Неголономные торсы 2-го рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Математика и механика № 1(13)

УДК 514.752

Н.М. Онищук, О.В. Цоколова

НЕГОЛОНОМНЫЕ ТОРСЫ 2-го РОДА

В трёхмерном евклидовом пространстве рассматриваются 2-мерные распределения, имеющие нулевую полную кривизну 2-го рода, названные неголо-номными торсами 2-го рода (НТ-2). Дана классификация НТ-2. Изучены свойства инвариантных кривых НТ-2. В исследованиях используется метод внешних форм Картана [1] с привлечением подвижного репера.

Ключевые слова: неголономная геометрия, распределение, уравнение Пфаффа, векторное поле.

Двумерное распределение в Е3 - это гладкое отображение Д, сопоставляющее

V Ме Е3 (или области О с Е3) двумерную плоскость п, проходящую через М [2, с. 683; 3, с. 13; 4, с. 19]. По распределению Д однозначно определяется уравнение Пфаффа. Распределение называется голономным, если соответствующее ему уравнение Пфаффа вполне интегрируемо. В этом случае пространство Е3 расслаивается на однопараметрическое семейство поверхностей. Если же соответствующее уравнение Пфаффа не является вполне интегрируемым, то распределение называется неголономным. Его интегральные кривые, проходящие через точку М, касаются в этой точке плоскости п и называются кривыми распределения. Пара (М, п) называется плоским элементом; плоскость п - плоскостью распределения в точке М; прямая I, проходящая через М ортогонально п, - нормалью распределения в точке М. Заметим, что множество всех плоских элементов («график» распределения) представляет собой трёхмерное многообразие, что позволяет использовать метод внешних форм Картана. Множество единичных векторов нормалей распределения Д образует векторное поле. Таким образом, геометрия неголоном-ного распределения тесно связана с геометрией интегральных кривых не вполне интегрируемого уравнения Пфаффа, а также с геометрией векторного поля.

Как известно (см., напр., [5]), для неголономного распределения Д определены два важных инварианта: полная кривизна 1-го рода (К) и полная кривизна 2-го рода (К2). Они совпадают тогда и только тогда, когда Д голономно. В голо-номном случае К=К2 есть гауссова кривизна в точке М той интегральной поверхности, которая через М проходит. Поверхности нулевой гауссовой кривизны - это развёртывающиеся поверхности (или торсы). То есть, если Д голономно и для него К=К2= 0, то мы имеем слоение, слоями которого будут торсы. В неголономном случае, конечно же, никакого слоения нет. При К1= 0 (К2 * 0) и при К2= 0 (К1 * 0) получаем распределения с разной геометрией.

Определение. Неголономным торсом 2-го рода (НТ-2)называется гладкое не-голономное распределение Д на Е3, для которого полная кривизна 2-го рода равна нулю.

Итак, для НТ-2 полная кривизна К2 = 0. Так как К2 =&1(2)&22), где к(2), к® -главные кривизны 2-го рода, то возможны два случая: 1) к(2) = 0, &22) * 0,

2) к(2) = 0, к<2) = 0. Неголономные торсы 2-го рода, для которых выполняется

второе условие имеют нулевую среднюю кривизну и называются минимальными неголономными торсами 2-го рода. Их геометрия исследована в работе [6].

В данной работе рассматриваются НТ-2, для которых средняя кривизна Н * 0 , то есть одна из главных кривизн 2-го рода отлична от нуля.

1. Основные формулы для НТ-2

К каждому элементу (М, п) присоединим ортонормированный репер (М, ег), где е3 - единичный вектор нормали распределения в точке М. Деривационные формулы репера запишем в виде

ёг = Ю'вг ,

г’ (1.1)

ёег = /,

при этом г - радиус-вектор точки М,

ю/ = -ю/, ёюг = ю1 лю/, ёю/ = юк люк-, (г,1,к = 1,2,3).

Формы Пфаффа юг, ю3 - главные формы [1, с. 288]. Из них юг - базисные фор-

мы, поэтому

ю3 = А/ ю1. (1.2)

По матрице

Г л1 А2 аЗ

(А) = Л2 Л22 Аз2

1 0 0 0

определяем оператор А, называемый основным линейным оператором. Для него

Л( ёг) = ёё3.

Плоскость п относительно выбранного репера имеет уравнение х3 = 0, а уравнение Пфаффа, соответствующее распределению Д: М ^ п, - это уравнение

ю3 = 0. (1.3)

Уравнение (1.3) вполне интегрируемо тогда и только тогда, когда скаляр р = Л\ - А2, называемый скаляром неголономности, равен нулю. Для распределения, о котором идёт речь в данной работе, р^ 0.

Оператор А отображает всякий вектор плоскости п в вектор этой же плоскости. Поэтому возникает линейный оператор А , являющийся сужением оператора А на плоскость п. Матрица оператора А в базисе (ё1, ё2) имеет вид

(Л1 Л1

Л2 Л2 \Л1 л2

Собственные значения оператора А , взятые с противоположными знаками, являются главными кривизнами 2-го рода, а его собственные векторы - главными направлениями 2-го рода. Произведение главных кривизн 2-го рода - это полная кривизна 2-го рода, а их полусумма - средняя кривизна. Кривая распределения, в каждой точке которой касательный вектор имеет одно из главных направлений 2-го рода, называется линией кривизны 2-го рода. Она характеризуется тем, что вдоль неё нормали распределения описывают торс [7].

Для НТ-2, по определению, К2 = Л^2^2 = 0. Мы исследуем случай, когда к(2) = 0, £22) * 0.

При Л1(2) = 0 один из корней характеристического уравнения

А1 -х 4 А2 А22 -х

= 0

равен нулю. Ему соответствует собственный вектор К^1,|2,0), определяемый уравнением А11^1 + А2|2 = 0. Направим вектор е1 репера параллельно \ , то есть направим вектор е1 по главному направлению 2-го рода, соответствующему нулевой главной кривизне 2-го рода. После этого репер (М; еі) становится каноническим. И тогда А = А2 = 0, 2Н = -А22, р = А2. Вектор кривизны линии тока ю1 = ю2 = 0 нормалей НТ-2 определится формулой

кп = ае1 + Ье2,

где а = А3, Ь = А32. В новых обозначениях формулы (1.2) примут вид

ю3 = рю2 + аю3,

= -2 Н ю2 + Ью3.

(1.4)

Функции р, Н, а,Ь - основные инварианты НТ-2. Внешнее дифференцирование (1.4) и затем применение леммы Картана приводит к следующим равенствам:

рю!, = а11ю1 + (а12 - ар)ю2 + (а13 - а 2)ю3,

( 2На,, ^ 1 ( 2На12 . 2

ёр = 1а12 +-----|ю +| а22 +----------— -2аН |ю +

2рН + а 2

2Н (а13 - а )

- аЬ

ёа = | а13--------------------11 ію1 +| а23-------— + аЬ |ю2 +

Ь(а -а13)

(1.5)

2ёН =

^2Яа12 -а11 -Ьр-2аНію1 +Р22ю2 + ^Р23 + 4Н2 + Ь2 +

аа

12

-а

13

ёЬ =

аЬ +

аа11 - 2Н а13 + 2На

2

ю1 - Р23ю2 - Р33ю3.

Формулы (1.4), (1.5) являются основными формулами для НТ-2 общего вида.

2. Асимптотические линии и линии кривизны 2-го рода для НТ-2

Предложение 1. Для всякого НТ-2 через каждую точку М проходят две асимптотические линии.

Доказательство. Асимптотическая линия распределения Д характеризуется тем, что в каждой её точке соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью распределения, либо это прямая линия. То есть для асимптотических линий имеет

место равенство

(d2 r, ?j, e2) = 0.

Используя формулы (1.1), (1.3), (1.4), получаем дифференциальные уравнения асимптотических линий

(рю1 - 2 H ю2)ю2 = 0, (2D

- (2.1)

ю = 0.

Отсюда видим, что для НТ-2 через каждую точку М проходят две асимптотические линии. ■

Следствие 1. Всякая точка М для НТ-2 является точкой гиперболического типа.

Действительно, точка гиперболического типа для неголономного распределения (как и в теории поверхностей) характеризуется тем, что через неё проходят точно две асимптотические линии. С другой стороны, какую бы окрестность точки М гиперболического типа мы не взяли, существуют кривые распределения,

проходящие через М и расположенные по обе стороны от плоскости п. ■

Следствие 2. Асимптотические линии ортогональны лишь для минимальных НТ-2, а совпадают только в голономном случае.

Действительно, угол а между асимптотическими линиями определяется формулой

2H

cos а = =.

V4H2V

Отсюда следует, что а = 90° при Н=0 и а = 0 при р = 0. То есть асимптотические линии ортогональны лишь для минимальных НТ-2 и совпадают только в голономном случае. ■

Предложение 2. Для НТ-2 общего вида через каждую точку М проходят две линии кривизны 2-го рода, одна из которых является плоской линией, совпадающей с одной из асимптотических линий, а вторая ортогональна второй асимптотической линии.

Доказательство. Находим линии кривизны 2-го рода. В выбранном нами ре-

л*

пере матрица оператора A имеет вид

Находим собственные векторы оператора А (это главные направления 2-го рода). Кривизне к1(2) = 0 соответствует вектор е1, а кривизне к22) = 2Н - вектор ре1 + 2 Не2. Следовательно, линии кривизны 2-го рода определяются уравнениями

(2Ню1 +рю2)ю2 = 0, (2 2)

(2.2)

ю = 0.

Отсюда видим, что через точку М при Н ф 0 проходят две линии кривизны 2-го рода. Одна из них (ю2 = ю3 = 0) является также и асимптотической линией (ср.(2.1)). Покажем, что она лежит в плоскости п. Вектор е1 - её касательный

вектор. Используя формулы (1.1), (1.4), получаем при ю2 = ю3 = 0 следующее равенство: (e1, del, d 2?j) = 0, которое представляет собой условие того, что линия кривизны 2-го рода, совпадающая с асимптотической линией, есть плоская линия. А так как её соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью п, то это значит, что она лежит в этой плоскости.

Касательные векторы ко второй асимптотической линии и второй линии кривизны 2-го рода соответственно есть взаимно ортогональные векторы 2Hel + ре2 и p?j -2He2. Таким образом, вторая линия кривизны 2-го рода ортогональна второй асимптотической линии. ■

3. Линии кривизны 1-го рода для НТ-2

Если распределение Д голономно, то оператор А" симметричен и совпадает в точке М с оператором Вейнгартена той интегральной поверхности уравнения ю3 = 0 , которая проходит через данную точку. Для неголономного Д оператор А* не симметричен и его можно разложить на сумму двух операторов В и В, где В -симметричен, а В - кососимметричен.

Собственные значения оператора В , взятые с противоположными знаками, называются главными кривизнами 1-го рода, а его собственные векторы - главными направлениями 1-го рода. Произведение главных кривизн 1-го рода - это полная кривизна 1-го рода.

Обозначим k(1), k1) - главные кривизны 1-го рода, тогда К = k®- полная кривизна 1-го рода. Для главных кривизн 1-го рода имеет место аналог формулы Эйлера, то есть

kn = kj(1) cos2 а + k2:) sin2 а, (3.1)

где kn - нормальная кривизна кривой распределения Д, а- угол между касательной данной кривой и главным направлением 1-го рода, соответствующим кривизне kj(1) [7, с. 22].

Между полными кривизнами 1-го и 1-го рода имеет место следующая зависимость:

р2

к 2 = к +—.

2 1 4

Для НТ-2 имеем К2 = 0, Kj < 0. Последнее ещё раз свидетельствует, что все регулярные точки НТ-2 гиперболического типа.

Определение. Линией кривизны 1-го рода называется кривая распределения, касательный вектор которой в каждой её точке имеет главное направление 1-го рода.

Найдём уравнения линий кривизны 1-го рода в каноническом репере, выбранном в 1. Матрицу А* представим в виде суммы В+В, то есть в виде

0 Р 0 -2H

' 0 £ ' 2

£ -2H

-Р 0

Характеристическое уравнение для В следующее:

Р Л

2

-2Н-X 2 у

= 0.

(3.2)

Так как главные кривизны 1-го рода - это собственные числа оператора В , то из (3.2) получаем

к(1) = н -у

к21) = Н +

Н2 +Р

(3.3)

Н2 +Р

Находим главные направления 1-го рода, а по ним уравнения линий кривизны

1-го рода:

р(ю')2 - 4Ню'ю2 -р(ю2)2 = 0,

(3.4)

ю3 = 0.

Отсюда видим, что для НТ-2 через каждую точку М проходят две взаимно ортогональных линии кривизны 1-го рода, делящих пополам углы между асимптотическими линиями.

Из (3.1) следует, что линии кривизны 1-го рода являются экстремалями нормальных кривизн кп кривых распределения Д.

4. Множество плоскостей НТ-2

Как было отмечено выше, множество плоских элементов (М, п) образует трёхмерное многообразие. В общем случае множество плоскостей п также зависит от трёх параметров, но их может быть и меньше. Аналог такого положения мы видим в теории поверхностей: для регулярной поверхности общего вида множество касательных плоскостей зависит от двух параметров, но для развёртывающейся поверхности касательные плоскости образуют однопараметрическое семейство. В неголономной геометрии эта особенность имеет место для НТ-2.

Теорема. Множество плоскостей распределения для НТ-2 зависит от двух параметров.

Доказательство. Используя формулы (1.4) находим характеристику плоскости п :

Х =0, (4.1)

(рю2 + аю3)х1 + (-2Ню2 + Ью3)х2 -ю3 = 0.

Формулы (4.1) содержат лишь две базисные формы. Это значит, что множество плоскостей п НТ-2 зависит лишь от двух параметров, а не от трёх как для распределения общего вида. ■

Находим характеристическуо точку М0 плоскости п. Её координаты удовлетворяют системе уравнений

х3 = 0,

ах1 + Ьх2 -1 = 0, (4.2)

рх1 - 2Нх2 = 0.

Обозначим

5=Р -2Н

a Ь

При 5 Ф 0 (и только в этом случае) существует характеристическая точка

M0 еп с координатами M0(2H,Р ,0). Легко проверить, что М0 лежит на каса-

5 5

тельной к той асимптотической линии, которая не совпадает с линией кривизны 2-го рода. Заметим также, что эта касательная является общей характеристикой плоскости п, полученной при смещении по любой кривой распределения Д,

проходящей через точку М0. Действительно, при ю3 = 0 из (4.1) получаем прямую

рх1 - 2Нх2 = 0, х3 = 0,

представляющую собой касательную линии кривизны 2-го рода

2Н ю1 +рю2 = 0, ю3 = 0.

Исключение составляет только линия кривизны 2-го рода, совпадающая с асимптотической линией, вдоль неё плоскость п неподвижна.

При 5 Ф 0 точка М0 либо описывает поверхность, либо неподвижна. В первом случае множество плоскостей п - это множество касательных плоскостей некоторой регулярной поверхности. Во втором случае плоскости п образуют связку с центром в точке М0.

Если 5 = 0 , то все плоскости распределения параллельны одной прямой. Действительно, в этом случае направление вектора 2Нг1 +рв2 остаётся постоянным так как d(2Нг1 +рe2) || 2Шг +рe2. Это легко проверить, используя формулы (1.4),

(1.5).

Таким образом, все НТ-2 можно разбить на три класса: 1) НТ-2, плоскости которых огибают поверхность; 2) НТ-2, плоскости которых образуют связку;

3) НТ-2, плоскости которых параллельны одной прямой.

Определение. Эквидирекционной линией (поверхностью) [8, c.32] называется линия (поверхность), в точках которой векторы нормалей распределения параллельны.

Найдём уравнения, определяющие эквидирекционные линии (поверхности). Для них, по определению, векторы нормалей параллельны, а следовательно, единичные векторы e3 постоянны, то есть сШ3 = 0. Тогда из формул (1.1), (1.4) следует

рю2 + aю3 = 0, (4 3)

2Ню2 - Ью3 = 0.

При 5 Ф 0 система (4.3) эквивалентна уравнениям ю2 = ю3 = 0. То есть через каждую точку М проходит одна эквидирекционная линия, совпадающая одновременно с асимптотической линией и линией кривизны 2-го рода.

При 5 = 0 уравнения (4.3) линейно зависимы и мы имеем одно вполне интегрируемое уравнение Пфаффа, а следовательно, через каждую точку М проходит одна эквидирекционная поверхность.

5. НТ-2 общего вида

Определение. Неголономным торсом 2-го рода общего вида (НТ-2 общего вида) называется НТ-2, плоскости которого огибают регулярную поверхность. Отметим, что точки огибающей являются особыми точками распределения. Основные свойства инвариантных кривых НТ-2 общего вида выявлены выше. Подведём итог сказанному.

а) Через каждую точку М проходят две асимптотические линии. Одна из них совпадает с линией кривизны 2-го рода и является, кроме того, эквидирекционной линией. Эта асимптотическая линия лежит в плоскости п, её вектор кривизны ра-

а,,

вен (——)e2. Вторая асимптотическая линия - пространственная кривая, каса-P

тельная к ней в точке М проходит через точку МО огибающей плоскостей распределения Д .

б) Через точку М проходят две линии кривизны 2-го рода, одна из которых совпадает с асимптотической линией, вторая - ортогональна второй асимптотической. Угол р между линиями кривизны 2-го рода вычисляется по формуле

cosр- . P . (5.1)

Vp2 + 4H2

Из (5.1) следует, что при Н=0 (то есть только для минимальных НТ-2 [6]) через точку проходит только одна линия кривизны 2-го рода. А при р = 0 (то есть только в голономном случае) линии кривизны 2-го рода ортогональны.

в) Через М проходят две взаимно ортогональные линии кривизны 1-го рода, делящие пополам угол между асимптотическими линиями.

6. Неголономные конусы

Определение. Неголономным конусом называется НТ-2, плоскости которого проходят через одну неподвижную точку.

Неподвижная точка М0 называется вершиной неголономного конуса. Она является его особой точкой.

Найдём условия характеризующие неголономные конусы, то есть найдём условия, при которых точка М0 неподвижна. Имеем d(г + —Не1 +ре2) = 0, где

5 5

5 = рЬ + 2На.

Используем формулы (1.1), (1.4) и (1.5), получим

в 2Н 2Н 5

Р22 =----а 22 -а12 + ар+-----5

р р 2Н аа12 2 Ь

Р23 =----а 23----— + а-----5, (6.1)

р р р

2Н аа13 а3

Р33 = а33 1 .

р р р

Предложение 1. Для неголономного конуса асимптотическая линия, не совпадающая с линией кривизны 2-го рода, является прямой линией, проходящей через вершину конуса.

Доказательство. Асимптотическая линия, не совпадающая с линией кривизны 2-го рода, имеет уравнения

рю1 - 2Н ю2 = 0,

ю3 = 0.

(6.2)

Чтобы линия (6.2) была прямой, для её касательного вектора должно выполняться условие й(2Не1 + ре2) || 2Не1 + ре2. Используя формулы (1.4), (1.5), заключаем, что это возможно лишь тогда, когда

рР22 - 2На22 +ра12 -р2а - 2Н5 = 0. Но это равенство выполняется в силу (6.1), то есть тогда, когда точка М0 неподвижна. ■

Асимптотическая линия, совпадающая с линией кривизны 2-го рода (как и в общем случае), представляет собой плоскую линию, лежащую в плоскости п.

Предложение 2. Для неголономного конуса линия кривизны 2-го рода, не совпадающая с асимптотической линией, является пространственной кривой, лежащей на сфере с центром в точке М0.

Доказательство. Линия кривизны 2-го рода, не совпадающая с асимптотической линией, имеет уравнения

2Н ю1 +рю2 = 0,

ю3 = 0.

(6.3)

- 2Н _

Вектор е-е2 - её касательный вектор. Для доказательства теоремы дос-

Р

таточно показать, что вдоль кривой (6.3) не равно нулю смешанное произведение

(е1 - 2Не2, й (е1 - 2Не2), й 2(е1 - 2Не2)). (6.4)

Р Р Р

Пользуясь формулами (1.4), (1.5) и (6.1), находим

.(_ 2Н _ Л 2Н (2Н ^ 2Н _ Л

й\ е1------е2 |=—И--------(а12 -аР)-а11 II е1-----е2 | +

1 4 Н

+

3

У

(5е2 + 2 Н Ре3). (6.5)

.р Р

Подставляем (6.5) в (6.4), получаем

^ 2Н 1 ^ 3 ^ ^ 1 ^ 2

е1------е2,5е2 + 2 Н ре3, й 5е2 +5(ю2 е1 +ю2 е3) + (2рйН + 2 Нй р)е3 + 2Н р(ю3 е1 +ю3е2) =

Р

= 5(5ю2 + р2йН + 2 Нй р) - 2 Н р(й 5 + 2Н рю^) - 4Н 2 (5ю2 + 2 Н рю3) =

4Н 2

= -5р(а11 + 5+-----(а22 +5) + 2аН) Ф 0.

11 р2 22

Отсюда видим, что в общем случае (при Н Ф 0) линия кривизны 2-го рода, не совпадающая с асимптотической линией, является пространственной кривой.

Далее заметим, что координаты неподвижной точки М0(—,-2Н- ,0) удовлетво-

5 5

ряют уравнениям 2Нх1 + рх2 = 0, х3 = 0, определяющим нормаль кривой (6.3) в

произвольной её точке М. Это возможно лишь тогда, когда сама кривая лежит на сфере с центром в точке М0. ■

Кривизна и кручение линии кривизны 2-го рода, не совпадающей с асимптотической линией, определяются соответственно формулами

к * = 4Н_2(4 Н2 +р2) + 52

К =

V 4Н2 +Р2

4Н2 (6.6)

-5р(о,п +5+---------— (а22 +5) + 2аН)

________________Р____________________

4Н 2 (4 Н2 +р2) + 52 '

Заметим, что к = 0 только при Н = 0, то есть только для минимальных него-лономных конусов [6].

7. Неголономные цилиндры

Определение. Неголономным цилиндром называется НТ-2, плоскости которого параллельны одной прямой.

Как было отмечено выше, для неголономного цилиндра инвариант 5 = 0, а все плоскости п параллельны одной прямой с направляющим вектором 2Не1 + ре2. Условия, выделяющие неголономные цилиндры из НТ-2 общего вида, следующие:

Ър + 2аН = 0,

о 2Н

Р22 = ар а12 + а22,

Р

о а2 , 2На23 - аа12 (7.1)

г23~ ,

Р

а3 - аа13 + 2На33 Р33 = .

Р

Подставив (7.1) в (1.5), получим основные формулы для неголономных цилиндров

ю3 = Рю2 + аю3,

2 2Н ( 2 + 3) (7.2)

ю3 =-(рю + аю ).

Р

рю!, =а11ю1 + (а12 - ар)ю2 + (а13 - а2)ю3,

йр = (а12 +----11)ю1 + (а22 + (а12 - ар))ю2 + (а23 + а13 + 2рН)ьг’,

Р Р Р

2аНа,, 1 2аН, чч 2 2аН, 2 3

йа = (а13 +----2—)ю + (а23 +---^(а12 - ар))ю + (а33 +----^(а13 - а ))ю , (7.3)

Р Р Р

2Н 1 2Н 2

2йН = (-----а12-а11)ю +(-------а22 +ар-а12)ю +

Р Р

,2Н 4Н2 а2 „о ^3

+ (---а23 +--------+ 4Н -а13 + а )ю .

Р 23 Р2 13

Предложение 1. Только для неголономного цилиндра через каждую точку М проходит эквидирекционная поверхность, пересекающая плоскость п по линии, являющейся одновременно асимптотической линией и линией кривизны 2-го рода.

Доказательство. Эквидирекционные линии определяются уравнениями (4.3). Эти уравнения линейно зависимы лишь при 5 = 0 , то есть только для неголоном-ных цилиндров. При этом уравнение

рю2 + аю3 = 0 (7.4)

вполне интегрируемо. Это означает, что через каждую точку М проходит одна эк-

видирекционная поверхность. Асимптотические линии, совпадающие с линиями кривизны 2-го рода, имеют уравнения

ю2 =ю3 = 0 (7.5)

и, как видим, принадлежат эквидирекционной поверхности (7.4). С другой сторо-

ны, линии (7.5) лежат в плоскостях п . ■

Предложение 2. Асимптотическая линия неголономного цилиндра, не совпадающая с линией кривизны 2-го рода, представляет собой прямую линию, параллельную неподвижной прямой цилиндра.

Доказательство. Асимптотическая линия, не совпадающая с линией кривизны 2-го рода, имеет уравнения

рю1 - 2 Ню2 = 0,

ю3 - 0.

(7.б)

Её касательный вектор 2Не1 + ре2 в любой её точке параллелен вектору неподвижной прямой цилиндра. Это возможно лишь тогда, когда данная линия есть прямая линия. ■

Предложение 3. Линия кривизны 2-го рода неголономного цилиндра, не совпадающая с асимптотической линией, является плоской линией, лежащей в плоскости, ортогональной прямолинейной асимптотической.

Доказательство. Линия кривизны 2-го рода, не совпадающая с асимптотической линией, определяется уравнениями

2Н ю1 +рю2 = 0,

ю3 - 0.

(7.7)

Вычислим кривизну и кручение линии (7.7), получим к = 2Н, к = 0. Таким образом, данная линия - плоская линия. Плоскость, в которой она лежит, это плоскость

2 Нх1 + рх2 = 0, (7.8)

ортогональная направляющему вектору прямолинейной асимптотической линии. ■

Предложение 4. Линия кривизны 2-го рода неголономного цилиндра, не совпадающая с асимптотической линией, является геодезической прямейшей линией.

Доказательство. Плоскость (7.8), в которой лежит данная линия кривизны

2-го рода, является её соприкасающейся плоскостью. Из (7.8) видим, что она проходит через нормаль распределения, то есть линия (7.7) - геодезическая прямейшая. ■

Как было отмечено выше, всякая линия кривизны 2-го рода характеризуется тем, что вдоль неё нормали распределения образуют торс. Так как для неголоном-

ного цилиндра линия кривизны 2-го рода, совпадающая с асимптотической линией, является также эквидирекционной линией, то это значит, что вдоль неё нормали распределения описывают цилиндр. Для второй линии кривизны 2-го рода нормали (при H Ф const) описывают торс, точка ребра возврата которого имеет

координаты (0,—-—,0), при этом 2H есть кривизна в соответствующей точке 2H

данной линии кривизны 2-го рода. Заметим, что при H — const Ф 0 линия кривизны 2-го рода, не совпадающая с асимптотической линией, становится окружностью, а нормали вдоль неё образуют пучок с центром в центре окружности. Существование таких неголономных цилиндров не очевидно. Переходим к доказательству соответствующей теоремы.

Теорема. С произволом одной функции двух аргументов существуют неголо-номные цилиндры постоянной не равной нулю средней кривизны.

Доказательство. При доказательстве теоремы применяется достаточный признак Кэлера [1]. Если H — const Ф 0, то из (7.3) следует

„ ^ 4 H2 2 H о 4H2 „о 2H

а11 = 2aH +-— а22, а12 = ар +-а22, а13 = а (1 +-------—) + 4H +-----а23.

р2 Р р2 Р

Используя эти равенства, приведём систему (7.3) к виду

ю2 =

2Hd р

2 4H2 + р2’

р d р /2H - 2 а -3

= (----а22 + ар)ю +а22ю +а23ю + 2Hр(1 + —)ю , (7.9)

22 22 23

4H2 +р2 р р2

л ,2H 2 л тт2 4H2а2 - 2 3 4H2adр

da — (-а 23 + а + 4п +- —)ю + а23ю + а33ю +

(7.10)

23 ^ и -Г-Г11 -Г JVJ -г ^2^ -Г 2

р р2 р(4я +Р2)

Замыкаем систему (7.9), получаем 2H

----dа22 Л ю + dа22 Л ю + dа23 Л ю + А-ю Л ю + B-ю Л ю + C-& Л ю — 0,

р

----dа23 Л ю + dа23 Л ю + dа33 Л ю + Д2ю Л ю + В2ю Л ю + С^ю Л ю — 0,

р

где Д, Bt, С - функции от а22, а23, а33, а, р, H. В частности,

„ 16H3 а 2Ч а2 4H2 8Ha . „ а\ 2

B1— (——(1+—)+2H(1—2))а22 +—— а22а23 +--а23 +8H а(1+—)-ар ,

р р р р р р ^ 4H2 a 8H2a2 8H2 8H3 ^тт 2Ha3

С1 =------(~Т-1------------4-2 )а22-7 а22 а23 +^а23 +ра33 +2Дйр+--------

р 3р 2 р р р Р (7.11)

- (1+4),

р р2

„ „ , , 8H 2Ч 2а H 4H2 8aH3

Д = 2аа 23 (-1----7-)-ра33-----------(—^+1)----------.

р2 р р2 р

Положим

d а 22 — Х1ю1 + ц1ю2 +v1ю3,

d а 23 — X 2ю' + ц2ю2 + v 2ю3, (7.12)

d а33 — Х3ю' + ц3ю2 + v 3ю3.

Строим цепь интегральных элементов Е1 с Е2 с E3. Для Е1 положим

ю1 — ю2 — 0. Тогда параметры vt (i —1,2,3) останутся свободными, следовательно,

Г — 3 (обозначения соответствуют принятым в [1]). Для Е2 положим ю1 — 0 и подставим (7.12) в (7.10), получим ц2 — v1 - Bl, ц3 — v2 - B2. Остаётся свободным ц, то есть r2 — 1, а характер s1 — r1 - r2 — 2 . И, наконец, подставляем (7.12) в (7.10), получаем

X 2H А X 2H + С . 2H + С

XI —-----ц - А1, X2 —------v1 + Ц, X3 —--v2 + С2,

р р р 2H

---B + А2 + C1 — 0. (7.13)

р

Равенство (7.13) в силу (7.11) является тождеством. Поэтому r3 —0, характер s2 — r2 -r3 — 1,s1 + s2 — 3. Достаточный признак Кэлера выполнен. Неголономный цилиндр с постоянной не равной нулю средней кривизной существует с произволом одной функции двух аргументов. ■

ЛИТЕРАТУРА

1. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана. М. - Л.: ГИТТЛ, 1948.

2. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.

3. Вершик А.М., Гершкович В.Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи // Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1987. Т. 16. С. 7 - 85.

4. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1. М.: Наука, 1981.

5. СинцовД.М. Работы по неголономной геометрии. Киев: Вища школа, 1972.

6. Онищук Н.М., Цоколова О.В. Минимальные неголономные торсы 2-го рода // Вестник Томского госуниверситета. Математика и механика. 2009. № 3(7). С. 42-55.

7. АминовЮ.А. Геометрия векторного поля. М.: Наука, 1990.

8. Слухаев В.В. Геометрия векторных полей. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1982.

Статья принята в печать 30.10.2010 г.

Onishuk N. M., Tsokolova O. V. NON-HOLONOMIC TORSES OF THE SECOND KIND. Twodimensional non-holonomic distributions of zero total curvature of the second kind (NT-2) are considered using Cartan’s method and moving frames in the three-dimensional Euclidean space. Classification of NT-2 is presented and properties of invariant NT-2 curves are studied.

Keywords: non-holonomic geometry, distribution of planes, Pfaffian equation, vector field.

ONISHUK Nadezhda Maksimovna (Tomsk State University)

E-mail: [email protected]

TSOKOLOVA Olga Vyacheslavovna (Tomsk State University)

E-mail: [email protected]