К теории почти периодических бесконечных систем линейных алгебраических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.6:519.61

К ТЕОРИИ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Ф, М. Федоров

Кроме квазипериодических бесконечных систем, которые изучены в предыдущей статье в [1], существует еще один класс БСЛАУ, тесно связанный с периодическими системами. При решении граничным методом одной неклассической краевой задачи математической физики в работах [2,3] автором решена одна конкретная бесконечная система:

^ (4г)! ^ (4г + 3)! ~

^(4г + 4;?+3)! , ^(4г + 4;? + 4)!

(4г+1)! а4г+45+3 + (4г + 2)! а4<+4*'+4 "

¿ = 0,1,2,...,

«4 ¿+1 + ^^ «4 ¿+2 = 1,

¿=0 ¿=0

+ 2,7)! ^(4»+ 5)! _

^(4г + 4;? + 1)! , ^(4г + 4^ + 2)!

(4г+1)! а4г+45+1 + (4г + 2)! ~

^(4г + 4;? + 2)! ~ (4г + 4^+5)! ^-(40!-+ (4г + 3)! аи+»+5 ~

¿ = 1,2,...,

© 2009 Федоров Ф. М.

где а^ (к = 0,1,2,...) являются неизвестными коэффициентами разложения в степенной ряд искомого решения краевой задачи.

По аналогии с решением данной системы в работе [4] решена однородная бесконечная система с более общими коэффициентами но для определенных структур этих коэффициентов. Вместе с тем в свете последних работ автора [5-7] эти системы можно отнести к другому классу бесконечных систем, не периодических, но тем менее очень близких им. Поэтому в данной статье результаты работы [4] приводятся в соответствии с проблематикой работ [5-7].

Рассмотрим следующую однородную бесконечную систему, которая является обобщением вышеприведенной системы [4]:

ж

ж

г=0

г=0

ж

ж

У] а2¿+1,4;+4г+4У4?+4г+4 + ^^ а2,;+1,4,;+4г+3Уу+4г+3 — 0, (2)

г=0

г=0

ж

ж

У] а2з,4]+И+1 4г+1 + ^^ а2,;,4,;+4г+2Уу+4г+2 — 0, (3)

г=0

ж

ж

У] а2¿+1,4.7+4г+5Уу+4г+5 + ^^ а2,;+1,4,;+4г+2У4,;+4г+2 — 0, (4)

г=0

г=0

¿ = 0,1,2,..

Здесь числа уг являются неизвестными.

Системы (1) и (2) в развернутом виде можно представить так:

а ,о уо + а д + а ,8 У8 + а ,12 У12+... + а0 ,з Уз + а0 д У7 + ао ,п Уп+...=0,

^ду± + а,8У8 + ^Д2У12+ ...............+ ^дУ7 + аД1 Уп+...=о,

^,8У8 + ^Д2У12 + ............................. + а4Д1 У11 + ...=0,

^ ,4 У4 + ^ ,8 У8 + а! ,12 У12 + ^ ,16 У16 + ... + ^ ,3 УЗ + а Д У7 + ^ Д1 У11 + ...=0,

а ,8 Уъ + а Д2 У12 + а3 де У16+................+ аз д У7 + а3 Д1 Уп+...=0,

^ ,12 У12 + а5 Д6 У16+ ............................. + ^ Д1 У11 + ".=0,

А системы (3) и (4) представляются так:

а д У1 + а ,5 Уь + а ,8 Ув + а дз У13+... + а ,2 У2 + а0 ,е Уе + а до Ую+...=0,

а ,5 У5 + ^ ,э Уе + а2 дз У13+................+ а ,6 Уъ + а до Ую+...=0,

а ,8 Уе + а4 дз У13 +..............................+ а4 до Ую+...=0,

а,5У5 + а,9У8 + ^ДЗУ13 + ^Д7У17 + -. + а,2У2 + ^,6Уб + ^ДОУ1О + ".=0,

аз ,э У9 + а дз У13 + а Д7 Уп+ ...............+ а ,е Уе + а до Ую+...=0,

а дз ш + а Д7 У17+ ............................+ а до Ую+...=0,

Как нетрудно видеть, системы (1) и (2) составляют одну независимую систему, а системы (3) и (4) — вторую независимую систему, причем решения Уо, Уз, У4, Ут, У%, Ун,... являются решениями систем (1) и (2), а решения У\, У2, У5, Уе, Уэ, Ую,... — решениями систем (3) и (4).

Сначала решаем системы (1) и (2). По определению бесконечной системы все ряды в системах (1) и (2) должны быть сходящимися. Пусть все эти ряды абсолютно сходятся, тогда можем переставлять

местами члены в рядах. Каждое уравнение в системах (1) и (2) упорядочиваем по возрастанию индекса неизвестных y¿.

Затем из преобразованных систем (1) и (2) составим одну систему уже в гауссовой форме [1], беря по одному уравнению соответственно из (1) и (2) поочередно начиная с системы (1):

а ,о Уо + а ,з Уз + а ,4 У4 + а ,7 У7 + а,8+ а ,11 ш + • • • = О,

а,зУз + а,4У4 + а ,7У7 + ^,8У8 + ^,11 ш + ... = 0, а,4У4 + аУ7 + а,8У8 + а,11 ш + ... = 0,

(5)

а ,7 У7 + аз ,8 У8 + а3 Д1 ш + ... = о, а $ Уъ + а ,11 Ун + ... = 0,

Для того чтобы привести систему (5) к виду (2) работы [1], введем новый порядок индексирования членов уравнений бесконечных систем. Рассматривая дробную {г} и целую [г] части числа г, т. е. г = [г] + {г}, введем следующие обозначения:

Л(г) = 4г|1±^} + 2(2г+1)|1}, г = 0,1,.... (6)

Используя (с учетом выражения (6)) как индексы для неизвестных у^, введем обозначение = x¿. Тогда система (5) в краткой записи будет иметь вид (2) [1]. В соответствии с методом редукции в широком смысле понимания [6] систему (5) урезаем, причем ограничиваемся конечным числом п уравнений с п + 1 неизвестными, и, применяя приведенные выше обозначения, получаем

п—3

У^азМз+р)хз+р = аз,Кз) Ф °> 3 = ®,п-\. (7)

р=0

Решение конечной гауссовой системы вида (7) согласно работам [5-7] можем выписать в виде

Хг = -£„-¿£¿+1, г = 0, п — 1,

(8)

где

д _ аЗ,кЦ+1) + у^ )Р+1<1ЗМЗ+Р) ^ _ ап-1,к(п) ^

3 азМЛ РП1 С ' ап-1,к(п-1) р " азМЯ II ьп-з-к к= 1

В формуле (9) j меняется от 0 до п — 2. Поскольку, как видно из (6), выражение для к(з) существенно зависит от четности и нечетности точнее, в зависимости от четности и нечетности j одно из слагаемых в (6) исчезает, то сумму в выражении (9) сначала разбиваем по четным и нечетным значениям индекса р, при этом необходимо учесть четность или нечетность числа п — j. При разбивке сохраняем обозначение индекса р. Справедливы соотношения: если число т четное, т. е. т = 21, то I — 1 = [(т — 1 )/2] и I = [т/2]; если число т нечетное, т. е. т = 21+1, то I = [(т — 1 )/2] и I = [т/2]. С учетом этих соотношений выражение (9) выпишем в виде

а >-¿-1)/2] а аЗ,к(з+1) . а],кЦ+2р+1)

п ° азМз)

р р

Р=1 аЗ,КЯ П 2к-1) П ^п—¿—2к

кк

[(п-з)/2] а

- V -а^+2р) 1-. (ю)

р р-

р=1 азМз) П &п-з-(2к-1) П Зп-з-2к кк

Здесь [г] — целая часть числа г и для унификации обозначений условно

-

считаем, что П к = 1.

к

Учитывая теперь (6), выражение (10) можно записать следующим

образом:

а3,2з + 3

а3,2з

а3,2з' + 4р+3

Е -

р—\ аз,2з П 2к-1) П вп-з'-2 к

- Е

а3,2з'+4р

^п—3 — <

р—1 аз,2з П вп-3-( 2к-1) П вп-з'-2 к кк

.? = 21,

(П)

Е

р—1 аЗ,2з + 1 вп-з-2 к-1) П

-3-2 к

-

р=1

аЗ,2з'+4р + 1

Р Р-1

а3,2з + 1 П вп-з-( 2 к-1) П вп-з'-2 к кк

, ¿ = 2/+1-

Дальнейшее преобразование выражения (11) преследует цель выделить множители величины £п_з, зависящие толь ко от и другой множитель вп-3- в пределе п ^ то, те зависящий от j, как это сделано в работе [6]. Там цель достигнута введением специального вида коэффициентов а3'з+р:

Р-1

— V /

к=0 а^

где ао = 1, и для унификации обозначений принято П а3'+к = 1- Бес-

к=0

конечная гауссова система с такими коэффициентами названа периодической системой.

Здесь также попытаемся для коэффициентов а^к^+р ввести выражения, подобные (12), но с некоторым учетом соотношения (10) или (11). Очевидно, диагональные элементы бесконечной гауссовой системы (5) имеют вид а^ ц^, при этом допускаем, что а^ ц^ ф 0 для любого ^ В соответствии с (12) для коэффициентов а^к^+р положим

Р

аП,к(Я-р) = аКз+р)-2з аз,к(з)\\ ак{з+г

i=l

aj+i,k(j+i) /„х

ак(з+г) — -• (¡-д)

а3+— ,k(j+i-l)

-3-1

Формула (13) записана с учетом того, что коэффициенты а^ ц^ являются диагональными элементами бесконечной гауссовой системы (5), поэтому формула (13) по смыслу практически совпадает с формулой

р ар р

ар

образом: р = ^ +р) — ^ Поэтому вычисляем значение индекса к^ +р) в соответствии с формулой (6), при этом учитываем выражение (10):

( 4р, j = 21, 2р;

ки+р) = \ ^я*1,^ (14)

I 2j + 4р+3, j = 21, 2р+1; I 2j + 4р+ 2, ^2^1, 2р+1. Следовательно, в соответствии с вышесказанным для формулы (12) индекс г в первом коэффициенте а^ для правой части первой формулы (13) можно представить следующим образом: г = к^ + р) — 2j, т. е. индекс г будет функцией только индекса р.

Лемма 1. При выполнении первого равенства в соотношении (13) для коэффициентов а^^+р справедливо равенство

аз,Кз+р) и- /Лг\

- = (15)

а3+р,к(з+р)

Доказательство. Действительно, подставляя вторую формулу соотношения (13) в первую формулу того же соотношения, получим (15), но правая часть в выражении (15) не зависит от j, что и требовалось доказать.

Заметим, что в работе [6] за основу определения периодических систем принято соотношение типа (15).

Таким образом, на основании формулы (15) гауссову систему (5) формально можно отнести к периодическим системам и называть обобщенной периодической системой. Но между этими системами (периодической и предполагаемой обобщенной периодической) имеется существенная разница, которую увидим ниже, поэтому будем придерживаться другого названия этих систем.

р

Далее, раскроем произведение П ак,+г) в соотношении (13), при

i=l

этом индекс р в соответствии с выражением (10) будет принимать значения 2р и 2р+1. Следовательно, с учетом значения (14) индекса

получим следующие выражения для рассматриваемого произведения: рр

ак(]+г) = а2,+3 а2,+4 а2,+7 ■ ■ ■ а2,+4р = а2,+4к-1 а2,+4к, 3 = 2Ц

г=1 к=1

ак(]+г)= а2]+2 а2,+5 а2,+6 ■ ■ ■ а2,+4р+1 = а2,+4к+1 а2,+4к-2 , 3 = 2/+1;

г=1 к=1

2р+1 р+1 р

ак,+г) = а2,+3 а2,7+4 а2,+7 ■ ■ ■ а2,+4р+3 = а2,+4к-1 а2,+4к , 3 =

г=1 к=1 к=1

2р+1 р+1 р

ак,+г) = а2,+2 а2,+5 а2,+6 ■ ■ ■ а2,+4р+2 = а2,+4к-2 а2,+4к+1,

г=1 к=1 к=1

р

С учетом последних выражений для произведения П ак,+г) рас-

г=1

крываем соотношение (13):

а,,2,;+4р — а4ра, 2, I I ,+4ка2,+4к-1 , 3 — / к

рр

а],2]+<кр+2 = а4р+2а;/,2,;+1 а2,+4к-2 а2,+4к+1, 3 = ^ + 1)

кк р

а,7,2,;+4р+1 = а4р+1 а],2]+1 а2,+4к+1 а2¿+4к-2 , 3 = ^ + 1)

к

рр

а,,2,7+4р+3 = а4р+3О/,2, а2,+4к а2,+4к-1 , 3 = 2^ (16) кк

Здесь также для унификации обозначений было принято

о

а, к ■

к

Заметим, что вторая и четвертая формулы в (16) соответственно при р = 0 дают

= ®2®3,23+1 &23+2 , аз,2]+Ъ = а'Ъа'],2] ®23+3 •

Если для периодических систем все коэффициенты а^^^р имеют вид (12), то для системы (5), как видно из (16), коэффициенты системы разбиты на четыре независимые группы. Каждая группа состоит из коэффициентов вида (12), но с разными последовательностями (ар|, попарно не имеющими общих членов. Это обстоятельство в дальнейшем приведет к серьезному разногласию между данной системой (5) и периодическими системами.

В выражении (11) выносим за скобки множитель ^3+з при 3 = 21, а при 3 = 21 + 1 — множитель 023+2, тогда с учетом (16) соотношение (11) можно выписать так:

при 3 = 21, 02 3+2 пр И 3 = 21+ 1,

где

з'п_: = Е

ар

"и_з "О I / у р р

р=1 П к_1) П З'и_:_2к к=1 - к=1

"Е"-^-> «о = 1,^ = 2/, (18)

р 1 П вп-7-(2к-1) П Зи_:_2к к=1 к=1 3

ар

Р Р

Р=1 кП S'n_j^2к_1) ,П З'п_:_2к

" Е ---' «1 = 1, ^ = 21 + 1. (19)

р 1 П 5п-1-(2к-1) П Зи_:_2к к=1 ' к=1 3

а2

Таким образом, поставленная цель достигнута: выражения для s'n-j и s'^- явно не зависят от индекса j.

Пусть существуют пределы последовательностей s'n-j при j = 21 и s'- ПРИ j = + 1, не зависящие от j, т. е.

lim s'- = s' < lim s"- = s" <

n—j n—j

Весьма важно отметить, что в этом случае величина Sn-j не имеет

предела при n ^ поскольку в зависимости от четности и нечетности j

следует из выражения (17).

Поэтому бесконечные системы с коэффициентами вида, подобно-

Sn

называть почти периодическими системами.

Введем следующий параметр р, обозначая s's'' = р. Далее, в соответствии с соотношением (16) разбиваем последовательность {ар} на четыре подпоследовательности {а4р}, {а4р+1}, {а4р+2}, {а4р+з}> где p ^ 0. Предполагаем, что существуют степенные ряды с общим радиусом абсолютной сходимости R > 0, коэффициентами которых являются соответственно эти подпоследовательности. Следовательно, получим ряды

р=0 р р=0 р

ж ж

pp

(20)

где 0 < 77 < К.

Из (18) и (19) соответственно имеем

8, = Ж 8» = Щ. (21)

Ыр) Ыр)

Отсюда с учетом обозначения в V = р получим следующее характеристическое уравнение для определения параметра р:

Л(р)^(р) - р/2(р)^2(р) = 0. (22)

Если перейти от конечной системы (7) к бесконечной системе, то вместо (8) можем писать a^+i = — Sn-ixi. Полагая, что lim Sj = xi,

n—

из последнего соотношения и (17) имеем

Х2j = — lim Sn-2iXi+l = — «4i+зs'xi+i;

n—

X2i+1 = — lim Sn_(2i+1 )X2i+2 = — «4i+4 s" X2i+2 . n—

Следовательно, xi = «4г+з«4>¿+4s's ''x2¡4+1). Решая последнее рекуррентное уравнение, получим

хо _~xq_

x2i = --.- и x2i+1 = -—---. (23)

мг П «4 н«4 k-i Mis' П «4 h-i П «4 к

к= 1 к= 1 к= 1

Исходя из уравнения (22), составим функцию F(x):

F(x) = f (x)<£i(x) — xf2(x)^2(x), (24)

где функции fi(l/x), f2 (1 /x), ip\(\/x), ^{\/x) являются степенными рядами и имеют вид (20).

Подобно периодическим системам функцию F(x) (24) назовем характеристикой почти периодической системы (5).

Теорема 1. Почти периодическая система (5) с коэффициентами (16) имеет фундаментальное решение следующего вида:

«О,0 У0 «0,0 «ЗУЗ . п 1 о

Ун = —- и У4г+з = —-, г = 0,1,2,..., (25)

М «2i,4i М «4i+3 a2i,4i

где уо — произвольная константа, м является нулем характеристики F(x) (24), т. е. определяется из уравнения (22).

Доказательство. В первую очередь отметим, что бесконечная система (1), (2) эквивалентна бесконечной гауссовой системе (5). Действительно, то, что любое решение системы (1), (2) является решением системы (5), показано выше, обратным рассуждением можно легко доказать, что любое решение системы (5) является решением системы (1), (2).

В случае бесконечной системы (5) краткую запись (7) распишем в зависимости от четности и нечетности индекса р, при этом сохраняем обозначение индекса суммирования:

ж ж ж

7 = У] азМз+р)Х3+Р = X/ азМз+2р)хз+2р + У~] аз,к(з+2р+1)Хз+2р+1,

р=о р=о р=о (26)

а-зМз)^®' 3=0, оо.

Рассмотрим 7 (26) раздельно в зависимости от четности и нечетности индекса при этом раскрываем значение индекса &(з):

жж

J ='УJaj,2j+4px2^l+p)Jr'УJaj,2j+4p+Z)x2^l+p)+l, 3 = 2/, / = 0, оо; (27) рр

жж

7 = X/ аз',2з'+4р+1х2(!+р) + 1 + X/ аз,2з'+4р+2)х2(1+р+1); (28)

рр

= 2/ + 1, / = 0, оо.

Подставляя (23) с учетом (16) в выражение (27), имеем р

ж х0а4 раз^з

П а2з+4ка2¿+4к-1

7=У-^-

1+Р

р=0 р'+р П ^к-1

к=1

рр

ж х0а4р+3 а],2] П а2з+4й-1 П а2з+4к

_ V _—_—_ 7 = 21

¿-^ 1+р 1+р+1 ' 7

р=0 Рг+рв П а4к П а4л-1 к= 1 к=1

Но, очевидно, справедливы соотношения

р ¿+р

Л а4(1+к)-1 а4(1+к) = а4к-1 а4к,

к=1 к=1+1

р+1 ¿+р+1 р 1+р

П а4(1+к) - = П а4 к-' П а4(1+к) = а4к • к=1 к=1+1 к=1 к=1+1

Кроме того, верно равенство

I

аз,2з = «О,0 «4к-1 «4к-к=1

Действительно, рассмотрим произведение з з

= п

«г,к(г) а3,к{з)

аг-1 ,к(г-1) а0 ,к(0)

тогда

3

аз,Кз) = аз,2з = «о,0 ак(г) = «о,оа^а^а^ . .. Ьага2з-1 «2^ 1=1

[зт I

= «0,0 «4к-1 «4к = «0,0 «4к-1 «4к-кк

С учетом обозначений (20) после несложных преобразований в силу (22) получим

т - х°

I / М- в '

в ''в'Мм)

- Мм)

Х0

= ——г^(м!2(м)сР2(м) - к{м)¥1{м)) = 0, 3 = 21. М- в VI (м)

Следовательно, для четных 3 бесконечная система удовлетворяется. Исходя из (28), аналогично можно доказать и для нечетных 3.

Остается перейти от неизвестных хг к неизвестным уг по обозначению хг = ущу Поскольку х = —«зз'хх, учитывая значение произведений в выражении (23), приходим к соотношениям (25). □

УУ

/I

(21).

ствует следующая связь: уз = -р^, где в' определяется соотношением

Теперь решим систему (3) и (4). Для этих систем, поступая так же, как и для систем (1) и (2), получим следующую эквивалентную

гауссову бесконечную систему:

ао д У1 + а0 ,2 у2 + а0 ,5 У5 + О) ,6 Уб + О) ,8 У9 + О) до Ую + • • • = О, ^,2У2 + ^,5У5 + ^,6Уб + ^,8Ув + ^ДОУ10 + • • • = О, а2,5У5 + а2,6Уб + а2,9У9 + а2доУю + • • • = О, аз,6Уб + аз,9У9 + а3ДОУ10 + • • • = О, а , У а , У • • • ,

(29)

Краткая запись системы (29) имеет также вид (2) работы [1] с учетом индекса к(г), который подобно записи (6) выглядит так:

*(г) = 4г |1} + 2(2г+1) г = 0,1,.... (30)

В данном случае, очевидно, выражение (10) сохраняется. Тогда, как легко убедиться, с учетом значения индекса к(г) (30) в соотношении (11) строки поменяются местами при соответствующих значениях 3, т. е. имеет место выражение

5п_з= ( з <-з пРи-? = 21' (31)

I а2з+з «„-з при 3 = 21+ 1,

где «„-з и 5„-з определяются соответственно соотношениями (18) и

(19).

Сравнив выражения (6) и (30), убеждаемся, что значения этих индексов меняются местами в зависимости от четности и нечетности аргумента г. Следовательно, в соотношениях (14) и (16) соответствующие выражения поменяются местами в зависимости от четности и нечетности индекса 3, т. е.

3 = 21+1, 2р; 3 = 21, 2р; 3 = 21+1, 2р+1; 3 = 21, 2р+1,

к(з +р) =

Тогда

аз,2з+4р — (Нра,з,2з I I а2¿+4ка2¿+4к-1, 3 — 1

к

р+1 р

аз,2з+4р+2 = «4р+2аз,2]+1 «2з+4к-2 «2з+4к+1, 3 = 2Ц

кк р

аз,2з+4р+1 = а4р+1 аз,2з+1 «2з+4к+1 а2з+4к-2 , 3 = 2/;

к

рр

аз,2з+4р+3 = «4р+3аз\2з «2з+4к «2з+4к-1 , 3 = 2/ + 1- (32) кк

Поэтому, как и для системы (1), (2), с учетом соотношений (30) и (31) имеем

Х2г — — 1Ш1 5П_2гХг+1 = —^4^2 в''х2г+1!

п—

Х2г+1 = — Иш 5П-(2г+1 )Х2г+2 = — «4 г+5в'Х2г+2 -

п—

Следовательно, хг = «4г+2«4г+5в 'в''х(г+1)- Решая последнее рекуррентное уравнение, получим

хо —х0

Х2г = -Г- И Х2г+1 = -т-.

Мг П «4к-2 «4к+1 Мг в"«4г+2 П «4к— «4к+1

кк

Поскольку в силу (30) верны равенства з

а к- а к а а а а а . . . а к- а к

к

з

П«2з,к(2з) «2 зМт

акШ ~ - — -

«о,к(о) «од

формулы для Х2г и хг+1 с учетом (30) перепишутся следующим образом:

«од Хо —«од Хо

Х2г = —- И Ж2г+1 = ——-.

М «2г,4г+1 Мг в''«4г+2 «2г,4г+1

Теорема 2. Почти периодическая система (29) с коэффициентами

(32) имеет фундаментальное решение следующего вида:

«одУ1 «о,1 «2У2 . п п „

У4г+1 = —- И У4г+2 = —-, « = 0,1,2,..., (33)

М «2г,4г+1 М «4г+2«2г,4г+1

УМ

^(х) (24), т. е. определяется из уравнения (22).

Доказательство теоремы совершенно аналогично доказательству теоремы 1.

УУ

ствует следующая связь: у2 = -р^, где в" также определяется соотношением (21).

Замечание 3. Если учесть, что числа а2а2¿^¿+1 являются диагональными элементами соответствующих гауссовых систем, т. е. числа а2— диагональные элементы системы (5), а числа а2¿,«+1 — системы (29), то структура фундаментальных решений почти периодических систем (5) и (29) совпадает со структурой фундаментальных решений периодических систем (см., например, [1,(3)]).

Примеры приложения почти периодических бесконечных систем к решению прикладных задач математической физики приведены в работах автора [2,3].

ЛИТЕРАТУРА

1. Федоров Ф. М. О квазипериодических бесконечных системах линейных алгебраических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2009. Т. 16, вып. 1. С.92-99.

2. Федоров Ф. М. Граничный метод в задачах с переменным направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 1995. Т. 2, вып. 2. С. 52-60.

3. Федоров Ф. М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 2000.

4. Федоров Ф. М. Об аналитическом решении некоторых однородных бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2005. Т. 12, вып. 2. С. 101-108.

5. Федоров Ф. М. К теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. I // Мат. заметки ЯГУ. 2007. Т. 14, вып. 2. С. 78-92.

6. Федоров Ф. М. К теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. II // Мат. заметки ЯГУ. 2008. Т. 15, вып. 1. С. 125-140.

7. Федоров Ф. М. К теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. III // Мат. заметки ЯГУ. 2008. Т. 15, вып. 2. С. 69-83.

г. Якутск

9 декабря 2008 г.