CC BY
36
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2013 Математика и механика № 4(24)
УДК 514.752
Н.М. Онищук ЭКСТРЕМАЛИ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО КРУЧЕНИЯ НЕГОЛОНОМНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В трёхмерном евклидовом пространстве рассматривается 2-мерное гладкое неголономное распределение. Основное внимание уделено изучению геодезического кручения кривых распределения, в частности - экстремалей геодезического кручения. В исследованиях используется метод внешних форм Картана [1].
Ключевые слова: неголономная геометрия, распределение, уравнение Пфаффа, векторное поле.
Двумерное распределение в Е3 - это гладкое отображение Д, сопоставляющее УМ е Е3 (или области О с Е3) плоскость п, проходящую через М [2, с. 683]. По распределению Д однозначно определяется уравнение Пфаффа. Распределение называется неголономным, если соответствующее ему уравнение Пфаффа не вполне интегрируемо. Его интегральные кривые, проходящие через точку М, касаются в этой точке плоскости п и называются кривыми распределения. Пара (М, п) называется плоским элементом; плоскость п - плоскостью распределения в точке М; прямая I, проходящая через М ортогонально п, - нормалью распределения в точке М. Множество всех плоских элементов (график распределения) представляет собой трёхмерное многообразие, что позволяет использовать метод внешних форм Картана.
1. Предварительные сведения
К каждому элементу (М, п) присоединим ортонормированный репер (М, ег), где е3 - единичный вектор нормали распределения в точке М. Деривационные формулы репера запишем в виде
ёг = ,
г’ (1.1)
ёег = ю1е/,
где г - радиус-вектор точки М,
ю1 =-ю/, ёюг = ю1 лю/, ёю1 = юк лю/ г 1 1 г г к
(г, 1, к = 1,2,3).
Формы Пфаффа ю3,ю1 - главные формы [1, с.288]. Из них юг - базисные формы, поэтому
ю3 = А/ ю1. (1.2)
По матрице (А/) определяем линейный оператор А, для которого А(ёг) = ёе3.
Уравнение Пфаффа, соответствующее распределению Д, - это уравнение
ю3 = 0. (1.3)
Плоскость п относительно выбранного репера имеет уравнение х3 = 0.
Сужение оператора А на плоскость п обозначим А .
Собственные значения оператора А*, взятые с противоположными знаками, являются главными кривизнами 2-го рода, а его собственные векторы определяют главные направления 2-го рода. Произведение главных кривизн 2-го рода - это полная кривизна второго рода, а их полусумма - средняя кривизна. Кривая распределения, в каждой точке которой касательный вектор имеет одно из главных направлений 2-го рода, называется линией кривизны 2-го рода. Она характеризуется тем, что вдоль неё нормали распределения описывают торс [3, с. 49].
Введём обозначения: к(2), к22) - главные кривизны 2-го рода, К2 = к(2)к22) -
к (2) + к (2) /\ 1 I Л-2
полная кривизна 2-го рода, Н = ——— - средняя кривизна. Инвариант
Н2 - К2 называют ( по аналогии с теорией поверхностей) эйлеровой разностью. От него зависит, какими будут главные кривизны 2-го рода. А именно: 1) если Н2 - К2 > 0, то к|2), к22) - вещественные различные числа; 2) если Н2 - К2 < 0,
то к1(2), к22) - комплексные числа; 3) Н2 - К2 = 0, то к1(2) = к22). Соответственно через точку М в случае 1) проходят две линии кривизны 2-го рода; в случае 2) через М не проходят действительные линии кривизны 2-го рода; в случае 3) через М проходит только одна линия кривизны 2-го рода. Линейный оператор А для него-лономного распределения не симметричен, и потому его можно представить в виде А = В +В, где В - симметричный оператор, а В - кососимметричный оператор с матрицей
4 - А2 л
0 —1
2
А2 - А
.Л----2 0
V 2
А - А2
Обозначим 2 ^—— = р. Распределение Д голономно тогда и только тогда, когда
р = 0. Поэтому р называется скаляром неголономности [4, с. 63].
Собственные значения оператора В , взятые с противоположными знаками, являются главными кривизнами 1-го рода, а его собственные векторы определяют главные направления 1-го рода. Произведение главных кривизн 1-го рода называется полной кривизной 1-го рода. Кривая распределения, в каждой точке которой касательная направлена по одному из главных направлений 1-го рода, называется линией кривизны 1-го рода.
Обозначим: к1(1), к2:) - главные кривизны 1-го рода, К1 - полная кривизна 1-го рода. Для них имеем
к 0) + к 0) к (2) + к (2) р2
Н = -1------^ = -!-----; К = к1(1)к21); К2 = К +р-. (1.4)
2 2 1 1 2 2 1 4
Так как оператор В симметричен, то главные кривизны 1-го рода - вещественные числа. Если к1(1) Ф к2:), то в точке М существуют два ортогональных главных направления 1-го рода. Если же к1(1) = к2:), то в такой точке всякое направление будет главным направлением 1-го рода.
Элементы А1, А32 матрицы основного оператора А определяют вектор кривизны линии тока нормалей распределения Д.
2. Основные инварианты линии неголономного распределения
Пусть г = г (я) - кривая распределения Д, параметризованная дугой. Введём обозначения:
-3 = ?3, Л = ~Г > ^2 = [-3, ЛЬ да
Так как /1, 12,13 - единичные взаимно ортогональные векторы, то
От у ёя ',
= к I + к I
, - kg12 + ^ 3 ,
(2.1)
^ = -к/+к/
& - V1 +V3,
= -к1 - к I
А = к”71 ^
Величины кп, kg, кg - инварианты линии распределения. Они носят названия: кп - нормальная кривизна кривой (проекция вектора кривизны кривой на нормаль распределения); kg - геодезическая кривизна кривой распределения (проекция вектора кривизны кривой на плоскость п); кg - геодезическое кручение
кривой распределения. Геометрическая характеристика геодезическому кручению будет дана ниже.
Теорема 1. Только для линии кривизны 2-го рода в каждой её точке геодезическое кручение к равно нулю.
Доказательство. Как было отмечено выше, линия кривизны 2-го рода характеризуется тем, что вдоль неё нормали распределения образуют торс, то есть для
(От - 0/3 ^ - - -
неё I —, 13,—3 1 = 0. Отсюда получаем (11,13, -кг12) = к„ = 0. ■
V )
Найдём выражение кривизны и кручения для произвольной линии распределения через инварианты кп, kg, к . Из (2.1) для вектора кривизны кривой имеем
кп = кг12 + кп13, где к - кривизна кривой. Отсюда следует
к Чк1 + к2. (2.2)
Вычислим кручение к кривой распределения. Используя (2.1), находим
(2.3)
Определение 1. Линия распределения, для которой геодезическая кривизна равна нулю, называется геодезической прямейшей линией.
Через каждую точку М в каждом направлении в плоскости п проходит одна и только одна геодезическая прямейшая линия распределения [5, с. 26]. Из формулы (2.3) следует: геодезическое кручение кривой распределения в точке М - это кручение геодезической прямейшей, имеющей с данной кривой в этой точке общую касательную.
Заметим также, что кривизна геодезической прямейшей линии совпадает с её нормальной кривизной (см. (2.2)), а кручение - равно её геодезическому кручению (см. (2.3)).
Определение 2. Линия распределения, для которой в каждой её точке нормальная кривизна равна нулю, называется асимптотической линией [4, с. 62].
Из (2.2) и (2.3) следует: в каждой точке асимптотической линии её кривизна совпадает с геодезической кривизной, а кручение - с геодезическим кручением.
3. Выражение нормальной кривизны и геодезического кручения кривой распределения через главные кривизны 1-го рода
Так как главные направления 1-го рода - это направления собственных векторов !(§',|2,0) симметричного оператора В , то они находятся из системы уравнений
поля нормалей распределения.
Итак, в точке М имеем канонический репер (М; еі), отнесённый к линиям кривизны 1-го рода, и репер (М, Іі) для произвольной линии г = г (5) распределения. Выразим векторы Іі через еі. Пусть а - угол между І1 и е1, тогда
(3.1)
Направим векторы е1, е2 по главным направлениям 1-го рода. Тогда
После этого формулы (1.2) примут вид
ю3 =-&і(1) ю1 + Рю2 + аю3,
3 1 2
ю2 = -Рю' -&21"1 ю2 + Ью3,
2
(3.2)
где а = Д|, Ь = А32; вектор аёх + Ье2 - это вектор кривизны линии тока векторного
11 = e1 cos а + e2 sin а,
12 =-e1sin а + e2cos а, (3.3)
/3 = e3.
Кривая распределения Д - это интегральная кривая уравнения Пфаффа ю3 = 0, поэтому для неё
dr = ю1е1 + ю2 е2. (3.4)
Так как dr = Ijds, то
dr = ej cos а + e2 sin а. (3.5)
И следовательно, ю1 = cosads, ю2 = sinаds. Используя формулы (2.1), (1.1), (3.2),
(3.3), получаем
кп = к® cos2 а + k® sin2 а ; (3.6)
кg = Р + 2 (к® -k1(1))sin2а. (3.7)
Исследуя кп как функцию угла а на экстремум, приходим к следующему
выводу:
Главные кривизны 1-го рода в точке М - это экстремальные значения нормальных кривизн распределения в этой точке. Направление касательной к кривой, имеющей в данной точке экстремальное значение нормальной кривизны, есть главное направление 1-го рода. Линия распределения, в каждой точке которой касательная направлена по главному направлению 1-го рода, является линией кривизны 1-го рода.
При к1(1) Ф кр через точку проходят точно две взаимно ортогональных линии кривизны 1-го рода. В выбранном нами каноническом репере линии кривизны
1-го рода определяются уравнениями
ю1ю2 = 0, ю3 = 0.
(3.8)
При к(1) = к® из (3.6) следует кп = к® = кр. В этом случае через точку Мв каждом направлении плоскости п проходит линия кривизны 1-го рода, все эти линии имеют одинаковую нормальную кривизну.
Теорема 2. Для линий кривизны 1-го рода и только для них геодезическое кручение равно половине скаляра неголономности.
Доказательство. При к1(1) Ф к.^ для линий кривизны 1-го рода имеем а1 = 0,
п
а2 = —. Тогда из формулы (3.7) для обеих линий кривизны 1-го рода получаем кЯ =-2. Если же к1(1) = к2:), то также для каждой линии кривизны 1-го рода
к Я =р ■
Я 2
4. Экстремали геодезического кручения
Исследуем геодезическое кручение на экстремум. Из (3.7) получаем к; = (к21-1 - к1(1))ео8(2а). Возможны два случая: 1) к2 Ф к1 , 2) к2 — к1 . Рассмотрим первый случай.
1) Пусть к2:) > к(1). Тогда к^ — 0 при а1 — П и при а2 —-'4. Находим про-
изводную 2-го порядка к" = -2(^2!) - ^1(1)}sin(2a). Отсюда
видим, что
( П | ( П | п
к"„ \ — I < 0, к" I — I > 0. То есть при a = — функция кg имеет максимум,
g V 4) g V 4) 4 g
П
а при a = -—- минимум.
Итак, экстремальные значения геодезического кручения имеют кривые, касательные к которым делят пополам углы между линиями кривизны 1-го рода. Минимальное и максимальное значения геодезического кручения следующие:
к g min =Р -1(*20) - kl(1)); кд тах =Р + (k® - ki(1)). (4.1)
Отсюда получаем
кgmax +кgmin =P ; (4.2)
кgmax X кgmin = -(H2 - K2). (4.3)
Из (4.2) и (4.3) следует: сумма экстремальных значений геодезического кручения равна скаляру неголономности, а произведение - эйлеровой разности, взятой с противоположным знаком.
2) Пусть в точке М k(1 = k(1), тогда из (3.7) следует, что в этой точке геодезическое кручение для всех кривых распределения одинаково и равно половине скаляра неголономности.
Определение 3. Линия распределения называется экстремалью геодезического кручения, если в каждой её точке геодезическое кручение равно одному из его экстремальных значений [5, с. 66; 4, с. 69].
Из вышесказанного вытекает: в неомбилической точке (k21) Ф k1(1)) экстремали геодезического кручения взаимно ортогональны и делят пополам углы между линиями кривизны 1-го рода.
В выбранном нами каноническом репере уравнения экстремалей геодезического кручения имеют вид
(ю1)2 - (ю2)2 = о, (4 4)
ю3 = 0.
При этом для кривых
ю1 - ю2 = 0,
(4.5)
геодезическое кручение к; имеет максимальное значение, а для кривых
ю3 = 0
ю + ю — О, ю3 — О
(4.6)
- минимальное значение.
Предложение 1. Если через точку М проходит только одна линия кривизны 2-го рода, то она будет одной из экстремалей геодезического кручения с нулевым геодезическим кручением. Геодезическое кручение второй экстремали будет равно скаляру неголономности.
Справедливость утверждения следует из формул (4.2) и (4.3). ■
Теорема 3. Существует единственное (с точностью до положения в пространстве) распределение Д с постоянным скаляром неголономности и прямыми линиями тока нормалей, для которого через каждую точку М проходит одна и только одна линия кривизны 2-го рода.
Доказательство. Так как через точку М проходит лишь одна линия кривизны 2-го рода, то H2 -К2 = 0.Тогда из (4.3) следует кgmax -кgmin = 0. Пусть кgmin = 0 , тогда кривая (4.6) будет линией кривизны 2-го рода, совпадающей с одной из экстремалей геодезического кручения. Для второй экстремали геодезического кручения имеем к max = р = const. Из (4.1) получаем k21) = p + k1(1). А так как a = b = 0, то формулы (3.2) принимают вид
Дифференцируем внешним образом (4.7) и затем применяем лемму Картана.
становится вполне интегрируемой и при р = const имеет единственное решение.
ю3 — -к1 ю1 +2ю2, 31 2
ю^ —-2 ю1 - (к1(1) +p)iB2.
(4.7)
(4.8)
(4.9)
dr — ю1е1 + ю2е2 + ю3е3, de1 — -2 due3,
1 2 3
de2 — p due3,
2 2
(41О)
2 1 2
Проинтегрируем систему (4.1О). Пусть ю1 -ю2 — dv + t1du, ю3 — dw +12du. Ис-
pv
пользуя формулы (4.8), (4.9) и (4.1О), находим t1 — pw, t2 — -■^. И тогда
ёг = |[(р* + 1)ёи + ёу]ё1 + 2[(1 -рм)ёи -ё-]е2 + (ём>-р-ёи)ё3.
(4.11)
Из (4.10) и (4.11) получаем _ _1_
72 1
Є =-
ри
СОБ | ^^1 + 81П |^=^2 +Є3
ри V
Є2 = 72
- СОБ
ри
72
ри
Єї - Б1П
ри
72
ри
Є2 + Є3
Є3 = Б1П | ^у=)Єї - СОБ ІЄ2
1 (ри
М +--;= СОБ | | V
72 \72
Б1П
ри
72
1 . ( ри А ( ри
—;=Б1П | | V - СОБ | ^=- | М
.72 к 72) К72
'72
(4.12)
Векторы {Є^ Є2, Є3} образуют постоянный ортонормированный базис. Координаты точки М(х,у^) относительно неподвижной декартовой системы координат с базисом {Є1, Є2, Є3} определяются формулами
X = М> БШ(рг) +----=■ СОБ(рг),
72
V
у = —= Б1П(рг) - М СОБ(рг),
72
(4.13)
72'
Из (4.12) и (4.13) видим, что существует единственное векторное поле нормалей
е3 = БШ(р2)є1 - СОБ(р2)Є2
распределения, удовлетворяющего условиям теоремы. А следовательно, уравнение Пфаффа для такого распределения имеет вид
Бш(рг )ёх - СОБ(р2 )ёу = 0. (4.14) ■
Уравнение вида (4.14) было получено при рассмотрении неголономных цилиндров 2-го рода в работе [6, с. 52]. Сопоставляя утверждение доказанной здесь теоремы и теоремы 6 работы [6], приходим к следующему выводу. Если через каждую точку М гладкого двумерного распределения с постоянным скаляром не-голономности и прямыми линиями тока нормалей проходит одна и только одна линия кривизны 2-го рода (она является одной из экстремалей геодезического кручения), то такое распределение является минимальным неголономным цилиндром 2-го рода с постоянным скаляром неголономности.
5. Линейчатые поверхности, описываемые нормалями распределения вдоль экстремалей геодезического кручения
Заметим, что экстремали геодезического кручения в каноническом репере, отнесённом к линиям кривизны 1-го рода, имеют уравнения
(ю1)2 - (ю2)2 — 0, ю3 — 0.
и
Предложение 2. В общем случае (кgmax ^кgmin, кgmax Ф 0, кgmm Ф 0) линейчатые поверхности, описываемые нормалями распределения вдоль экстремалей геодезического кручения, являются косыми линейчатыми поверхностями.
Доказательство. Пусть L1 - линейчатая поверхность, описываемая нормалями распределения вдоль экстремали геодезического кручения
ляет собой косую линейчатую поверхность. Аналогично доказывается, что линейчатая поверхность Ь2, состоящая из нормалей распределения в точках второй
чатой поверхностью. ■
Найдём горловые линии линейчатых поверхностей Ь1 и Ь2. Воспользуемся
формулой
а также формулами (3.2), (4.1) и уравнениями экстремалей геодезического кручения. В результате получим, что горловые линии линейчатых поверхностей Ьх и
Ь2 определяются соответственно уравнениями
Заметим, что при Н Ф 0 горловые линии линейчатых поверхностей Ц и Ь2 не совпадают с экстремалями геодезического кручения.
Предложение 3. Горловые линии линейчатых поверхностей Ц и Ь2 совпадают с экстремалями геодезического кручения тогда и только тогда, когда эти экстремали совпадают с асимптотическими линиями.
Доказательство. Находим уравнения асимптотических линий. Для них (ё2 г, е1, е2) — 0. Отсюда, используя формулы (3.2), получаем
Сравнивая уравнения (5.4) с уравнениями (4.4), определяющими экстремали геодезического кручения, заключаем, что они совпадают лишь при Н — 0. Но в этом (и только в этом случае) горловые линии (5.2) и (5.3) линейчатых поверхностей Ц и Ь2 являются экстремалями геодезического кручения. ■
Предложение 4. Если средняя кривизна Н неголономного распределения равна нулю, то асимптотические плоскости линейчатых поверхностей Ц и Ь2 ортогональны. При этом асимптотическая плоскость линейчатой поверхности Ц
ю1 — ю2, ю3 — 0.
(5.1)
Для неё (dr,e3,de3) — 2к maxю2 Ф 0. То есть линейчатая поверхность L1 представ-
экстремали геодезического кручения ю1 +ю2 — 0, ю3 — 0, является косой линей-
(5.2)
и
(5.3)
к1(1) (ю1 )2 + к^(ю2)2 — 0,
(5.4)
ю3 — 0.
совпадает с касательной плоскостью линейчатой поверхности Ь2 в точке М и, наоборот, асимптотическая плоскость линейчатой поверхности Ь2 совпадает с касательной плоскостью линейчатой поверхности Ц в точке М.
Доказательство. Находим касательную плоскость к Ь1 в произвольной точке прямой Я — г + И3. При ю1 — ю2,ю3 — 0 получаем
^Я - Г, £3 , е1 + <?2 + I ^(2 - ^ )е1 - (2 + к21))?2 ^ — °.
Это уравнение в координатах относительно канонического репера имеет вид
х1 -
1+* I-^ + £
х2 = 0.
В точке М (/ — 0) касательной плоскостью к Ц будет плоскость При t Ф 0 имеем
х1 - х2 = 0.
1
х -
-- к,(1)
х2 = 0.
(5.5)
(5.6)
(5.7)
Отсюда видим, что при t предельное положение плоскости (5.7) (то есть асимптотическая плоскость линейчатой поверхности Ц1 ) есть плоскость
Касательная плоскость к Ь2 в точке М - это плоскость
х1 + х2 — 0.
А асимптотическая плоскость для Ц2 - это плоскость
2-^ Iх1 -[2+к,(,) 1 х2 = 0.
(5.8)
(5.9)
(5.10)
Из уравнений (5.6), (5.8), (5.9) и (5.10) легко видеть, что касательная плоскость поверхности Ц1 в точке М совпадает с асимптотической плоскостью поверхности
Ц2 , а касательная плоскость поверхности Ц2 в точке М совпадает с асимптотиче-
к(1) + к®
ской плоскостью поверхности Ц тогда и только тогда, когда Н — ——— 0.
При этом асимптотические плоскости линейчатых поверхностей Ь1 и Ь2 ортогональны. ■
ЛИТЕРАТУРА
1. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948.
2. Дубровин Б.А.,Новиков С.П.Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.
3. СинцовД.М. Работы по неголономной геометрии. Киев: Вища школа, 1972.
4. Слухаев В.В. Геометрия векторных полей. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1982.
5. АминовЮ.А. Геометрия векторного поля. М.: Наука, 1990.
6. Онищук Н.М, Цоколова О.В. Минимальные неголономные торсы 2-го рода // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2009. № 3(7). С. 42-55.
Статья поступила 10.03.2013 г.
Onishchuk N.M. EXTREMAL CURVES OF GEODESIC TORSION ON A NONHOLONOMIC DISTRIBUTION. Nonholonomic 2-dimensional smooth distributions in the 3-dimensional Euclidean space are considered. Main attention is paid to studying geodesic torsion of invariant curves of the distribution.
Keywords: nonholonomic geometry, distribution of planes, Pfaffian equation, vector field.
ONISHUK Nadezhda Maksimovna (Tomsk State University)
E-mail: onichuk.nadezhda@yandex.ru
