ЯГУ. 2009. Т. 16, вып. 2. С. 131— 145.

7. Федоров Ф. М. Решение одной задачи с переменным направлением времени граничным методом // Мат. заметки ЯГУ. 1996. Т. 3, вып. 2. С. 62-71.

8. Федоров Ф. М. Граничный метод решения краевых задач с переменным направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 1995. Т. 2, вып. 2. С. 52-60.

9. Федоров Ф. М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 2000.

г. Якутск

4 мая 2010 г.