К теории почти периодических бесконечных систем линейных алгебраических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.6:519.61

К ТЕОРИИ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. II

Ф, М. Федоров

Напомним, что периодическими бесконечными системами называются гауссовы бесконечные системы линейных алгебраических уравнений, приведенная система которых имеет вид [1-3]

азЛ+Рхз+Р = ^ ОД,..., (1)

р=0

где коэффициенты системы а^+р удовлетворяют соотношениям [2]

= V? = 0,1,..., (2)

а]+р,э+р

при этом говорят, что коэффициенты а^+р имеют периодический характер.

В работе [4] рассмотрен один класс бесконечных систем, тесно связанный с периодическими системами. Эти системы там названы почти периодическими системами. В данной работе для решения таких систем предлагаем другой подход в отличие от работы [4], хотя такой подход рассмотрен в ранних работах автора для решения конкретных систем [5,6] и при некотором, скорее интуитивном, их обобщении [7].

В упомянутой работе [4] показано, что некоторые специальные бесконечные системы приводятся к гауссовой форме введением нового порядка индексирования неизвестных и коэффициентов при них, входящих в уравнениях этих систем. В данной работе, в отличие от указанной работы, некоторые бесконечные системы приводятся к гауссовой

© 2009 Федоров Ф. М.

форме введением, соответствующим образом, весовых множителей и подход, предложенный в [4], обобщается и на этот случай. Необходимо пояснить, что понятие «весовые» множители здесь понимается не в его традиционном смысле, т. е. не в смысле весовых функций, а скорее используется как множители упорядочивания членов уравнений системы, так и самих ее уравнений.

Для этого рассмотрим следующую бесконечную систему [7]:

ж ж

У"! ^>3,3+2р^+2р + ^ <1з,з+2р+1Уз+2р+1 =0, 3 = 0, 00, (3)

р=0 р=0

ж ж

Ъз,з+2р+1хз+2р+1 + ¿ЭЛ+ЪрУз+Ър = °> 3 = °> (4)

рр

с двумя бесконечными последовательностями неизвестных соответственно {Хг} И {Уг} (г = 0, оо).

Из этих систем видно, что неизвестные хг (уг) в одном уравнении системы (3), (4) входят только или с четными, или с нечетными индексами, причем обязательно попеременно с неизвестными уг (хг).

По понятию бесконечной системы [1] все ряды в системах (3) и (4) предполагаем сходящимися, причем абсолютно, поэтому можем переставлять местами члены в рядах. Следовательно, каждое уравнение в системах (3), (4) можем упорядочить по возрастанию общего индекса неизвестных хг, уг, например, щ, у\, Х2, уз ... ■

Нетрудно видеть, что такого упорядочивания индексов можно добиться введением в выражениях (3) и (4) соответствующим образом «весовых» множителей 2((р + 1)/2 — [(р + 1)/2]) = 2{(р + 1)/2} и 2(р/2 — [р/2]) = 2 {р/2}, которые равны 0 или 1 в зависимости от четности и нечетности р. Здесь [я] и {я} — целая и дробная части числа г соответственно. Тогда соотношения (3) и (4) можно переписать в виде

(2 {} + 2 { 2 } =

ж / ( . 1

р

^ (2 { 2 I + 2 { } йо,о+рУо+Р^ = °> (6)

где ] = 0, оо.

Используя для четных ] уравнение из системы (5), а для нечетных — уравнение из (6), получим систему уравнений относительно неизвестных ■ ■ ■ ,У1,Уг,У5, ■ ■ ■ ■ Другую независимую систе-

му для неизвестных ■ ■ ■ ,У0,У2,УА, ■ ■ ■ получаем, если для чет-

ных ] взять уравнение го системы (6), а для нечетных ] — уравнение из системы (5). Указанные операции относительно неизвестных Х$,Х2,Х4_, ■ ■ ■, Уь Уз, У5, ■ ■ ■ можно реализовать, если умножить систему (5) на множитель 2{1)/2}, а систему (6) — на 2{^'/2}. В результате приходим к следующим бесконечным системам:

XI4 | } Ъз,З+РхЗ+Р + {|} ¿З,З+РУЗ+Р^ =0' 3 = 0Г°°,

^ (7)

{ 2 } (Щ + йо,о+рУо+Р^ = °> 3 = ОГоо, (8)

Сложив системы (7) и (8), получим в единой записи бесконечную систему относительно неизвестных ■ ■ ■ , ■ ■ ■ Уже в гауссовой форме:

оо

где

аз,з+рХз+р = °> 3 = О, ОО, (9)

р=0

а3,3+р = Ь3,3+р а3,р + ^3,3+р Рз,р, (Ю)

= х2г, Х2г+1 = У2г+1, « = О, ОО, (11)

а3,р = 4

Рз,р

= 4

Из соотношений (12), (13) видно, что в зависимости от четности и нечетности чисел ^ и р получим всего по четыре значения для каждого а^р и рзр-.

а2з,2р = 1, а21,2р+1 = 0, а21+1,2р = 0, а2з+1,2р+1 =1; / ч

(14)

Ру, 2р — 0, Р2з',2р+1 — 1; Р2з'+1,2р — 1; р2з+1,2р+1 — 0. В соответствии с методом редукции в широком смысле понимания [1] систему (9) урезаем, причем ограничиваемся конечным числом п уравнений сп+1 неизвестными:

п—з

(1з,з+рХз+р = °> азз Ф °> 3 = 0, п — 1. (15)

р

Решение конечной гауссовой системы вида (15) согласно работам [1-3] можем выписать в виде

Хг = -вп-гХг+х, ¿ = 0,П-1, (16)

где

аз,з+1 , п— ( —1)р+1 аз,з+р

аз,з р р—

а3,3 П 3п—з — к

к=1

= 3 = 0^=2. (17)

ап— ,п—

Поскольку, как видно из (14), выражение (10) существенно зависит от четности и нечетности ], точнее, в зависимости от четности и нечетности ] и р одно из слагаемых в (10) исчезает, то выражение (17) сначала выпишем в виде

[(п—3 — 1)/2]

с _ аз,з+1 , \"" аз,з+2Р+1

~ +

п~3~ а-- ^ р р

з,з

р_1 а3,3 П 3п—з — (2к —1) П &п—з—2к кк

п—з /

- У -а^+2р ,-. (18)

р р—

р=1 аз,з П 3п — з— 2к — 1) П $п—з—2к кк

Распишем выражение (10) с учетом (14):

а3,3 р

а3,3 р

03,3+"2р

, 3 = 21,

^3,3+2р, 3 — 2/ + 1;

, 3 = 2/,

«3,3+2р+1 Ь3,3+2р+1

(19)

, 3 = 2/ + 1 ■

Учитывая теперь (19), выражение (18) запишем следующим обра-

зом:

V4 _аз,3 + 2р+1_

р=1 3 П ^п-зЧ 2к-1) П к

к = 1 к=1

- Е

3 /,

^п-] — <

р_1 3 П Бп-,-( 2к-1) П к кк

Е

р—1 3 П Бп-,-( 2к-1) П к

-

3 = 2/ + 1 ■

^^ 3 П Бп-,-(2к-1) П к

(20)

Дальнейшее преобразование выражения (20) преследует цель выделить множитель величины Бп-3, индекс которого зависел бы только от 3, а индекс другого множителя в пределе п ^ то не зависел бы от

3

а3,3 р

р-

П_ _ а»+1,»+1 /„-.^

к=о а^

а

-

П а3+к = !■

к=0

В упомянутых работах показана эквивалентность выражений (2) и (21), поэтому бесконечные гауссовы системы с коэффициентами (21), как уже выше сказано, названы периодическими системами.

й

Ь

Ь

Здесь также попытаемся для коэффициентов имеющих вид

(10), ввести выражения, подобные (21), но с некоторым учетом соотношения (20), при этом придерживаемся схемы, предложенной в работе [4] для почти периодических систем. В соответствии с указанной схемой предположим, что не коэффициенты а составляющие их компоненты и имеют периодический характер, т. е. имеют вид (21) или (2), что одно и то же. В соответствии с (19) с учетом (10) и (14) раскроем формулы (21). Сначала заметим, что

{(121+1,21+1 _ ^2г+1,2г+1 _ <1к+1,к+1 _ ^ ^ _

а21,21 ~ Ь21 21 ~ ькк — к, — ,

(22)

а2Д + 2,2; + 2 _ 021 + 2,21 + 2 _ Ьк + 1,к + 1 _ ^ ^ _ 2/ + 1

121 + 1,21 + 1 1121 + 1,21 + 1 ^к,к ^'

Далее, при з = 21 справедливо

2р-1 2р-1

аз^+2р = а,2р<а.з,з ^ а^к = ь,2Ь+2р = Ъ^+2р = ^р^ Ь,2Ь а^ь+к-к=0 к=0

Здесь и ниже для унификации обозначений условно принято, что про--1 о

изведение П = П равно единице.

кк

Тогда, введя обозначение а?р = Ър и учитывая а?Ь,2Ь = Ъ^^ и (22)

придем к соотношению

р- р

Ъ],з+2р = ¿¿+2к\\ Ьз+2к-1, Ъ0 = 1, Ъ0 ,0 = 1, з = 21. (23)

кк

Лемма 1. При выполнении условия (23) для коэффициентов Ъ],]+2Р справедливо соотношение

Ь3,3+2р

Ъ - - ~ир>

= Ър, 3 = 21, 0. (24)

Ъ^+2рл+2р

Доказательство. С учетом (22) распишем произведения в выражении (23):

р- р-

П 4/+2кЪ^2к-1 =

<^21+2к+1,21+2к+1 Ь21+2к+2,21+2к+2 ~2

Ъ2 Ь+2к,2Ь+2к «2 Ь+2к+1,2Ь+2к+1 _ Ъ2Ь+2,2Ь+2Ъ2Ь+4,2Ь+4 - - -Ъ2Ь+2р-2,2Ь+2р-2Ъ2Ь+2р,2Ь+2р _ Ъ2Ь+2р,2Ь+2р

Ъ2Ь,2ЬЪ2Ь+2,2Ь+2 - - - ^Ь+2р-2 ,2Ь+2р-2 ^Ь,

ь

Отсюда имеем

р—1 _

Ъ3+2р,3+2р = Ъ3,3 <¿+2 к Ъ3+2к — 1, к=0

т. е. придем к равенству (24). □

Таким образом, при 3 = 2/,/ > 0, коэффициенты Ъз,з+2р имеют периодический характер.

Заметим, что после несложных преобразований получим

1+Р

Ъ3+2р,3+2р = Ъ3,3 ^ <2 к—2 Ъ2 к-1 ■ (25)

к=г+1

Вычислим произведение

Пт , ТГ <2к — ,2к-1 Ъ2к,2к Ъ21,21 , «2£;-2»2£;-1 — Т-3- — Т- — °э,э-

к к Ъ к- , к- < к- , к- Ъ ,

Таким образом, имеем

1+р I

Ъ3+2р,3+2р = <2к—2Ъ2к— , Ъ3,3 = ГТ <2к— Ъ2к— ■ (26) кк

Распишем остальные коэффициенты Ъ3-,з+2р+1) <з,з+2р-, <3',3'+2р+1, входящие в выражение (20). По указанной выше схеме при получении

равенства (23) для этих коэффициентов имеем следующие выражения:

рр

ЪзЗ+2р+1 = Ъ'р^зП Ъз+2к ^ <з+2к—1, 3 = 21 + 1; (27)

кк р— р

<з,з+2р = <р<з,з Ъз+2к <з+2к—, <о = !> 3 = 2/ + 1; (28)

кк

рр

<\3+2р+1 = <рЪз,зП <з+2к\\ Ъз+2к — 1' 3 = (29)

кк

Для коэффициентов (27)—(29) получены соответствующие леммы, аналогичные лемме 1.

Лемма 2. При выполнении условия (27) для коэффициентов

Ъз,з р

¿>3,3+2^+1

= Ъ' ¿ = 2/+1,/ >0 ■

(30)

Ъз р ,з р

Лемма 3. При выполнении условия (28) для коэффициентов <з,з р

= 3 = 2/ + 1, / > 0 ■

(31)

<з р,з р

Лемма 4. При выполнении условия (29) для коэффициентов <з,з р

= <р, 3 = Я, / > 0■

(32)

<з р ,з р

Доказательство лемм 1-3 совершенно аналогично доказательству леммы 1.

3

Ъ3з+2р+1, <зз+2р, <з,з+2р+1 также имеют периодический характер. Следовательно, системы (3) и (4) при выполнении условий (23), (27)—(29) согласно работе [4] являются почти периодическими бесконечными системами.

С учетом (23), (27)-(29) выражение (20) примет вид

< <з

2 ЛР П аз + 2к П Ъз + 2к-1

_к = 0_к = 1_

Р Р

р=^ П 2 к-1) П к к = 1 к = 1

[VI ЬР П + П ЬЭ + 2к-1 - Е -5=2-^-= 3 = 2/,

/—> р р-1 3 п—з" '

р=1 П — 2к-1) П к

^п—] — <

к

Г п — 3 — 1 1

Ь'Фз

Е

Ъ'р П Ъ5 + 2к П ^- + 2к-1

кк

(33)

- Е

П &п-з-( 2к-1) П &п-э-2 к

кк р- р

Л'р П Ъ^2к П ^' + 2к-1 -—---= М" 3 = 21 + 1.

р- з п—з

р_1 П 2к-1) П Зп-э-2 к

кк

Отсюда очевидным образом следует I^^iP1] ,

/ т ч л dp

sn-j = «о + --Р—

P=1 П s'Li-m-D П <

-j-( 2 k-1) И n-j-2 k k=l k=l

l 2 J т

"El-4=1-• ¡ = 4 (34)

pp-

^ П вП-]-(2k-1) П S'n-j-2k kk

l 2 J 7/

= E

pp p=1 П s'—j —(2k—1) П вП-'-2k

k n-j- k- k n-j- k

-El-4=1-. J = + (35)

p p-П sn-j-(2k-l) П sn-j-2k

k n-j- k- k n-j- k

Заметим, что последовательности (34) и (35) имеют аналогичную структуру, как и соответствующие последовательности работы [4], поэтому в дальнейшем поступаем подобно работе [4].

Пусть существуют пределы последовательностей s'n-j щяи j = 21 и sn_j при j = 2l + 1, те зависящие от j, т. е.

lim s'n_j = s' ф 0 < го; lim s'^- = s'' ^ О < го.

n—j n—j

W

Предполагая абсолютную сходимость степенных рядов Y1 dpxp,

p

www

Y^, bpxp, Y1 d'pxp, Y1 b'pxp с общим радиусом сходимости R > О, вве-p p p

дем, как ив [4], следующие обозначения: s's'' = р;

w d w b b' W. d'

= Ei = /2(M); = = (36)

p=0 р p=0 р p=0 р p=0 р

где 0 < 77 < i?.

n-j

Тогда из (34) и (35) соответственно имеем соотношение

/ Ыр) „ ЫР)

(37)

ЛЫ' ЫР)'

Отсюда с учетом обозначения в 'в" = р получим такое же характеристическое уравнение для определения параметра р, как ив [4]:

Г(р) = МР)МР) - Р/2(Р)ЫР) = (38)

Если перейти от конечной системы (15) к бесконечной системе, то

п п п

вместо (16) можем писать Xг = —Бп-гXг+1- Полагая, что Ит Xг =

п—

Хг, из последнего соотношения и (33) имеем

Xг = — Ит $п—2гXг+1 = — <2г в' Xг+1!

п—ТО _ ^ (зд)

Xг+1 — — Иш $п-(2г+1 )Хг+2 — —Ъ2г+1 в Xг+2 ■

п—

Следовательно, X г = <2 $2 г+1в 'в''X (г+1 )■ Решая последнее рекуррентное уравнение и учитывая предыдущие соотношения (39), получим

м ~ i -:—'

Р1 П г—2 к+1 <2 г—2 к к

Х2г+1 = -. _ . -, г > 0. (40)

в'р1 П Ъ2г—2к+1 П <2г—2к кк

Но из (26) следует, что

I I

Ъг,г= П Ъ2к — 1 <2к—2 = Ъ1—2к+1 <2Ь—2к прИ г = 2/,

кк

поэтому перепишем соотношения (40) следующим образом:

Х21 = —Г——5 ^2г+1 = , ¡т ?-• (41)

РгЪ2г,2г в Р <<2^2%,2%

Теорема 1. Почти периодическая бесконечная система (9) для коэффициентов (10) при условиях (14) имеет фундаментальное решение вида (41), где X — произвольная константа, р является нулем характеристики Г(р), т. е. определяется из уравнения (38), а в ' — выражением (37).

Доказательство. Разбиваем систему (9) по четным и нечетным

индексам 3 р. Тогда сумма ^ aj,j+p Х?+р для четно го 3 = 21 будет в

р=0

виде

^ оо

УЗ а2Ь,2Ь+2рХ21+2р + ЕЗ а21,21+2р+1 Х2¡+2р+1, 1 , (42) р=0 р=0

а для нечетного 3 = 21 + 1 — в виде

оо оо

УЗ ^¡+1,2г+2р+1Х2¡+2р+1 + ЕЗ^¡+1,2г+2р+2Х2¡+2р+2 , 1 ^ 0. рр

Доказательство теоремы проведем только для четного 3, поскольку для нечетного 3 доказательство аналогично. С учетом (19) получим

а2Ь,2Ь+2р = Ь21,21+2р, а2¡,2г+2р+1 = ^2¡,2г+2р+1, 3 = 2/, 1 ^ 0.

Следовательно, формулы (23) и (29) соответственно дают р-1 р

а^^+2р = bpbj,j ]3[ ^'+2к ]3[ Ь;+2к-1 = ЬрЬ;+2р^+2р, Ь0 = 1, 6о,о = 1;

к=0 к=1 рр

а,М+2р+1 = dpbj,j ]3[ 4?'+2к ]3[ ^'+2^1 = ^р^'+2рЪ^2р^+2р, 3 = 2/. кк

(43)

Подставляя в систему (42) значение коэффициентов а^+2р, а^+2р+1 (43) и предполагаемое решение (41), получим

bpbj-^-2p,j+2pXo Ч—Л d2j+2pdpbj+2ptj+2pXo _ Хд

р=0 Ь^2р,^2р ^ «У+р^-+2рЬ^2р^+2р р

г , ч ЛМ

/2 (Ж)--—

С учетом первого равенства в (37) заключаем, что последнее выраже-

3

дится совершенно аналогично. Таким образом, почти периодическая бесконечная система (9) удовлетворяется выражением (41). □

Замечание. Метод редукции в его широком смысле понимания не сходится для системы (9)—(13) при (14), что следует из (33). Важно отметить, что метод редукции в данном случае используется для получения формального решения (41) системы (9), которое, как показывает теорема 1, на самом деле является решением системы (9), причем фундаментальным .

Теперь перейдем к составлению бесконечной системы из оставшихся от систем (3), (4) уравнений. Если умножить систему (3) на коэффициент 2{3/2}, систему (4) на 2{(3 + 1)/2}, а затем их сложить, то получим другую систему в единой записи относительно неизвестных X, X, х, ■ ■ ■ , у?, уь, уе, ■ ■ ■, гауссов вид которой такой же, как и у системы (9) при коэффициентах (10). Но в данном случае

Xг = У2г, Xг+1 = X¿+1, ¿ = 0,1,2, ■■■, (44)

2/

73,Р — 4

рЗ,Р

= 4

3 + 1

(45)

(46)

2

здесь {г} также дробная часть числа г.

Очевидно, из соотношений (45) следует

С2з,2р = 0, ^23,2р+1 = ^ &2]+1,2р = ^ &2]+1,2р+1 = 0;

Р2з,2р = ^ Р2],2р+1 = 0, Р2з+1,2р = 0, Р23+1,2р+1 = !■

Заметим, что в этом случае все соотношения (19), (22), (23), (27)-(29) сохраняют свои виды, но в силу (46) при противоположных значениях четности индекса 3.

Поступая, как и для предыдущей системы при коэффициентах (23), (27)—(29), с учетом противоположных значений четности индекса 3 получим вместо соотношений (33) следующее:

Ъз в'П—^Щ>и 3 = 2/,

Вп—з = { - 3 (47)

<з <—з ПР и3 = 2/+1,

Р

где вП-^ и вП- определяются соответственно выражениями (34) и (35). Исходя из (16) с учетом (47) далее можем писать

X¿ = ¿в''X¿+1! X¿+1 = —^2¿+1 в'Х¿+2 •

Следовательно, Xг = ¿2¿^2¿+1 в 'в ''X¿+2 • Решая последнее рекуррентное уравнение, учитывая предыдущие соотношения, получим

м ~ i —:-'

M¿ П Ьг¿-2к^¿-2к+1 к=1

Х;+1 = -.+1_ . -, г > о. (48)

в'У П Ъ2¿-2 к+2 П ¿2¿-2 к+1

кк

В соотношении (48) раскроем произведения и для этого воспользуемся следующей формулой:

421 + 2,21 + 2 _ Ьк + 1,к + 1 _ ^ к = 21

- а21 + 1,21 + 1 (¿к, к к' '

которая, как уже сказано выше, подобна формуле (22). Тогда получим

Ъ21-2к+1,21-2к+1 <]'21-2к+2,21-2к+2 _ ¿-2ъ,2ъ ^¿-2 ^¿-2 к ^¿-2 k+l,2¿-2 к+1 ¿0 ,0

Ь2¿-2к¿2¿-2к+1 —

Ь2¿-2к+2^¿-2к+1 —

^¿-2 к+3^-2 к+3 ^¿+1^+1

к=1 к=^ ^¿-2k+l,2¿-2 к+1 Ь\д

поэтому перепишем соотношения (48) следующим образом:

¿о ,о Х0 — ¿о ,о X /.,пч 2г - —1-5 Хг+1 - „ ,,-• (49)

M¿«2¿,2¿ ^¿+1^+1

Теорема 2. Лочти периодическая бесконечная система (9) для коэффициентов (10) при условиях (46) имеет фундаментальное решение вида (49), где ¿о,о н X — произвольные константы, м является нулем характеристики Г(м), т. е. определяется из уравнения (38), а в'' — выражением (37).

Доказательство проведем, как доказательство теоремы 1, только для четного индекса ^ = 21, и воспользуемся выражением (42). Видим, что в него входят только коэффициенты азз+2р и а3,3+2Р+1- Распишем их согласно (46) и (27), (28), но в последних формулах заменяем

нечетность индекса 3 четностью:

рр

аз\з+2р+1 = ^¿+2р+1 = Ь'р<з,з Ь3+2к ¿¿+2к-1 = ЬРЬз+2р+1 ,з+2р+1,

к=0 к=1

р-1 р

а3,3+2р = <<з,з+2р = <'р¿-з,з Ъз+2к <3+2к-1 = <Р<3+2р,з+2р ■

кк

<о = 1, 3 = 21; (50)

Подставляя в систему (42) значение коэффициентов аз-1з-+2Р> а3,3+2Р+1 (50) и предполагаемое решение (49), получим

^ р1+р<1з+2р,з+2р ^ в /У+РЪз+2р+1,з+2р+1

<0 ,0 Х0

М1

Ых)--тг~

= 0. □

Теорема 3. Бесконечная система (3), (4) имеет фундаментальное решение следующего вида:

Х2г = —Г-, У2г+1 = -5 г > °> (51)

Мг02г,2г Мг«2г+1,2г+1

<0 ,0 X Ь1 д Уо . ,

Х2г+\ = —П-, У2i = —7-; г > 0, (52)

Мг<2г,2г МгЬ2г+1,2г+1

где Ьоо = 1, (¿оо и хо, ад — произвольные константы, у\ = 7,Жр ,

' ' 5 ,1

Уо = ^ ) А4 является нулем характеристики Р(р), т. е. определяется из уравнения (38), а в в'' — выражением (37).

Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 1, отметим, что бесконечная система (3), (4) эквивалентна бесконечной гауссовой системе (9), (10) при выполнении соответствующих условий (14) и (46).

Действительно, то, что любое решение соответствующей системы (3), (4) является решением системы (9), (10) при условии (14), показано выше, обратным рассуждением легко доказывается, что любое решение системы (3), (10) при условии (46) является решением соответствующей системы (3), (4). Таким образом, при обозначениях (11) из формул (41) с учетом (16) для г = 0 получим (51), при этом у\ = • Далее, при обозначениях (44) из формул (49) с учетом (16) для i = 0 имеем (52),

— dn О I—I

при этом уо = □

В принципе, можно аналогично убедиться, как и при доказательстве теорем 1, 2, что выражения (51) и (52) действительно являются решениями систем (3), (4), подставляя их непосредственно в эти системы.

Примеры приложения почти периодических бесконечных систем к решению прикладных задач математической физики приведены в работах автора [5,6].

ЛИТЕРАТУРА

1. Федоров Ф. М. К теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. I // Мат. заметки ЯГУ. 2007. Т. 14, вып. 2. С. 78-92.

2. Федоров Ф. М. К теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. II // Мат. заметки ЯГУ. 2008. Т. 15, вып. 1. С. 125-140.

3. Федоров Ф. М. К теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. III // Мат. заметки ЯГУ. 2008. Т. 15, вып. 2. С. 69-83.

4. Федоров Ф. М. К теории почти периодических бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. I // Мат. заметки ЯГУ. 2009. Т. 16, вып. 1. С. 100115.

5. Федоров Ф. М. Решение одной задачи с переменным направлением времени граничным методом // Мат. заметки ЯГУ. 1996. Т. 3, вып. 2. С. 62-71.

6. Федоров Ф. М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 2000.

7. Федоров Ф. М. Об аналитическом решении некоторых однородных бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) // Мат. заметки ЯГУ. 2006. Т 13, вып. 1. С. 142-152.

г. Якутск

24 апреля 2009 г.