Векторные поля нулевой полной кривизны второго рода в четырёхмерном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика и механика. Физика

УДК 514.752

ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НУЛЕВОЙ ПОЛНОЙ КРИВИЗНЫ ВТОРОГО РОДА В ЧЕТЫРЁХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Н.М. Онищук, Д.Л. Нарежнева

Томский государственный университет E-mail: Sengulie@yandex.ru

Исследована геометрия гладкого векторного поля, для которого полная кривизна 2-го рода равна нулю в некоторой области G четырёхмерного евклидова пространства E4. Дана полная классификация таких векторных полей в зависимости от ранга основного линейного оператора. Изучены геометрические свойства кривых неголономного пфаффова многообразия, ортогонального векторному полю, для каждого класса. Построен пример векторного поля (в целом), имеющего постоянный не равный нулю вектор неголономности. Исследование ведётся при помощи метода внешних форм Картана с использованием подвижного репера.

Введение

Пусть v - гладкое векторное поле без особых точек в области GcE4. К полю v присоединим подвижной ортонормированный репер {M;ea}, MeG. Его деривационные формулы запишем в виде

dr =maea,dea =mßaeß, где r - радиус-вектор точки M,

e4 = ,aß = -aß, daa = aß л aß , daß =

4 v a ß ß a

= aß лю^,(a,ß,Y = 1,4).

При этом уравнение Пфаффа ю4=0 задаёт трёхмерное распределение (M, щ) [1], т. е. гладкое отображение, сопоставляющее всякой точке Me G гиперплоскость п3, ортогональную вектору поля v в этой точке. Все интегральные линии и поверхности уравнения ю4=0, проходящие через M, касаются в данной точке гиперплоскости щ. Совокупность всех интегральных кривых и поверхностей уравнения Пфаффа ю4=0 назовём (следуя [2]) пфаффовым многообразием, ортогональным векторному полю v. Плоскость п3 - касательной плоскостью пфаффова многообразия ю4=0 в точке M. Если уравнение ю4=0 вполне интегрируемо, то через каждую точку M проходит одна интегральная гиперповерхность, и мы имеем слоение [3]. Пфаффово многообразие в этом случае называется голоном-ным [1, 2]. В противном же случае - неголоном-ным. Мы будем исследовать векторное поле с него-лономным пфаффовым многообразием.

Основные инварианты векторного поля (а также ортогонального ему пфаффова многообразия) совпадают с инвариантами основного линейного оператора А [4], определяемого формулой

A(dr) = de4.

Его матрица в базисе {ej совпадает с матрицей (Ар), получающейся в разложении главных форм Пфаффа юа по базисным формам юа:

ю? = Аарюр. (1)

Одно из собственных значений А оператора А равно нулю. Собственные векторы £ (£а) соответствующие A)=0, определяются системой уравнений

Аа £а= 0, (i = 1,2,3) (2)

и являются касательными к эквидирекционным линиям (линиям, вдоль которых векторы поля параллельны [2, 4]). В зависимости от ранга оператора А через точку M проходит либо одна эквидирек-ционная линия (rang А=3), либо эквидирекцион-ная поверхность - двумерная (rang А=2) или трёхмерная (rang А=1). Все эти случаи мы исследуем ниже.

В работе используются следующие обозначения: k/2) - главные кривизны 2-го рода,

K2=-kj(2)k22)k3(2) - полная кривизна 2-го рода, р=р‘6 - вектор неголономности, Ц1) - главные кривизны 1-го рода, K1=-k1(1)k;|1)k3(1) - полная кривизна 1-го рода, А* - сужение оператора А на плоскость п3 [4].

Векторное поле, для которого ^=0 и rang A=3

Такое векторное поле характеризуется тем, что через каждую точку M проходит единственная эквиди-рекционная линия и эта линия принадлежит пфаффову многообразию ю4=0. Направим вектор 6 по касательной к эквидирекционной линии, тогда из (2) следует А}=А2=А1=0. А так как rang А=3, то определитель

а; а; а;

А = А2 а2 А2 Ф 0.

A3 A33 A3

Покажем, что для исследуемого поля (K2=0, rang А=3) эквидирекционная линия является также линией кривизны 2-го рода. Для этого достаточно показать, что одно из главных направлений 2-го рода совпадает с направлением вектора ?1. Главные кривизны 2-го рода [4] отличаются лишь знаком от корней уравнения

a; -a а2

Ai2

A3

А22 -A

А

A3

A32 А33 -A

= 0.

Так как К=0, то хотя бы одна из главных кривизн 2-го рода равна нулю, пусть &р=0. Соответствующий собственный вектор, определяющий главное направление 2-го рода, найдётся из системы уравнений

1 = 0, (/, ] = 1,2,3),

а так как А^=ЛЦ=Л^=0, то в плоскости п3 мы получаем вектор, для которого ^2=^3=0, т. е. вектор е1 -это вектор главного направления 2-го рода.

Покажем, что эквидирекционная линия является ещё и асимптотической линией пфаффова многообразия а4=0. Находим асимптотические линии, для них

(с1 V, е1, е2, е3^ = 0.

Отсюда, используя деривационные формулы, приходим к уравнению

А22(ю2)2 + А33 (ю3)2 + А^ю'ю2 + +А® ю + (A3 + А2 )ю ю = 0,

(3)

А22( х2)2 + А33 (х3)2 + a; x1 х2 + +А3Х х3 + (А32 + А23)х2 х3 = 0.

(4)

Исследуем множество плоскостей щ. Находим характеристику плоскости п3 при смещении по любой кривой, проходящей через точку М:

х4 = 0,

(Л®2 + Л® + Л4а4)х‘ + (Л® + Л32а3 + Л42а4)х2 +

+(Л3а2 + Л33а3 + Л>4)х3-а4 = 0. (5)

В уравнение (5) входят только три базисные формы. Это говорит о том, что множество плоскостей п3 зависит только от трёх параметров (а не от четырёх как в общем случае). Характеристическая точка М0 плоскости п3 имеет координаты

А2 A3 А3 а; а; А2

А2 A33 A33 A3 A3 A3

А

А

А

Аф 0.

определяющему асимптотические линии на ®4=0. Уравнение (3) при ®2=®3=®4=0 обращается в тождество. А так как ®2=®3=®4=0 - эквидирекцион-ные линии, то это значит, что всякая эквидирек-ционная линия является асимптотической линией. Асимптотическая линия, совпадающая с эквиди-рекционной, лежит в плоскости п3. Касательные к асимптотическим линиям, проходящим через точку М, образуют конус

То есть плоскости п3 имеют огибающую - трёхмерную поверхность, описываемую точками M0. Подставив координаты точки М0 в уравнение (4), убеждаемся, что точка M0 лежит на касательной к одной из асимптотических линий, проходящих через точку М. Итак, прямая ММ0 - касательная к одной из асимптотических линий.

Поместим вектор е2 в плоскость {M,e1,MM0}, тогда А21А32=А31А22 и репер становится каноническим. Заметим, что характеристики плоскости п3 при смещении по кривым, принадлежащим ю4=0, образуют пучок, осью которого является прямая ММ0, (это следует из (5)).

Переходим к нахождению главных направлений 2-го рода, соответствующих кривизнам k22),k32). Из уравнения

A2 - (А22 + А33 )А + А22А33 - А32А23 = 0

находим A2=-k22), A3=-k32). Вычислив главные направления 2-го рода, соответствующие кривизнам k2),k2), убеждаемся, что они ортогональны прямой ММ0. Итак, доказана следующая теорема.

Теорема 1. Гладкое векторное поле, для которого K2=0 и rang А=3 обладает следующими свойствами: 1) равна нулю только одна из главных кривизн 2-города (kj2)=0); 2) через каждую точку М проходит одна эквидирекционная линия, совпадающая с линией кривизны 2-го рода и являющаяся также асимпто-тическойлинией, лежащей в плоскости п3, 3) множество плоскостей п3 зависит от трёх параметров и имеет в качестве огибающей трёхмерную поверхность; 4) характеристики плоскости п3, полученные при смещении по всем кривым, принадлежащим ю4=0, образуют пучок с осью ММ0 (М0 - точка огибающей в плоскости п); 5) в точке М главные направления 2-го рода, соответствующие k2(2) и k(32) ортогональны прямой ММ0; 6) прямая ММ0 является касательной к асимптотической линии, не лежащей в плоскости п3.

Векторные поля, для которых K2=0 и rang A=2

В этом случае через каждую точку Ме G проходит одна 2-мерная эквидирекционная поверхность, являющаяся интегральной поверхностью системы уравнений Пфаффа:

0

A¡a>1 + Al,m2 + Ai + A'4a4 = 0,

A? а1 + A212 + A313 + A? a i = 0. (6)

Обозначим

A =íA Al A3 * I A A A?

Касательная плоскость T2 эквидирекционной поверхности в точке M определяется уравнениями

Aj1 x1 + A? x2 + Aj x3 + A4 x4 = 0,

A? x1 + A? x2 + A? x3 + A? x4 = 0. (7)

Плоскость T2 либо пересекает плоскость п3 по прямой, когда rang A.=2, либо принадлежит плоскости п3, когда rang A,=1.

Рассмотрим каждую из этих возможностей.

а) Пусть rang A,=2. Направим вектор e1 по линии пересечения Т2 и п3, тогда

Al A?

Aj = A12 = 0,

Aj

A2

Ф 0.

линией кривизны 2-го рода; 5) линии кривизны 2-го рода, соответствующие кривизнам k22),k32), ортогональны этой асимптотической; 6) характеристики плоскости п4, полученные при смещении по кривым, не принадлежащим ю4=0, параллельны оси пучка.

б) Пусть rang А,=1. В этом случае в точке Ме G плоскость Т2сп3 и 2-мерная эквидирекционная поверхность является интегральной поверхностью для ю4=0. Поместим векторы еье2 в плоскость T2, тогда получим

A¡ = Aj = A12 = A? = 0

A A 2

Ф 0.

А так как K2=0, то А3=0. Легко проверить, что в точке М одна из линий кривизны 2-го рода (та, которая соответствует кривизне k1(2)=0) лежит на эк-видирекционной поверхности, т. е. является экви-дирекционной линией. Кроме того, эта линия лежит в плоскости п3 и представляет собой асимптотическую линию. Множество плоскостей п3 зависит от трёх параметров, но в силу того, что rang А=2, это множество не имеет огибающей. Характеристики плоскости п, получающиеся при смещении по кривым из ю4=0, есть двумерные плоскости, проходящие через одну прямую

А х1 + А22 х2 + А23 х3 = 0,

A3 х1 + А32 х2 + А33 х3 = 0,

х4 = 0. (8)

Характеристики же плоскости п3, получающиеся при смещении по любой кривой, не принадлежащей ю4=0, параллельны прямой (8). Прямая (8) касается некоторой асимптотической линии, не лежащей в плоскости п3. Можно показать, что этой прямой ортогональны главные направления 2-го рода, соответствующие кривизнам Ц2)ф0, kf^0. Тем самым доказана следующая теорема.

Теорема 2. Гладкое векторное поле, для которого K2=0, rangA=2, rangA,=2 обладает следующими свойствами: 1) равна нулю только одна из главных кривизн 2-го рода ; 2) через каждую точку М проходит одна 2-мерная эквидирекционная поверхность, на которой одна из линий является линией кривизны второго рода (та, которая отвечает кривизне k(2)=0) а также — асимптотической линией, лежащей в плоскости п3; 3) множество плоскостей п3 зависит от трёх параметров, но не имеет огибающей; 4) характеристики плоскости п, полученные при смещении по кривым из ю4=0 образуют пучок, ось которого касается асимптотической линии, не совпадающей с

Кроме того, так как га^А=2, то А3=А3=0, (А3)2+(А32)2ф0. Эквидирекционные поверхности после этого определятся уравнениями

®3 = а4 = 0, (9)

а асимптотические линии - уравнениями

(А3®1 + Л32а2 + Л33®3)®3 = 0,®4 = 0.

Таким образом, множество всех асимптотических распадается на два множества, одно из которых совпадает с (9), следовательно, является голо-номным, второе же - неголономным, так как система уравнений

л1„1 , /12 2 , л 3 „ 3 /л 4

A31 + А32а + Aja = 0,a = 0

(10)

не является вполне интегрируемой.

Конус касательных к асимптотическим линиям в точке М распадается на две двумерные плоскости. Одна из них совпадает с Т2, вторая Т* имеет уравнения

Л3х' + Л32 х2 + Л33 х3 = 0, х4 = 0.

Направив вектор 6 по линии пересечения плоскостей Т2 и Т2*, получим А3=0,А32ф0. А33=-к32)=Н, к(12)=к<22)=0, А32=к32^ф, где ф - угол между плоскостями Т2 и Т2*, если к32)ф0. Если же к32)=0, то плоскость Т2* ортогональна плоскости Т2.

Вектор кривизны кп линии тока векторного поля определяется формулой

кп = Л! е1 + Л42 е2 + Л43 е3.

Всякое направление плоскости Т2 есть главное направление 2-го рода, соответствующее кривизне к2)=к2)=0. При этом, если А33=0, то к32)=0 и других направлений 2-го рода в точке М не существует. Если же А33ф0, то кривизне к32)=-А33 соответствует главное направление А2е2+А3е3 ортогональное плоскости Т2*. Линии кривизны 2-го рода, соответствующие к2)=к2)=0, совпадают с эквидирекцион-ными линиями, то есть в каждой точке Мобразуют 2-мерную поверхность - интегральную для уравнения ®4=0. При А33=0 других линий кривизны 2-го рода нет, а при А33ф0 через точку М проходит ещё одна линия кривизны 2-го рода, не принадлежащая эквидирекционной поверхности. Эта линия определяется системой уравнений

А33®2 -Л32а3 = 0,®1 = а4 = 0.

Вычислив главные кривизны и главные направления 1-го рода убеждаемся, что одна из главных кривизн 1-го рода равна нулю (k(11)=0) и ей соответствует главное направление, совпадающее с направлением вектора 6 Итак, для данного класса векторных полей не только K2=0, но и Kj=0. Однако а4=0 остаётся неголономным многообразием, так как вектор неголономности р=1/2А32661ф0. Направление вектора неголономности совпадает с главным направлением 1-го рода (заметим, что оно является также одним из главных направлений 2-го рода). Если А3=0 (k2)=0), то главными направлениями 1-го рода будут также направления (0: 1: ±1), совпадающие с направлениями биссектрис углов между прямыми, получающимися в сечении плоскостей

ГГЧ ГГЧ* >_> rjТ ГТ1 *

T2 и T2 плоскостью, ортогональной прямой T2nT2.

Рассмотрим множество плоскостей п3. Найдём характеристики плоскости, полученные при её смещении по любому направлению:

х4 = 0,

А^а4 х1 + (А32а3 + А42 а4 )х2 + (А343 + А43а4 )х3 +а4 = 0.

Отсюда видим: 1) множество плоскостей п3 зависит лишь от двух параметров; 2) все характеристики плоскости п3 образуют пучок с осью

х4 = 0,

А32 х2 + А33 х3 = 0,

А1 х1 + А42 х2 + A3 х3 = 0;

3) при смещении по любой кривой из а4=0, не лежащей на эквидирекционной поверхности, мы имеем одну и ту же характеристику плоскости п3, совпадающую с плоскостью T2*.

В результате доказано следующее предложение.

Теорема 3. Гладкое векторное поле, для которого K2=0, rang А=2, rang А*=1 обладает следующими свойствами: 1) по крайней мере, две из главных кривизн 2-го рода равны нулю (kj2)=k22)=0); 2) через всякую точку М проходит 2-мерная эквидирекционная поверхность, являющаяся интегральной поверхностью для ю4=0 и принадлежащая гиперплоскости п3; 3) все линии эквидирекционной поверхности являются линиями кривизны 2-го рода, соответствующими кривизнам kj2)=k22)=0, а также и асимптотическими линиями; 4) конус касательных к асимптотическим линиям в точке М распадается на две, пересекающиеся по прямой, двумерные плоскости Т2 и T2*, одна из которых (Т2) является касательной плоскостью к эквидирекционной поверхности; 5) множество всех асимптотических линий распадается на два множества: голономное, расслаивающееся на эквидирек-ционные поверхности, и неголономное с касательными плоскостями Т2* в каждой точке М; 6) полная кривизна K1 первого рода также равна нулю, но среди главных кривизн 1-го рода лишь одна обращается в нуль (kj1)=0,k21^0,k(31^0); 7) направление прямой Т2пТ2* есть главное направление 1-го рода, соответствующее k{1)=0; 8) при kj2)=k2)=k32)=0 все направле-

ния плоскости Т2 являются главными направлениями 2-го рода, других главных направлений 2-го рода нет; 9) при kj2)=k22)=0,k32^0 кроме главных направлений 2-го рода, лежащих в Т2, имеется ещё одно главное направление 2-го рода, ортогональное Т2* и прямой Т2пТ2*; 10) множество плоскостей п3 зависит лишь от двух параметров и имеет в качестве огибающей трёхмерный торс с прямолинейными образующими; 11) характеристикой плоскости п3, полученной при смещении по любой кривой из 4=0, является плоскость Т2*.

Векторные поля, для которых K2=0 и rang A=1

Если, rang А=1, то через каждую точку Ме G проходит одна трёхмерная эквидирекционная поверхность [3]. Касательная плоскость Т3 этой поверхности либо пересекает плоскость щ по двумерной плоскости Т2=п,пТ3, либо Т3=п. В последнем случае пфаффово многообразие 4=0 - голономно и мы имеем слоение [3], слоями которого являются трёхмерные линейчатые поверхности. Этот случай оставляем в стороне и переходим к рассмотрению первого случая.

Плоскость Т2=п3пТ3 определяется уравнениями А2 х1 + А22 х2 + А32 х3 = 0,

х4 = 0. (11)

Поместим векторы еье2 в эту плоскость, тогда А2=А22=0,А32Ф0 и система (11) примет вид

х3 = х4 = 0. (12)

Так как в рассматриваемом случае rang А=1, то

А1 = а1 = а3 = а23 = 0:

А1

а2

= 0,

= 0. (13)

При этих условиях конус касательных к асимптотическим линиям в точке М распадается на две двумерные плоскости: Т2 и Т2*. Плоскость Т2 имеет уравнения (12), плоскость Т2* - уравнения

Л^х1 + Л32 х2 + Л33 х3 = 0, х4 = 0.

Так как А32ф0, то можно положить А]=0 направив вектор 6 по прямой Т2пТ2*. Кроме того, из (13) следует, что А4=0. После этого репер {М,еа} становится каноническим. В нём вектор кривизны линии тока поля V определяется формулой

кп = Л42 е2 + Л43 е3.

То есть соприкасающаяся плоскость линии тока поля V ортогональна прямой Т2пТ2‘, а вектор него-лономности

Р= -2 Л32 е1 ф 0

параллелен этой прямой.

Находим главные кривизны и главные направления 2-го рода, получаем к(2)=к22)=0,к32)=—А|. Главные направления 2-го рода в точке М, соответствующие кривизнам к|2)=к22)=0 - это все направле-

3

3

ния плоскости Т2. Направление же, соответствующее к32)=—А3, есть направление вектора А326+А363, который при А3=0 лежит в плоскости Т2, а при А3ф0 ортогонален плоскости Т2*.

Все асимптотические линии, касающиеся Т2, лежат в трёхмерной плоскости п3 и совпадают с теми линиями кривизны второго рода, которые соответствуют кривизнам к|2)=к22)=0.

Для главных кривизн 1-го рода находим формулы

С = 0, к213 = -н-к3(2) ±^ (к32))2 + 4( Р)2).

Главное направление 1-го рода, соответствующее кривизне к|3)=0, совпадает с направлением прямой Т2пТ2*. Это также случай, когда К3=К2=0, но пфаффово многообразие, ортогональное векторному полю, остаётся неголономным, даже если все главные кривизны 2-го рода нули. Заметим, что при к12)=к22)=к(2)=0 плоскости Т2 и Т2* ортогональны.

Для данного класса векторных полей характеристики плоскости п3 определяются уравнениями

х4 = 0,

(Л® + Л42®4)х2 + (Л33®3 + Л;3®4)х3 -а4 = 0.

Отсюда видим, что множество всех плоскостей п3 зависит лишь от двух параметров. При смещении по любой кривой из а4=0, не лежащей на эквиди-рекционной поверхности, мы имеем одну и ту же характеристику - плоскость Т2*. При смещении по кривым, не принадлежащим а4=0, характеристики плоскости п3 параллельны Т2*. Таким образом, двупараметрическое семейство плоскостей п3 не имеет огибающей и состоит из касательных плоскостей однопараметрического семейства торсов с двумерными плоскостными образующими. Итак, мы пришли к следующему утверждению.

Теорема 4. Гладкое векторное поле, для которого К2=0, и вектор неголономности рф0 обладает следующими свойствами: 1) по крайней мере, две главные кривизны второго рода равны нулю к|2)=к2)=0; 2) через каждую точку М проходит одна 3-мерная эквидирек-ционная поверхность, касательная плоскость Т3 которой пересекает плоскость п2 по двумерной плоскости Т2; 3) линии кривизны 2-го рода, соответствующие кривизнам к(2)=к22)=0 образуют в точке М 2-мерную поверхность, лежащую в плоскости п3 и имеющую касательную плоскость, совпадающую с Т2; 4) конус касательных к асимптотическим линиям в точке Мраспадается на пару двумерных плоскостей Т2 и Т2*, пересекающихся по прямой, при этом асимптотические линии, касающиеся Т2, совпадают с линиями кривизны 2-го рода; 5) одна из линий кривизны

1-го рода равна нулю (к(11)=0), а соответствующее ей главное направление 1-го рода совпадает с направлением прямой Т2<^Т2; 6) плоскости Т2 и Т2* ортогональны лишь при к(2)=к22)=к32)=0, в этом случае все главные кривизны 2-го рода, проходящие через точку М, принадлежат двумерной поверхности; 7) если к32)ф0, то главное направление 2-го рода, соответствующее кривизне к2)ф0, ортогонально плоскости Т2* и прямой

Т2глТ2; 8) множество плоскостей п3, ортогональных векторному полю, зависит от двух параметров, не имеет огибающей и состоит из касательных плоскостей однопараметрического семейства торсов с

2-мерными плоскостными образующими.

Теорема 5. Существует единственное векторное поле класса kf)=k22)=k2)=0 с прямыми линиями тока и постоянным не равным нулю вектором неголономности.

Доказательство. Пусть k12)=k22)=kf)=0 и линии тока векторного поля - прямые линии. Тогда А4=А42=А43=0, а формулы (1) принимают вид

m4 = 0, ml = 2p43, а4 = 0. (14)

Вектор неголономности р в этом случае определяется формулой

р = рх ev

Потребуем, чтобы вектор р был постоянным не равным нулю вектором. Тогда

d р = 0.

То есть фе1+р1(а12е2+а13е3)=0’. Отсюда следует р1 = const Ф 0,m12 = m3 = 0. (15)

В силу (14), (15) для внешних дифференциалов базисных форм имеем

dm1 = 0,dm2 = 2р1ю4 лю3,dm3 =

= m2 л m2, dm4 = 2р1ю3 лю2.

Дифференцируя внешним образом формы (14) и применяя затем лемму Картана, получим m23=0 и тогда dm 3=0.

Так как dm '=0, dm 3=0, то можно положить m1=dt, m3=dy. Кроме того, обозначим 2р'=а. После этого деривационные формулы репера принимают вид

dr = dte1 +m2 e2 + dye3 +m4 e4,

de1 = 0,

de2 = -adye4,

de3 = 0,

de4 =adye2. (16)

Из (16) имеем

— — — — de2 — d2 e2 —

ei =S1, e3 =s3^“dy =~ae4-^ = ~ae2-

Следовательно,

e2 = e2 cos(ay) +e4 sin(ay), e4 = e2 sin(ay) -e4 cos(ay), dr = e1dt + m2(e2 cos(ay) + e4 sin(ay)) +

+e3dy + m4(e2 sin(ay) -e4 cos(ay)),

где (е1,е2,е3,е4) - постоянный ортонормированный базис, а=сош1^0. Заметим, что

ё (со8(ау)ю2 + ът(ау)юА) = 0, ё(8ш(ау)ю2 -со8(ау)ю4) = 0.

Следовательно, можно положить

соз(ау)ю2 + 8ш(ау)ю4 = ёх,

$,т(ау)ю2 -соз(ау)ю4 = ёЪ.

Итак,

ёг = Ехй1 + е2ёх + е3ёу + еасЬ .

Отсюда находим

г = teí + хе2 + уе3 + z£4 + г0, (17)

6 - постоянный вектор. Поместим начало неподвижной системы координат в точку М0(6), за базис примем векторы (е1,е2,е3,е4). Из (17) следует, что всякая точка МеЕ4 в данной неподвижной декартовой системе координат имеет координаты (¡,%,у,1), а векторным полем, удовлетворяющим условиям теоремы, будет поле е4=8т(ау)е2-со8(ау)е4, где а=сош1^0. Тем самым доказано, что в Е4 существует единственное векторное поле, для которого все три главные кривизны 2-го рода нули, линии тока -прямые линии, а вектор неголономности - постоянный вектор. Пфаффово многообразие, ортогональное данному полю, неголономно и определяется уравнением Пфаффа

Ъ1п(ау)ёх - cos(аy)ёz = 0,

вектором неголономности является вектор р =ае1.

Для векторного поля е4=8т(ау)е2-со8(ау)е4 находим основные инварианты, инвариантные линии и поверхности в неподвижной декартовой системе координат.

Эквидирекционные поверхности представляют собой трёхмерные плоскости у=с.

Асимптотические линии - линии, лежащие в двумерных плоскостях

х = а,

z = Ь (18)

и У = с,

z = tg(aс)x + т. (19)

Главными кривизнами 1-го рода будут

к,(1) = о к„(2) = — = - — Линии кривизны 1-го

1 ’ 2 2 ’ 3 2'

рода, соответствующие кривизне к(1)=0, - это прямые, являющиеся линиями пересечения плоскостей (18) и (19). Линии кривизны 1-го рода, соответствующие кривизнам к2ч = а, к3(1) = -у - это винтовые линии, определяемые уравнениями t = с1, х = а§1п(ау) + с2,

z = -0асо8(^у) + сз (20)

t = с1,

и х = -0-8т(ау) + с2

z =0асо8(ау) + с3. (21)

Из (20) и (21) видим, что линии кривизны 1-го рода, проходящие через точку МеЕ4 и соответствующие не равным нулю главным кривизнам 1-го рода, принадлежат одной трёхмерной плоскости, лежат на двух круговых цилиндрах одинакового радиуса — с общей образующей и общей дву-а

мерной диаметральной плоскостью. Кривизны к

всех линий кривизны 1-го рода одинаковы (к = —).

а

Кручения этих линий к = —1 также одинаковы во

а

всех точках.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вершик А.М., Гершкович В.Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 16. - М.: Изд-во ВИНИТИ, 1987. - С. 5-85.

2. Слухаев В.В. Геометрия векторных полей. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1982. - 96 с.

3. Дубровин Б.А., Новиков С.П. , Фоменко А.Т. Современная геометрия. - М.: Наука, 1979. - 759 с.

4. Онищук Н.М. Геометрия векторного поля в четырёхмерном евклидовом пространстве // Международная конференция по математике и механике (избранные доклады). - Томск, 2003. -С. 60-68.

Поступила 26.05.2006 г.