Минимальные неголономные торсы 2-го рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009 Математика и механика № 3(7)

УДК 514.752

Н.М. Онищук, О.В. Цоколова

МИНИМАЛЬНЫЕ НЕГОЛОНОМНЫЕ ТОРСЫ 2-ГО РОДА

В трёхмерном евклидовом пространстве Е3 рассматривается гладкое него-лономное двумерное распределение, имеющее нулевую полную кривизну 2-го рода и нулевую среднюю кривизну, называемое минимальным неголо-номным торсом 2-го рода (МНТ-2). Доказано, что существует три вида МНТ-2. Исследована геометрия каждого из них.

Ключевые слова: неголономная геометрия, распределение, уравнение Пфаффа, векторное поле.

По гладкому двумерному распределению А [1, с. 683], сопоставляющему УМ е Е3 двумерную плоскость п, проходящую через точку М, однозначно определяется уравнение Пфаффа. Распределение называется голономным, если определяемое им уравнение Пфаффа вполне интегрируемо. В этом случае пространство Е3 расслаивается на однопараметрическое семейство поверхностей. Если же соответствующее уравнение Пфаффа не является вполне интегрируемым, то распределение называется неголономным. При этом интегральные кривые уравнения Пфаффа называются кривыми распределения (или допустимыми кривыми [2, с. 14]). Все кривые распределения, проходящие через точку М, касаются в этой точке плоскости п. Пару (М, п) называют плоским элементом, плоскость п - плоскостью распределения в точке М. С распределением тесно связана не только геометрия интегральных кривых уравнения Пфаффа, но и геометрия ортогонального векторного поля.

1. Главные кривизны и главные направления 2-го рода.

Линии кривизны 2-го рода

Пусть г - радиус-вектор точки М, а е3 - вектор, ортогональный плоскости п в точке М. К каждому плоскому элементу присоединим ортонормированный репер (М, еа). Деривационные формулы репера запишем в виде

¿г =ша еа,

при этом ©а=-^а и d юа=ц л«а, d ©а=юа л ц ,(а, р, у=1,2,3).

Главные формы [3,с.288] - это формы юа, • Из них формы юа - базисные,

поэтому

< = а . (1.1)

По матрице

Ґ а а; аз ^

А А22 А32

0 0 0 ,

(А) =

определяем линейный оператор А, называемый основным линейным оператором

[4, с. 108]. Для него А(&) = ¡Зе3. Плоскость п в выбранном репере определяется

уравнением х3 = 0, а уравнение Пфаффа, соответствующее распределению А : М ^л, имеет вид

ю3 = 0. (1.2)

Условием полной интегрируемости уравнения (1.2) является обращение в нуль скаляра р = А - А12, называемого скаляром неголономности. Для неголономного распределения, о котором идёт речь в данной работе, скаляр р Ф 0.

Оператор А отображает всякий вектор плоскости п в вектор этой же плоско-

~ л*

сти, поэтому возникает линейный оператор А , являющийся сужением оператора А на плоскость п. Матрица оператора А в базисе (е1, е2) имеет вид

' А} А1

V А А22 /

Собственные значения оператора А , взятые с противоположными знаками, называются главными кривизнами 2-го рода, а его собственные векторы - главными направлениями 2-го рода. Произведение главных кривизн 2-го рода - это полная кривизна 2-го рода, а их полусумма - средняя кривизна.

Введём обозначения: к1(2), к22) - главные кривизны 2-го рода, К2 = -

„ к(2)+*22)

полная кривизна 2-го рода, Н = ——^---------средняя кривизна.

Кривая распределения, в каждой точке которой касательный вектор имеет одно из главных направлений 2-го рода, называется линией кривизны 2-го рода. Она характеризуется тем, что вдоль неё нормали распределения описывают торс [4, с. 108]. Распределения, для которых К2 = 0, Н Ф 0, рассматривались в [3] в связи с геометрией векторного поля. В данной работе рассматриваются неголо-номные распределения, для которых К2 = Н = 0.

2. Основные формулы для минимальных неголономных торсов 2-го рода

Заметим, что если распределение А - голономно и для него К2 = 0, то пространство Е3 (или его область) расслаивается на однопараметрическое семейство торсов. А если, кроме того, средняя кривизна равна нулю, то получим тривиальный случай расслоения трёхмерного пространства на двумерные плоскости. В не-голономном же случае имеем другую, более сложную, геометрию, к изучению которой переходим.

Определение. Минимальным неголономным торсом 2-го рода (МНТ-2) называется двумерное распределение А на Е3, для которого равны нулю средняя кривизна и полная кривизна 2-го рода.

Так как для МНТ-2 имеем Н = К2 = 0, то к1(2) = к^2) = 0 . Следовательно, корни характеристического уравнения

А -х А А а1 -х

= о

равны нулю. И мы имеем в точке М единственное главное направление 2-го рода ), удовлетворяющее уравнению А11^1 + А= 0. Направив вектор е1 по главному направлению 2-го рода, получим А} = 0, А} Ф 0. Так как

А1 + А2 Н =------------1-------^ = 0, к2 =

А А

А2 А22

= 0,

то А = А = 0. Репер становится каноническим а формулы (1.1) принимают вид

к>3 = А2®2 + А^ю3,

2 2 3

ю32 = А32 ю3.

Функции А2, А, А - инварианты: А2 = р, А = а, А32 = Ь . Здесь a и Ь - проекции вектора кривизны линии тока векторного поля нормалей е3 на е1 и е2.

Итак, для МНТ-2 имеем

к>3 = рю2 + аю3, = Ью3.

(2.1)

Продолжаем систему (2.1), получаем

рю2 = -Ърю1 + (а12 - ар)ю2 + (а13 - а2 )ю3,

^р = а12ю1 +а22ю2 + (а23 - аЪ)ю3,

^а = (а13 + Ъ2)ю1 + (а23 - Ъа12 + аЪ)ю2 + (а33 + Ь(а-а1^)ю3, (2.2)

Р Р

№ = (Ъ2 + аа12 - а13 )ю2 - Рю3. р

Формулы (2.1) и (2.2) являются основными формулами для МНТ-2. Внешние дифференциалы базисных форм ю1, ю2, ю3 при этом выражаются через их внешние произведения следующим образом:

7і і 1 2 а,3 — а —р 2 з

аю = ою лю +-------------------------ю лю ,

Р

^2 а12\,Л А г^2 . а13 — а „3 Л 1

dю = (а-----—)ю лю + —-----------------------------------ю лю , (2.3)

Р Р

3 1 2 2 3 3 1

d ю =-рю лю - Ью лю + аю лю .

3. Классификация минимальных неголономных торсов 2-го рода

Для любого распределения А: М множество плоских элементов (М, п)

представляет собой трёхмерное многообразие. Однако множество плоскостей п может зависеть от меньшего числа параметров. Для любого неголономного торса 2-го рода (К2 = 0) множество плоскостей п зависит от двух параметров [4, с. 109]. В частности это имеет место и для МНТ-2. Действительно, находим характеристику плоскости п для МНТ-2:

х3 = 0,

12 1 2 3 (3.1)

рх ю + (ах + Ьх - 1)ю = 0.

В формулах (3.1) содержатся лишь две базисных формы, то есть мы имеем двупараметрическое семейство плоскостей распределения. Из (3.1) также следует, что характеристическая точка [5, с. 183] плоскости п - это точка

Мо ( 0,Ь ,0).

Возникают три возможности: 1) плоскости п огибают поверхность, состоящую из точек М0; 2) плоскости п образуют связку с центром в точке М0 ; 3) плоскости п параллельны одной прямой. Имеющиеся три возможности и положены в основу классификации МНТ-2: 1) МНТ-2, плоскости которых огибают поверхность, назовём МНТ-2 общего вида; 2) МНТ-2, плоскости которых образуют связку, назовём минимальными неголономными конусами; 3) МНТ-2, плоскости которых параллельны одной прямой, назовём минимальными неголономными цилиндрами.

4. Минимальные неголономные торсы 2-го рода общего вида

Заметим, что существование МНТ-2 каждого из перечисленных видов не очевидно. Переходим к доказательству существования МНТ-2 общего вида.

Теорема 1. Минимальные неголономные торсы 2-го рода общего вида существуют с произволом двух функций двух аргументов.

Доказательство. Для доказательства теоремы используем метод Кэлера [3]. Замыкаем систему (2.2), получаем

2 3122331

$0,12 ЛЮ + $&13 ЛЮ + А.Ю ЛЮ + В,® ЛЮ + С.Ю ЛЮ = 0,

1 2 3122331

$ а12 лю + $ а 22 лю + $ а 23 лю + А2ю лю + В2ю лю + С2ю лю = 0,

1 Ь 2 Ь 3 12

$а13 лю + ($а23 — $а12)лю + ($а33 — $а13)лю + А3ю лю + (4.1)

Р Р

+В3Ю2 л ю3 + Сю3 лю1 = 0,

а 2 3122331

—$а12 лю -($а13 + $Р)лю + А4ю лю + В4ю лю + С4ю лю = 0,

Р

где Аі, Ві, С; (г = 1,...,4) - функции от а12, а13, а22, а23, а33, а, Ь, р. В частности,

2аі2 2

А1 = 3аа12------------3ра13 - Ь р,

Р

2 а,9 (а 23 + аЬ) + а 22 (а аіз)

В1 = ра33 + а Ь - 3Ьа13 - 2аа23 + т 23 ' 2^ 13'

р

С1 = 2а12 (а13——) + 2аа13 +Рр + 2аЬ2, р

„ а — (а13 а) 7/ 72 2Ч

С2 =-+ аа23 + Ь(а13 + Ь - а ),

р

а|2(2Ьа|2-а23 -4аЬ)

А3 = аа 23 +-----------------------------а33р + 5Ьа13,

р

. а12(а + 2а13) 2аа.2 7 2 п

А4 = —^^-------------------^ + аЬ2 -аа13 +Рр.

Р Р2

(4.2)

Положим

^ а12 = Х^1 + ^ю2 + V!®3, d а13 = X 2Ю + ц 2ю2 + V 2ю3, d а 22 = Х3Ю +ц3ю2 +v3ю3,

1 2 3 (4.3)

dа23 = Х4ю +ц4ю + V4ю , d а33 = Х5Ю +ц5ю2 +v5ю3, d в = X 6®1 + ц6ю2 + V6ю3.

Строим цепь интегральных элементов Ех с Е2 с Е3. Для Ех положим ю1 = ю2 = 0, тогда параметры (г = останутся свободными, то есть на них

не наложены никакие условия. Следовательно, г1 = 6 (обозначения соответствуют принятым в [3]). Для Е2 положим ю1 = 0 и подставим (4.3) в (4.1). В результате получим

Й2 = ^ - В1> И4 = ^ - В2 >

Ц5 = ^ - ~В1 - В3 , Цб = -- V1 +V2 + В4 • р р

Остаются свободными ц1 и ц3, то есть г2 = 2, а характер 51 = г1 - г2 = 4. И, наконец, подставим (4.3) в (4.1). Получим

Х1 — — А1, Х 2 — С1, Х3 — М1 — А2,

X4 — У1 + С2, Х5 — У2 + С1 + С3 , Х^ — С4 ,

Р

то есть г3 = 0. Кроме того, имеем

ь

А + А3 + С2 + — 0,

Р

-Аг + С - А4 — 0.

Р

(4.4)

Значения А1, А3, А4, В1, С1, С2 из (4.2) подставляем в (4.4), получаем тождественные равенства. Таким образом, для Е3 все параметры Х; определены. При этом на ц, vi не возникают связи. Это значит, что построенная цепь Е1 с Е2 с Е3 - правильная. Характер Б2 = г2 - г3 = 2. А так как характеры не возрастают и сумма их равна количеству неизвестных системы (51 + Б2 + Б3 = 6), то 53 = 0. И, согласно достаточному признаку Кэлера, система внешних дифференциальных уравнений (4.1) в инволюции. А так как Б2 = г2 - г3 = 2 , то решение существует и определяется с произволом двух функций двух аргументов. ■

Переходим к исследованию геометрических свойств МНТ-2 общего вида. Прежде всего заметим, что так как для неголономного торса 2-го рода К2 = 0, то р2

из формулы К2 = К + —, где К1 - полная кривизна первого рода [4, с. 109], сле-

дует К < 0. А это значит, что для всякого неголономного торса 2-го рода все точки М являются точками гиперболического типа. Таким образом, через каждую точку М проходят две асимптотические линии неголономного торса 2-го рода.

Находим уравнения асимптотических линий для МНТ-2. Из определения асимптотических линий имеем

(с! 2 г, е, ^ = 0.

Отсюда, используя формулы (2.1), получаем

к»1®2 = 0, ш3 = 0.

Одна из асимптотических линий (ю2 = ю3 = 0) совпадает с линией кривизны

2-го рода и, кроме того, представляет собой эквидирекционную линию [6, с. 32] -линию, вдоль которой нормали распределения описывают цилиндр. Вторая асимптотическая линия (ю1 = ю3 = 0) ортогональна первой, её касательная проходит через характеристическую точку М0 плоскости п. Первая асимптотическая линия лежит в плоскости п. Касательная ко второй является общей характеристикой плоскости п, полученной при смещении её вдоль всякой кривой МНТ-2.

Введём обозначения: к и к - кривизна и кручение линии тока нормалей; к1 и к1 - кривизна и кручение асимптотической, совпадающей с линией кривизны 2-го рода; к2 и к2 - кривизна и кручение второй асимптотической. В результате проведённых вычислений имеем

к = V а2 + Ь2 Ф 0, к = —Ьа33 Ф 0, а2 + Ь

к1 = Ь Ф 0, к1 = 0, (4.5)

а

к2 = —12 - а Ф 0, к2 = р Ф 0.

Р

Отсюда для МНТ-2 общего вида следует: 1) линия тока векторного поля нормалей не может быть плоской; 2) асимптотическая линия, совпадающая с линией кривизны 2-го рода, лежит в плоскости п, но не может быть прямой; 3) вторая асимптотическая линия, ортогональная первой, не может быть плоской.

5. Минимальные неголономные конусы

Напомним, что минимальным неголономным конусом называется МНТ-2, плоскости которого образуют связку. Обозначим радиус-вектор точки М0 (центра

связки) ЯМ0 . Для него

< = ? +1 <?2 (5.1)

и Жый = 0.

Из (5.1) и (5.2), используя соответствующие формулы, находим

а12 = ар, а13 = а2, Р = 0.

(5.2)

(5.3)

И тогда основные формулы для неголономных конусов принимают вид

ю3 = рю2 + аю3,

=Ью3, ю2 = -Ью1, dр = арю1 + а22ю2 + (а23 - аЬ)ю3, da = (а2 + Ь2 )ю1 + а 23 ю2 + а33ю3,

(5.4)

db = Ь2ю2.

Формулы для внешних дифференциалов базисных форм в данном случае имеют вид

Теорема 2. Минимальные неголономные конусы существуют с произволом одной функции двух аргументов.

Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1. При этом используются формулы (5.4) и (5.5) ■

Выясним отличия геометрии инвариантных кривых минимального неголоном-ного конуса от геометрии инвариантных кривых МНТ-2 общего вида. Прежде всего заметим, что из (5.4) для асимптотической, совпадающей с линией кривизны 2-го рода, инвариант b = const Ф 0 , а следовательно, и кривизна k1 = const Ф 0 (см.(4.5)). То есть эта асимптотическая является окружностью с центром в точке М0. Для второй асимптотической кривизна k2 = 0, следовательно, она представляет собой прямую, проходящую через точку М0.

Со всяким МНТ-2 инвариантно связаны два распределения - А: : M и А2 : M ^п2, где щ, п2 - плоскости, ортогональные п и проходящие через касательные к асимптотическим линиям распределения А. При этом п2 проходит через касательную к той асимптотической, которая совпадает с линией кривизны 2-го рода. Рассмотрим распределения А2 и А: для минимального неголономного конуса.

Теорема 3. Распределение А2 голономно и определяет на Е3 слоение [1, с. 683], слоями которого являются сферы с центром в точке М0 .

Доказательство. Распределению А2 соответствует уравнение Пфаффа

ю2 = 0, которое в силу (5.5) вполне интегрируемо. Следовательно, А2 голономно.

Докажем, что интегральные поверхности уравнения ю2 = 0 представляют собой

сферы с центром в точке М0 (0, —, 0). Находим соприкасающуюся сферу инте-

b

гральной поверхности уравнения ю2 = 0, проходящую через точку М. Уравнение поверхности 2-го порядка a^x1 xj + 2ai0x1 + a00 = 0 запишем в векторном виде

(5.5)

(R, R) + 2( N, R) + а00 = 0.

(5.6)

Требуем, чтобы точка М принадлежала поверхности (5.6):

(г, г) + 2( N, г) + а00 = 0. (5.7)

Находим условие совпадения в точке М касательных плоскостей поверхностей

(5.6) и интегральной поверхности. После соответствующих вычислений получим

(<?!, ?) + ф, ) = 0, (58)

(е3, г) + (N, ?3) = 0.

И, наконец, получаем условия, определяющие вместе с (5.7) и (5.8) коэффициенты соприкасающейся поверхности 2-го порядка:

(<?!, ?!) + Ь( N, е2) = 0,

(е1, е3 ) - аФ, е3 ) = 0, (59)

(е1, е3 ) = 0,

(е3, е3) + аф, ?) + Ьф, е2) = 0.

Из (5.7) - (5.9) следует

а00 = а01 = а03 = а13 = а11 = а33 = -Ьа02 •

Положив а02 = -1, получим следующее уравнение соприкасающейся сферы интегральной поверхности уравнения ю2 = 0 в точке М:

(х1 )2 + (х2 -1)2 + (х3 )2 = ±-. (5.10)

Ъ Ъ2

Легко убедиться, что сфера (5.10) остаётся стационарной во всех точках интегральной поверхности уравнения ю3 = 0 . Это значит, что сама интегральная поверхность, проходящая через точку М, представляет собой сферу с центром в точке М0.

Итак, распределение А2 голономно, а пространство Е3 расслаивается на однопараметрическое семейство сфер с центром в точке М0. ■

Заметим, что линии кривизны 2-го рода минимального неголономного конуса совпадают с окружностями больших кругов тех сфер, на которые расслаивается Е3. А линии тока нормалей этого конуса - пространственные кривые, лежащие на

2 2 Ъа зз

а + Ь , а кручение к = —---------.

а2 + Ъ 2

Теорема 4. Распределение А1 представляет собой неголономный конус, не являющийся минимальным.

Доказательство. Распределению А1 соответствует уравнение Пфаффа ю1 = 0. Так как

^ю1 ЛЮ1 = рю1 ЛЮ2 ЛЮ3 Ф 0, то это значит, что А1 - неголономное распределение. Его главные кривизны 2-го рода к1(2) = 0, к22) = а ^ 0. Полная кривизна 2-го рода К2 = 0, а средняя

Н = 2 ф 0. Плоскость п1 проходит через неподвижную точку М0. Всё это характеризует неголономный неминимальный конус. ■

Асимптотические линии распределения А: определяются уравнениями

ю3 (рю2 + аю3) = 0, (5 11)

(5.11)

ю1 = 0.

Асимптотические линии рю2 + аю3 = 0, ю1 = 0 совпадают с линиями кривизны 2-го рода. Это плоские линии с кривизной, равной -у/р2 + а2. Асимптотические

линии ю3 = ю1 = 0 - прямые, проходящие через точку М0. Линии тока нормалей (e1) распределения А: являются окружностями с центром в точке М0 и совпадают с линиями кривизны 2-го рода распределения А.

6. Минимальные неголономные цилиндры

Все плоскости минимального неголономного цилиндра параллельны одной прямой. Для него инвариант b = 0 , а основные формулы имеют вид

1 2 3

Ю3 = рю + аю , ю2 = 0,

ю2 = о, (6.1)

d р = арю1 + а22ю2 + а23ю3, da = а2ю1 + а23ю2 + а33ю3.

Кроме того,

dю1 = -рю2 лю3,

d ю2 = 0, (6.2)

dю3 = -рю1 лю2 + аю3 лю1.

Теорема 5. Минимальные неголономные цилиндры существуют с произволом одной функции двух аргументов.

Доказывается данное предложение аналогично доказательству теоремы 1. ■ Обе асимптотические линии минимального неголономного цилиндра, проходящие через точку М, являются прямыми линиями. Одна из них совпадает с линией кривизны 2-го рода и с эквидирекционной линией. Вторая совпадает с характеристикой плоскости п, полученной при её смещении по любой кривой распределения А. Линия тока нормалей - кривая, лежащая в плоскости п2 и имеющая кривизну, равную а.

Для минимального неголономного цилиндра инвариантное распределение А 2 - голономно и определяет слоение, слоями которого являются плоскости.

Распределение А1 неголономно, если а Ф 0. Его полная кривизна 2-го рода

а

равна нулю, а средняя равна — Ф 0. Плоскости п параллельны одной прямой.

Таким образом, распределение А1 представляет собой неголономный неминимальный цилиндр. Асимптотические линии распределения А1 определяются уравнениями

ю3 (рю2 + аю3) = 0, ю1 = 0.

Одна из них (ю1 = ю3 = 0) - прямая, являющаяся характеристикой плоскости п, полученной при смещении по кривым распределения А. Вторая (рю2 + аю3 = 0, ю1 = 0) - плоская линия, лежащая в плоскости п1. Угол а между

асимптотическими линиями определяется формулой cos а = . ° =.

•\/а2 + р2

Теорема 6. Существует единственный минимальный неголономный цилиндр с постоянным скаляром неголономности.

Доказательство. При р = const Ф 0 из (6.1) и (6.2) получаем a = а22 = а23 =

= азз = 0,

ю3 = рю2,

ю32 = 0, (6.3)

ю2 = о.

dю1 = -рю2 лю3,

d ю2 = 0, (6.4)

d ю3 = -рю1 лю2.

Система (6.3), а следовательно, и система

dr = ю1^ + ю2е2 + ю3е3,

dei = -рсо2Єз, (6.5)

de2 = 0, de3 = рю2е,

вполне интегрируема и при заданном р = const имеет единственное решение.

Проинтегрируем систему (6.5). Так как dю2 = 0, то можно положить ю2 = du.

Покажем, что формы ю1, ю3 можно представить в виде ю1 = dv + tldu, ю3 = dw + t2du. Используя (6.4), получим

dtl л du = -pdu a dw, dt2 л du = -pdv л du.

При tx = pw, t2 = -pv последние равенства становятся тождествами. Следовательно, можно положить

ю1 = dv + pwdu, ю3 = dw - pvdu,

где u, v, w - некоторые переменные (параметры). Система (6.5) после этого принимает вид

dr = (dv + рwdu)el + due2 + (dw - pvdu)e3, de, = -p due3,

V n (6.6)

de2 — П,

de3 — p due,.

Отсюда видим, что е2 - постоянный вектор. Обозначим е2 = г3. Так как

Зе ^ а е 2 е

~Г = ~рез>ТТ = -Р е1’

аи $и

то

е1 = С08(ри) + ¿2 81п(ри), (б

е = 61 8т(ри) - 62 008(рм).

Векторы е1 , ё2, г3 образуют постоянный ортонормированный базис. Из (6.6),

(6.7) имеем

дг

----= 61 С08(ри) + 62 8т(ри),

ду

Г = (!1 С08(ри) + 62 8т(ри))у + /(и, м).

Отсюда и из (6.6) получаем

д ^ ^

----= £1 8т(ри) - £2 008(ри).

дк

Тогда

/(и, = (б1 8т(ри) - г2 С08(ри))'Ш + ф(и)

и

Г = (б1 С08(ри) + а2 8т(ри))у + (б1 8т(ри) - г2 С08(ри))'Ш + ф(и).

Используя (6.6) и (6.7), находим

ф(и) = мє3 + Г0, Г0 = const.

Примем векторы Sj, s2, s3 за базис неподвижной системы координат, а начало координат поместим в точку A(r0), тогда

r = (v cos(pu) + w sin(pM))s1 + (v sin(pu) - w cos(pu))s2 + us3.

Таким образом, декартовы координаты (x,y,z) точки М относительно выбранной неподвижной системы координат определяются формулами

x = v cos(pu) + w sin(pu),

y = v sin(pu) - w cos(pu), (6.8)

z = u.

Так как u = z, то из (6.7) следует, что с постоянным скаляром неголономности р Ф 0 существует единственное векторное поле

e3 (sin(pz), - cos(pz), 0),

ортогональное распределению, удовлетворяющему условиям теоремы. То есть существует единственный минимальный неголономный цилиндр с постоянным скаляром неголономности. Уравнение Пфаффа, ему соответствующее, имеет вид

sin(pz)dx - cos(pz )dy = 0. ■ (6.9)

Получим уравнения инвариантных кривых и поверхностей в той неподвижной системе координат, в которой записано уравнение (6.9).

Линии тока векторного поля е3 - прямые

z = с,

x cos(pc) + y sin(pc) = с.

Эквидирекционные поверхности - плоскости z = с. Асимптотические линии, совпадающие с линиями кривизны 2-го рода, определяются уравнениями

z = с,

x sin(pc) - y cos(pc) = c2,

а асимптотические линии, ортогональные им, - уравнениями

x = a,

y = b.

Линии кривизны 1-го рода состоят из интегральных кривых системы дифференциальных уравнений

(cos(pz)dx + sin(pz)dy)2 - (dz)2 = 0, (6 ю)

sin(pz )dx - cos(pz )dy = 0.

Проинтегрировав систему (6.10), получим уравнения линий кривизны 1-го рода:

1 .

x = sin t + Cj,

p

y = — cos t + C2, (6.11)

p 1

z =----1

p

и

1 .

x = — sm t+a, p

y = — cos t + a2, (6.12)

p

1

z = — t. p

Из (6.11) и (6.12) видим, что линиями кривизны 1-го рода являются винтовые линии, имеющие одинаковое кручение и векторы кривизны, отличающиеся лишь знаком. Линии кривизны 1-го рода, проходящие через точку (x0, y0, z0), лежат на двух цилиндрах

1 2 1 2 1 (x - х0 +- sm(pz0)) + (y - y0------cos(pz))

Р Р p2

и

1 2 1 2 1

(х - хо---sin(pz)) + (y - Уо ^ cos(^z0 )) =—2

p p p2 одинакового радиуса с общей образующей, проходящей через точку (x0, y0, z0).

Плоскость п - это общая касательная плоскость цилиндров. Эквидирекционная плоскость ортогональна общей образующей цилиндров (см. рис. 1 и 2).

Рис. 2

Линии кривизны 1 -го рода (винтовые линии) в точке (х0, у0, z0) имеют общую

главную нормаль, совпадающую с линией тока векторного поля. Та асимптотическая линия, которая является линией кривизны 2-го рода, ортогональна общей образующей цилиндров и вектору поля. Вторая асимптотическая линия совпадает с общей образующей цилиндров.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.

2. Вершик А.М., Гершкович В.Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи // Итоги науки и техники. Том 16. М.: ВИНИТИ, 1987. С. 7 - 85.

3. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана. М.; Л.: ГИТТЛ, 1948.

4. Онищук Н.М. Векторные поля с нулевой полной кривизной 2-го рода. Исследования по математическому анализу и алгебре // Томск: Изд-во Том. ун-та, 1998. С. 107 - 112.

5. Бюшгенс С.С. Дифференциальная геометрия. М.; Л.: ГИТТЛ, 1940.

6. Слухаев В.В. Геометрия векторных полей. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1982.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:

ОНИЩУК Надежда Максимовна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии механико-математического факультета Томского госуниверситета. Email: [email protected]

ЦОКОЛОВА Ольга Вячеславовна - студентка механико-математического факультета Томского госуниверситета. E-mail: [email protected]

Статья принята в печать 19.05.2009 г.