CC BY
13УДК 512.6:519.61
ОБ АНАЛИТИЧЕСКОМ РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ ОДНОРОДНЫХ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Ф, М. Федоров
Бесконечной системой линейных алгебраических уравнений с бесконечным множеством неизвестных называется система уравнений [1]:
а ,о хо + а д + ... а ,пх„ + ... = ь0,
«1,0 Жо + «1,1 Хх+ ... а ,иХи + ... = Ь, .....................................
а„,о Х0 + а„д Хх + ... ап,пхп + . .. = Ьп,
где а^ — известные коэффициенты, Ь — свободные члены и х^ — неизвестные. Система численных значений величин Х\,Х2,... называется решением системы (1), если после подстановки этих значений в левую часть равенств (1) мы получим сходящиеся ряды и все эти равенства будут удовлетворены.
Если квадратная матрица порядка п > 1 углового минора определителя бесконечной системы линейных алгебраических уравнений имеет треугольную форму, причем элементы главной диагонали не равны нулю, т. е. а^^ ф 0= 0,1, 2,..., то будем говорить, что такая бесконечная система линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) задана в гауссовой форме.
© 2008 Федоров Ф. М.
В данной работе исследуем однородные БСЛАУ, заданные в гауссовой форме:
Е ajj+pxj+p = ajj i 0, j = ОД, 2,.... (2)
p=0
Системы вида (2) с коэффициентами aj,j+p специального вида
= ap Vj (3)
aj+p,j+p
изучены в работах [2-4]. При этом решение системы (2) сводится к исследованию сходимости последовательности
^ (-1)p-1ap --
Sl=ai, sn = —--' ж. (4j
p=2 П Sn-k k=1
Поведение последовательности (4) рассмотрено в работах [5,6]. В работах [2-4] получены решения системы (2) с коэффициентами (3) в зависимости от поведения предела lim Sn = S*, точнее, при S* ф 0 <
n—>tt
ж. В данной работе рассмотрен случай, когда подпоследовательности {Sn} и (sm последовательности {Sn} такие, что {Sn} П {Sn} = 0 и {Sn} U {Sn} = Sn, имеют разные пределы, т. е. Sn не имеет предела. Для этого рассмотрим следующую БСЛАУ:
J3a2j,4j+4iVij+u + ^^ a2j,4j+4i+3Vlj+U+3 — 0, (5)
i=0 i=О
tt tt
a2j+l,4j+4i+4Vij+ii+i + ^^ a2j+l,4j+4i+3Vij+ii+S = 0, (6)
ii tt tt
J3a2j,4j+4i+l V4j+4i+l + ^^ a2j,4j+4i+2y4j+4i+2 = 0, (7)
ii oo oo
a2 j+l,4j+4i+5 V4j+4i+5 + ^^ a2j+l,4j+4i+2 y4j+4i+2 — 0, (8)
ii
где j = 0,1,2,....
Как нетрудно видеть, системы (5) и (6) составляют одну независимую систему, а системы (7) и (8) — вторую независимую систему, причем решения уз, у?, у%, уц,... являются решениями систем (5) и (6), а решения у\, у?, уь, у®, уд, ую, ... — решениями систем (7) и (8).
Из систем (5) и (6) составим одну систему в гауссовой форме, беря по одному уравнению соответственно из (5) и (6) поочередно:
во ,0 уо + а ,3 уз + а ,4 у* + а ,7 уч + а ,8 у8 + «0 ,11 У\\ «1 ,3 уз + «1 ,4 + «1 Д ут + «1 ,8 у% + Д1 уи
^ ,4 у± + 0,2 ду7 + а2 ,8 уъ + а2 Д1 уц аз ду7 + а3 ,8 уъ + аз Д1 уц
«4 ,8 уъ + а5 д! уц
, , , , ,
.
Введя обозначения уцг) = хг и
= 4г
2(2»+1) --
¿ = 0,1,...
(9)
где [г] — целая часть числа г, последнюю систему приводим к гауссовой форме (2) (причем ограничиваемся конечным числом п уравнений сп+1 неизвестными):
а],к{з+р)хз+р = ф 0, з = 0, п - 1.
р=0
Решение конечной системы вида (10) известно [2-4]:
где
азМз+1) азМз)
хг — Яи—гхг+\, » — 0,п 1,
(-1) Р+1 аз,к(з+р)
р—1 '
Р=2 «ЗМЗ) П Яи—з — к к
(10)
(11)
и—3
Я =
а.
а.
и— ,и и— ,и—
3 = 2, п.
(12)
Поскольку, как видно из (9), выражение для к(]) существенно зависит от четности и нечетности точнее, в зависимости от четности и нечетности ] одно из слагаемых в (9) исчезает, то выражение (12) сначала выпишем в виде
а [("-¿-1)/2] о _ а3,к(з+1) ,
а3,к(3+2р+1)
2з,Нз)
Р_1 а3,к(3) П Бп-з-(2к-1) П £"-¿-2к к=1 к=1
Кп-Л/2
- Е
а3,к(3+2р)
Р Р-1
Р=1 азМз) П £"-¿-(2к-1) П Зп-з-2к кк
. (13)
Учитывая теперь (9), выражение (13) запишем следующим образом:
Л!
аз',2з' + 3 I у _аз',2з+4Р + 3_
аз,3 1 ПО гт <г
р—1 аЗ,23 Ц Ьп-з-( 2к-1) 11 Ьп-3-2 к к = 1 к=1
-
аз',2з+4р
¿ = 2/,
£п-з — <
Р—1 аз,2з П Ьп-з-( 2к-1) П Ьп-з-2 к к=1 к=1
аЗ,2з + 2 I у^
р—1 аЗ,2з + 1 П 2к-1) П Ьп-з-2 к
кк
-
(14)
¿ = 2/+1.
р—1 аз,23' + 1 2к-1) П Ьп-з'-2 к
В работах [2,3] получены аналитические решения однородных БСЛАУ для специальных видов коэффициентов а^:
Р-
а3,3+Р = ара3,3 ^ а3+к, к
(15)
где ад = 1 и для унификации обозначений принимаем П а3-+к = 1-
к
°3,23+4р+2 — а4р+2 а3,2]+1\\_ а23+1 + к ,
(16)
В соответствии с (15) положим
р
а3,23+4р = а4ра3,23 а23+к, к
р к
р
а3,23+4р+1 = а4р+1 аз,2у+1 а2]+1+к,
к р
а3,23+4р+3 = а4р+3а'3,2] а2з+к,.
к
С учетом (16) соотношение (14) можно выписать так:
_\а23+1 а23+2 а23+3 Я'и—3 прИ 3 = 2/,
Яи—3 - \ ^ ап _____ . п, , и О
где
Я'и—3~ а3+ 53
а3+2 Я'и—з при 3 = 21+ 1,
ар
рр
р=1 П Яп—2к—1) П —к кк
- —^^—' 3=21, (18) р 1 П Яп—3 —(2к —1) П —3-2к
кк
Яп—3- 53
ар
рр
р=1 П Я'„—3—2к —1) П Яп—3—2к кк
- £ —-^^-, 3 = 2/+1. (19)
р 1 П Яп-3-(2к-1) П Яп—3—2к кк
Заметим, что последовательности (18) и (19) имеют структуру, аналогичную структуре последовательности (4), сходимость которой изучена в [5,6].
Пусть существуют пределы последовательностей Sn_j при j = 2/ и ^и j = 2/ + 1, те зависящие от j, т. е.
(20)
lim Sn_= S' < ж Um . = S'' < ж.
n—>tt j n—>tt j
Введем следующие обозначения: SfSff = w tttt E^ = AWi E-? =
tttt pp
Тогда из (18) и (19) соответственно имеем
S' = fM; S'' = ^М. (21)
Отсюда с учетом обозначения S'S'' = w получим следующее характеристическое уравнение для определения параметра w
ЛЫ^Ы - = (22)
Если перейти от конечной системы (10) к бесконечной системе, то вместо (11) можем писать Xi+i = — Sn_ixni. Полагая, что lim Xi = x-,
n—>tt
из последнего соотношения и (17) находим
X2i = — lim Sn_iX-+I = — —4i+1—4i+2 —4-+ЗS'x2i+i;
n—>tt
Xi+1 = — lim Sn -2i+l i+2 = ——4i+4S''xi+2 .
n—>tt
Следовательно, xi = —4^1 —4>¿+2—4^3 —4^4S'S"x2(4+i). Решая последнее рекуррентное уравнение, получим
xo — x0
X i = -г-- и x2 i+i =
4i 4i+3
W П —k U-S' П —k
kk
Отсюда, переходя к неизвестным у-, имеем
Ун =-ü-> Ум+з =-—, г = 0,1,2,..., (23)
W П —k U-S' П —k
kk
где уо — произвольная константа, м определяется уравнением (22), а £' — выражением (21).
Подставляя (23) в систему (5) и (6), с учетом (16), (20)-(22) убеждаемся в удовлетворении систем (5), (6) и тем самым приходим к следующей теореме.
Теорема 1. Система (5) и (6) для коэффициентов (16) имеет решение (23).
Для систем (7) и (8) поступаем так же, как и для систем (5) и (6), при этом
" г+ 1"
•2(2г+1)( г + 1
, г = 0,1,..., (24)
2
Бп- = { ПР1- - (25)
[ а¿+1 а3+2а¿+з£п-3- ПРи= 2/ + 1,
где £П-з и £'П-з определяются соответственно соотношениями (18) и (19).
Как и выше, с учетом соотношений (24) и (25) имеем Xг~ — Нт £п-г%2¿+1 = —Я4¿+2 £''Xг+1]
п—
X ¿+1 = — Ит Бп-( 2г+1 )Х ¿+2 = —Иц+З «44+4 а ¿+5 £ 'х2 г+2 •
п—
Следовательно, х4 = йц+2а¿+з^¿+4а^ь£'£''х(¿+1 )• Решая последнее рекуррентное уравнение, получим
X —хо
хъ = - х ¿+1 =
^ 4г+2
м4 П а м4 £'' П а
к=2 к=2
Переходя к неизвестным у4, имеем
У44+1 = — У44+2 = -^—, г = 0Д,2,(26)
м4 П Як '' П Як
кк
где у1 = а^ — произвольная константа, м определяется из уравнения (22), а £'' — из выражения (21).
Подставляя (25) в систему (7) и (8), с учетом (16), (20)-(22) убеждаемся в справедливости систем (7), (8) и тем самым приходим к следующей теореме.
Теорема 2. Система (7) и (8) для коэффициентов (16) имеет решение (26).
Конкретные примеры применения данного подхода при решении
некоторых прикладных задач математической физики рассмотрены в
работах [2,7].
ЛИТЕРАТУРА
1. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Гостехтеориздат, 1952.
2. Федоров Ф. М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 2000.
3. Федоров Ф. М., Осипова Т. Л. О решении бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11, вып. 2. С. 89-87.
4. Федоров Ф. М., Осипова Т. Л. О решении неоднородных бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2005. Т. 12, вып. 1. С. 106-115.
5. Федоров Ф. М. О новом подходе изучения вещественных корней полиномиального уравнения // Мат. заметки ЯГУ. 2003. Т. 10, вып. 1. С. 105-113.
6. Федоров Ф. М., Абрамова М. Е. О решении алгебраических уравнений бесконечной степени обобщенным методом Бернулли // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11, вып. 2. С. 80-88.
7. Федоров Ф. М. Граничный метод в задачах с переменным направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 1995. Т. 2, вып. 2. С. 52-60.
г. Якутск
23 апреля 2005 г.
