CC BY
30
Отметим, что при II = О или 8Ш ОС = О бесконечно малая деформация является тривиальной.
Из условия следует, что функция ОС в области Б существует, если СС —ОС , то есть, если
dv
e
4Ёо) ды IVEG
в..
= о.
Последнее условие означает, что метрика йя2 является плоской, то есть ее гауссова кривизна к тождественно равна нулю. В этом случае имеем для односвязной области Б :
а
•41,V
*v> J
E
rdu +
G
4eg 4eg
dv
+ cn
где интегрирование ведется по любому контуру с концами в точках
с2 = const.
Используя уравнение ^ 7 , из формул , находим:
Гц = с^Е + Rcos(?0 +С21?;
Sgu = R sin + с2 УЁв; fe = ClG ~ RCOS^o + С2
13
где а0 = а .
Формулы О удобно представить в виде:
¿%и = схЕ + Есо&а0 • Л + Еъта0 • //;
БШ а0 • А - л1ЕО СОБС^ • //; д§22 = ■ Л - Сзт а0 • //,
где л = и 31П С2, ¡Л = и СОБ С 2 - произвольные постоянные, Д2 + // Ф 0. Этим завершается доказательство теоремы 2.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. В.Ф. Каган. Основы теории поверхностей. ОГИЗ. М., 1948. Ч. II.
2. Н.С. Синюков. Геодезические отображения римановых пространств. М.: Наука, 1979.
v
о 10
В.Т. Фоменко, В.В. Сидорякина, О.Н. Бабенко
4
ПОГРУЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ЕВКЛИДА В Е В ВИДЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОЙ НОРМАЛЬНОЙ СВЯЗНОСТЬЮ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ВЕКТОРОМ СРЕДНЕЙ КРИВИЗНЫ
2 7 2
г>
Пусть на числовой плоскости К задана метрика ш , кривизна которой равна нулю. Такую плоскость будем называть плоскостью Евклида, а метрику - плоской.
Ставится задача изометрического погружения плоскости Евклида в четырехмерное евкли-
с3
дово пространство в виде поверхности класса с плоской нормальной связностью и параллельным вектором средней кривизны. Такие погружения будем называть Н - погружениями без кручения.
В работе доказывается следующая теорема.
Теорема. Плоскость Евклида допускает Н - погружения в Е только в виде двумерной
плоскости, универсальной накрывающей круглого цилиндра в Е а Е и универсальной накры-
4
вающей тора Клиффорда в Е .
Доказательство проводится путем изучения разрешимости системы уравнений Гаусса-Петерсона-Кодацци-Риччи, записанной для данной метрики и рассматриваемой на всей числовой
2
плоскости К .
4
§1. Некоторые сведения теории двумерных поверхностей в Е .
4
Будем считать, что рассматриваемая поверхность Ф в Е задана векторным уравнением
--12 12 2 г = г и :и , и :и <еЯ
где У ^ С Тогда метрическая форма поверхности записывается в виде
¿Л =g и \и с1ис1и
g9= Г,,Г} , Г,
дг
I 1 •■> о •
где по индексам ' проводится суммирование от 1 до 2; .
Здесь и далее латинские индексы пробегают значения от 1 до 2, а греческие - от 3 до 4.
1 2
Л' ф /Тч и= и-и
Выберем в нормальной плоскости " поверхности ^ в точке ортонор-
— 4
п
и
N..Ф , и е Ф
мированный базис п ^ . Тогда множество " образует нормальное расслоение
т N Ф «V
поверхности ^ со слоем " . Пусть - метрическии тензор слоя
О 0Л
ч0 1,
К Ф , 8 от = > 8 от =
Второй основной квадратичной формой поверхности Ф относительно нормального вектора
называется выражение
с1с( _ с1с(
IIа = II Па = Ьау<1и ски , а = 3,4
Па
и - ~ ~ д г
Ьау= П°-:ГУ > ГУ = ; 7
где ди ди
ь
Далее наряду с коэффициентами т} будем использовать выражения
иа ати О =£ и
11 о 5
Хт А Л
я я = о , о где ''' - символ Кронекера.
1 2 _ и= и ,11 _ , _
Пусть в точке поверхности ^ задан единичный вектор в касательной к ^
и Т Ф _ пъ; По
в точке плоскости и . Совокупность трех векторов образуют евклидово про-
Е и; г г;пъ;П4
странство , являющееся линейной оболочкой векторов и называемое нор-
мальным секущим пространством поверхности Ф в точке ^ по направлению '. Известно, что з -
Гп=ФпЕ к;Г ^ ^ ф
множество является кривои, лежащей на поверхности ^ , называемой нор-
мальным сечением поверхности Ф в точке ^ по направлению '. Вектор — к ■ Ж где Ш .
з -
Е и; г
вектором нормальной кривизны поверхности Ф в точке ^ по направлению ^. Вектор ^ " при-
~ Ф и<=Ф Тг к
надлежит нормальной плоскости и и приложен к точке . Конец вектора " в
плоскости ^ порождает точку Р Таким образом, множество единичных векторов ', исходящих из точки И € Ф в касательной плоскости, отображается в кривую Е лежащую в нор-
1/ п, и,т ь V
вектор главной нормали кривои ' " в , — кривизна кривои " в точке , называют
N Ф т
мальной плоскости 11 . Кривая ' называется индикатрисой нормальной кривизны поверхности Ф в точке ^ .
Известны следующие свойства индикатрисы нормальной кривизны Е 1 :
7 т ф т
1) между направлениями, порождаемыми векторами ' в " , и точками кривой ' устанавливается биекция описанным выше образом;
2) кривая Е является эллипсом, который может вырождаться в дважды проходимый отрезок или точку;
3) ортогональные направления в точке ^ на поверхности Ф отображаются в диаметрально противоположные относительно центра эллипса точки;
и (= <Т> О е N Ф
4) вектор, имеющий началом точку и ^ ^ и концом точку " - центр эллипса нормальной кривизны, называют вектором средней кривизны и обозначают через
_А/ (Т_
Н=Н Па
<т
где Е[ - средняя кривизна поверхности Ф относительно нормали :
<7 аВ и
Н =£ ъ
а/3
Длина вектора Н называется средней кривизной поверхности ^ в точке и и обозначает ся через И . Таким образом, имеем
Ф
и
И = ^атИ н
а, Ь
ь
1. Если - длины полуосей эллипса нормальной кривизны ' , то площадь эллипса в точке и €Е Ф есть числ0 2к — яаЪ где К называют гауссовым кручением поверхности в точке ^ . Очевидно, что ^ — 0 тогда и только тогда, когда эллипс нормальной кривизны Е поверхности Ф в точке ^ вырождается в отрезок или в точку.
N Ф
2. Рассмотрим в нормальной плоскости и множество точек, из которых эллипс нормальной кривизны, отличный от точки, виден под прямым углом. Это множество точек ле-
1
С
жит на окружности ° , называемой ортооптической. Центр ее совпадает с центром эллипса, а радиус равен половине диагонали прямоугольника, образованного касательными к эллипсу в его вершинах. Гауссова кривизна К поверхности в точке и дается формулой
3.
2 2 2 К = Н - а +Ь
а, Ь „
где - длины полуосей эллипса кривизны. Очевидно, что гауссова кривизна есть степень
и ^
точки и относительно окружности ° . В самом деле, имеем
К =
VI 2
а +Ь
VI 2
а +Ь
Тогда сумма
VI 2
а +Ъ
равна сумме расстояний точки и до центра эллипса и ра
диуса окружности
С
VI 2
а +Ь
а разность
равна разности этих величин. Поэтому, если
1
и С
точка и лежит вне и , то гауссова кривизна поверхности положительна, если внутри окружно-
и С
сти - отрицательна, если точка лежит на окружности ' , то гауссова кривизна поверхности Ф в точке ^ равна нулю.
1) Из сказанного в п. 6 следует, что если ^ ~ ® и эллипс кривизны вырождается в отрезок,
С
то длина этого отрезка равна удвоенной длине вектора средней кривизны, а окружность и проходит через точку поверхности Ф .
Обратимся теперь к линейным формам кручения поверхности Ф в точке ^ . Положим
- дпт
Иг/ = -7
где ^
Линейной формой кручения поверхности Ф в точке ^ называют выражение
й) = Г„ Ли
от
Г
а символы <т'п - коэффициентами нормальной связности.
Известно, что на поверхностях Ф с нулевым гауссовым кручением, и только на них, суще-
_* 4
Г =0
ствует ортонормированное оснащение 17=3, для которого 1С7 П ~~ ". При повороте репера
_* 4
на постоянный угол значения не изменяются.
Справедливы следующие классические теоремы:
4 g 3 Г
Теорема 1. Для поверхности Ф в Е величины 4' ' сг'п связаны между собой 6
уравнениями Гаусса-Петерсона-Кодацци-Риччи:
33334444 ,4 +11 II 2
1Ч ¿>, Д9 - ЬуЛэ + Ы Д0 - ЬГ1ЬГ1 = К ■ в ё = аег , К л.
1) 11 22 12 12 11 22 12 12 й, где 11 у» - кривизна метрики Ы>1 ; „ч д,Г7, -Э7ГМ =<1як к- (Т)
2) 1 24 2 14 \ о где л . гауССОВО кручение поверхности ^ :
гЧ
3)
1 ли и
ь3|1д|2>
- <7 ОЬ £ I (Т / (Т (7 Г к
Vгб3 - V б3 = о Уг ^ = " Гу а " + т*ь*' Гу-
4) 1 }к 1 л , где (11 - коэффициенты касательной связности поверхности Ф;
5)
Теорема 2. Если область Б односвязна и решение системы уравнений Гаусса-Петерсона-
g , Ъ Г
Кодацци-Риччи '' °"'тг удовлетворяют условию:
2 .
>0, §2, >0, а,г22-г12 >0 г ф
он ' о// ' оно// о1/ . то в существует поверхность 1 и ее нормальное — 4
П(Т ё т Ь
оснащение такие, что 13 - метрический тензор поверхности ^ ; гт'1 - тензор второй
Па' Г
квадратичной формы относительно нормали ' а-п - коэффициенты линейной формы кручения поверхности Ф .
§2. Дифференциальные уравнения, описывающие И -погружения плоскости Евклида
4
в Е и их решение.
2 1 2 сЬ = йи + йи
Будем считать, что плоскость Евклида задана метрикой , тогда име-
sp\\ =
О 1
ем у . Это означает, что гауссова кривизна тождественно равна нулю и по-
тому система уравнений Гаусса-Петерсона-Кодацци-Риччи принимает вид:
3 3 3 3 4 4 4 4
1) ЪПЪ22 ~ ЪЛг + Ь11Ь22 ~ Ь12Ь12 = 0 ;
„ 3 „3
эг,, зг
24
1 2
2) ди ди
+ ь* = о
1 2 14 12 х 24 11 u
3) ди ди •
+ ¿4-rY =0
2 1 24 12 -1- 14 22 и
^ ^+rV-rV=o
4)
1 2 13 12 А 23 11
5) ди ди •
V _г4*3
2 1 т±231/12 1 13^22 и
6) ди ди
Так как Н -погружение метрики предполагает, что поверхность Ф имеет нулевое гауссово кручение ^ = ® , то нормальная связность поверхности Ф является плоской и потому на по— 4
ФПа гг = о
существует ортонормированное оснащение а=ъ, для которого "> , что и будем считать далее выполненным.
Для поверхности Ф вектор средней кривизны Н является параллельным. Это означает,
дН а г
_L сг i it р^7 _
что V л = 0. то есть ди так как ,r ~~ , то отсюда следует, что 3 3 4 4 __—
Н = const = Нп, Н - const = Нп „ и , и,
0 . Это означает, что вектор 11 образует с вектором
- 4
постоянный угол т Осуществим поворот репера сг_3 по формулам
из = из cos ср + «4 sin (р\ П4= -из sin (р + «4 cos (р\ (р = const.
_* 4
Па
Тогда будем иметь новое оснащение сг=3 , для которого
* 3 * 3 * 3 / 9 9 * 4 * 3
I 3 z 4 z
H =Hо = const, Hо=< H0 + H0 , H =0, H0 = Hо
Следует отметить, что в силу условия К = 0 эллипс кривизны Е вырождается в отрезок (или точку). Поэтому окончательно рисунок индикатрисы нормальной кривизны выглядит следующим образом (рис. 1):
N.. Ф
Рис. 1. Индикатриса кривизны - отрезок
А 1;0 , В 0;1
Точки
динатным направлениям на поверхности ^ в точке " . Это означает, что
на индикатрисе кривизны соответствуют ортогональным коор-
Ф с тпирр
К ,3 + Ъ22 = 2 Я0;
4 4
ч 11 + Ъ22 = 0.
Тогда уравнения Петерсона-Кодацци принимают вид:
дК дЬи = 0.
ди ди
дК , дЬи = 0.
ди ди
дЬ422 дЬ4и ~ 1 - 2 '
ди ди
дЬ*22 , дЬи = 0 - 2 "1~ 1 ди ди
Отсюда следует, что функции тическими функциями комплексного переменного
г.3 г.3 г.4 г.4
¥х * ~ 22 12' ¥2 2 ~ 22 ]
12
являются анали-
1 2 2 г = и +ш : / = —1
Так как
Н -Нп = const „ ]У
и , то длина эллипса нормальной кривизны ограничена на плоскости
bз b4 2
му функции 22' 22 являются ограниченными функциями на R . Из уравнения Гаусса находим
и пото-
¿>4 ¿>3 2Н ¿>3 ¿>4
Так как правая часть этого соотношения ограничена на всей плоскости К , то ограничена и
ь3 ь4
левая часть, то есть функции 13' 12 являются ограниченными функциями на всей числовой
плоскости К . Но тогда по теореме Лиувилля аналитические функции ются постоянными. Это означает, что
VI z Wi z
1 и z явля-
К = 2 tf0-Cl;
ь322 = ci;
ъ\2 =с2;
и bl2 =с4;
и t 22 = с3;
2
2
3
ъ
где С1' ^^ Сз' - некоторые постоянные.
Так как уравнения Петерсона-Кодацци выполнены, проверим выполнимость уравнений Гаусса и Риччи.
Имеем для уравнения Гаусса:
2 2 2 с2+с4 =с1 2Н0 -
~с\ сз ■
для уравнения Риччи:
с3-с2+с4 Н0—с1 = О
сЬ = с1и + с1и
Рассмотрим две квадратичные формы: и
1 2 12 2 2 IIз = 2Н0 - с) а и + 2с2аи аи + сх аи
1 2 и , и
Известно, что линейным преобразованием переменных их можно одновременно
2 I2 2 2 1 ^ 2 2
¿/у = с//7 + йШ //3 = с, с!й + с2 с!й
привести к каноническому виду: и , где
с с II
2 - некоторые постоянные. Но тогда и форма 4 примет канонический вид
1 2 _ 2 2
//4 =с3 du + с4 du
, что соответствует рисунку 2:
Здесь
Рис. 2. Индикатриса кривизны в линиях кривизны
+ с2 2Я0, Су с^
2
с, 2Нп - с, - с, = О
Уравнение Гаусса дает: 1 и 1
с2 - 2Н с +с2 = О
Уравнение Риччи выполняется тождественно. Отсюда следует, что 1 о 1 з ;
с1 = Н0± л/н02 - с3
или 1 '
Г 2 2
л,т С=нп+^нп-с, С
Мы можем считать, что 1 » . где - произвольно; тогда
С2 = Н 0- -¡Н 02-С32 .
1
г = —
Отсюда следует, что искомая поверхность лежит на гиперсфере радиуса Сз, так как име-
с, -1 . этот = г =Н0?>та = съ Нп
ем: 0 .
§3. Доказательство теоремы.
Ранее было показано, что все решения уравнений Гаусса-Петерсона-Кодацци-Риччи, выпил 2 л 2 л 2 2
санные для плоской метрики , заданной на всей числовой плоскости м , с усло-
— (Л 1 —
виями К = и и ^ Н — 0, могут быть приведены к виду:
1 О О 1
Я„+,Я„-с О
О Н0 - - с
ми» :) •>
И= 0,0 ;
Н, с
32
где 0' - произвольные вещественные постоянные.
X, у п2
Так как область изменения параметров есть вся числовая плоскость К , то соглас-
4
ио теореме 2 в пространстве Е существуют поверхности Ф и их нормальные оснащения, имеющие указанные функции в качестве коэффициентов основных форм поверхности.
Изучим более подробно все варианты указанных поверхностей Ф .
Я = 0 г = О // Пъ =11 т = 0)ЪА = О
Пусть 0 . Тогда необходимо имеем и , и потому
2 4
Это означает, что поверхность Ф есть двумерная плоскость Е в Е .
и Ф о г— О II п4 =0, II Пъ =2 НйсЬс\ = 0
Далее считаем 0 . Пусть и тогда . По-
кажем, что в этом случае поверхность Ф есть универсальная накрывающая круглого цилиндра ^ з С в е .
п
Подсчитаем основные формы цилиндра С :
С: г = соэ 2Н0х 2Н0х 0<х<-оо<у<со
2 Нп 2 Нп Нп
Имеем
гх- эт 2Н0х ;соз 2Н0х ;0;0 ; гхх- 2Н0со$ 2Н0х 2Н0х ;0;0 ;
г у = 0;0;1;0 ;
Гуу = 0;0;0;0 ; ~Гху= 0; 0; 0; 0 ;
= = $22 = 1;
3 3 3
Ьп=2Н0, Ьи= 0, ¿22=0;
4 4 4 ЬП = Ь12 = Ь22 = 0;
3 3
Г =Г =0
1 14 — 1 24 —
Сравнивая полученные значения коэффициентов основных форм цилиндра С со значениями соответствующих коэффициентов по формулам (*), убеждаемся в силу теоремы 2, что случай
НпФ 0 с = 0 1ГV р4 Ф
0 , " приводит нас к круговому цилиндру в с . т.е. ^ есть универсальная наГ
крывающая 4 .
0, с * 0
Будем считать, что ''" '
4 2
Рассмотрим в Е тор Клиффорда Т , заданный уравнением
Т : г = ] — собш/;—этам;—СОБ^У;—эт^уI; [а а Ъ Ъ \
2п л 2п .
О <и< —; О < V < —; а = сошР, Ь = с<жМ. а Ь
Имеем:
Положим
ги = -зт£ш;со8£ш;0;0 ; rv= 0■,0■,-smbv■,Q,osbv ; т = -со8£ш;-зт£ш;0;0 ; т = 0;0;-соз6у;-зт6у ; гт = -асо^ащ-аыпащО^О ; гт = 0;0; 0;0 ; гт = 0;0;-6соз6у;-6зт6у ;
8п = 8п = #22 = 1;
— 2 II т =ааи ;
— 2 II П4 = Ъйу ;
<У34 - Г13 + Г23 А(Ь - И4,И34 ски + т,из2 =
Н=а~, Я4=-; 2 2
Н = •< -—собям;-—этаи;-—СОБ^У;-—этйу I. 2 2 2 2
лз = ,—^—= -асо5аи-а$>таи-Ьсо$>Ьу-Ь$>тЬу
>/а2 +Ь2
2 , , .2
-2 ^ -2 -2
* йс *
а ! „ ! Ь
Ьи = , = , ¿12 = 0, ¿22 =
—--— , .—--— ,
а +Ъ уа +Ь
пл = , ^ -Ъ сое аи\ -Ъ вт аи\ а сое Ъ\\ а вт Ъу ■\1а +Ь
и аЪ и л и аЪ
Оп = , , ¿12 = О, Ь22 = -
—2-2~ ' — — I—2-2~
а +6 +6
н{,+
2 2 2 2 2 2 аЪ _ а ^ 2 аЪ
Н--о-т — I Нп — Л1Н,
0 2 , ,2 /~1 2' 0 А 0 2 , ,2 /~1 ~ а +Ъ \1а + Ъ V а +Ъ Vа + Ъ
аЬ
с =
VI 2
а
¡а +Ъ
2
1 2 2 Hn=—s¡a +b ;
2
а = ^ н1 + сН0 + сНп
'о
Ь = ^Н20+сН0-^Н0-сН0
и 1 Í^J
bii =— ya +b + ,
2 2 2 2 а +o а Ъ
а +Ь2 2
1 I 2 ,2
Va
= —\a + b +
2 А2
a -b
2 ,2 4 а +6
1 ГТ ,2 а
= —\а +Ь ч--, ---г
2 2 V
2 2 2 2 1 а +а —Ъ
а +Ъ2
Л
a2 +¿2
¿22 =—V«
1 / 2 ,2 -Va
2 2 2 2 а +Ъ а о
а +Ъ2 2
1/2,2 Va
= -va +b -
2 А2
a -b
2 2 4 а +6
1 Г~2 — а -
V*
=—Va +b -2
2 2 2 2 1 а -а +о
+Ъ2 2
I
а +Ъ2
I
а +Ъ2
Это означает, что коэффициенты основных форм тора T совпадают со значениями, определенных формулами (*). В самом деле, имеем
Í4 сН0 = 2ab,
.222 I 4Я0 =а +Ь ,
а + Ь 2 = 4 #о + с#0 ,
2 2 а-Ъ =4 Н0-сН0 ;
гф
a + b = 2\l H + cH0,
a-b = 2\l H0- cH 0;
2a = 2| о + сЯ0 + \jffl -сН0 \,
b = ^H 02 + cH 0- y¡H 02- cH 0;
2 2 2 a +6 = 4Я„:
v:
a2 + b2 =2H0;
4a +b 2
-c
JZ+b2 2
= \ 7Яо+с-л/Яо-с •
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК 1. Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере. М.: Изд-во Москв. гос. ун-та, 1960.
4
2
4
2
О
b
