CC BY
20
В. Г. ¡1 ¡армии, Т. Н. Шармина. Кривизна сферического образа двумерной поверхности с ненулевым кручением в £4
УДК 514.752
doi: 10.18101/2304-5728-2016-2-17-24
© В. Г. Шармин, Т. Н. Шармина
Кривизна сферического образа двумерной поверхности с ненулевым кручением в Е
В статье рассматриваются двумерные поверхности в четырехмерном евклидовом пространстве. Изучаются свойства сферического образа этих поверхностей. В частности, получена формула, позволяющая вычислять кривизну сферического образа рассматриваемой поверхности через геометрические характеристики исходной поверхности.
Ключевые слова: двумерная поверхность, сферическое отображение, гауссова кривизна, коэффициенты кручения.
© V. G. Sharmin, Т. N. Sharmina
The curvature of the spherical image of the two-dimensional surface with non-zero torsion in E4
The article deals with two-dimensional surface in four-dimensional Euclidean space. We study the properties of the spherical image of these surfaces. In particular, the formula is obtained, which can be used to calculate the curvature of the spherical image of the surface by the geometrical characteristics of the original surface.
Keywords: two-dimensional surface, spherical mapping, Gaussian curvature, torsion coefficients.
Введение
Теория двумерных поверхностей с кручением в Е4 построена А.И. Фирсовым в работе [1]. В этой работе получены деривационные формулы для таких поверхностей.
К.Ш. Рамазанова в работе [2] изучала свойства гауссовой кривизны двумерных поверхностей в четырехмерном евклидовом пространстве.
В статье [3] выведена формула, позволяющая вычислять кривизну
сферического образа двумерной поверхности в Е4 через геометрические характеристики исходной поверхности для поверхностей без кручения. В работе [4] результат был перенесен на многомерный случай.
В настоящей статье результат работы [3] обобщен на случай поверхности в четырехмерном евклидовом пространстве, имеющей ненулевые коэффициенты кручения.
1. Основные определения и формулы
Пусть I' 2 есть С3 - регулярная поверхность в евклидовом пространстве Еа , которая задается вектор-функцией
г=г(и1,и2). (1)
Во всех точках этой поверхности существуют касательная и нормальная плоскости. Зададим в каждой нормальной плоскости ортонормиро-
ванный базис, состоящий из векторов пит. На поверхности I'2 появятся два векторных поля пит. Пусть эти поля принадлежат классу
С2.
Определение. Поверхность I' 2 вместе с полем нормалей п или т будем обозначать или 1<'2 соответственно и называть пространственной полосой.
Рассмотрим отображение
и^2^3, (2)
которое каждой точке М поверхности I' 2 ставит в соответствие точку М' единичной гиперсферы 5"3 такую, что вектор с началом в точке О и концом в точке М' равен вектору п(м), где точка О - центр гиперсферы. 53.
Аналогично определяется отображение и2
Определение. Отображения ц и и2 называются сферическими отображениями пространственных полос /•'/ или 1<'2 соответственно.
Определение. Функции р1 = п ■ т и р2 = п„2 ' ™ называются коэффициентами кручения поверхности
Р1 , вычисленными в нормалях п и
т [1].
Известно, что гауссова кривизна поверхности I' 2 вычисляется по формуле
_ ВпВ22 Вп ЬпЬ22 Ьп
2 „ „ „2 ' (3)
§11§22 §12 §11§22 ё\2 где Вц = гщиу -п, Ь1} = гщиу -т, gг] = гщ -ги, [2]. Значение К не зависит от
базиса нормальной плоскости [1].
В. Г. Шармин, Т. Н. Шармина. Кривизна сферического образа двумерной поверхности с ненулевым кручением в Е*
2. Основной результат Теорема. Пусть I'2 - регулярная поверхность класса С3 в четырехмерном евклидовом пространстве задается вектор-функцией г = г(щ,и2),
причем якобиан отображения и, отличен от нуля в каждой точ-
ке поверхности. Тогда гауссова кривизна к поверхности и, (/'2) вычисляется по формуле:
IX-И
к = 1 +-
г,],к,1=\ ( 2
V2
г,],к,1=\
к1к2§22 + £ -рги.-/и+ае40)
г,],к,1=1
3. Доказательство основного результата
Не ограничивая общности, введем на поверхности I' 2 полугеодезическую систему координат. Тогда первая квадратичная форма этой поверхности будет иметь вид [5]
В соответствии с формулой (3) гауссова кривизна поверхности I' 2 вычисляется следующим образом
К = ВПВ22 ~В 12 } ЬПЬ22 ~Ь\2 ^
о о
Введем обозначения
к =вив22-в?2 иК =ЬпЬ22-Ьи (6)
1 О 2 о
Учитывая, что в полугеодезической системе координат
Г,1, = О,Г]2] =0,г;2 =0,^ =о,г2 Л.^Х22=-\-ощ,т222 [5],
выпишем деривационные формулы для поверхности I' 2 [1]:
= Вип+Ьит, гЩи2 +Впп + Ьпт,
II -~0„ 2 1 _ 1 Ги +-• И1 2 Си2 - —-Г С "2
Пщ =- -ВцГщ ~ О "2 + рхщ
= -ЬцГщ ~ Ъ\2 -——г - С "2 -РА
и«2 =■ В22 г О "2 + р2т,
«ч = Ъ22 - --— Г с „2 -р2п.
у22 ~ 22 '
(7)
Перейдем к поверхности и, (/'2) . Она расположена на единичной гиперсфере Л'3 и задается вектор-функцией
п=п(щ,и2). (8)
Базис касательной плоскости поверхности (8) образован векторами Я и . Один из базисов нормальной плоскости этой поверхности бу-
[п,пи ,пи ]
дут образовывать векторы п и щ = -.-!-г.
|[«Л1Л2]|
Разложим вектор щ по базису г ,г п,т:
т =А-г+В-к+С-п+0-т. (9)
1 м^ «2
Умножая скалярно равенство (9) поочередно на векторы Я ,пЫ2,п и учитывая, что п •т1= 0, п ■тх= 0 и |/и| = 1, получим систему уравнений
-АВи -ВВ12 =0 -АВ„ -ВВ22 + £>», =0
'с = о (10)
А2 +В2в + П2 =1. Найдем решения последней системы уравнений:
В. Г. Шармин, Т. Н. Шармина. Кривизна сферического образа двумерной поверхности с ненулевым кручением в Е*
Л = В22Р\ ~ ВпР2 МО
В=ВпР2~ВпР1 МО
С = О, (11)
м
м= \ВиР22 2 | В22Рг , В\\Р\ 2ВпВпР1Р2 ! ВиР1 ! К-
V О2 О2 О2 О О О 1 '
Легко видеть, что коэффициенты первой и второй квадратичной формы в направлении Я поверхности и, (/'2) равны по абсолютной величине и имеют противоположные знаки, т.е.
В2
8и=-Ви= "щ ■ "щ = Ви + + Р\ '
ёи=~ви =пщЧ2 =вивп + (12)
~ В2
ё22 = ~В22 = "и2 ■ Пи2 = В22 +-^- + р22. Из (12) и (6) следует, что Кх= 1.
Выразим гауссову кривизну поверхности и, (/'2) через коэффициенты
первой и вторых квадратичных форм поверхности а также через ее коэффициенты кручения.
Гауссова кривизна поверхности (8) вычисляется по формуле
К = КХ +К2.
Так как Кх = 1, то необходимо вычислить
к2=ьА22~ь:22 аз)
§11§22 §12
Коэффициенты второй квадратичной формы поверхности и, (1< 2) в направлении щ будут равны
~Ви„ ~
В2г§11ч
-ргЪ
-В
-д,
2В2ги.§22 ~Ь2г§22и _и2___
2§22
~РгЬ
2]
(14)
г, г. В2гЬ2]
-ДА,--}-+рч
где = 0, = 0, g22 = О. Введем обозначения:
= р1]+о
-АЛу —
в,Л
2ги2]
"■Л: Л' ' ' Р, О,
§22 Я,Л
"А: " /••
вЛъ
§22 §22
(15)
(16) (17)
Вычислим ЬпЬ22 - Ъх2 и £п£22 ~ §и ■ ^ учетом обозначений (15)—(17) будем иметь
ЪпЪ22 - ^ 2 = ¿Й ((/', )) + /) • .(-1)^ -р1} +
г,],к,1=\
(впв22 - В;2 )к2 + £ Я« • (- 1)г+^ • р1и] ■ 1Ы + С1с1((/,, )) (ДАг ~ Дг)
я2-
&11&22 &12 ~~ "
[О,/ = £или у = /
С
г,],к,1=\
(18)
(19)
пй
где л„ =
[1,/ Фки } Ф1. авив выражения ( кривизну поверхности и, (/'2), получим
и [1,1 Ф к и у ^ /.
Подставив выражения (18) и (19) в формулу (13) и вычислив гауссову
В. Г. Шармин, Т. Н. Шармина. Кривизна сферического образа двумерной поверхности с ненулевым кручением в Е*
К = 1 +- h]Xl=l
i,j,k,l=\ ( 2
D2
i,j,k,l=\
K,K2g22+ £ -piu. -/M+det^J)
i,j,k,l=\
Следствие. Если pl = p2 = 0, то гауссова кривизна К поверхности иД^2) равна
К = 1 + ^.
Для поверхностей с нулевыми коэффициентами кручения этот результат получен в работе[3].
Заключение
Таким образом, доказана формула, позволяющая вычислять кривизну сферического образа двумерной поверхности с произвольными коэффициентами кручения в четырехмерном евклидовом пространстве через геометрические характеристики исходной поверхности.
Литература
1. Фирсов А. И. Канонические нормали поверхности большой коразмерности // Вестник МГУ. Механика. Математика. — 1976. — № 2. — С. 37-42.
2. Рамазанова К. Ш. Теория кривизны Х2 в Е4 // Известия вузов. Математика. — 1966. — № 6. — С. 137 - 143.
3. Шармин В. Г. Сферическое отображение пространственной полосы // Исследования по теории поверхностей постоянной кривизны. — Л.: Изд-во ЛГПИ им. А. И. Герцена. — 1987. — С. 98 - 100.
4. Шармина Т. Н., Шармин В. Г. Связь гауссовой кривизны двумерной поверхности в (и+2)-мерном евклидовом пространстве с гауссовой кривизной ее сферического образа // Альманах современной науки и образования. — Тамбов: Изд-во «Грамота», 2010. — №1(32). — Ч. 1.— С. 33 -36.
5. Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. — М.: Наука, 1974,— 176 с.
References
1. Firsov A. I. Kanonicheskie normali poverhnosti bol'shoj korazmer-nosti // Vestnik MGU. Mehanika. Matematika. — 1976. — № 2. — S. 37 - 42.
2. Ramazanova K. Sh. Teorija krivizny X, v E4 II Izvestija Vuzov. Matematika. — 1966. — № 6. — S. 137 - 143.
3. Sharmin V. G. Sfericheskoe otobrazhenie prostranstvennoj polosy // Issledovanija po teorii poverhnostej postojannoj krivizny. — L.: Izd-vo LGPI im. A. I. Gercena. — 1987. — S. 98 - 100.
4. Sharmina T. N., Sharmin V. G. Svjaz' gaussovoj krivizny dvumernoj poverhnosti v (w+2)-mernom evklidovom prostranstve s gaussovoj kriviznoj ее sfericheskogo obraza // Al'manah sovremennoj nauki i obrazovanija. — Tambov: Izd-vo «Gramota», 2010. — №1(32). — Ch. 1. — S. 33 - 36.
5. Pogorelov A.V. Differencial'naja geometrija. — M.: Nauka, 1974. — 176 s.
Шармпн Валентин Геннадьевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и математической логики Тюменского государственного университета, e-mail: [email protected].
Шармнна Тамара Ннколаеена, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и информатики Тюменского государственного университета, e-mail: [email protected].
Sharmin Valentin Gennadyevich, PhD in Physics and Mathematics, A/Professor of the Department of algebra and mathematical logic of Tyumen State University.
Sharmina Tamara Nikolaevna, PhD in Physics and Mathematics, A/Professor of the Department of mathematics and computer science of Tyumen State University.
