Поверхности без кручения в многомерном евклидовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE. 2019. No. 2

УДК 514.752 DOI 10.23683/0321-3005-2019-2-20-25

ПОВЕРХНОСТИ БЕЗ КРУЧЕНИЯ В МНОГОМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

© 2019 г. В.Г. Шармин1, Д.В. Шармин1

1Тюменский государственный университет, Тюмень, Россия

SURFACES WITHOUT TORSION IN A MULTIDIMENSIONAL EUCLIDEAN SPACE

V.G. Sharmin1, D.V. Sharmin1

1Tyumen State University, Tyumen, Russia

Шармин Валентин Геннадьевич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра алгебры и математической логики, Институт математики и компьютерных наук, Тюменский государственный университет, ул. Володарского, 6, г. Тюмень, 625003, Россия, email: [email protected]

Шармин Дмитрий Валентинович - кандидат педагогических наук, доцент, кафедра алгебры и математической логики, Институт математики и компьютерных наук, Тюменский государственный университет, ул. Володарского, 6, г. Тюмень, 625003, Россия, e-mail: d. v. sharmin@utmn. ru.

Valentin G. Sharmin - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Algebra and Mathematical Logic, Institute of Mathematics and Computer Science, Tyumen State University, Volodarskogo St., 6, Tyumen, 625003, Russia, e-mail: [email protected].

Dmitrii V. Sharmin - Candidate of Pedagogics, Associate Professor, Department of Algebra and Mathematical Logic, Institute of Mathematics and Computer Science, Tyumen State University, Volodarskogo St., 6, Tyumen, 625003, Russia, e-mail: [email protected]

Для поверхностей в многомерных пространствах вводятся коэффициенты кручения, определенные с помощью гладких полей нормалей. Среди всех базисов нормального пространства поверхности выделяются канонические. Целью работы является изучение свойств поверхностей, у которых в каноническом базисе подпространства, ортогонального касательной плоскости, все коэффициенты кручения (или их часть) равны нулю.

В статье используются методы классической дифференциальной геометрии и методы, разработанные А.И. Фирсовым для исследования поверхностей, имеющих коразмерность, большую единицы, а также теорема о единственности решения задачи Коши для системы эллиптических уравнений.

Для рассматриваемых поверхностей доказаны необходимые условия их принадлежности некоторой k-плоскости. Установлено, что аксиальные точки таких поверхностей являются изолированными. Для исследуемых поверхностей построены ассоциированные и показана их связь с поверхностями класса Бонне.

Ключевые слова: евклидово пространство, двумерная поверхность, коэффициенты кручения поверхности, ассоциированная поверхность, поверхности класса Бонне.

For surfaces in multidimensional spaces, torsion coefficients are introduced, which are determined using smooth normal fields. Among all the bases of the normal space of surface are allocated bases, which are called canonical. The aim of the paper is to study the properties of surfaces in which, in the canonical basis of a subspace orthogonal to the tangent plane, some of the torsion coefficients or all the torsion coefficients are zero.

The article uses the methods of classical differential geometry and the methods by A.I. Firsov for the study of surfaces having codimension greater than one, as well as theorem about uniqueness of the solution of the Cauchy problem for the system of elliptic equations.

For the considered surfaces the necessary conditions of their belonging to a certain k-plane are proved. It is established that the axial points of such surfaces are isolated. Also for such surfaces associated surfaces are constructed and their relationship with Bonnet class surfaces is shown.

Keywords: Euclidean space, two-dimensional surface, surface torsion coefficients, associated surface, Bonnet class surfaces.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 2

Введение

Известно, что равенство нулю кручения кривой трехмерного пространства является необходимым и достаточным условием того, что кривая лежит в пространстве меньшей размерности.

Решению аналогичной задачи для поверхностей четырехмерного евклидова пространства посвящен ряд работ по дифференциальной геометрии поверхностей.

В работе Ю.А. Аминова [1] введено понятие кручения поверхности в Е4 с помощью эллипса нормальной кривизны. Доказано, что если поверхность лежит в некоторой гиперплоскости, то ее кручение равно нулю. Обратное утверждение верно только при условии неравенства нулю гауссовой кривизны поверхности.

В.Т. Фоменко [2] рассмотрел класс поверхностей в Е4, имеющих нулевое нормальное кручение. Равенство нулю нормального кручения является необходимым, но не достаточным признаком того, что поверхность лежит в некоторой гиперплоскости. Кроме того, получена формула, выражающая нормальное кручение через коэффициенты первой и вторых квадратичных форм поверхности и коэффициенты кручения нормальных полей.

В [3] понятие нормального кручения перенесено в четырехмерное пространство постоянной кривизны. Проведена классификация поверхностей с нулевым нормальным кручением.

В [4] изучены поверхности Р2 в Е4, имеющие постоянное гауссово кручение % = сотХ Ф 0.

В [5] выделяется класс поверхностей без кручения в канонических нормалях и устанавливается связь между ним и классом поверхностей Бонне в Е3.

В настоящей статье рассматриваются поверхности ¥2 в Еп+2 без кручения или поверхности, оснащенные каноническими нормалями, у которых некоторые коэффициенты кручения равны нулю. Доказаны необходимые условия принадлежности поверхности некоторой ¿-плоскости ( к < п + 2 ). Изучен вопрос о строении множества аксиальных точек поверхностей без кручения в Еп+2.

Основные определения и формулы

Двумерная регулярная поверхность в Еп+2 задается вектор-функцией

r = r(щ, U2 ) е C2.

(1)

первая и вторые квадратичные формы поверхности соответственно; т, т2 ,•••, тп - гладкие векторные поля, образующие ортонормированный базис нормальной и-плоскости рассматриваемой поверхности (1) в каждой ее точке.

Определение 1. Величины ак = (т )м ' тк

называются коэффициентами кручения поверхности (1) для ортонормированного базиса

т15 т2 •• •, тп .

Очевидно, что матрицы коэффициентов кручения ((ак)), ] = 1,2 являются кососимметричными

по индексам г и к, при этом аг = (т \ ' т = 0.

Определение 2. Базис нормальной плоскости т,т2,•••, тп, в котором коэффициенты кручения тождественно равны нулю, называется системой нормалей без кручения [5].

В работе [5] А.И. Фирсовым получены необходимое и достаточное условия каноничности базиса нормальной плоскости:

ЬцАг} - 2Ь12,,Ь12,} + ь2г.ь11} = 0, (2)

гф], г,7=1,...,и.

Определение 3. Поверхность, у которой система нормалей без кручения является канонической, называется поверхностью без кручения [5].

Определение 4. Точка на поверхности Р1 называется аксиальной, если размерность линейной оболочки векторов Ъг = (Ь11,г,Ь12,г,Ь22,г), г = 1, •••, п

равна единице [6].

Выпишем для поверхности Р систему основных уравнений.

п 2

Уравнение Гаусса ^ (^Л - тг ) = К, где К -

1=1

гауссова кривизна поверхности Р2.

Из уравнений Петерсона - Кодацци, приведенных в [5] в векторной форме, найдем коэффициенты при векторах т, т2 ,•••, тп левых и правых частей:

К - т., = -Т221, + 2Г122тг - Г121п, +

и2 и

+ 11а12 + ••• + 1/-1а(/-1)2 + 1г+1а'(г+1)2 + ••• + (3)

+ 1пап2 - тК - ••• - тг-1а[г-1)1 - Щ+1а(г+1)1 - ••• -пг„ - тг„, = -Г221г + 2Г12Щг - ГПп1 +

+ п1ап +... + п1_1а{1_1)1 + п1+1а(1+1)1 +

Пусть ds2 = £ (rM, ru yiUjdUj = £ g^du^u^ и

i,j=l ' J i,j=l

fk = (rj,mk )dU'dUj = b'jkdU'dUj , 1<i, j<2, 1<k<n -

+ ... + ппап1 - т1а12 - ... - т'-1а('-1)2

- m'+1а('+1)2 - ... - mnan2,

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

ьш к

где А =

к

Ш: =

Л2,г

§ 22 §12

VÜl

§ 22 §12

П =

i = 1,..., n.

1 § 22 §12 Число уравнений Риччи равно имеют вид

n(n -1) 2

Они

(«fl)B2 =

к

i 2 )u1

§11 §12 А ш.

h

Ш,

§ 22 n Пк

+ z

v=1

где 1 < i, k < n, i < k.

Условия принадлежности поверхности А-плоскости

Теорема 1. Если поверхность F2 с Е

n+2

NATURAL SCIENCE.

т n ч

А2 + Z(An -ш]) = к

i=2

А„2 = - (Г]] +Г,2:)/, Ач = -(Г]] +Г,1:)/, к2 -Ш1щ = (Г2! -Г^И + 2Г!2]Шг

= (Г]] -Г^А + 2Г1] Шг

2019. No. 2

(4)

А + mi

lu. lu 2

§11 §12 § 22 L

U

Ш„

Ар тр пр

где 2 < г < п, 1 < а, р < п, а < ¡.

Рассмотрим часть уравнений системы (4):

к2 ~т,щ = (Г121 -Г222)А + 2Г122 тг к + Щ„ = (Г22 -Г11)Аг + 2Г12 Щ

= 0,

(5)

принадлежит некоторой ¿-плоскости Ек с Еп+2, к < п+2, то существует такая система векторных полей т,т2,. ., тп , в которой количество нулевых коэффициентов кручения равно (п + к-3)(п-к + 2) + п .

Доказательство теоремы следует из определения коэффициентов кручения и того факта, что для поверхности, удовлетворяющей условиям теоремы, всегда можно найти такие векторные поля т,т2,..., тп , среди которых п-к + 2 постоянны.

Теорема 2. Если для поверхности F2 сЕ"+2 без кручения одна из вторых квадратичных форм является эллиптической, коэффициенты Кристоф-

феля Г^ ограничены в области определения параметров, и при этом не существует ¿-плоскости Ек с Еп+2, к <п+2, в которой лежала бы данная поверхность, то аксиальные точки на этой поверхности являются изолированными.

Доказательство. Положим для определенности, что функция щ является эллиптической. Тогда найдется некоторая параметризация поверхности, для которой А] = щ Ф 0, щ = 0. Очевидно, что при переходе к другой параметризации тождества а^ = 0 сохраняются. Из равенства (2) следует, что А = — п для всех вторых квадратичных форм щ, г ф 1 . Выпишем систему основных уравнений, определяющих поверхность:

Пусть точка А е F2 - аксиальная. В силу того, что Р2 является поверхностью без кручения, для

всех щ, г ф 1 в точке А е F2 А = Щ = п = 0. Если бы точка А не была изолированной, то существовала бы содержащая эту точку кривая, все точки которой являлись бы аксиальными.

Нас интересуют такие решения последней системы, для которых в аксиальных точках А = Щ = 0 . По условию теоремы коэффициенты

Кристоффеля Г^ ограничены в области определения параметров. Будем считать, что функции А,Щ еС1. Итак, к уравнениям системы (5) применима теорема Карлемана [7], согласно которой А = щ = 0 в области изменения параметров (щ, м2), но это невозможно, поскольку тогда существовала бы некоторая ¿-плоскость, где к < п + 2 , которой принадлежала бы поверхность Р2.

Следствие 1. Если поверхность F2 сЕ"+2 без кручения состоит из аксиальных точек и определитель хотя бы одной из ее вторых квадратичных

форм отличен от нуля, то найдется 3-плоскость Е3

такая, что F2 с Е3.

С л е д с т в и е 2 . Если сколь угодно малая область поверхности F2 с Е"+2 без кручения, у которой хотя бы одна из вторых квадратичных форм является эллиптической, принадлежит некоторой 3-

плоскости Е3 , то и вся поверхность принадлежит этой 3-плоскости.

Теорему 2 можно обобщить.

v

V

n

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

Теорема 3. Пусть поверхность F удовлетворяет следующим условиям:

1) система нормалей m, m2,..., m„ является канонической;

2) элементы некоторых строк матриц коэффициентов кручения ((ак)), j = 1,2 обращаются в

нуль (для определенности aj = 0, 1 <' < s, 1 < s < п);

3) существует хотя бы одна вторая квадратичная форма поверхности, являющаяся эллиптической (для определенности f);

4) в области изменения параметров (щ, U2) коэффициенты Кристоффеля Yraß являются ограниченными.

Тогда точки, в которых размерность линейной оболочки векторов b' = (bnj,b12i,b22i), ' = 1,..., s ,

1 < s < n равна единице, являются изолированными.

Доказательство не отличается от доказательства теоремы 2.

Следствие 3. Поверхность F2, удовлетворяющая условиям теоремы 3 и состоящая из точек, в которых размерность линейной оболочки векторов

b' = (Ьц,',b12,',b22i), ' = 1,..., s , s < n равна единице, принадлежит (n + 3 - s ) -плоскости.

Ассоциированные поверхности

Пусть F2 - поверхность без кручения. Построим квадратичные формы f1 = f + (f +...+(,

f =( +... + f-1 -f+f+1 +... +fn> 2<' <n.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 2

Теорема 4. Существуют поверхности Ф2

Ф2

Ф2

2 < k < n трехмерного евклидова

пространства Е3, изометричные поверхности Р2, вторые квадратичные формы которых равны соответственно р1 = р + р + ...+рп,

р = р + ••• + -/ + с+1 + ••• + />„, 2<г <п.

Доказательство. Вычислим ¿(2)N(2) - (М(2))2 = = (¡1 -¡2 + ¡з + ••• + ¡пХп -п + п3 + ••• + п) -- (щ - т+щ + ••• + т )2 =

п 7 п

= Е (1гпг тг ) + X (1гп, - 2тЩ/ + 1Л) -

i=1

'', j=1,i * j ,i,j * 2

- £ (l2ni - 2mim2 + l'n2 ) =£ (l,n, -m' ) = ^.

Итак, гауссовы кривизны поверхностей Р и Ф2 равны. Из равенств (3) следует, что для квадратичной формы р выполнены уравнения Петерсона -Кодацци. Таким образом, поверхность Ф2 , лежащая в 3-плоскости и изометричная поверхности Р2, существует.

Определение 5. Если первые квадратичные формы поверхностей Ф2, Ф2,..., Ф2 трехмерного евклидова пространства и поверхности Р2 совпадают, а вторые квадратичные формы равны соответственно

ф = р +ф2+...+Фn, р = Р + ••• + ф-1 - Р + ф+1 + ••• + Рп , 2 < г < п , то поверхности Ф2 , Ф2 ,..., Ф2 будем называть ассоциированными с поверхностью Р2.

Определение 6. Говорят, что поверхности Ф2 и Ф2 трехмерного евклидова пространства образуют пару Бонне, если существует изометрия одной поверхности на другую такая, что линии кривизны переходят в линии кривизны [5].

Теорема 5. Если ассоциированные с Р поверхности Ф2, Ф2,..., Ф2, 2<к<п равны между собой, то Р принадлежит (п + 3 - к) -плоскости.

При этом, если к = п -1 и одна из вторых квадратичных форм является эллиптической (для определенности срп ), то либо для поверхности Р существует 3-плоскость, ее содержащая, либо неравные между собой поверхности образуют пару Бонне.

Доказательство. Для определенности положим, что Ф^ = Ф^ = Ф^ Тогда /1 +¡2 +13 + ••• + 1п = = ^ -¡2 + ¡3 + ••• + ¡и = ^ + ¡2 -¡3 + ••• + ¡и и т.д. Легко видеть, что I = щ = щ = 0, 2 < г < 3. Это означает принадлежность поверхности Р некоторой и-плоскости. В общем случае теорема доказывается аналогично.

Приведем квадратичные формы р и рп к такому виду, что щ = щ = 0.

Пусть Ф^ = ••• =Ф^_! . Тогда = mi = пг = 0, 2 < г < п -1. В результате получим р1 = ••• =рп-1 = (6)

= 4811822 - 812 ((¡1 + ¡п )(^и1)2 + (п1 + пп )(^У) ,

Рп =7811822 - 8122 ((¡1 - ¡п + (п1 - пп Х^1)2) .

Одно из уравнений Риччи имеет вид

811 812 822

¡1 0 п1 = 0 или 8и(кпп -¡пп1) = (7)

К 0 п

1=1, i *2

1=1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 2

Рассмотрим два случая:

1. — ¡Ппг = 0. Так как система нормалей на поверхности Р каноническая, то Ахпп = Аппх = 0. С учетом того, что форма щп эллиптическая, получаем Ах = пх = 0. Утверждение доказано.

1. Пусть в некоторой точке — ¡Ппг Ф 0. Тогда существует окрестность этой точки, в которой — ¡п Ф 0. Из (6) и (7) получаем, что ф2 и ф2 образуют пару Бонне.

Рассмотрим квадратичные формы Фк = Ьц kduiduj ,1 < г, ] < 2, 1 < к < п, для которых выполнено условие (2).

Пусть щ1 = щ + щ2 +... +щп, Щ = щ +... + щ—1 — щ + щм +... + щп, 2 < г < п - вторые квадратичные формы поверхностей ф2, ф^ ,..., Ф2, изометричных по равенству параметров.

Для того чтобы поверхности ф2 , ф^ ,..., Ф2 попарно составляли пары Бонне, необходимо и достаточно, чтобы

§ 2 = 0

m +...+m = о .

m +...+m!4 -m+m+i +...+m = о, 2 < i < n

(8)

Из (8) получаем m = 0, 1 < i < n. Кроме того, из (2) и ljnk + lknj = 0, 1 < j, k < и.

(9)

(9)

следует, что

Теорема 6. Если поверхности ф2, ф^,..., ф2 с определенными выше вторыми квадратичными формами попарно составляют пары Бонне, то в

Еп+2 существует поверхность Р без кручения, с которой ассоциированы ф2, ф^,..., ф2.

Доказательство. Предположим, что все ((агк)), j = 1,2 тождественно равны нулю. Легко видеть, что выполнено уравнение Риччи

§11 §12 §22 г Ща па = 0, 1 < а, ¡< п, а < ¡.

Р

m

Р пР

Так как поверхности ф2, ф2,..., ф2 принадлежат некоторой 3-плоскости, то для них справедливы уравнения Петерсона - Кодацци, поэтому для Р2 будут выполняться уравнения (3).

Поскольку поверхности ф2, ф^,..., ф2 изомет-ричны, то

(li +... + h)(n +... + nn) = К;

(li +... + l-i -li + l+i +... + In) X

X (ni + ... + ni-i - n + ni+i + ... + nn) = к,

(10)

2 < i < n.

Сложив равенства (10) и учитывая (2), получим

n

£ i,n, = к. i=1

Итак, существование поверхности F2 в En+2 без кручения, для которой поверхности Ф2, Ф2 ,..., Ф2 являются ассоциированными, доказано.

Заключение

Таким образом, для поверхностей с нулевыми коэффициентами кручения в канонических нормалях получены необходимые условия их принадлежности некоторой ¿-плоскости. Установлено, что аксиальные точки таких поверхностей являются изолированными. Для рассматриваемых поверхностей построены ассоциированные поверхности и показана их связь с поверхностями класса Бонне.

Литература

1. Аминов Ю.А. Кручение двумерных поверхностей в евклидовых пространствах // Укр. геометр. сб. Харьков: Вища школа, 1975. Вып. 17. С. 3-14.

2. Фоменко В.Т. Некоторые свойства двумерных поверхностей с нулевым нормальным кручением в Е4 // Мат. сб. 1978. Т. 106 (148), № 4(8). С. 589-603.

3. Фоменко В.Т. Классификация двумерных поверхностей с нулевым нормальным кручением в четырехмерном пространстве постоянной кривизны // Мат. заметки. 2004. Т. 75, № 5. С. 744-756.

4. Бодренко И.И. Характеристический признак поверхностей с постоянным гауссовым кручением в E4 // Вестн. Волгоградского гос. ун-та. Сер. 1. 2013. № 2. С. 13-17.

5. Фирсов А.И. Канонические нормали поверхности большой коразмерности // Вестн. МГУ. Механика. Математика. 1976. № 2. С. 37-42.

6. Схоутен И.А., Стройк Д.Я. Введение в новые методы дифференциальной геометрии. М.: ГИИЛ, 1948. Т. 2. 348 с.

7. Мышкис А.Д. Единственность решения задачи Коши // Успехи мат. наук. 1948. Вып. 2. С. 3-46.

References

1. Aminov Yu.A. [Torsion of two-dimensional surfaces in Euclidean spaces]. Ukr. geometr. sb. [Ukrainian geometric collection]. Kharkov: Vishcha shkola, 1975, iss. 17. pp. 3-14.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 2

2. Fomenko V.T. Nekotorye svoistva dvumernykh poverkhnostei s nulevym normal'nym krucheniem v E4 [Some properties of two-dimensional surfaces with zero normal torsion in E4]. Mat. sb. 1978, vol. 106 (148), No. 4 (8), pp. 589-603.

3. Fomenko V.T. Klassifikatsiya dvumernykh poverkhnostei s nulevym normal'nym krucheniem v chetyrekhmernom prostranstve postoyannoi krivizny [Classification of two-dimensional surfaces with zero normal torsion in four-dimensional space of constant curvature]. Mat. zametki. 2004, vol. 75, No. 5, pp. 744756.

4. Bodrenko I.I. Kharakteristicheskii priznak pov-erkhnostei s postoyannym gaussovym krucheniem v E4

[Characteristic feature of surfaces with constant Gaussian torsion in E4]. Vestn. Volgogradskogo gos. un-ta. Ser. 1. 2013, No. 2, pp. 13-17.

5. Firsov A.I. Kanonicheskie normali poverkhnosti bol'shoi korazmernosti [Canonical normals of a surface of large codimension]. Vestn. MGU. Mekhanika. Matemat-ika. 1976, No. 2, pp. 37-42.

6. Skhouten I.A., Stroik D.Ya. Vvedenie v novye metody differentsial'noi geometrii [Introduction to new methods of differential geometry]. Vol. 2. Moscow: GIIL, 1948, 348 p.

7. Myshkis A.D. Edinstvennost' resheniya zadachi Koshi [Uniqueness of the solution of the Cauchy problem]. Uspekhi mat. nauk. 1948, Iss. 2, pp. 3-46.

Поступила в редакцию /Received

4 февраля 2019 г. /February 4, 2019