О параллельных поверхностях Fk в en Текст научной статьи по специальности «Математика»

2тг

где Х(г) — комплексная функция в области Б, определяемая равенством (16); 1 — X + /у .

Так как |лМ|>|5(2)| для всех г €= дБ, то по теореме Руше [3] функции лО) и имеют один и тот же индекс в области Б. Поэтому для индекса п= »А(г), имеем:

/йЛ(г) = тйф) = Аю = Дж = Аю(-2<р) = -2.

¿71 271 271

Итак, индекс п краевой задачи А есть отрицательное число.

5. Доказательство теоремы

Пусть поверхности Е2 с краем дЕ2 подвергнута бесконечно малой Е40-деформации и переведена в поверхность I'} . В силу условия К > кп > 0. к,)=сопх1. указанная деформация описывается системой уравнений эллиптического типа. Тогда бесконечно малые £40-деформации поверхности Е2 с краевым условием (2) описываются решением краевой задачи А.

Так как индекс п краевой задачи А отрицателен и о(/) >0, то краевая задача А не имеет никаких решений [4]. Следовательно, поверхность Е2 не допускает бесконечно малых (даже тривиальных) Е40-деформаций. Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей. М.-Л.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1948. Т. 2.

2. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959.

3. Шабат Б.А. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1969.

4. Фоменко В.Т. Исследование решений основных уравнений теории поверхности. М.: ДАН СССР, 1962. Т. 144. Вып. 2. С. 286-288.

В.Т. Фоменко О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ В В Е

Хорошо известны свойства параллельных поверхностей трехмерного евклидова пространства Е3, [1]. Цель настоящей работы обобщить понятие параллельных поверхностей на к -мерные поверхности рк в п -мерном евклидовом пространстве Еп , найти условия их существования и изучить некоторые их свойства.

п. 1. Будем считать, что поверхность рк в Еп задана векторным уравнением

г -г

\

и , и

и , и

еД

(1)

Рк

где г ес3, О-к -мерный диск арифметического пространства Ак • Будем считать, что на выбрано регулярное класса С2 поле единичных нормальных к рк векторов

I1, и2,

.к , не имеющее на рк особых точек.

1

1

к

к

и

и

П = /7

Определение 1. Отображение поверхности рк в Еп в поверхность р по формуле

г =r+hn, (2)

где h=hI и . ¡г..... /./' - заданная функция класса С2 в области 1) , будем назьшать нор-

мальным отображением, порожденным полем п .

Определение 2. Поверхность рк, заданную уравнением (2) будем называть эквидистантой поверхности рк, порожденной полем п если h = const.

Определение 3. Поверхность рк, порожденную полем п по формуле (2) будем называть параллельной поверхности рк, если в соответствующих точках касательные плоскости поверхностей рк и рк параллельны в Еп.

Известно [2], что в рп всякая эквидистанта р" гиперповерхности р" 1 параллельна поверхности /?" 1 и наоборот. Ниже будет показано, что это свойство нарушается, если коразмерность поверхности рк удовлетворяет условию п — к> 1.

п.2. Рассмотрим сначала случай кривых в р", полагая для /."'• размерность к = 1. Выясним,

-

при каких условиях, налагаемых на поле единичных нормальных векторов п вдоль р , эквидистантные кривые р1 являются параллельными кривой р1. Имеет место следующая

Теорема 1. Для всякой кривой р1 класса C3 в Еп, заданной на р1 точки М0 и заданного

О

в точке М0 единичного нормального вектора п существует единственное регулярное поле единичных нормальных векторов п вдоль р1, удовлетворяющее условиям:

1) п = п;

'Мо

2) векторное поле п порождает эквидистантные кривые р, параллельные кривой р1. Доказательство. Зададим кривую Р1 в рп уравнением от натурального параметра в виде:

F = F<>6J, где J - некоторый числовой интервал. Выберем вдоль р1 регулярное поле класса

С2 ортонормированных реперов ^ , принадлежащих нормальным плоскостям. Известно,

что для р1 имеют место формулы Френе (далее индексы /. /. /....- 1. к: а. т. /,.... - к +1. и: используется обозначение суммирования по А. Эйнштейну):

<Л -, _ т _

с1з 1Пт ' (3)

Л — 1 т — о-

— па.=ка.пт, сг = 2,и ;

аз

ёт

дистанту р , заданную уравнением (2), где поле единичных векторов п определено по формуле

где t — —, к^ — —к" — кривизны кривой /< ' в репере ^ 2 . Рассмотрим экви-

ds

п = V п

(4)

В силу формул (3) имеет место соотношение

ёг

= г + И

па + уст Ц Г + к1 пх

= 1

Г ёут

к!ус

Отсюда следует, что эквидистанта р параллельна кривой р тогда и только тогда, когда

£¿5 °

(5)

Пусть точке М0 , М{] е /* ', соответствует значение параметра .V = л0. л0 е. /. Присоединим к системе уравнений (5) начальные условия в точке М0, положив

- V

° (3 = 2, п.

(6)

_ тц

где V - координаты вектора П в репере % ¡£г ^

Задача (5), (6) есть задача Коши относительно искомых функций V . Эта задача всегда имеет единственное решение, которое мы обозначим через

(7)

Решение (7) порождает вдоль кривой векторное поле N = Уа(л )/7а .

о

В силу выбора начальных условий (6) и выбора вектора п вектор N в точке М0 является единичным. Покажем, что вектор N является единичным для любого значения я, я е 3. С этой

ё--

целью подсчитываем выражение — (N, N). Имеем

а

к+1

+ 2у

к+2

„ п ¿Vй „ Л т/ ,т

- + ... + 2у — = 2 Уути> =

Л-

= =-2Х

п

Здесь учтено, что к* = —к" . Это означает, что длина вектора N постоянна вдоль /*' . Так

как в точке М0 вектор N единичный, то вдоль р1 поле N есть поле единичных векторов. Это

поле порождает эквидистанты Р1, параллельные кривой р1.

Так как по условию теоремы нп е С2, то в силу формул Френе к^ е С1 и потому решение

задачи (5), (6) принадлежит классу C2 . Это означает, что векторное поле п , определяемое формулой (4) принадлежит классу C2 . Теорема доказана.

Покажем теперь, что всякая кривая р1, порожденная полем п и параллельная кривой р1,

является эквидистантой для р1. Имеет место

Теорема 1 . Пусть р1 - кривая в Eп , определенная уравнением (2), где п - заданное поле

единичных векторов. Тогда, если кривая р1 параллельна кривой /•''. то h = const и потому /*' является эквидистантой кривой р1, порожденной векторным полем п .

Доказательство. Подсчитываем Fs'; имеем = fs + h's П + hn's , где П - вектор, ортогональный вектором и Yl's . Так как вектор коллинеарен вектору Г^, то отсюда следует, что h's = О , т.е. h = const. Теорема доказана.

п.3. Об одном свойстве нормального отображения. Докажем следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть рк - поверхность в Еп, определяемая уравнением (2), где п - заданное векторное поле, | п | = 1. Тогда, если поверхность рк параллельна поверхности /<"'•. то h = const, и потому рк является эквидистантой поверхности рк, порожденной векторным полем п .

Доказательство. Используя формулы Вейнгартена, подсчитаем вектор f = . Имеем

ди'

п _ v' Tin, ^ ^ = 1. Тогда находим

<7

Ц = п + h,i п + h ( bcikg^rg + ГZinT V? +h v,f = = ri+hvC7{ b(TikgMr£ ^¡-nT{ v(JYT(Ti + h v,J +vh,j ^

где аЛ - коэффициенты второй квадратичной формы поверхности рк относи-

в/у

тельно нормального вектора ' — коэффициенты нормальной связности поверхности /•"'';

~ •Г] ^ |р II-1рИ1 '

Так как поверхность рк параллельна поверхности рк, то имеем

В силу косой симметрии rj,. = — Г", отсюда следует, что

^ = const

вдоль Fk. В самом деле, имеем

V т 2

т,сг

Это означает, что ^ 2 = const. С другой стороны имеем У (¡Vх J = h2 ^ J= /г2 . Следовательно, /г = const. Теорема доказана.

1 / X "2 7 2

т т

п.4. Условие существования параллельных для рк поверхностей в Еп. Имеет место следующая

Теорема 3. Пусть рк - односвязная к — мерная 4 >2 поверхность класса С3 в 1С", /7 > 3. с плоской нормальной связностью. Тогда и только тогда для любой фиксированной точки М0, М0 е , и любого заданного в нормальной плоскости в точке М () ортонормиро-

1п

существует вдоль Рк единственное поле ортонормированных

ст=к+\

реперов

Па

, нормальных к Fk , такое, что л^п г

а=к+1 I J <5=к+\

Mr

— \ п о г и ка-

I >а=к+1

ждое векторное поле

по, а-к + \,п.

порождает эквидистантные поверхности р , параллельные поверхности рк.

Доказательство. Необходимость. Пусть поверхность рк имеет плоскую нормальную связность. Тогда тензор кривизны К^, стт нормальной связности поверхности /' * тождественно равен нулю, то есть с у 1 + Г,т 11 п = 0. Подсчитаем /) . используя формулу (2). Имеем

П =r, +hv° wa +hv °^baijgjkrk где n=vana

r, = r, +h v,, n„ +hv \b„iigJ rt+i„,wT , где n=v n„ - искомое векторное поле, h = const, n^ 3- некоторое нормальное оснащение /•"'' . Эквидистантная поверхность Fk ,

порождаемая векторным полем п по формуле (2), параллельна поверхности рк тогда и только

тогда, когда 34

п

п

у,;+г;>а=о, х~к+\,п

(8)

где Г^г = -Г°. . Покажем, что система (8) является вполне интегрируемой относительно ис-

комых функций V , т = к +1 , П . С этой целью покажем, что . Имеем

] _

И.О.

Зададим в точке М0 ортонормированный репер \ п

ортогональный к р . Не на-

рушая в общности, будем считать, что каждый вектор п . определяется в репере ^на-

ып

бором чисел (0,0,.., 1,.., 0), где единица стоит на месте с номером Л при условии, что счет координат ведется от (к +1) до П . Присоединим к системе (8) начальные условия

фиксировано.

(9)

Мп

Тогда задача Коши (8), (9) имеет всегда единственное решение, которое мы обозначим через

X Х^ 1 2 к М 1 2 к _ п /1/лч

% ,и и % ,и ,...,и (10)

v = v v и

с:

Покажем, что решение (10) удовлетворяет условию ^ силу (8) имеем

/ * Л2 . т

т у

е1В]}.В

самом деле, в

ч2Л

v

•V

п

Это означает, что ^ I v J = const. В силу (9) отсюда находим ^ I V

= 1. Это

озна-

чает, что для фиксированного Л существует единственное поле единичных векторов У1 ^ , которое порождает эквидистантные поверхности р . Полагая Я = к +1 , затем Х = к + 2 , и так

далее до Х = п, находим Fk поле реперов < п > , п . = v ап , обладающее свойствами:

1\=k+1

W

1) %

1Х=к+1

Mn

1Х=к+1

2) каждое поле вдоль /' * порождает эквидистантные поверхности , параллельные

поверхности Fk . Покажем теперь, что построенное поле реперов

П

является полем ор-

IХ=к+1

тонормированных реперов нормального оснащения рк. Для этого достаточно убедиться, что = 0 вдоль /' * при ст Ф т. С этой целью подсчитаем выражение

f * *

По Пт

У

д (*

- По

ди' V

Л f * * ^ : По, пх V /

Имеем

Л

Па, пт

V

* * * * * *

у k+\vk+1+ v к+2.ук+2+ + v n.vn (<т) (г) (а) (г) (а) (г)

= 1

Я

( * * ф * А v,f-v Л+ V Av,f (а) (г) (а) (т)

Я,//

( ф * * * ^

И (Г) (Т) (а)

¿А Л.

X V/л ^ Д -О/7 И М

Здесь учтено, что

n = v Л n , nx=v Л n , Г,,, =-Г

С ' ^

«

X. ' 1 цг _ 1 Ъ' •

2

2

n

И

и

о

И

Так как

По, пх

V

= 0 и векторы По, пт единичные, то угол между векторами IIп и

Пт вдоль рк является постоянным. Так как в точке М0 векторы По и Пт по условию теоремы ортогональны, то векторы По и п% , с ^ т, также ортогональны вдоль /' *. Необходимость доказана.

Достаточность. Выберем в качестве нормального оснащения поверхности рк поле орто-

г * тп *

нормированных реперов \па> для которого каждое векторное поле По порождает эквиди-

I J о—к+\

стантные поверхности 1,к, параллельные поверхности /' *. Тогда система (8) имеет решения вида 1 .....0 ^ . . Это означает, что система (8) принимает на этих решениях вид:

гт, =0, х = к + \, и; 1 = 1, к;

Гк+2, =° - т = к + \, п; / = 1, к-

Г„тг =0 , т = £ + 1, и; / = 1,

Другими словами, все коэффициенты нормальной связности поверхности рк для выбранного оснащения тождественно равны нулю. Это означает, что нормальная связность поверхности рк является плоской. Теорема доказана.

п.5. Об одном свойстве параллельных поверхностей для рк с плоской метрикой в ЕП. Известно [1], что в пространстве Еъ параллельные поверхности развертывающихся поверхностей также являются развертывающимися. Аналогичный результат имеет место для параллельных поверхностей /' * в Е". Именно, справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Пусть Ек к — мерная поверхность класса С3 в Е" с плоской нормальной

связностью и плоской метрикой. Тогда любая параллельная для рк поверхность рк также имеет плоскую метрику.

Доказательство. Так как нормальная связность поверхности рк плоская, то существует

нормальное оснащение , для которого =0, с,Х - к + \,п\ I то означает,

что каждое векторное поле па, а = к + \.п. такого оснащения порождает эквидистантные поверхности рк , параллельные поверхности рк .

Так как нормальная связность поверхности рк плоская, то на рк существует координатная сеть, для которой матрицы основных квадратичных форм поверхности имеют диагональный вид. В связи с этим, не нарушая в общности, будем считать, что на рк имеют место равенства

Ь^Щ = О, с,т = кТй- /,; = й.

о

о

Тогда в силу уравнения Гаусса справедливо соотношение

1Л<< = 1 ф./; '\./ = и.

Подсчитаем коэффициенты основных форм параллельной для ¥к поверхности /'к : г = т + /? П^ |. Отметим, прежде всего, что на поверхности /'А нормальное оснащение вы-

берем по формуле па =пг> , а - А' +1. п . Это можно сделать в силу параллельности касательных плоскостей Рк и /'А в соответствующих точках. Имеем с учетом к — СОПН!:

Г = Г +

1 I

и{ъ

Лк

>

'к+11 ^ 8 Гк ТГ1

1-И

ъ

к+111 811

Это означает, что Г

8а ~ 8а

V

1 -кк к+1 (О

У

Далее находим

= -(¡г+кс1пк+ь йпыуи^ы~}ь Цпк+ьс1пк+1у

Это означает, что

Кш = Ьк+1гг-ккШёгг = £ *+1 *+1

(О (О V /

11 }} ~ 18]]к к+1 к к-(0 О')

Далее имеем при ст ф к +1 :

\ / \

\-ккк+1 1 ~ккк+\

\ (0 ^ V (]) у

II Ща j= II CCT j= r + hdnk+l, dnj=

=11 Уh C+iи g"fi, -Kn gM du' =

= kk+l-kagii

V(0 (0

du' du1.

Отсюда находим:

Кг г =baii-h Д к+1 i ~ &/ Д ст 1" А Д

(О (О V (о

¿+1

KiiKjj = Siigjjk „к l-hk 0) О) V (О

к+1

1-/2 £

О) У

Но тогда имеем

YJKIIbÜJJ=glIgl

l-hk

(о

¿+1

1-/2 /С

V О) У

к к+1 к к+1+ к а к ст

<т,<т**+Л« О) (О О) >

(О

= | 1 — h к 1-/2 к к+1

U)

ÄÄ^O

Это означает, что тензор Кривизны ^,£ метрики gtJ du' du1 тождественно равен нулю. В самом деле, из последнего равенства следует, что RiJ4J = 0 при j. Из уравнения Гаусса в силу baij =0 при I ф j следует, что RtJ.). =0 в остальных случаях. Теорема доказана.

Замечание. Нормальное отображение (2) не является отображением изометрии в условиях теоремы 4.

п.6. Случай F2 в E4.

Наличие у поверхности Fk в E" нормального векторного поля, порождающего параллельную для Fk поверхность Fk не гарантирует в общем случае, что нормальная связность поверхности Fk является плоской. Например, для поверхности Веронце F2 в E5, заданной уравнением r = r(u, v), векторное поле n = является полем единичных нормальных векторов

вдоль F2. Рассмотрим эквидистантную поверхность F 2, порожденную полем П , положив

г =r +h-n, h = const. Так как Irl = const, то очевидно, что г г , г г , и потому поверх' II ' ' и II и V II V ' J г

иость F 2 параллельна поверхности F2. В то же время известно, что нормальная связность поверхности F2 не является плоской. Однако в случае F2 в E4 имеет место

Теорема 5. Пусть F2 - двумерная поверхность в E4, допускающее регулярное поле единичных нормальных векторов П такое, что поле П порождает по формуле (2) параллельные к

F2 поверхности F2. Тогда гауссово кручение поверхности F2 тождественно равно нулю.

Доказательство. Согласно условию теоремы на поверхности F2 существует нормальное

оснащение qJ 3 такое, что поле I), порождает параллельную поверхность F2. Поэтому из

уравнения г = Г+И- /7, находим:

r1=r1+hib3lJgjkrk + T^ñ4^. Так как F2 параллельна F2, то Г34 = 0, i — 1,2.

Учитывая, что Г^. = — Г^ = 0, находим, что нормальная связность поверхности F2 плоская, и потому гауссово кручение на F2 равно нулю. Теорема доказана.

В качестве примера рассмотрим параллельные поверхности для тора Клиффорда в E4. Имеем тор:

F2 : г = éjpsu, sinM, cosv, sinv С-v } C,27i;j<

Находим:

Fj = -4sinM,cosM, 0, 0 j r2 = -J), 0,-sinv,cosv j

n-x =

sos u, sin u ,cos V, sin V

-í

n ,= -jcosm,-sinм, cosv, sinv

Ч2'

= cosaw3 + sinw4 = ^osa-sina^osu; Cosa-sinajinM;

Cosa + sina^osv; Cos(7. + sina jin 1

a = const.

Ti'

Полагая cos a - sin a = a, cos a + sin a = b. находим

1

П

1

^ : г = г +кп = <

Г

1 + —

IV VI,

соей,

ч

эти;

' Ъ ^

сову,

( Ь ^

5111 У }.

Это означает, что все параллельные для тора Клиффорда р2 поверхности являются также торами Клиффорда.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1' Каган В.Ф. Основы теории поверхностей. М.: ОГИЗ, 1947. Ч. I.

2' Схоутен И.А., Стойк Д.Дж. Новые методы в дифференциальной геометрии. М.: ГИИЛ, 1948. Т. II.