CC BY
9УДК 512.6:519.61
ОБ АНАЛИТИЧЕСКОМ РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ ОДНОРОДНЫХ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (БСЛАУ)
Ф, М. Федоров
Если квадратная матрица порядка п > 1 углового мииора определителя бесконечной системы линейных алгебраических уравнений имеет треугольную форму, причем элементы главной диагонали не равны нулю, т. е. а^- ф 0, 3 = 0,1, 2,..., то будем говорить, что такая БСЛАУ задана в гауссовой форме [1]:
Как показано в работе [1], некоторые специальные бесконечные системы приводятся к гауссовой форме (1) введением нового порядка индексирования. В данной статье, в отличие от упомянутой работы [1], некоторые бесконечные системы приводятся к гауссовой форме (1) введением соответствующим образом весовых множителей, и подход, предложенный в [1], обобщается на этот случай.
Для этого рассмотрим следующую БСЛАУ:
^ ] ао,о+рх]+р — 0, ац Ф 0, 3 — 0,1,2,... р=0
(1)
У"! ^>3,3+2р^+2р + ^ 4^+2р+1%+2г>+1 - 0, 3 — 1, 00, (2)
р
р
р
р
© 2006 Федоров Ф. М.
с двумя бесконечными последовательностями неизвестных соответственно {Хг} И {уг} {г = 1,00).
Нетрудно видеть, что, введя в выражениях (2) и (3) соответствующим образом коэффициенты 2((р + 1)/2 — [(р + 1)/2]) = 2{(р + 1)/2} и 2(р/2 — [р/2]) = {р/2}, которые равны 0 или 1 в зависимости от четности и нечетности р (здесь, [я] и {г} соответственно целая и дробная части я), соотношения (2) и (3) можно переписать в виде
^ (2 { } + 2 { 2 } =
(2 { 2 I Ь^+РхЗ+Р + 2 { } йз,з+рУз+Р^ = °> (5)
р=0 Е
р=о
где .7 = 1,00.
Используя для нечетных . уравнение из системы (2), а для четных уравнение из (3), имеем систему уравнений относительно неизвестных ДРУГУЮ независимую систему для неизвестных Х2, Х4, хе,..., у., уз, У5,... получаем, если для нечетных . взять уравнение из системы (3), а для четных . уравнение из системы (2). Таким образом, если умножить систему (2) на коэффициент 2{. + 1)/2}, систему (3) — на 2 {./2}, то приходим к следующей системе:
Е 4 { } ({ } Ьз,З+РхЗ+Р + {|} аЗ,З+РУЗ+Р^ = °> 3 = 17оо, ^ (6) Е4^}^!} Ь3'3+РхЭ+Р + { ^Г } йз,з+рУз+Р^ = °> 3 = 1, оо- (7)
Сложив системы (6) и (7), получим в единой записи бесконечную систему относительно неизвестных х2,х±,хъ,... ,у\,уз,уь,... уже в гауссовой форме (1):
Е аз,з+рхз+р = °> 3 = 1, 00, (8)
р
где
а3,3+р ~ Ь3,3+ра3,р + Рз,р, (9)
Х2г = х2г, Х2г-1=У2г-1, ¿=1,00, (10)
аЗ,Р = 4
(Ш^ЬКНи).
т.р — 4
2
Из соотношений (11), (12) видно, что в зависимости от четности и нечетности чисел у и р получим всего по четыре значения для каждого а^.р и pj.pi
С2з,2р= 1, а2,;,2р+1 = 0, а2з'+1,2р = 0, а2з'+1,2р+1 = 1;
(13)
Р^,1р= 0, P2j,2p+l = 1, Р2з'+1,2р = 1; Р2з'+1,2р+1 = 0.
Теперь в (8) ограничимся конечным числом п — 1 уравнений с п неизвестными:
п —
аз,з+рХз+р = 0' азз Ф = 1, п - 1. (14)
р
Решение конечной системы вида (14) известно [2-4]:
Хг = -вп-гХг+х, г = О, П-1, (15)
где
С _ аз,з+1 I а3,3+р
_ т-г
р_2 а^'П Sn-j-k (16)
Г, ап — 1,п . 75-
¿>1 = -, 3 = 2,п.
ап—1 ,п — 1
Поскольку, как видно из (13), выражение (9) существенно зависит от четности и нечетности 3, точнее в зависимости от четности и
.р
сначала выпишем в виде
[(п-]-1)/2]
Е
а
■3,3+2р+1
рр Р=1 а3,3 П &п-з-(2к-1) П ^«-¿-2к
к=1
— Е
к
а.М+2р
р р-
Р=1 П ^п-]-2к-1) П вп-э-2к
кк
.
Учитывая теперь (13), выражение (17) запишем следующим образом:
Е
7
р—1 Ь3,3 П ^п-з- 2к-1) П к
—
. = 21,
^п-] — <
Р_1 3 П Бп-э-{ 2к-1) П — к к = 1 к=1
(18)
Е
р—1 3 П 2к-1) П к
—
. = 21+1.
^^ П 2к-1) П к кк
Системы вида (1) с коэффициентами ац+р специального вида:
а3,3+р
р-
= ар V.,
(19)
П
к
изучены в работах [2-4]. При этом решение системы (1) сводится к исследованию сходимости последовательности
= аь в« = а
Е
р- а
—
р-р
к
п = 2, оо.
(20)
вп—к
к = 1
п-з
з-
з,з
3,3+2р + 1
к
р
Заметим, что если коэффициенты a,j+k выбрать соответствующим об-
p-i _
разом, например, такими, как ajj Yl aj+k = aj+pj+p, то, очевидно,
k=0
(19) будет иметь вид
= ар Vj. (21)
aj+p,j+p
На самом деле записи (19) и (21) эквивалентны. Действительно, с одной стороны, если предположить возможность записи (19) в более общем виде, т. е. ajj+p = ap/(j+_p), где /(k) — неизвестная функция от одного индекса k,то с учетом ao = 1 получим ajj = /О) или aj+pj+p = /О + р)- Следовательно, /О + p) = aj+pj+p. С другой стороны, ак можно построить следующим образом. Сначала положим ao = ai д, а для последующих коэффициентов можно взять ak = ak+i,k+i/akjk, k > 0. Отсюда
j- jak = a0 J^(ak+i,k+i/a^k) = ajj. kk
Значит, имеем следующую цепочку равенств:
j p- j- j p- p-
aj+p,j+p= П ak = ПП ak= aj,j П aj^~k, k=0 k=0 k=j k=0
что и требовалось. Таким образом, предположения записей
p-
aj,j+P = aPaj,j J^J aj+k, aj,j+p = apaj+p,j+p k
являются эквивалентными допущениями.
Поведение последовательности (20) рассмотрено в [5,6]. В работах [2-4] получены решения системы (1) с коэффициентами (21) в зависимости от поведения предела lim Sn = S*, точнее, при S* ф 0 < ж.
n—
В данной работе так же, как и в работе [1], рассмотрен случай, когда подпоследовательности {Sn} и {Sn} последовательности |Sn}, причем {Sn} П (Sn'} = 0 и {Sn} U {Sn} = {Sn}, имеют разные пределы, т. е. последовательность {Sn} не имеет предела.
Предположим теперь, что не коэффициенты а^^+р, а соответствующие им коэффициенты и имеют вид (19), т. е.
р-1 р
ЪЭ,Э+2р = ЪрЪЭ,эП ¿Э+Ы П ЪЭ+2к-1,
к=0 к=1 рр
Ъ
Э,Э+2р+1 - ЪраЭ,Э
= Ъ'рАЭэ\\ ЪЭ+2к П 4
Э+2к-1, Ъ0
Ъ
кк р- р
¿Э,Э+2р = ЪЭ+2к ^ ¿Э+2к —1,
кк рр
э,э+2р+1 = ¿ръэ,э\\ ^э+2к ^ Ьэ+2к-1 V?; ¿'0 = 1, кк
(22)
где для унификации обозначений условно принято, что произведения
-
П ) П равны единице.
кк
С учетом (22) выражение (18) примет вид
Г 2 ЛР П ¿3 + 2»= П Ь3 + 2»=-1 ^ + ^ —-—--
р=1 П — 2к-1) П ^-3-2 к к = 1 к = 1
Р-1 Р
[■^Т2] ЬР П ¿3 + 2»= П Ьз + 2»=-1
- Е -И552--= ^ = 2/,
^ П «п-з-2 к-» П ^-3-2 к к = 1 к = 1
¡1^1] Ь'р п 63+2»= П
ъ'оЬ, + Е ~ 2 т
р=1 Л вп-з-{ 2к-1) П к
к = 1 к = 1
Р-Р
[т2] ¿р П Б3 + 2к П ¿3 + 2к-1
- Е -5=2-^-= ЪпБ" ,., ^ = 21 + 1.
/_/ р р-1 Э п—э' ^
р=^ П 2к-1) П &п—э-2 к
к = 1 к=1
(23)
Отсюда очевидным образом следует
s'n-j ~ dQ + Е Р
pp
p=1 П Sn'-j—2k-l) П S'n-j-2k kk
,
"Е---• 3 = 4 (М)
p 1 П Sn'-j-(2k-l) П S'n-j-2k k n-j- k- k n-j- k
l 2 J у
$п-3 = Ь'о+ Е -£
pp
p=1 П Sn-j-2k-i) П Sn'-j^k kk
d'
-Е—-Vr^-> J = (25)
p Sn j k Sn -j- k
kk
Заметим, что последовательности (24) и (25) имеют такую же структуру, как и последовательность (20), сходимость которой изучена в [5,6].
Пусть существуют пределы последовательностей S'n-j при j = 2/ и S',n-j ^и j = 2/ + 1, те зависящие от j, т. е.
lim S'- = S' ф 0 < ж Hm S^^ = S'' ф 0 < ж.
n—ю j n—Ю j
Введем следующие обозначения: S'S '' = ц;
°° Л ОО т
цр цр
pp
О Ь' О dP
pp
Тогда из (24) и (25) соответственно имеем
(26)
S'=IM S" = tМ (27)
h{N Ым)
Отсюда с учетом обозначения S'S'' = ^ получим следующее характеристическое уравнение для определения параметра
ЛЫ^Ы - f ЫЫм) = 0. (28)
Если перейти от конечной системы (14) к бесконечной системе, то
n n n
вместо (15) можем написать Xi+i = — Sn-iXi. Полагая, что lim Xi =
n—
Xi
Xi = — lim Sn-2iXi+i = —d-2iS' Xi+i!
n—
X2i+1 = — lim Sn_(2i+1 )X2i+2 = — ^2i+l S''X2i+2 •
Следовательно, Xi = S'S ''X(4+1) • Решая последнее рекуррент-
ное уравнение и учитывая предыдущие соотношения, получим
^ —d2iS'Xl v _ X1 2г - -—---, Л2г+1 - -—---.
Mi П ^2i-2fc+1 i-2fc+2 Mi П ^2i— fc+1 ^2i^fc+2
fc=l fc=l
Отсюда, переходя к неизвестным yi5 имеем
—d2iS'yi
X2i — : 1 ^ — 1, Z, О, . . . ,
Mi П ^2i-2fc+1 ^2i-2 fc+2 fc=l
y
У2г-1 = -—[-, г = 2, 3,4,
(29)
Mi 1 П b2i-2 fc-1 ¿2i-2
fc
fc=l
где — произвольная константа, ^ определяется из уравнения (28), а Б' — выражением (27).
Подставляя (29) в систему (6) и (7), с учетом (22), (26)-(28) убеждаемся в удовлетворении систем (6), (7) и, таким образом, приходим к следующей теореме.
Теорема 1. Система (6) и (7) для коэффициентов (22) имеет решение (29).
Как указано выше, если умножить систему (2) на коэффициент 2(^/2}, систему (3) на 2{(. + 1)/2}, а затем их сложить, то получим другую систему в единой записи относительно неизвестных , жз, ,..., У2, У4, Уе, • • •, ВИД которой такой же, как и у системы (8), (9). Но в данном случае
X¿ = Ж2г-1; X¿-1 = У2¿; ¿ = 1, 2,3, • • • , (30)
И
'л гр+1] , + 1
73,Р — 4
—(Шш
2
■Л Г Р1 , [ 7 + 11 [р
2/
(31)
здесь {г} — дробная часть г.
Очевидно, из соотношений (31) следует, что
а2],2р = 0, ^2э,2р+1 = 1, &2]+1,2р = 1; &2]+1,2р+1 = 0; Р2],2р = ^ р2 ¿,2р+1 = 0; Р2э+1,2р = 0; Р2э+1,2р+1 = !•
(32)
Поступая, как и для предыдущей системы при коэффициентах (22), с учетом (9) и (32) получаем вместо соотношений (23) следующее:
ЬБП- при з = 21,
Бп-э = _ э (33)
I ¿э БП- пр и .7 = 2/ + 1,
где БП-э- и БП- определяются соответственно выражениями (24) и (25). Исходя из (15) с учетом (33) далее можем писать
X¿ = — Ь2¿Б''X¿+1! X¿+1 = — ¿2¿+1 в 'X¿+2 •
Следовательно, Xг-1 = ¿2Ъ2¿Б'в''Xг+\• Решая последнее рекуррентное уравнение, учитывая предыдущие соотношения, получим
^ X ^ — Ь2 ¿Б''Х
Л-2г+1 — -:-1 -Л. 2». — -:-•
П ¿2¿-2й+1Ъ2¿-2к+2 П ¿2¿-2^2¿-к+2
й=1 й=1
Отсюда, переходя к неизвестным xi, yi, имеем
Mi П ^2i-1 k+1 b2i^k+2
fc=i (34) y
V2i = -—[-, г = 2,3,4,...,
¡Л1-1 П d2i-2k-l~b2i-2k k=l
где y2 — произвольная константа, ^ определяется из уравнения (28), а S
Подставляя (34) в систему (8), (9), (30) и (31), с учетом (22), (26)-
(28) убеждаемся в удовлетворении системы (8) и, таким образом, приходим к следующей теореме.
Теорема 2. Система (8), (9), (30) и (31) для коэффициентов (22) имеет решение (34).
Таким образом, решением системы (2) и (3) являются выражения
(29) и (34).
Конкретные примеры применения данного подхода при решении некоторых прикладных задач математической физики рассмотрены в работах [2,7].
ЛИТЕРАТУРА
1. Федоров Ф. М. Об аналитическом решении некоторых однородных бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2005. Т. 12, вып. 2. С. 101-108.
2. Федоров Ф. М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 2000.
3. Федоров Ф. М., Осипова Т. Л. О решении бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11, вып. 2. С. 89-87.
4. Федоров Ф. М., Осипова, Т. Л. О решении неоднородных бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2005. Т. 12, вып. 1. С. 106-115.
5. Федоров Ф. М. О новом подходе изучения вещественных корней полиномиального уравнения // Мат. заметки ЯГУ. 2003. Т. 10, вып. 1. С. 105-113.
6. Федоров Ф. М., Абрамова М. Е. О решении алгебраических уравнений бесконечной степени обобщенным методом Бернулли // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11, вып. 2. С. 80-88.
7. Федоров Ф. М. Решение одной задачи с переменным направлением времени граничным методом // Мат. заметки ЯГУ. 1996. Т. 3, вып. 2. С. 62-71.
г. Якутск
10 января 2006 г.
