Неголономные торсы 2-го рода в четырехмерном евклидовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Математика и механика № 2(18)

УДК 514.752

О.В. Цоколова

НЕГОЛОНОМНЫЕ ТОРСЫ 2-ГО РОДА В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В области О четырехмерного евклидова пространства Я4 исследована геометрия гладкого трехмерного распределения Д3 нулевой полной кривизны 2-го рода.

Ключевые слова: неголономная геометрия, распределение, уравнение Пфаффа, метод Картана.

Гладкое отображение Д3, сопоставляющее V М £ Е4 (или области Сс£4) трехмерную плоскость п3, проходящую через М, называется трехмерным распределением в Е4 [1, с. 683; 2, с.19]. По распределению Д3 однозначно определяется уравнение Пфаффа, обладающее тем свойством, что все его интегральные многообразия, проходящие через М, касаются в этой точке плоскости п3. Распределение Д3 голономно, если определяемое им уравнение Пфаффа вполне интегрируемо и -неголономно в противном случае. Его интегральные кривые - это кривые распределения. Пара (М,п3) называется плоским элементом; плоскость п3 - плоскостью распределения в точке М, прямая I, проходящая через М ортогонально п3, - нормалью распределения в точке М. Множество всех плоских элементов (М,п3) представляет собой четырехмерное многообразие.

Для неголономного распределения Д3 определены два важных инварианта: К1

- полная кривизна 1-го рода и К2 - полная кривизна 2-го рода. В голономном случае К1 = К2 есть гауссова кривизна интегральной поверхности, проходящей через М. Равенство нулю гауссовой кривизны характеризует развертывающиеся поверхности (торсы). Поэтому неголономное распределение, для которого К2 = 0, естественно назвать неголономным торсом 2-го рода (НТ-2). (Аналогично, если для Д3 - инвариант К1 = 0, то это характеристика неголономного торса 1-го рода (НТ-1)). Данная работа посвящена изучению НТ-2 в четырехмерном евклидовом пространстве.

Предварительные сведения

Выберем подвижной ортонормированный репер {М, ё} следующим образом. Векторы ё1, ё2, ё3 поместим в плоскость %, вектор ё4 направим по нормали плоскости п3 в точке М. Пусть Г - радиус-вектор точки М. Деривационные формулы репера запишем в следующем виде:

= ш1 ё, (0.1)

йё1 = ш/ ё/,

где ш/ = —ш/, ^ш1 = ш] Л ш/, ^ш/ = ш/ Л ш/ , (£,/,£ = 1,4).

При таком выборе репера уравнение Пфаффа, определяемое распределением Д3 , имеет вид

ш4 = 0.

Формы Пфаффа - главные формы [3, с.288]. Из них - базисные фор-

мы, и поэтому

' ' ' (0.2)

4 = л] ш1.

Мі Л2 Л3 Л1

По матрице

(Л ) =

л2

3 Л4 ' Л2 Л2 Л3 Л4 Л3 Л3 Л3 Л4

0 0 0 0

определяем линейный оператор Л, назовем его основным линейным оператором. Инварианты оператора Л являются важнейшимими инвариантами распределения Д3. Оператор Л допускает сужение Л* на плоскость гс3. Матрица

Л12

(Л*) =

Л3 Л3 Л3 Л1 Л2 Л3

оператора Л* для неголономного распределения несимметрична. Симметричную часть оператора Л* обозначим В*, а кососимметричную через В. Матрицы операторов В* и В имеют соответственно вид

/

(В*) =

Л11

Л2 + л|

Л3 + л3^

Л3 + л3

2

Л3 +Л2

2

Л33

Обозначим

тогда

0 л|-лї 2 л|-лї\ 2

(В) = лї-4 2 0 л2-л2 2

Ы-4 \ 2 л2-л! 2 0 /

1 = л!-2 Л2 р2 = Лї-Л3 р3 = Л2 2 , ” 2

0 Р3 -Р2

( ) = = (-р3 0 Р1 і'

\ Р2 -Р1 0

(0.3)

Кососимметричный тензор с матрицей (В), называется тензором неголономно-сти. Он обращается в нуль (р1 = р2 = р3 = 0) тогда и только тогда, когда распределение Д3 голономно.

Собственные значения оператора А*, взятые с противоположными знаками,

- это главные кривизны второго рода (&Р\ Собственные векторы

оператора А*определяют главные направления 2-го рода. Линия распределения Д3, в каждой точке которой касательный вектор имеет главные направления 2-го рода, называется линией кривизны 2-го рода.

Вдоль линии кривизны 2-го рода нормали распределения образуют торс, точка ребра возврата которого на нормали имеет координату, обратную главной кривизне 2-го рода [4, с. 62].

2

2

2

2

и

Полной кривизной 2-го рода называется инвариант К2 = det(А*) = -к<2)к<2)к<2).

Аналогичным образом с оператором В* связаны понятия главных кривизн 1-го

/ (11 (11 (11Л

рода (&1 , к2 , &3 ), главных направлений 1-го рода и линий кривизны 1-го рода. Главные кривизны 1-го рода в точке М - это экстремали нормальных кривизн кривых распределения, проходящих через точку М [4, с.64].

(11 (11 (11

Полная кривизна 1-города К1 = det(В*) = -к1 к2 ^3 .

Полные кривизны 1-го и 2-го рода связаны следующей зависимостью [4, с. 64]:

К2 = К - (р1)2^1(1) - (р2)2к(1) - (р3)2к(1). (0.4)

Отсюда заключаем: если распределение Д3 голономно, то К1 = К2. Но если К1 = К2, то это еще не значит, что Д3 голономно. Пример неголономного распределения Д3, для которого К1 = К2, рассмотрим в конце данной работы.

Последний столбец матрицы (А') основного оператора А определяет вектор кривизны кп линии тока нормалей ё? распределения Д3, а именно

кп = А^ё?! + А|ё2 + А|ё4.

В дальнейшем будем обозначать А4 = а,А| = Ь, А| = с.

Определение. Трехмерное распределение Д3, для которого полная кривизна 2-го рода равна нулю, называется неголономным торсом 2-го рода в Е4. Переходим к рассмотрению неголономных торсов 2-го рода (НТ-2) в Е4.

НТ-2 разделим на три класса в зависимости от значений главных кривизн 2-го рода.

I. НТ-2, для которых только одна главная кривизна второго рода равна нулю (к(21 = 0).

II. НТ-2, для которых две главных кривизны 2-го рода нули, а третья главная

(21 (21 (21 кривизна второго рода отлична от нуля (к2 = к3 = 0, к1 ^ 0).

III. НТ-2, для которых все три главные кривизны 2-го рода имеют нулевые значения (к(21 = к(21 = к(21 = 0).

Исследуем геометрию каждого из этих видов.

I. Неголономные торсы 2-го рода, для которых только одна главная кривизна 2-го рода равна нулю

1. Главные кривизны 2-го рода для НТ-2 общего вида.

Линии кривизны второго рода

(21

Обозначим главную кривизну второго рода равную нулю через к3 . Направим вектор ? по главному направлению второго рода, соответствующему к(21 = 0. Тогда координаты вектора £? должны удовлетворять системе уравнений

А^1 + А2^2 + А3^3 = 0,

а2£1 + а2^2 +а3^3 = 0,

а3£1 + а2^2 +а3^3 = 0.

Так как для ? имеем £1 = 1, £2 = 0, £3 = 0, то

А1 =А2 =А1 = 0. (1.1.1)

И определитель матрицы А* будет иметь вид

0 12 Л Л

0 22 Л Л

0 Л2 Л

Отсюда получаем собственные значения оператора Л*: А3 = 0 = к.

(2)

^•1,2 = '

л|+л1±!(л|-л1)+4л2л|

= -к

(2)

Из (1.1.2) следует

- средняя кривизна и

я = к12) + к(2) = -(л2 +л3)

к(2)к(2) = 4

л2

л2

л3

л3

Ф 0.

(1.1.3)

Итак, одна из главных кривизн 2-го рода к(2) = 0, две другие, не равные нулю, могут быть как действительными так и мнимыми числами. Следовательно, через точку М проходит, по крайне мере, одна действительная линия кривизны 2-го рода. Линии кривизны 2-го рода, соответствующие к(2) = 0, имеют уравнения

(1.1.4)

0, ле-

(2)

Предложение 1. Линия кривизны 2-го рода, соответствующая к3 жит в плоскости п3.

Действительно, вдоль линии (1.1.4) вектор ё4 нормали к п3 постоянен, так как ^ё4 = о>4ё1 + ^4 е2 + о>4е3 = 0 в силу условий Л1 = Л2 = Л3 = 0. ■ Определение. Эквидерекционной линией (поверхностью) называется линия (поверхность), в точках которой векторы нормалей распределения параллельны [5, с. 32].

(2) (2) (2)

Предложение 2. Для НТ-2 класса к3 = 0, к1 Ф 0, к2 Ф 0 через каждую

точку М проходит одна эквидирекционная линия, совпадающая с той линией кривизны 2-го рода, которая соответствует нулевой главной кривизне 2-го рода. Доказательство. Находим уравнения, определяющие эквидирекционные линии. Так как в их точках нормали НТ-2 параллельны, то единичные векторы е4 постоянны. Следовательно ^ё4 = 0. Используя формулы (0.1), (0.2), (1.1.1) получаем

Л2^2 + Л3^3 + а^4 = 0,

Л2^2 +Л3^3 +Ь^4 = 0,

(1.1.5)

Л2^2 + Л3^3 + с^4 = 0.

В общем случае система (1.1.5) линейно независима и определяет единственную эквидирекционную линию, проходящую через М и совпадающую с линией кривизны 2-го рода (1.1.4). ■

2. Множество плоскостей для НТ-2 с одной нулевой главной кривизной 2-го рода

Для произвольного трехмерного распределения Д3 в Я4 множество плоских элементов (М, л:3) зависит от четырех параметров. Однако множество плоскостей л:3 может зависеть от меньшего количества параметров. Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Множество плоскостей % для НТ-2 с одной нулевой главной кривизной 2-го рода зависит от трех параметров.

Доказательство. Находим характеристику плоскости гс3 при любом смещении:

х4 = 0,

(2р3^2 - 2р2^3 + а^4)*1 + (42^2 + 43^3 + Ь^4)х2 +

+ (42^2 +Л3^3 + с^4)х3 — ^4 = 0. (1.2.1)

Формы ^2, ^3,^4, от которых зависит характеристика, линейно зависимы. Таким образом, множество плоскостей % зависит от трех параметров. ■

Теорема 2. Плоскость % для НТ-2 класса к® = 0, к^ Ф 0, Ф 0 имеет только одну характеристическую точку (собственную или несобственную).

Доказательство. Находим характеристику плоскости л:3 при любом смещении. Из (1.2.1) получаем

Д2)

Д2)

4

0,

2Р3*1 + 42х2 + 42х3 = 0, —2р2х1 + 42х2 + 43х3 = 0,

ах1 + Ьх2 + сх3 = 1.

Обозначим 5 =

2Р3

—2р2

а

42

43

. При 5 Ф 0 имеем

А2 А3 22 А2 2р3 2р3 А2

1 33 23 2 2 Р 2 1 33 3 — 2р2 А2

5

5

(1.2.2)

и 5 , и

Таким образом, плоскость л:3 имеет одну характеристическую точку М0(Хд, *0, *0, 0). Эта точка будет собственной при 5^0 и несобственной - при

5 = 0.

Возможны три случая: а) плоскость % огибает трехмерную поверхность (общий случай); б) точка М0 неподвижна, то есть является общей для всех плоскостей гс3 (неголономный конус); с) Точка М0 - несобственная точка (неголономный цилиндр). Переходим к рассмотрению этих случаев.

(21 (21 (21

3. Канонический репер для НТ-2 класса = 0, к^ ФО,^^ Ф О

общего вида. Основные формулы

Направив вектор ё2 ортогонально касательной к линии кривизны 2-го рода,

( 2І

соответствующей к3 =0, и к прямой ММ0 получим ортонормированный кано-

нический репер {ё1, ё,, ё3, ё4) для данного класса НТ-2. В нем имеют место формулы

43 р3 4 2 43 4 2 43 2Р3 4 2

Ф 0, (1.3.1)

2Р1 = 42 — 42. Прямая ММ0 определяется уравнениями

2

42 р3 = 0, а2 а3 22 Ф 0, 5 = а 42 43 22 + с 2р3 42

43 —р2 42 43 43 43 42 43 43 43 — 2р2 42

р3 42 1 42 422

—р2 43 х1 — 43 433

х3 = 0,

(1.3.2)

х2 = х4 = 0.

Средняя кривизна НТ-2: Я = —(4| + 4|).

2(р34| + рМ2)

tgа

где а - угол между касательной к линии кривизны 2-го рода, соответствующей к® = 0, и прямой ММ0.

Формулы (0.2) для данного класса НТ-2 имеют вид о>4 = 2р3^2 — 2р2^3 + а^4,

=42^2 +43^3 + Ь^4, (1.3.3)

^4 = л2^2 + ^3 + с^4.

4. Асимптотические линии НТ-2 общего вида

Находим уравнения асимптотических линий НТ-2. Для них (^2 Г, ё1, ) =

= 0. Отсюда, используя формулы (1.3.3), получаем

Л2(^2)2 + Л3(^3)2 + 2р3^1^2 — 2р2^1^3 + (^2 + Л3)^2^3 = 0,

^4 = 0. (1.4.1)

Касательные к асимптотическим линиям в точке М образуют конус 2-го порядка: Л2(х2)2 + Л3(х3)2 + 2р3х1х2 — 2р2х1х3 + (^2 + Л3)х2х3 = 0,

х4 = 0. (1.4.2)

Предложение 1. Линия кривизны 2-го рода НТ-2, соответствующая нулевой главной кривизне 2-го рода, является асимптотической линией, лежащей в плоскости п3.

Справедливость данного утверждения вытекает из (1.4.1) и (1.1.4), а также из того факта, что вдоль нее ^ё4 = 0. То есть вектор ё4, ортогональный %, постоянен. ■

Предложение 2. Точка М0 принадлежит асимптотическому конусу.

Доказательство. Точка М0 имеет координаты

И2 л3 22 2р3 ^2

И2 и3 л3 л3 23 — 2р2 Л3

х1 = ^3 х2 = 0 х3 =_________^х4 = 0

хо = ^ , х0 = х0 = ^ , х0 = 0.

Легко проверить, что ( Хд, х0,х0 ,х4) удовлетворяют уравнениям конуса

(1.4.2). ■

Следствие. Прямая ММ0 является касательной к одной из асимптотических линий, проходящих через точку М. ■

Предложение 3. Асимптотическая линия, касающаяся прямой ММ0, является пространственной кривой.

Доказательство. Уравнения линий, касающихся прямой ММ0, имеют вид

2(л3р3 + л2р2)^1 — (^2^3 — л2^2)^3 = 0, ^2 = ^4 = 0. (1.4.3)

Вдоль линии (1.4.3) получаем

^ё4 = (—2р2ё1 +Л3ё2 +Л3ё3)^3 Ф 0,

То есть вектор ё4 меняет свое направление, а следовательно, и плоскость гс3 меняется. Это значит, что линия (1.4.2) не лежит в плоскости %. ■

Предложение 4. Характеристика плоскости % при смещении по любой кривой НТ-2 (кроме линии кривизны 2-го рода) есть двумерная плоскость, проходящая через прямую ММ0.

Доказательство. Находим характеристику плоскости % при ее смещении по любой кривой НТ-2, то есть по любой интегральной кривой уравнения = 0. Получим

х4 = 0,

(2р3^2 - 2р2^3)х1 + (Л|^2 + Л3^3)х2 + (Л|^2 + Л3^3)х3 = 0.

Отсюда видно, что вдоль линии кривизны 2-го рода (1.1.4) (как и следовало ожидать) плоскость л:3 неподвижна. Вдоль линий ^4 = ^3 = ш1 = 0 и ^4 = ^2 = = ш1 = 0, касающихся двух линейно независимых направлений, характеристиками плоскости % будут соответственно 2-мерные плоскости

2р3х1 + Л2х2 + Л2х3 = 0, х4 = 0

и 2р2х1 -^3х2 -^3х3 = 0,

х4 = 0.

Легко проверить, что эти плоскости пересекаются по прямой ММ0. ■

Предложение 5. Характеристика плоскости % при смещении по линии тока векторного поля нормалей НТ-2 - это двумерная плоскость, проходящая через М0 ортогонально вектору кривизны линии тока.

Доказательство. Характеристика плоскости % при смещении по линии тока ^4 = ^3 = ш1 = 0 векторного поля {ё4} определяется уравнениями

х4 = 0, (1.4.4)

ах1 + Ьх2 + сх3 = 1.

Вектор кривизны линии тока - это вектор

= аеі + Ье2 + се3 (1.4.5)

Из (1.4.4), (1.4.5), (1.3.1) видим, что двумерная плоскость (1.5.4) проходит через точку М0 и ортогональна вектору &п. ■

(21 (21 (21

5. Неголономный конус класса = 0, к^ Ф 0, к2 Ф 0

(2І (2І (2І Определение. Неголономный торс 2-го рода класса &3 =0, &1 Ф 0, &2 Ф 0,

все плоскости которого проходят через одну точку, называются неголономным

(21 (21 (21

конусом класса &3 = 0, &1 Ф 0,^2 Ф 0.

Неподвижная точка М0 называется вершиной неголономного конуса. Находим условия, определяющие неголономный конус данного класса. Требуем неподвижности точки М0:

гі(г + х^ё! + х^ё^) = 0.

Отсюда следует

ш1 + гіх^ + хЦ^1 = 0,

^2 + х1^| + х0^| = 0, (1.5.1)

^3 + гіх0 + х^^3 = 0.

Предложение 6. Асимптотическая линия неголономного конуса класса

(2І (2І (2І ^

&3 = 0, &1 Ф 0,^2 Ф 0, касающаяся прямой ММ0, является прямой линией.

Для доказательства данного предложения достаточно показать, что вектор

ММ0 = х^ё + х2ё3 не меняет своего направления при смещении по асимптотиче-

ской линии (1.4.3). Учитывая (1.3.3), (1.4.3), (1.5.1), получаем

_ 1

+ хЦе3) =-----з + хЦе3)^3,

х0

что и означает неизменность направления асимптотической линии, касающейся прямой ММ0. ■

Нормаль неголономного конуса, как и для НТ-2 общего вида, вдоль асимптотической ММ0 меняет свое направление, а следовательно, меняет свое положение касательная плоскость % неголономного конуса вдоль ММ0.

Доказывается это свойство так же, как и для НТ-2 общего вида.

(21 (21 (21

6. Неголономный цилиндр класса = 0, ^ Ф 0, &2 Ф 0

(21 (21 (21

Определение. Неголономным цилиндром класса &3 = 0, Ф 0,^^ Ф 0

называется НТ-2 данного класса, плоскости % которого параллельны одной

прямой.

Для неголономного цилиндра точка М0 становится бесконечно удаленной. Следовательно 5 = 0, то есть

а(4и3 - 4М3) + 2с(р3^3 + р2 Л2) = 0. (1.6.1)

Вектор (^2^3 — 43л2)е! + 2(р3^2 + р2Л2)б3, или сё! — аё3, не меняет своего направления, то есть

^(сё! — аё3) = А(сё! — аё3). (1.6.2)

Из (1.6.1) и (1.6.2) получаем условия, характеризующие неголономные цилиндры данного класса:

а^2 — 2ср3 = 0,

а^3 + 2ср2 = 0, (1.6.3)

а^2 — = 0,

с^а — а^с + (а2 + с2)^3 = 0.

Прямая, проходящая через М в направлении вектора сё! — —63, является асимптотической линией, вдоль которой касательная плоскость гс3 неголономного цилиндра меняет свое положение. Действительно, для вектора ё^, ортогонального л:3, при перемещении вдоль данной прямой имеем

= + — (2р2б! — ^3®2 — Л3б3>! Ф 0,

то есть направление вектора ё^ меняется. Следовательно, меняется и положение ортогональной ему плоскости л:3.

Заметим, что неголономные цилиндры не имеют особых точек в отличие от других видов НТ-2.

II. Неголономные торсы 2-го рода, для которых только одна главная

(21 (21 (21 кривизна 2-го рода не равна нулю ^ Ф 0, &3 = 0, &2 =0

(21 (21 (21

1. Линии кривизны 2-го рода для НТ-2 класса ^ Ф 0, &3 = ^2 =0

Так как главные кривизны 2-го рода отличаются только знаком от собственных значений оператора Л*, то это значит, что для данного класса НТ-2 характеристическое уравнение

41

1

43

42 42-я 42

43

43

= 0

имеет два корня равных нулю и один отличный от нуля. Следовательно,

л! 42 43

42

42

43

= 0,

2

42

1

+

43

43

43

+

2

42

3

43

= 0,

(2.1.1)

^1 + ^2 + Л3 Ф 0, Я2 — Я3 — 0.

Для главного направления 2-го рода (ТЛ Т2, Т3), соответствующего Я2 = Я3 = 0, имеем

4!Т! + 42Т2 + 43Т3 = 0,

42Т! + Л2Т2 +Л2Т3 = 0, (2.1.2)

43Т! + Л2Т2 +Л3Т3 = 0.

Направим вектор ё! по данному главному направлению 2-го рода, тогда из (2.1.2) и (2.1.1) получим

41 = 42 = л = 0,

42

43

= 0,я1 = 42 + 43 =-Л^ Ф 0 . (2.1.3)

12 43

Находим главное направление ^ второго рода, соответствующее кривизне

(2І

Л1 Ф 0, для него имеем

-042 +Л3)^1 + 42?2 +Л3^3 = 0,

-43?2 + 42Г3 = 0.

Отсюда I = (4243 + 4343)ё1 - Л(23(43ё + 4:|ё3).

Направим вектор ё || [ё1,^], получим 43 = 0, 43 Ф 0. С этого момента репер стал каноническим. Относительно него главное направление 2-го рода, соответст-

(2^ (2^

вующее кривизне &3 = 0, Л2 =0 определяется вектором е1, а направление, со-

(2.1.4)

(21

ответствующее к{ Ф 0 есть направление вектора

Т = 43 ё! — Л(21ё3.

Из (2.1.3) и (0.2) следует 42 = 0, к(21 = —43, 42 = —2р!.

Линии кривизны 2-го рода, соответствующие кривизне к(21 = к(21 = 0, опре-

деляются уравнениями

^2 = ^3 = ^4 = 0. (2.1.5)

(21

Линии кривизны 2-го рода, соответствующие к{ Ф 0, определяются уравнениями

к®^ — 2р2^3 = 0,^2 = = 0. (2.1.6)

Касательные к линиям кривизны 2-го рода (2.1.5) и (2.1.6) лежат в плоскости

х2 = х4 = 0. Угол а между ними вычисляется по формуле

газа =

2р2

4(р2)2 + №(2))

(2.1.7)

(21 (21 (21

2. Основные формулы для НТ-2 класса к^ Ф 0, к3 = 0, к2 =0

Используя равенства (2.1.3), (0.2), (0.3), получим формулы (0.1) в каноническом репере для данного класса НТ-2:

о>4 = 2р3^2 — 2р2^3 + а^4,

^4 = Ь^4, (2.2.1)

а>4 = —2р!^2— к®^3 + с^4.

где к(21 Ф 0 - главная кривизна 2-го рода, р!, р2,р3 - компоненты тензора него-лономности, а, Ь, с - проекции вектора кривизны линии тока нормали на координатные оси.

Из (2.2.1) следует, что эквидирекционные линии ( линии, вдоль которых векторы поля нормалей (е4) распределения Д3 параллельны) определяются уравнениями

^2 = ^3 = ^4 = 0,

то есть совпадают с линиями кривизны 2-го рода, соответствующими к(21 = = к® = 0. Другими словами вдоль всякой линии кривизны 2-го рода, соответствующей к(21 = к(21 = 0, нормали распределения описывают цилиндр.

3. Множество касательных плоскостей НТ-2 класса к® Ф 0, к321 = 0, к221 = 0

(21

Теорема 1. Множество касательных плоскостей НТ-2 класса к{ Ф 0, (21 (21

к3 =0, к2 =0 зависит от трех параметров.

Доказательство. Находим характеристику плоскости %

х4 = 0 (2.3.1)

(2р3^2 — 2р2^3 + а^4)х! + Ь^4х2 + (—2р!^2— к(21^3 + с^4)х3 — ^4 = 0. Равенство (2.3.1) содержит три независимые формы. Следовательно, множество касательных плоскостей зависит от трех параметров для НТ-2 рассматриваемого вида. ■

Характеристическая точка М0 плоскости % имеет координаты

1

М0(0,-,0, 0)

Ь

Таким образом, касательные плоскости НТ-2 класса к!21 Ф 0, к(21 = к® = 0 огибают в общем случае трехмерную поверхность, состоящую из точек М0. Эта поверхность является особой поверхностью распределения Д3 данного класса.

(21 (21 (21

4. Асимптотические линии НТ-2 класса к^ Ф 0, к3 = к2 =0

Асимптотические линии находятся из условия

(^2 г,ё!,ё2,ё3 ) = 0.

В результате соответствующих вычислений получаем

к(21(^3)2 + 2р2^3 + 2р!^2^3 — 2р3^2 = 0,

^4 = 0. (2.4.1)

Касательные к асимптотическим линиям, проходящим через точку М, образуют конус 2-го порядка, лежащий в плоскости гс3:

к!21(х3)2 + 2р2х!х3 + 2р!х2х3 — 2р3х!х2 = 0,

х4 = 0. (2.4.2)

Предложение 1. Линия кривизны 2-го рода, соответствующая к® = к® = 0, является асимптотической линией, лежащей в плоскости л:3.

Справедливость утверждения следует из (2.4.1), (2.1.5), а также из того факта, что вдоль нее нормали НТ-2 параллельны.

( 21

Предложение 2. Линия кривизны 2-го рода, соответствующая к{ Ф 0, не является асимптотической линией.

В этом можно убедиться, сравнив уравнения (2.4.1) и (2.1.6).

(21

Предложение 3. Линия кривизны 2-го рода, соответствующая к{ Ф 0, является пространственной кривой.

Вычислим вдоль данной линии ^е^. Получаем = 2р2^3ё! — к(21 ё3^2 Ф 0. это означает, что рассматриваемая линия не является плоской (не лежит в плоскости п3). ■

Предложение 4. Характеристическая точка М0 плоскости % лежит на касательных к асимптотическим линиям, проходящим через точку М.

!

Действительно, координаты точки М0(0, - ,0,0) удовлетворяют уравнениям

(2.4.2), определяющим конус касательных к асимптотическим линиям. ■

Следствие. Кривая, проходящая через М, касающаяся прямой ММ0 является асимптотической линией.

Данное утверждение непосредственно следует из предложения 4.

Рис. 1. Конус касательных к асимптотическим линиям с вершинами в точке М. Касательные к линиям кривизны 2-го рода.

(21 (21 (21

5. Неголономные конусы класса к^ Ф 0, к^ = 0, к2 =0

(21 (21 (21

Определение. Неголономный торс 2-го рода класса &1 Ф 0,Л^ = 0,Л2 =0,

все плоскости которого проходят через одну точку, называется неголономным

конусом данного класса.

1

По определению, для данного конуса точка М0(0,-, 0,0) постоянная, то есть

0

Отсюда следует

^Ь = Ь2^2,

^2 = —Ь^2, (2.5.1)

= —ь^з.

Точка М0 называется вершиной неголономного конуса, она является особой точкой распределения Дз .

Предложение 1. Асимптотическая линия, касающаяся в точке М прямой ММ0,

Г21 Г21 Г21

является прямой линией для неголономного конуса класса &£ Ф 0, &з = 0, &2 =0.

Действительно, касательный вектор ё2 асимптотической линии ^2 = ^з = = 0 остается постоянным, так как в силу (2.5.2) имеем ^ё2 = —Ь(^2е2 + ^3ёЗ + ^4ё4) = 0. ■

Предложение 2. Касательная плоскость % вдоль асимптотической линии, касающейся в точке М прямой ММ0, меняет свое положение при движении вдоль данной асимптотической.

Действительно, вдоль данной асимптотической линии ^2 = ^з = ^4 = 0 единичный вектор ё4 нормали плоскости % меняет свое положение, так как при ^2 = ^з = ^4 = 0 имеем ^ё4 = (2р3ё2 — 2р2ёЗ)^2 Ф 0. А следовательно, меняет свое положение и плоскость %. ■

6. Неголономные цилиндры класса к® Ф 0, к® = к® = О

Г 21 Г 21 Г 21

Определение. Неголономным цилиндром класса &2 Ф 0, &з = ^2 =0 назы-

вается НТ-2 этого класса, плоскости % которого параллельны одной прямой. Характеризуется неголономный цилиндр данного класса условиями

Ь = 0,

^2 = ^| = ^4 = 0. (2.6.1) Уравнения ^2 = ^з = ^4 = 0 определяют асимптотические линии, являющиеся прямыми линиями. Но вдоль них ( как и для неголономного конуса) плоскости % распределения меняют свое положение.

III. Неголономные торсы 2-го рода, для которых все главные кривизны 2-го рода равны нулю (к® = к® = к® = 0)

1. Канонический репер для НТ-2 класса к® = к® = к® = 0. Основные формулы

Для данного класса НТ-2 имеем

нсо А 12 А 11 А

А 22 А 21 А = 0,

АЗ а3 А3 А1 а2 а3

тНтН <N<4 А1 А2 А2 + 1 3 3 3 АА 1 1 3 1 + а2 а2 сГ = 2 3 3 3

АІ + А2 +41 = 0.

Через каждую точку М пройдет только одна линия кривизны 2-го рода, соответствующая ^ = 0. Направим вектор е1 по главному направлению 2-го рода,

тогда получим ^2 = Л? = ИЗ = 0, ^2 + = 0,

= 0,

И2 и2

Л2 Л3

ИЗ — и2

22

1 11

р2 = 2(и2 —^2),р2 = — 2л3,Р3 = 2и2

или ^2 = ^2 = ^3 = 0, иЗ = —^2, (3.1.1)

042)2 + Л3Л| = 0, ИЗ = — 2р2,И2 = 2р3,И3 — ИЗ = 2р2.

Множество плоскостей % распределения Д3 зависит от трех параметров, так как в уравнения

х4 = 0,

(2р3^2 — 2р2^3 + а^4)х2 + (Л2^2 + Л2^3 + Ь^4)х2 +

+ (^2^2— л2^3 + с^4)х3 — ^4 = 0, определяющие характеристики плоскости %, входят три независимые формы

2 3 4

^2,^3,^4.

Находим характеристическую точку М0 плоскости л:3:

х4 = 0,

—2р2х2 + И2х2 — И2х3 = 0,

2р3х2 + Л|х2 +^2х3 = 0, (3.1.2)

ах2 + Ьх2 + сх3 = 1.

Отсюда имеем

-рМ2 +р3и2 р2и2 +р3и3

М 10_______________ 2 2___________ 2 3 0

ч '-Ь(2р2^2 р3^2) + с(р2^2 + р3^3Г /йет '

Направим вектор ёЗ II ММ0, тогда р2И| = р3.^,

и (0дС,0)

М0. . . . с

и репер стал каноническим. Плоскости % огибают трехмерную поверхность, состоящую из точек М0.

Для НТ-2 данного класса эта поверхность является особой поверхностью.

Г21 Г21 Г21

Основные формулы для НТ-2 класса &2 = ^2 = к3 =0 в каноническом ре-

пере имеют вид

^4 = 2р3^2 — 2р2^3 + а^4,

^4 = 2р2^3 + Ь^4, (3.1.3)

^4 = с^4.

2. Асимптотические линии и линии кривизны 2-го рода НТ-2 класса к® = к® = к® = 0 общего вида

Асимптотические линии для данного класса НТ-2 определяются уравнениями р3ш2ш2 + р2ш2ш3 — р2^2 = 0,

^4 = 0. (3.2.1)

Касательные к ним в точке М образуют конус 2-го порядка, лежащей в плоскости %:

р3х2х2 + р2х2х3 — р2х3х2 = 0,

х4 = 0. (3.2.2)

Точка М0 лежит на конусе (3.2.2), следовательно, прямая ММ0 - касательная к асимптотической линии

^2 = ^2 = ^4 = 0. (3.2.3)

Эта асимптотическая линия является пространственной кривой.

Линии кривизны 2-го рода определяются уравнениями

^2 = ^3 = ^4 = 0. (3.2.4)

и также являются асимптотическими линиями. Через каждую точку М проходит лишь одна линия кривизны 2-го рода. Она лежит в плоскости %, проходящей через эту точку.

3. Неголономный конус класса к® = к® = к® = 0

Определение. НТ-2 класса Ар1 = А3,21 = Ар1 = 0, все плоскости % которого проходят через одну точку, называется неголономным конусом данного класса.

По определению для данного неголономного конуса точка М0 ^0,0, -, 0) неподвижна. Следовательно й (г + 2 ёз) = 0. Отсюда получаем

^3 = —с^2,

= —с^2, (3.3.1)

^4 = —с^4, йс = с2^3.

Асимптотические линии неголономного конуса обладают следующими свойствами.

Предложение 1. Асимптотическая линия неголономного конуса класса

321 321 321 «.■

А2 = А2 = А3 =0, касающаяся прямой ММ0, является прямой линией.

Действительно, касательный вектор ё3 данной линии не меняется вдоль нее так как йё3 = 0 в силу равенств (3.3.1) и (3.2.3). ■

Предложение 2. Касательная плоскость % вдоль асимптотической линии, касающейся ММ0, меняет свое положение при движении вдоль данной асимптотической линии.

Действительно, вектор ё4 нормали плоскости % меняет свое положение вдоль данной асимптотической, так как = (—2р2ё! + 2р2ё2)^3 Ф 0. Следовательно, меняет свое положение и плоскость п3. ■

4. Неголономные цилиндры класса к® = к® = к® = 0

Определение. НТ-2 класса А® = А:® = а321 = 0, плоскости % которого параллельны одной прямой, называется неголономным цилиндром данного класса.

Характеризуется неголономный цилиндр класса А® = А:3,21 = А^21 = 0 условиями

с = 0,

^3 = ^з = ^4 = °. (3.4.1)

В общем случае для неголономного цилиндра, как и для неголономного конуса через каждую точку М проходит множество асимптотических линий, касательные которых образуют конус 2-го порядка вида (3.2.2). Асимптотическая линия w1 = w2 = w4 = 0 - прямая линия. Линия кривизны 2-го рода является одновременно асимптотической линией и эквидирекционной.

Г 21

Теорема. Существует единственный неголономный цилиндр класса &1 =

, Г21 I Г21 п

= «2 = Kg =0 с постоянным тензором неголономности и прямыми линиями

тока нормалей.

Доказательство. Неголономный цилиндр класса fc® = fc22 = К32 = 0 с прямыми линиями тока нормалей и постоянным тензором неголономности характеризуется тем, что для него а = Ь = с = 0, р1 = const, р2 = const, р3 = const. Поэтому формулы (3.1.4) и (3.4.1) имеют вид

Система (3.4.3) вполне интегрируема. Переходим к ее интегрированию. Заметим,

w4 = 2p3w2 — 2p2w3, w4 = 2p1w3, w3 = О, w| = О, w4 = О.

(3.4.2)

Из (3.4.2) получаем = 0,р2 = 0.

Деривационные формулы репера в результате принимают вид

df = w1 el + w2e2 + w3e3 + w4e4, del = (2p2w3 — 2p3w2)e4, de^ = О, de3 = О, de^ = (2p3w2 — 2p2w3)e1.

(3.4.3)

что

dw1 = w4 Л (2p3w2 — 2p2w3), dw2 = О, dw3 = О, dw4 = —w1 Л (2p3w2 — 2p2w3).

Отсюда и из (3.4.3) следует

^2 = йу, ^3 = йг, ё2 = £2, ё3 = £3 , где £2, £3 - постоянные векторы.

Обозначим а = 2р3у — 2р2г, тогда йа = 2р3йу — 2р2йг и

йб?2 ______

(3.4.4)

da 64

d2e1 _

da2 Єі.

Заметим, что векторы {£-[_, £2, £3, £4} образуют постоянный ортонормированный базис в Я4. В этом базисе имеем

df = dx£1 + dy£2 + dz£3 + dt£4, где dx = w-'xos a + w4 sin a (3.4.5)

dt = w1sin a — w4 cos a.

Из (3.4.5) находим

w1 = cos(2p3y — 2p2z) dx + sin(2p3y — 2p2z) dt, w4 = sin(2p3y — 2p2z) dx — cos(2p3y — 2p2z) dt.

Таким образом, в некоторой неподвижной декартовой системе координат,

Г21

уравнение Пфаффа, соответствующее неголономному цилиндру класса «1 =

= К® = «32 = 0 с постоянным тензором неголономности и прямыми линиями тока нормалей, имеет вид

sin(2p3y — 2p2z) dx — cos(2p3y — 2p2z) dt = 0, (3.4.6)

p3 = const Ф 0,p2 = const Ф 0.

Итак, мы доказали, что существует единственное (с точностью до положения в пространстве) распределение A3:M(x,y,z, t) ^ rc3, удовлетворяющее условиям теоремы. Плоскость гс3, соответствующая точке M(x, y, z, t), имеет уравнение

sin(2p3y — 2p2z) (X — x) — cos(2p3y — 2p2z) (T — t) = 0. (3.4.7)

(X, У, Z, T) - текущие координаты плоскости %. Распределение Д3 определено во всем пространстве Я4 и не имеет особых точек. ■

Замечание. В Я4 для неголономного цилиндра класса К® = К® = К® = 0 с постоянным не равным нулю тензором неголономности и прямыми линиями тока

Г11

нормалей кривизна «1 =0. Следовательно, для него равны нулю обе полные

кривизны ^ = ^2 = 0. И тем не менее данное распределение остается неголо-номным, что было бы невозможно для гиперраспределения в Я3.

Переходим к нахождению уравнений основных линий неголономного цилиндра

, Г21 I Г21 I Г21 п

класса «1 = «2 = «3 =0 с постоянным тензором негололономности и пря-

мыми линиями тока.

Уравнения находим в той неподвижной системе координат, в которой получено уравнение (3.4.7), определяющее данное распределение.

a) Векторное поле нормалей распределения - это поле векторов

п = sin(2p3y — 2p2z) £1 — cos(2p3y — 2p2z) £4. (3.4.8)

b) Эквидирекционные поверхности представляют собой трехмерные плоскости

p3y — p2z = С1. (3.4.9)

c) Асимптотические линии заполняют пару двумерных плоскостей

p3y — p2z = С1, (3.4.10)

sin( 2С1) x — cos(2C1) t = С2,

и

cos(2C1)x + sin(2C1l t = С3, (3.4.11)

sin^^) x — cos(2C1) t = С2, пересекающиеся по прямой

(3.4.12)

p3y — p2z = С1, x = С3 cos(2 С1) + С2 sin(2 С1), t = С3 sin(2 С1) — С2 cos(2 С1),

(С1, С2, С3 = const).

d) Линии кривизны 2-го рода - прямые, совпадающие с прямыми (3.4.12).

e) Главные кривизны 1-го рода:

«Г11 = 0, «Г11 = V(p2)2 + (p3)2, «3Г11 = —V(p2)2 + (p3)2.

Им соответствуют главные направления 1-го рода:

И = p2£2 +P3£з,

12 = V(p2)2 + (p3)2(£!cos a + £4sin a) — p3£, + p2£3,

■f3 = V(p2)2 + (p3)2(£!cos a + £4sin a) + p3£, — p2£3.

Таким образом, в каждой точке М £ Я4 существуют три взаимно ортогональных главных направления 1 -го рода.

Г11

f) Находим уравнения линий кривизны 1 -го рода. Линии с кривизной «1 =0

- прямые, совпадающие с асимптотическими (3.4.12) и с линиями кривизны 2-го рода. ______________ _____________

Линии с кривизнами fc® = V(p2)2 + (p3)2 и «(11 = —V(p2)2 + (p3)2 определяются соответственно уравнениями

(3.4.13)

p2y + p3z = a1,

1

x = —-

t = —-

2V(p2)2 + (p3)2 1

2V(p2)2 + (p3)2

p2y + p3z = b1,

1

sin[2(p3y — p2z)] + a2,

cos[2(p3y — p2z)] + a3

(3.4.14)

x =

t =

2V(p2)2 + (p3)2 1

sin[2(p3y — p2z)] + b2,

: COS [2 (p3y — p2z)] + Ь3.

27(р2)2 + (р3)2

§) Линии кривизны 1-го рода (3.4.13) и (3.4.14), проходящие через точку (х0, у0, г0, t0), лежат на двух трехмерных цилиндрах:

[x — x0 —

2V(p212+(p312

sin[2(p3yo — p2zo)]]2 +

(3.4.15)

+ [t — to +

2V(p2)2 + (p3)

[x — x0 +

:COS[2(p3yo — p2zo)]]2

1

2V(p212+(p312

+ [t — to — '

4(p2)2 + (p3)2 sin[2(p3yo — p2zo)]2 + (3.4.16)

1

Fcos[2(p3yo — p2zo)]2 =

2V(p2)2 + (p3)2

одинакового радиуса с общей двумерной образующей

4(p2)2 + (p3)2

и

1

и

1

х = х0,

t = (о. (3.4.17)

Плоскость % ( ( = (0) - это общая касательная плоскость цилиндров. Эквиди-рекционная плоскость (р3у — р2г = р3у0 — р2^0) ортогональна плоскости %.

Третья линия кривизны 1-го рода (прямая линия), проходящая через точку (х0, у0, г0, (0), имеет уравнения

х х0, ( (0,

р3у —р22 = р3у0 — р2^0- (3.4.18)

То есть является линией пересечения общей образующей цилиндров (3.4.16), (3.4.17) и эквидирекционной плоскости.

Заметим, что неголономный цилиндр не имеет особых точек. Это означает, что поведение всех найденных кривых и поверхностей для него проще представить, если рассмотреть их для плоского элемента (М, %), в начале координат.

Итак, в точке М(0,0,0,0)плоскость % имеет уравнение ( = 0, а вектор нормали ёф(0,0,0,1). Эквидирекционная плоскость - это трехмерная плоскость

р3у — р2г = 0. (3.4.19)

Асимптотические линии заполняют две двумерные плоскости, пересекающиеся по прямой

р3у — р2г = 0, (3.4.20)

х = 0, ( = 0,

совпадающей с линией кривизны 2-го рода, а также с линией кривизны 1-го рода, соответствующей &1 =0.

Линии кривизны 1-го рода,

&2'3 = +7(р2)2 + (р3)2, имеют уравнения

соответствующие

р2у + р3г = 0,

кривизнам

(3.4.21)

27(р2)2 + (р3)2 ■ х = — sin[2(р3у — р2^)],

27(р2)2 + (р3)2 ■ ( = cos[2(р3у — р2^)] — 1

р2у + р3г = 0,

(3.4.22)

27(р2)2 + (р3)2 ■ х = sin[2(р3у — р2^)],

27(р2)2 + (р3)2 ■ ( = cos[2(р3у — р2^)] + 1.

Из (3.4.21) и (3.4.22) видим, что данные линии кривизны 1-го рода лежат в трехмерной плоскости р2у + р3г = 0, ортогональной эквидирекционной плоскости, на двух цилиндрах

11

х2 + (( + — —)2 =

х2 + ((■

27(р2)2 + (р3)2

1

4((р2)2 + (р3)2)

)

2

1

27(р2)2 + (р3)2 4((р2)2 + (р3)2)

одинакового радиуса и с общей образующей

х = ( = 0,

и

и

лежащей в плоскости % (( = 0). Этой общей образующей является линия кри-

211

визны 1-го рода, соответствующая кривизне &1 =0 (см. рис. 2).

Рис. 2

ЛИТЕРАТУРА

1. Дубровин Б.А., Новиков C. П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.

2. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1. М.: Наука, 1981.

3. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана. М.; Л.: ГИТТЛ, 1948.

4. Онищук Н.М. Геометрия векторного поля в четырехмерном евклидовом пространстве // Международная конференция по математике и механике. Томск, 2003. С. 60-68.

5. СлухаевВ.В. Геометрия векторных полей. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1982.

6. Аминов Ю.А. Геометрия векторного поля. М.: Наука, 1990.

Статья поступила 26.12.2011 г.

Tsokolova O.V. NONHOLONOMIC TORSES OF THE SECOND KIND IN THE FOURDIMENSIONAL EUCLIDEAN SPACE. Geometry of a smooth three-dimensional distribution A3 with zero total curvature of the second kind is studied in a domain G in the four-dimensional spaceE4 .

Keywords: nonholonomic geometry, distribution, Pfaffian equation, Cartan’s method.

TSOKOLOVA Olga Vyacheslavovna (Tomsk State University)

E-mail: tov234@mail.ru