CC BY
12УДК 512.6:519.61
ОБ ОБОБЩЕНИЯХ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Ф, М. Федоров
В монографии автора [1] обобщены работы по периодическим [24], а также по почти периодическим бесконечным системам [5,6]. На основе идеи работы [7], где для изучения почти периодических систем предлагаеся более общий подход, в данной статье дается обобщение почти периодических бесконечных систем.
В отличие от статьи [7] данная работа посвящена гауссовым системам, когда три первых уравнения системы с разностными индексами дают три разные функции /гХ, /2 (ж) и /з(х), составленные из коэффициентов первых трех уравнений как степенные ряды, а для остальных уравнений системы эти функции чередуются.
Рассмотрим следующую гауссову [1] систему с разностными индексами:
«)Ж + а\Х\ + Я2Ж2 + Я3Ж3 + 04X4 + 05X5 + ЯбЖ + ... = О, ЪоХ\+ Ъ\Х2 + &2Жз + 63X4 + + Ъ5щ + ... = О, СоЖ + + С2Ж + С3Х5 + С4Ж + ..^ о,
+ «1X4 + ^ж + азж + ..^ о, (1)
Ъ^хь + Ъхх5 + Ъ2щ + ... = О, с0х5 + сж + ... =
© 2011 Федоров Ф. М.
Систему (1) в краткой записи можно записать в виде
^ ^ ар]хз+р — 3 — 0,1, 2,..., р=0
(2)
где
ар, 3 = 31
аР,э = { Ьр, 3 = 31+1, р >0, ¡ = 0,1,2,... (3)
Ср, 3 = 31 + 2
Причем, не нарушая общности, в системе (2) или (3) всегда полагаем, что ао = = Со = 1.
В соответствии с методом редукции в широком смысле [1] систему (2) урезаем, причем ограничиваемся конечным числом п уравнений с п + 1 неизвестными:
и-]
ар
р
ар,]— 0, з — 0,1,2,..., п 1,
(4)
где а^ есть п-е приближение решения х^, при этом число уравнений все
п
Решение конечной гауссовой системы (4) известно [1] и его в рекуррентной форме можно выписать так:
хг — $и-гхг^1 ^ — 0,п ^
где с учетом (3), т. е. в нашем случае, Бп-] примет вид
3 = 31,
3 = 31 + 1,
(5)
а и + Е р {-1)р+1ар р-1 П к = 1 - 8' ■ 8и-]
5и— * Ъ и-] ± Е р (-1 )Р+Ч р-1 П к=1 8и-]
С и-] ^ Е р (-1 )Р+Ч р-1 ]_ _[ — у — к к 8и-]
II а, 4' = Ъг 8'{' = Сь 3
(6)
Поскольку, как видно из (6), выражение для Sn—j существенно зависит от кратности и некратности трем числа ], то суммы в выражении (6) разбиваем по кратным и некратным числу 3 значениям индекса р. При разбивке сохраняем обозначение индекса р, тогда получим
( —1 )р«з р+1
Е-
р=1 п ^ -'■>•- -'■>•-
к=1
— 1 )р+1 аз р+2
р
"п-7-(3к-2) чп-7-(3к-1) чп-7-3к
Е
рр
П чп-7-(3к-2) П <'-—3к-1) чп-7-3к
±-Н1!1Ч_-
р р-
р=1 П ч" ч''' П s'
П 'чп—7 — (2к-2) чп^-(2к-1) 11 sn-j-3к кк
р
Р=0 ^ чПП—7 — {3к-) ч'П-7-(3к-1) к
^_(~1)Р+1Ь3р+2
2.^1 р+1
р=0 п ч''' П ч' ч''
П sn—j — (3к-2) 11 чп—7—(3к-1) ,чП-7-3к кк
■±-(-1,Г+%- ,- , = « + !,
р р-
р=1 тт „'" „' п ч''
П к-2) к-1) 11 sn-j-3к
кк
_( —1)РС3р+1
V
Р=0 П ч' ■ ,„, „л.ч" ■ ,„, II п — 7 — (Зк—2) " "
'' '''
—'-(3к-2) ■чп-7-(3к-1) ,чП-7-3к
к
(-1)Р+1СЗр+2
Е
рр
^П^ -чп-7 — (3к-2) П ,чп-7-(3к-1) ,чп-7-3к
±---(7)
р ч' ч'' ч'''
П ■чп-7-(2к-2) ■чП-7-(2к-1) 11 ,чП-7-3к кк
чп-7
о
Здесь для унификации обозначений условно считаем, что П Sn_jk =
к=1
1, m — неопределенное целое число, но полагаем, что m ^ ж при n — j ^ ж.
Пусть существуют пределы последовательностей s'n_j при j = 3/, щ>м j = 3/ + 1 и s'n'_j щт j = 3/ + 2, не зависящие от j, т. е.
lim s'n-j = s' < ж; üm sn-j = s" < Ж üm sn-j = s'" < ж.
Отметим, что величина не имеет предел а при п —^ ^о, по™
скольку в зависимости от кратности и некратности индекса 3 числу 3 будут существовать разные пределы, что очевидным образом следует из выражений (6) и (7).
Введем параметр ы обозначая 1/в'в''з'" = ы Предполагаем, что существуют степенные ряды с общим радиусом абсолютной сходимости Е > 0, коэффициентами которых являются соответственно подпоследовательности р}, {а3р+1}, {а3р+2}, р}, {Ь3р+1}, р+2}, {с3р}, {сзр+1}, {с3р+2} где р ^ 0. Тогда получим следующие ряды:
оо оо
мр = ьЫ', Х^-1 мр = ыму,
рр
о о
]Т(-1) ра3 рЫр = /з(Ы; Е-1)р+1 мр = МмУ,
рр
оо оо
]Т(-1 )рь3р+2 Ыр = Ым); Е-1 )р^рЫр = ЫмУ (8)
рр
оо
Ыр = ФЛм)\ 1 Ыр = ^{мУ
рр
о
]Т(-1)рьЪрЫр = ФгЫУ где О < м < Е.
р
Из (7) с учетом (8) получим систему трех уравнений относительно
неизвестных s', s'', s''' с параметр ом ß
ЛЫ - МО") - </з(м) = О, ^1(m)--17^2(m)-s'V3(M) = 0, (9)
V-i(M) - fV>2(M) - «"Ч-зЫ = 0. Очевидно, решение системы (9) сводится к решению одного квадратного уравнения. Тогда, беря действительное решение (если оно существует) данного уравнения, находим решение системы (9) в виде s' = F±(ß, s'' = F2(p), s''' = ^з(^), где Fi - найденные функции. Следовательно, с учетом обозначения l/s's''s''' = ß получим следующее характеристическое уравнение для определения параметра ß
1- mFI(M)F2(M)F3(m) = 0. (10)
Замечание 1. Если в системе (1) коэффициенты только двух первых уравнений различаются, затем повторяются для остальных уравнений, то система (9) состоит из двух линейных уравнений, причем они независимы. В этом случае имеем
s = ttt = ^Hw; s =—ГТ = -р2Ы
и уравнение (10) выглядит так:
— ßfi(ßVi(ß) = 0.
Эти результаты и получены в [7]. □
Полагая, что lim xci = xi, из соотношений (5) и (6) находим
n—
хзi = — lim Sn-zix3i+i = -s'xi+i;
n—
x3i+l = — Üm Sn— (3 i+1 )x3 i+2 = —s"x3i+2 ,
n—
x3i+2 = — J™^ Sn —(3i+2)x3i+3 = —s"'x3(i+1).
Следовательно, xi = s's''s'''x3^+1). Решая данное рекуррентное уравнение, получим
, г (-l)i+lxQ^ (-IYxqH* x2i = (-1) X0M , x3i+l = -J,-, x3i+2 = -Jjy,-, (11)
x
Теорема 1 Выражения (11) являются решениями бесконечной системы (1), где л = ¡ли — корни уравнения (10).
Доказательство. Система (1) в краткой записи, в зависимости от четности и нечетноти 3, запишется так:
ж
Е = о, з = з/,
р=0 ж
v ар^х^+р = < е ьрхз+р = 3 = 31+ í, (12)
р
р
Е СрХ^р = 0, 3 = 3/ + 2,
р
где 3 = 0,1, 2,....
Не нарушая общности, доказательство теоремы проведем для пер-
3
ж ж ж ж
53 арх^р = 53 аз рХ г+зр + 53 аз р+1Х г+зр+1 + 53 аз р+2 Х ^зр+2 р р р р
ж ж ж
= Е(-1)г+Р«ЗрМг+^о + - 5>1)г+г)+1а3г)+1Мг+%0 + — ]Г(-1)г+*>
в' ^ ' в'в''
р р р
1+р (~1)'+Ух0
X а3р+2М = -;-
ЛМ - ^7/2 М - «7зЫ
.
Аналогично доказывается удовлетворение второй и третьей системы в (12). □
Замечание 2. Выражения (11) являются решениями бесконечной системы (1) для каждого корня уравнения (10) независимо от его кратности.
Пусть задается последовательность чисел а^^ таких, что а^ ф 0 для любого 3. Составим го этих чисел и из коэффициентов ар Ьр и ср системы (1) систему коэффициентов следующим образом:
араз+р,з+р, 3 = З1, 1 — 0Д,..., р = 0Д,..., а-з,з+р = ^ Ьра^р^+р, 3 = 3/+ 1, / = 0,1,..., р = 0,1,..., (13) сра^р^+р, 3 = Ы + 2, / = ОД,..., р = ОД,----
Построим из коэффициентов (13) гауссову однородную бесконечную систему, краткая запись которой имеет вид
Х^р — о? 3 —
р=0
____ ^
Ху+р= I Е Ъраз+р,з+рХз+р = 0, 3 = 31+ 1, (14)
р
р
сра^р^-\-рХ^р — 3 — 31 + 2?
р
где 3 = 0,1, 2,...
Ясно что, бесконечная система (14) является почти периодической бесконечной системой.
Без труда доказывается следующая
Теорема 2. Решения бесконечной системы с разностными индексами (1) и системы (14) с одним и тем же характеристиким уравнением (10) изоморфны.
Следствие. Выражения вида
х?л = -, а;3г+1 = —;-, х?Л+1 = —гт,-• (15)
а3г,3г в аЗг+1,Зг+1 в в аЗг+2,Зг+2
являются решениями бесконечной системы (14), где ц = — корни характеристического уравнения (10).
Замечание 2'. Выражения (15) являются решениями бесконечной системы (14) для каждого корня уравнения (10) независимо от его кратности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Федоров Ф. М. Периодические бесконечные системы линейных алгебраических уравнений. Новосибирск: Наука, 2009.
2. Федоров Ф. М. К теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. I // Мат. заметки ЯГУ. 2007. Т. 14, вып. 2. С. 78-92.
3. Федоров Ф. М. К теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. II // Мат. заметки ЯГУ. 2008. Т. 15, вып. 1. С. 125-140.
4. Федоров Ф. М. К теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. III // Мат. заметки ЯГУ. 2008. Т. 15, вып. 2. С. 69-83.
5. Федоров Ф. М. К теории почти периодических бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2009. Т. 16, вып. 1. С. 100^ 115.
6. Федоров Ф. М. К теории почти периодических бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. II // Мат. заметки ЯГУ. 2009. Т. 16, вып. 2. С. 131^ 145.
7. Федоров Ф. М. О почти периодических бесконечных системах линейных алгебраических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, вып. 2. С. 118^124.
г. Якутск
11 октября 2010 г.
