CC BY
38
Н.М. Онищук ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
В области О с Я3 изучается геометрия гладкого векторного поля без особых точек, имеющего поверхности, вдоль которых векторы поля параллельны. Исследуются также кривые неголономного пфаффова многообразия, ортогонального векторному полю [1]. Доказаны теоремы существования некоторых векторных полей с заданными наперёд геометрическими свойствами. Найдено векторное поле (в целом) с постоянным не равным нулю скаляром неголономности.
Пусть (М;І1,і2,^з) - подвижной ортонормированный
репер, где М Є О, Є - единичный вектор поля в точке М,
г - радиус-вектор точки М. Деривационные формулы репера представим в виде
Сг = ю1е,
= ®jej,
(0.1)
А:2 ю1 + А2 ю2 + А32 ю3 = 0,
(1.1)
определяющие эквидирекционные линии. Если
1= 2,
( 4 а; 4 Ц2 4 а2
то через каждую точку М е О проходит одна эквиди рекционная линия. Если же
( 4 а; а;
4
Ш18 и £ а: '=1
(1.2)
2
то система (1.1) эквивалентна одному уравнению Пфаффа
А/ю1 + А/ю2 + АЗю3 = 0. (1.3)
Легко проверить, что оно вполне интегрируемо, т.е. через УМ е О проходит одна интегральная поверхность уравнения (1.3). Эта поверхность и есть эк-видирекционная поверхность исследуемого векторного поля, проходящая через точку М.
В данной работе изучаются векторные поля, для которых выполняется условие (1.2), то есть векторные поля, имеющие семейство эквидирекционных поверхностей. Кроме того, предполагаем, что Пфаффово
многообразие, ортогональное векторному полю {е3}, не голономно. Следовательно, уравнения (0.3) и (1.3) не могут совпадать.
Касательная плоскость в точке М к эквидирекци-онной поверхности пересекает плоскость, ортогональную вектору е3, по прямой
где ю/ = -ю1; Лю' = ю1 лю/; Лю/ = ю( люк ,(',/,к = 1,2,3).
Главные формы Пфаффа юЗ' выразим через базисные формы ю' следующим образом:
юЗ = А/ю1. (0.2)
При данном выборе подвижного репера пфаффово многообразие, ортогональное векторному полю {ёЗ}, определяется уравнением
юЗ = 0. (0.З)
Пфаффово многообразие называется голономным, если уравнение (0.З) вполне интегрируемо, и неголономным - в противном случае.
1. ЭКВИДИРЕКЦИОННЫЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
Линия (поверхность) называется эквидирекцион-ной линией (поверхностью), если векторы поля в точках этой линии (поверхности) параллельны [1]. Так как вдоль эквидирекционных линий векторы поля {ёЗ} параллельны, то ЛёЗ = 0 . Используя (0.1), (0.2), получаем уравнения
А/ю + А->ю + А3ю = 0,
х3 = 0,
а: х1 + д х2=0.
(1.4)
Здесь и в дальнейшем X1, X2, X3 - координаты относительно подвижного репера. Направим вектор по
прямой (1.4). Тогда А; = А32 = 0, А; ф 0 и репер становится каноническим. Эквидирекционные поверхности определятся уравнением
А/ю2 + АЗюЗ = 0. (1.5)
Линии ю2 = юЗ = 0 являются одновременно экви-дирекционными и линиями кривизны второго рода.
2. ОСНОВНЫЕ ИНВАРИАНТЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ ЛИНИИ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ, ИМЕЮЩЕГО ЭКВИДИРЕКЦИОННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Будем пользоваться каноническим репером, построенным выше. Формулы (0.2) при этом примут вид
ю3 = А2ю2 + А-^ю3,
ю3 = АІ ю2 + А32 ю3.
(2.1)
Функции А^, А3, А^, А2 - инварианты векторного поля. Выясним их геометрическую характеристику. В выбранном нами базисе матрица основного линейного оператора А, определяемого формулой А(СГ) = de3, имеет вид
' 0 а2 а:
А(е) = 0 А22 А2
0 0 0
Обозначим через А сужение оператора А на плоскость, касательную к многообразию Пфаффа ю3 = 0. Матрицей оператора А является матрица
' 0 АІ
А(е) =
0 А
Собственные значения оператора А , взятые с противоположным знаком, равны главным кривизнам второго рода [1, 2]:
к (2) = 0 к (2) =- А2 л^2 — /І2 •
Отсюда следует
К = 0, А22 = -2Н,
где К2 - полная кривизна второго рода; Н - средняя кривизна векторного поля [2]. Собственные векторы оператора А определяют главные направления второго рода. Эти направления совпадают с направлениями
векторов Є и А] е + Д2 Є2.
Оператор А* разложим на сумму симметричного оператора В и кососимметричного оператора В . Их матрицы имеют вид
B(e) =
1
A22
Be =
1
0 —2
2
_ A2
0
v 2 /
Собственные значения оператора В, взятые с противоположными знаками, - это главные кривизны первого рода к]1-1, к2]). Собственные векторы оператора В определяют главные направления первого рода. Инвариант р = <А Є2, Є] > = А] называется скаляром
неголономности. При р = 0 (и только в этом случае) пфаффово многообразие, ортогональное векторному полю, - голономно. Для полной кривизны К первого рода имеем
K1 =-
p
Обозначим А3 = а, А32 = Ь и найдём вектор кривизны кп линии тока векторного поля:
кп = ае] + ЬЄ2. (2.2)
Итак, найдена геометрическая характеристика инвариантов, входящих в формулы (2.1).
Сами эти формулы принимают вид
®3 = p®2 + a®3,
®2 = -2 H ®2 + b®3.
(2.3)
Для исследуемого класса векторных полей между инвариантами р, Н, а, Ь в силу (1.2) имеет место зависимость
р Ь + 2 На = 0. Дифференциальное уравнение
р ю2 + а ю3 = 0
(2.4)
(2.5)
определяет эквидирекционные поверхности, а уравнение
p x2 + a x3 = 0
(2.6)
торное поле может и не иметь эквидирекционных поверхностей [2].
2. Полная кривизна К1 первого рода для векторного поля, имеющего эквидирекционные поверхности, отрицательна. Это значит, что через каждую точку М є О проходит две асимптотические линии.
Переходим к нахождению основных инвариантных линий пфаффова многообразия, ортогонального векторному полю.
]. Асимптотические линии определяются уравнениями
ю1 (рю1 - 2Ню2 ) = 0, (2.7)
ю3 = 0.
2. Линии кривизны второго рода - уравнениями
ю2(2Н ю1 +рю2) = 0, ю3 = 0.
3. Линии кривизны первого рода - уравнениями
(2.8)
p(®1)2 - 4Hю1®2 -p(®2)2 = 0,
(2.9)
есть уравнение касательной плоскости к эквидирек-ционной поверхности в точке М.
Угол а между плоскостью (2.6) и плоскостью, ортогональной вектору поля в точке М, определяется формулой
р
а = - £ а
То есть эти плоскости могут совпадать лишь тогда, когда юЗ = 0 голономно. Проделанные вычисления приводят к следующим заключениям.
1. Если векторное поле имеет эквидирекционные поверхности, то для него полная кривизна второго рода К2 равна нулю. Заметим, что если К2 = 0, то век-
юЗ = 0.
Из (2.8) и (2.7) следует, что для векторных полей, имеющих эквидирекционные поверхности, в каждой точке М е в одна из линий кривизны второго рода является также и асимптотической линией. Выше отмечено, что эта линия лежит на эквидирекционной поверхности. Другая асимптотическая ортогональна второй линии кривизны второго рода (при Н Ф 0).
Предложение 1. Асимптотическая, совпадающая с линией кривизны второго рода, лежит в плоскости, проходящей через точку М е О ортогонально вектору поля в этой точке.
Доказательство. Асимптотическая, совпадающая с линией кривизны второго рода, имеет уравнения ю2 = юЗ = 0. Её соприкасающаяся плоскость х3 = 0 во всех точках кривой остаётся неизменной. Действительно, уравнения
х3 = 0,
(рю2 + аюЗ)х1 + (-2Ню2 + ЬюЗ)х2 - юЗ = 0 (2.10)
определяют характеристику плоскости х3 = 0 при смещении плоскости по любой кривой. При смещении по асимптотической второе уравнение из (2.10) становится тождеством. То есть соприкасающаяся плоскость вдоль данной асимптотической не меняется. Следовательно, асимптотическая линия, совпадающая с линией кривизны второго рода, есть плоская линия, лежащая в плоскости х3 = 0. □
Предложение 2. При Н Ф 0 для линии кривизны второго рода, не являющейся асимптотической, касательная в каждой её точке совпадает с главной нормалью линии тока в этой точке.
Действительно, из (2.7) следует, что линии кривизны второго рода, не совпадающие с асимптотическими, имеют уравнения
2Н ю1 +рю2 = 0, юЗ = 0.
Направляющий вектор линии (2.11) в точке М есть вектор р ё - 2Нё2, коллинеарный в силу (2.4) вектору кривизны (2.2) линии тока в этой же точке. □
(2.11)
4
Из (2.1), используя равенство (2.4), правило внешнего дифференцирования форм Пфаффа и лемму Кар-тана, получаем следующие формулы:
1 2 З 2 ~ т-г 2 2aH З
юЗ =рю + aю , ю3 =-2Ню----------ю ,
р
1 =а11 ю1 , /а12 _Ч„2 . а1З -а юЗ
®2 =— ю1 + (— - a)®2 +
p p p
2Ha1K 1 , 2Ha12 „ ^ 2
d p = (a12 +-—)® +(a22 +------— -2aH)® +
p p
2 H a
13 3
+(a 23 + 2H p+-----------13)®
p
(2.12)
2aHa1K 1 _ 2a H 2aHa1?4 2
da = (a13 +-7-11)® + (a 23----------------1---7-12)® +
p2 p p2
2aH (a13 - a2) 3
+(a33 +-------—Г----------)®3,
2H a
2dH = (-12 -a11)®1 +i-®2 + (
1 P 2 ^ap- 2aHa2
+ 4a2H2 + aa12 + 2Ha23 a + , ^2,®з
p p“ -a13 + 4 H2)®3.
рр При этом для внешних дифференциалов базисных форм имеем
71 а,, з 2 а-з - a 2 3
лю =—33ю лю +(—1-3-------р)ю лю ,
2 ap a19 1 2 ^ т-т- 2 з a13 a 3 1
d® =--------------12 ® л® + 2H® л® +——-------------------------® л® ,
7 з 12 2Ha 2 з з 1 dю =-рю лю +------ю лю + аю лю . (2.13)
Р
Предложение 3. Если для векторного поля, имеющего эквидирекционные поверхности, средняя кривизна Hравна нулю, то через каждую точку MeG проходит лишь одна (сдвоенная) линия кривизны второго рода, и она совпадает с асимптотической. Последняя в этом случае является прямой линией. Вторая асимптотическая ортогональна первой.
Доказательство. Из (2.7), (2.8) при H = 0 видим, что линии кривизны второго рода определяются уравнениями
(ю2)2 = 0, ю3 = 0, то есть через каждую точку M e G проходит лишь одна (сдвоенная) линия кривизны второго рода, и она совпадает с асимптотической ю2 = ю3 = 0. Для этой асимптотической касательный вектор e остаётся постоянным. Действительно, при H = 0, ю2 = ю3 = 0 из
(2.12) следует de1 = 0. То есть e1 - постоянный вектор вдоль асимптотической, а сама эта асимптотическая - прямая линия. □
3. МНОЖЕСТВО КАСАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ НЕГОЛОНОМНОГО ПФАФФОВА МНОГООБРАЗИЯ, ОРТОГОНАЛЬНОГО ВЕКТОРНОМУ ПОЛЮ
В общем случае множество касательных плоскостей пфаффова многообразия
ю3
= 0, ортогонального векторному полю, зависит от трёх параметров. Однако для некоторых классов векторных полей количест-
во параметров, от которых зависит это множество, может быть меньше [2]. Для исследуемых векторных полей имеют место следующие предложения.
Предложение 4. Если векторное поле имеет экви-дирекционные поверхности, то множество касательных плоскостей неголономного пфаффова многообра-зия,ортогонального векторному полю, зависит от двух параметров.
Действительно, система (2.10), описывающая изменение плоскости х3 = 0, касательной к юз = 0, для данного класса векторных полей содержит лишь две линейно независимые формы ю2 и юз. Это может быть лишь тогда, когда множество плоскостей х3 = 0 зависит от двух параметров. □
Напомним, что для векторных полей, имеющих эквидирекционные поверхности, через каждую точку М е О проходит две асимптотические линии неголо-номного пфаффова многообразия юз = 0. Одна из этих линий совпадает с линией кривизны второго рода. Обозначим через Р - плоскость х3 =0.
Предложение 5. Характеристика плоскости Р при смещении точки М по любой кривой многообразия юз =0 (кроме плоской асимптотической, совпадающей с линией кривизны второго рода) одна и та же и совпадает с касательной ко второй асимптотической. Характеристики же плоскости Р при смещении по кривым, не принадлежащим юз = 0, различны и параллельны касательной к этой второй асимптотической.
Справедливость данного утверждения становится очевидной при анализе уравнений (2.10), определяющих характеристику Р при любом смещении. Действительно, используя условия (2.4), приведём систему (2.10) к виду
х3 = 0,
(рх1 - 3Hx3)(рю3 - аюз) - рюз = 0, где р Ф 0. Отсюда видим, что для всех кривых из юз = 0 (кроме плоской асимптотической) характеристикой плоскости Р является прямая
x3 = O,
px
1 - 2Hx2 = 0,
(3.1)
совпадающая с касательной ко второй асимптотической. Если же ю3 Ф 0, то характеристики плоскости Р различны для разных кривых и параллельны касательной к той асимптотической, которая не совпадает с линией кривизны второго рода. □
Найдём ребро возврата торса, огибаемого плоскостями Р при движении точки М по любой кривой из ю3 = 0. Дифференцируя (3.1), получаем уравнения для определения точки ребра возврата на прямой (3.1):
х3 = 0, рх1 - 2Нх2 = 0,
(a12® + a22
l
-2H a
12ю1 + (ap-a12 -в)®2
x2 -p®1 + 2H®2 = 0.
р р Отсюда видим, что точки рёбер возврата торсов на прямой (З.1) зависят от выбора кривой, по которой смещается плоскость Р. Таким образом, торсы, огибаемые плоскостями Р при смещении по кривым из юз = 0, различны, но имеют общую образующую в точке М.
4. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ, ДЛЯ КОТОРЫХ ЛИНИИ ТОКА - ПРЯМЫЕ ЛИНИ
Линии тока ю1 = ю2 = 0 будут прямыми линиями лишь тогда, когда в каждой их точке кривизна
к = л/ а2 + b2 = 0, то есть лишь при а = b = 0. Эквидирекционные поверхности при этом определяются уравнением ю2 = 0. В каждой точке M e G линия тока, проходящая через M, принадлежит эквидирекционной поверхности. Следовательно, эквидирекционные поверхности являются линейчатыми поверхностями. Более того, они будут цилиндрами или плоскостями. Действительно, если а = b = 0, то в силу формул (2.3)
a,3 — a 2з — a33 — 0,
®3 —p®2, ®2 —-2H®2, — -1— ю1 +—12 ®2,
p p
, , 2Ha1K , , 2Ha1?4 2 nrr 3
dp = (a12 +-—)® +(a22 +--------—)® +2Hp® ,
2dH — (2 H al2-a,,)®1 +в®2 + 4H2®3, (4.1)
p p
7 1 a,l 1 2 2 3
d® ———® л® -p® л® , p
d®2 — -a— ю1 л®2 + 2H®2 л®3,
d ®3 — -p®1 л®2.
Внешнее дифференцирование системы (4.1) приводит к уравнениям
1 2 12 2 3
da,, л® + da12 л® + A,® л® + B,® л® +
+С,®3 л®1 — 0,
1 О 1 О О 'З
da12 л® + da22 л® + A2® л® + B2® л® + (. 2)
3 1 (4.2)
+С® л® — 0,
2Hda12 л®1 -pda,, л®1 +dРл®2 + A3®- л®2 +
+B3®2 л ®3 + С®3 л ю1 — 0,
где
A1 — (a11a22 - (a11) - 2(a12) ), p
B, — 4Ha12 - pa,,, С, — -2Ha,,,
4 — 2H(a12) - Pa11 a12a22 + 2a12a11
A2 — 2 2 Hp ,
p2 p B2 —P+ 4Ha22 - pa12 , C2 — -B1,
C3 — 4H(pa,, -2Ha12),
л (2Ha12)2 -2HPa,, 2Ha12(a22-a,,)-3pa12
A3 — 2 + p +
p
+(—ii)2 - (2pH)2,
имеем de3 — 0 при ® = 0. То есть e3 — const на экви-дирекционной поверхности. Это означает, что прямолинейные образующие на эквидирекционной поверхности параллельны между собой, что может быть лишь на цилиндрах и плоскостях. Будут ли эквиди-рекционные поверхности цилиндрами или плоскостями, зависит от инварианта a,,.
Действительно, при a = O характеристика касательной плоскости (как это следует из (2.12)) к эквидирек-ционной поверхности определяется уравнениями
x2 — 0, a11x1 — 0.
Отсюда видно, что при a,, Ф 0 характеристикой плоскости x2 = 0 является прямолинейная образующая (линия тока), а при a11 = O плоскость x2 = O неподвижна, что возможно только в том случае, когда эквидирекци-онная поверхность представляет собой плоскость.
Теорема 1. Векторные поля, для которых эквиди-рекционные поверхности являются цилиндрами, существуют с произволом одной функции двух аргументов.
Доказательство. При доказательстве используем достаточный признак Келера [4]. Так как для данного вида векторных полей инвариант a = 0, то из (2.12) и
(2.13) следует
(4.3)
B3 =р a,, -2Hра12 + 8Hр.
Положим
da,, =Х,ю +Х2ю +^3ю , d a,2 = цю1 + ц2ю2 + ц3ю3, d a22 = v,o' +v2ю2 +v3ю3, d p = ст,ю' +ст2 ю2 +ст3ю3.
Строим цепь интегральных элементов Е, с Е2 с E3. Пусть ю,=ю3 =0 тогда для Е, имеем 4 независимых параметра Х2, ц2, v2, ст2, т.е. характеристическое число r, =4. Для Е2 пусть ю3=0. Подставив (4.3) в (4.2) при ю 3=0, получим
Ц, =^2 -А^ v, = Ц - А2 , CT1 =2H Ц -Р^2. Отсюда видим, что r2=1. Характер s,=r, - r2=3. Для Е3 формы ю1, ю2, ю3 - линейно независимы, поэтому в результате подстановки (4.3) в (4.2) имеем
Х3 = -C,, ц3 = B1, v3 = B2, ст3 = B3.
Так как параметры Х3, ц3, v3, ст3 найдены (при этом на параметры, определяющие Е, и Е2, не возникли связи), то построенная цепь Е, с Е2 с Е3 - правильная. Характеристическое число r3=0, характер s2=r2 - r3=1, характер s3 = r3 = 0. Достаточный признак Кэлера выполнен. Система уравнений (4.2) - в инволюции. Векторное поле, имеющее в качестве эквидирекционных поверхностей цилиндры, существует. Широта данного класса векторных полей - одна функция двух аргументов. □
Теорема 2. С произволом трёх функций одного аргумента существуют векторные поля, для которых эквидирекционные поверхности являются плоскостями.
Доказательство данной теоремы аналогично доказательству теоремы ,.
Теорема 3. Существуют векторные поля, для которых K2 = H = 0, линии тока - прямые линии, а пфаффово многообразие, ортогональное полю, - не-голономно со скаляром неголономности р Ф const. Широта класса таких векторных полей - две функции одного аргумента.
Доказательство. Прежде всего заметим, что если линии тока - прямые и полная кривизна второго рода К2 = 0, то ранг матрицы системы (1.1) равен 1 и, следовательно, векторное поле имеет эквидирекционные поверхности, представляющие собой либо цилиндры, либо плоскости. Если, кроме того, средняя кривизна H = 0, то из (4.1) следует an= р = 0. Но, как было от-
мечено выше, при а,ц= 0 эквидирекционными поверхностями являются плоскости.
Переходим к доказательству существования. Системы (4.1), (4.2) для рассматриваемых векторных полей будут иметь вид
1 2 2 1 12 2 т 1 2
ю3 = рю ,ю3 = 0,ю2 =——ю ,dр = апю +а22ю , 2Ра2
2 200,2 , 2 /л
dа,2 лю------—ю лю = 0,
Р
(4.4)
1 12 22 ^1
dа22 лю + dа12 лю -
2 3 Р
-ра12ю лю = 0.
ю лю -
Для интегрального элемента Е1 полагаем
ю1 = ю3 = 0. Тогда в формулах
d а12 = ц1ю1 +ц2ю2 + ц3ю3, d а 22 = v1ю1 + v 2ю2 +v3ю3
(4.5)
параметры , v3 - произвольны и, следовательно,
г, = 2. Для Е2 пусть юз= 0, тогда из (4.4) и (4.5) имеем .2
ц, =-
2а
12
. а12а22
1
+ ц 2.
(4.6)
Как и в общем случае, при смещении по любой кривой многообразия ю3 = 0 плоскости P огибают торс. Образующие всех этих торсов в точке M совпадают с касательной к пространственной асимптотической. Фокусы же торсов различны. В частности, фокусы торсов, огибаемых плоскостями P при движении точки M по линиям кривизны первого рода, расположены симметрично относительно точки M на расстоянии радиуса кривизны асимптотической.
Теорема 4. Существует единственное векторное поле с прямыми линиями тока, для которого K2 = H = 0 и р =const Ф 0. Областью, на которой существует такое векторное поле, является всё евклидово пространство R3.
Доказательство. При р = const из (4.4) следует а12 = а22 = 0. Система дифференциальных уравнений
dr = ю1 е, +ю2 е2 +ю3 e3, de, = -рю2 е3, de2 = 0,
(4.7)
Отсюда видим, что г2 = 0, з- = 2. И, наконец, для Ез формы ю1, ю2, юз - линейно независимы. Поэтому из (4.4), (4.5), (4.6) получаем vз = -ра12. Таким образом, гз = 0,5З = 0. Система в инволюции. Произвол решения - две функции одного аргумента. □
Перейдём к геометрическому описанию векторного поля, о котором идёт речь в теореме З. В каждой точке М е О асимптотические линии пфаффова многообразия юз = 0 ортогональны. Одна из них совпадает с единственной линией кривизны второго рода и является прямой линией. Вторая асимптотическая -пространственная кривая, её кручение равно скаляру
7 а,2
неголономности р, а кривизна к = —^. Первая асим-
р
птотическая (прямая) совпадает с её главной нормалью, линия тока - с бинормалью, эквидирекционная поверхность - с нормальной плоскостью. Плоскость Р, которой касаются кривые пфаффова многообразия юз = 0 в точке М, это соприкасающаяся плоскость пространственной асимптотической. Деривационные формулы репера векторного поля для этого случая имеют вид
Лг = ю1 е, +ю2 е2 +юз ез,
Ле3 =-кю2е2 -рю2ез,
Ле2 = кю2 е1,
Лез = рю2 е1,
где к - кривизна пространственной асимптотической, а р - кручение этой асимптотической. Таким образом, 2 функции одного аргумента, которые определяют широту данного класса векторных полей, - это кривизна и кручение пространственной асимптотической пфаффова многообразия, ортогонального векторному полю.
Линии кривизны первого рода касаются биссектрис углов между асимптотическими.
Лез = рю е1
вполне интегрируема. Это означает, что решение системы определяется с параметрическим произволом. Покажем, что параметром служит скаляр неголоном-ности р. То есть при заданном р =сош1 Ф 0 мы получим только одно единичное векторное поле, удовлетворяющее условиям теоремы. Чтобы доказать данное предложение, проинтегрируем систему (4.7). Так как
Лю1 = -р ю2 л юз, Лю2 = 0, Люз = - р ю1 л ю2, (4.8)
то ю2 = Ли. Кроме того, в силу (4.8) имеем Л(ю- -м>рЛи) = 0, Л(юз +vрdu) = 0, где V и м> - произвольные переменные (параметры), поэтому можно положить
ю1 - м>рЛи = dv, юз + vрdu = Лм>.
После этого уравнения (4.7) приводим к виду
Л г = (^ + м>рЛи)е, + Лие2 + (сЬл> - vрdu)ез,
Ле, = -рЛиеЗ,
de2 = 0,
(4.9)
Лез = рЛие,.
Отсюда видим, что е2 - постоянный вектор. Обозначим е2 = ез. Так как
Ле- Л е- 2
-Г1 = -рез^—I3 = -р2 ^
Ли Ли
е, = б! СОБ(ри) + 62 БШ(ри), ез = б! БШ(ри) - 62 СОБ(ри).
Векторы б1, б2,6З образуют постоянный ортонор-мированный базис. Из (4.10), (4.9) имеем
дг — —
— = 6! СОБ(ри) + 62 Б1П(ри) ,
дv
то есть
то
(4.10)
r = (е, cosfau) + е2 sin^u))v + f (u, w). Отсюда и из (4.9) получаем
df — —
— = е, sin(рu) - е2 cos(рu).
dw
Тогда
f (u, w) = (е, sin^u) - е2 cos(рu))w + ф(и)
и r = (е, cos(рu) + е2 sin^u))v + (е, sin(рu) - (4.11) - е2 cos^u ))w + ф(u).
Из (4.9), (4.10), (4.11) находим
ф^) = е^ + r0
Линии кривизны первого рода состоят из интегральных кривых системы дифференциальных уравнений
(соБ^^х + Бш^^у)2 - ^)2 = 0, (4 -з)
Бш(рг )Лх - СОБ(р2 )Лу = 0.
Через каждую точку Ме Ез пройдёт две линии кривизны первого рода. Их уравнения получим, проинтегрировав систему (4.1З):
где r0 = const. Примем векторы е,, е2, е3 за базис неподвижной декартовой системы координат, а начало координат поместим в точку M0 (r0), тогда для радиус-вектора F любой точки M e Е3 имеем
r = (v cos(рu) + w sin^u)^, +
+ (v sin(рu) - w cos^u ))е 2 + uе3.
Отсюда декартовы координаты (x,y,z) точки M относительно выбранной системы координат определяются формулами
x = v cos^u) + w sin^u), y = v sin^u) - w cos^u), (4.12)
z = u.
Так как u = z, то из (4.10) следует, что существует единственное векторное поле
е3 (sin^z), - cos^z), 0)
с постоянным скаляром неголономности р Ф 0, удовлетворяющим условиям теоремы. Оно является гладким векторным полем без особых точек во всём трёхмерном евклидовом пространстве. □
Пфаффово многообразие, ортогональное найденному полю e3 , состоит из всех интегральных кривых уравнения
sin^z)dx - cos^z )dy = 0.
Получим уравнения инвариантных кривых в той неподвижной системе кооринат, в которой найдено векторное поле и ортогональное ему пфаффово многообразие. Линии тока - прямые z = с,
x cos(рc) + y sin^c) = с,.
Эквидирекционные поверхности - плоскости z=c. Асимптотические, совпадающие с линиями кривизны второго рода, определяются уравнениями
z = c,
x sin(рc) - y cos^c) = c2,
а им ортогональные - уравнениями
x = а У = b.
1 .
x =-------sin t + c
y = — cos t + c2, р
1
z = — t р
(4.14)
1 .
x = - sin t + а,
(4.15)
y = -cos t + а2, р
1
z = — t. р
Из (4.15) и (4.14) видим, что линиями кривизны первого рода являются винтовые линии, имеющие
р
одинаковое кручение к = - ^, а кривизны - отличающиеся лишь знаком. Для первой кривой к = - р,
для второй к =р. Линии кривизны первого рода,
проходящие через точку M0(x0,y0,z0), лежат на двух цилиндрах
x - x0 + р sin^zQ) j ^ y - y0-р^^) j =-1
х - х0 — БШ^)j +(у - У0 .-СОБ^)j =-3
одинакового радиуса, имеющих общую образующую, проходящую через точку М0, и общую диаметральную плоскость. Линии кривизны первого рода (винтовые линии) в точке М0 имеют общую главную нормаль, совпадающую с линией тока векторного поля. Та асимптотическая, которая является линией кривизны второго рода, ортогональна общей образующей цилиндров и вектору поля. Вторая асимптотическая -это общая образующая цилиндров.
ЛИТЕРАТУРА
1. Слухаев В.В. Геометрия векторных полей. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1982.
2. Аминов Ю.А. Геометрия векторного поля. М.: Наука, 1990.
3. Онищук Н.М. Векторные поля с нулевой полной кривизной второго рода // Исследования по математическому анализу и алгебре. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1998. С. 107 - 112.
4. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана. М.; Л.: ГИТТЛ, 1948.
Статья представлена кафедрой геометрии механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 19 мая 2005 г.
и
и
