Свойства нормального образа поверхности специального вида в E4 Текст научной статьи по специальности «Математика»

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

УДК 514.752

doi: 10.18101/2304-5728-2017-1-3-9

СВОЙСТВА НОРМАЛЬНОГО ОБРАЗА ПОВЕРХНОСТИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА В Е4

© Шармин Валентин Геннадьевич

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры

и математической логики

Тюменский государственный университет

Россия, 625003, г. Тюмень, ул. Володарского, д. 6

E-mail: [email protected]

© Шармин Дмитрий Валентинович

кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и информатики Тюменский государственный университет Россия, 625003, г. Тюмень, ул. Володарского, д. 6 E-mail: [email protected]

В статье рассматриваются поверхности в четырехмерном евклидовом пространстве. Изучаются свойства нормального образа этих поверхностей. В частности, получена формула, позволяющая вычислять кривизну нормального образа рассматриваемой поверхности через геометрические характеристики исходной поверхности.

Ключевые слова: поверхность, нормальное отображение, гауссова кривизна, коэффициенты кручения.

Введение

В статьях [1, 2, 3] получены формулы для вычисления гауссовой кривизны сферического образа поверхности для поверхностей как с нулевыми, так и не с нулевыми коэффициентами кручения.

В настоящей статье будет выведена формула для вычисления гауссовой кривизны нормального образа поверхности в четырехмерном евклидовом пространстве, имеющей нулевые коэффициенты кручения, и получены некоторые свойства нормального образа поверхности без кручения.

1. Основные определения и формулы

Пусть F2 есть С3 - регулярная поверхность в евклидовом пространстве Е4, которая задается вектор-функцией

г=г(и1,и2). (1)

Во всех точках этой поверхности существуют касательная и нормальная плоскости. Зададим в каждой нормальной плоскости ортонормиро-ванный базис, состоящий из векторов n(ii\, п2,, "4) и т(т}, т2 .Щ .т4).

На поверхности F2 появятся два векторных поля п и т. Пусть эти поля

принадлежат классу С2 и при этом п4 ф 0 и не является постоянной функцией.

Рассмотрим отображение

' О

которое каждой точке М поверхности I'2 ставит в соответствие точку М' гиперплоскости Еъы, являющейся касательной гиперплоскостью в

точке N к единичной гиперсфере 5"3 с центром в точке О, такую, что вектор с началом в точке О и концом в точке М" равен вектору

п(м), где М" = Л'3 П ОМ'. а вектор п{М) принадлежит векторному полю п.

Аналогично определяется отображение ц/2 : Е2 —> Еъм. Определение. Отображения у/г и ц/2 будем называть нормальными

отображениями поверхности I' 2.

Определение. Функции рг = пщ ■ т и р2 = пи^ ■ т называются коэффициентами кручения поверхности , вычисленными в нормалях п и т [4].

Известно, что гауссова кривизна поверхности I' 2 вычисляется по формуле

К = К1+К2, (3)

гДе ву =гщи] •», ьу =гщи] -т, g1] =гщ ■ ги.,

г ВЦВц ~ Вп г ЬпЬ22-Ь12 гг1

=-2~' А2 =-Р]-

ёи§22~ё\2 ёи§22~ё\2

Значение К не зависит от базиса нормальной плоскости [4]. В работе [4] А. И. Фирсовым получено необходимое и достаточное условия каноничности базиса нормальной плоскости

Определение. Базис нормальной плоскости Я и да, в котором коэффициенты кручения тождественно равны нулю, называется системой нормалей без кручения [4].

Определение. Поверхность, у которой система нормалей без кручения является канонической, называется поверхностью без кручения [4].

2. Кривизна нормального образа поверхности в Е4

Рассмотрим в четырехмерном евклидовом пространстве Е4 регулярную поверхность Е2 класса С3, обладающую следующими свойствами: а) поля нормалей Я и да есть система нормалей без кручения;

В. Г. Шармин, Д. В. Шармин. Свойства нормального образа поверхности специального вида в Е4

Ь) коэффициенты квадратичных форм поверхности g =ги -ги и

В у =ги.и. -п пропорциональны;

с) координатные линии на поверхности I' 2 ортогональны.

Теорема 1. Пусть I' 2 - поверхность в четырехмерном евклидовом пространстве, определенная выше, задается вектор-функцией

г = г(щ,и2), причем ранг матрицы Якоби отображения у/, : А'2 —> Д'д равен двум в каждой точке поверхности. Тогда гауссова кривизна К поверхности (/■ 2) вычисляется по формуле

1

~ §П§22

К =-

( 2

л

и=1 ,

+ С2у2К2 + у2К1К2

2

2-^2 2 X ЬУиа]ё]]

—^-+ у4К2

§11§22

Доказательство. Из условий Ь) и с) имеем g12 = Вп = 0 [6]. Выпишем для этого случая деривационные формулы

— §11щ — §\\и2 — _ — , —

гщщ =--ГЩ ---ГЩ +Впп+ьпт,

Гщи2 +-—1-гщ +Ьпт,

§ 1 \щ _ 1" §\\и2 — Г

2§п Щ 1 «2 § 22

§22щ 1 1"

'1/ 2§п 1 и 2§22 2

§22щ _ §22и2 -

Г +-

~ и 2§и 1 2^22

Вп -

- — гщ + ргт,

— ^ ¿.¿.1Л.Л — -¿.-¿.НО — _ 7 _

Г„.„. =--г„ +-г„_ +В22п+Ь22т

ПЧ=-ёпЧ - .Г-, (5)

Ъп Ъп _

тщ =--гщ--Г - Р\п->

8\\ §22

^22 -

пы2 =--Г +Р 2т,

§22

- ^12 - ^22 - -

ти2 =--гщ--Г ~Р2п-

8\\ §22

Перейдем к поверхности (/' ). Она расположена на гиперплоскости Еъы и задается вектор-функцией

N = у(щ,и2)п(щ,и2), у{щ,и2) = -г.

п4{и1,и2) (ь)

Так как

- - - Д, _

= Уи1п + Упи1 = ГиП-Г-ги=ГиП-Га1ги^

ё\\

В

К, = Г + = УиП-у—г=уип-уа2г1

(7)

то одним из векторов базиса нормальной плоскости поверхности (/■ 2) можно считать вектор т. Пусть другим вектором базиса нормальной плоскости будет вектор

Разложим вектор ? по базису г ,г п,т\

? = Агги1 + А2ги2 + СП + Ит. (8)

Умножая скалярно равенство (8) поочередно на векторы А',, , А',^, т , получим систему уравнений

УщС-УаЛёи =0

7и£-Уа2А2ё 22 =°

£> = 0

(9)

А1ёп+А1ё22 +С2=1. Найдем решения последней системы уравнений

л=-

4=-с=

УщВп Б ' УщВп

(10)

/)=().

Вычислим коэффициенты вторых и первой квадратичной формы поверхности у/1 (1<2) через геометрические характеристики поверхности /'2

Ву =йг] ■з=ущГиС-А]уиа]ё]] -

- 4 ЫI, ёи - ау - уСагВц = />.,. - , (!:!)

где

Ру =Уи1УиС~А]Уиа]ё]] -А^уа^ ёгг

В. Г. Шармин, Д. В. Шармин. Свойства нормального образа поверхности специального вида в Е4

&/ =

(12)

(13)

(14)

Подставив (11), (13), (14) в формулу (3), получим выражение для вычисления гауссовой кривизны поверхности (/■ 2):

( 2 ^ ^х(Р1])-Су^а1В11Р]]

л 1 л JJUi

- ÄiYai -г- - AjJa, ——, J * ], 2 2

by =Ñy ■ m = -yccjbjj,

ц =Nt -Nj = yuju. + y a:a:o::.

1

K =

§11§22

U 7=1

+ C2y2K2 + y2KlK2

2-^2 2 x LruVjgjj

(15)

U=i &11&22

Замечание. Примером поверхности в i?4, удовлетворяющей условиям теоремы 1, является плоский тор, заданный вектор-функцией г = г((р, цг) = (cos ср, sin ср, cos цг, sin у/).

3. Свойства нормального образа поверхности F без кручения

Теорема 2. Пусть поверхность F2 является поверхностью без кручения. Для того чтобы система нормалей т и? поверхности i//, (/' ) была канонической необходимо и достаточно, чтобы

P\la2^22 ~ P\2a2^2l ~ +^220;1^11 = О-

Доказательство. Проверим условие каноничности базиса mms нормальной плоскости поверхности ц/х (F2).

ВцЬ22 - B12b21 - B21b12 +B22bn=(Pn-yCalBn\-ya2b22)-

- (Р\2 X" Уа2Ь2\) - (^21X" Уа\ьи ) + (р22 ~ уСа2В22 X" Аi) = = yCala2(Bnb22 +В22Ъп)~ -y{Pna2b22 -Риа2Ь21 -Р21афп +Р22а1Ьп)=0.

Доказательство теоремы 2 следует из формулы (16) и из каноничности нормалей Я и да поверхности F2.

Теорема 3. Для того чтобы система нормалей mms поверхности Yi (Е2) была системой нормалей без кручения необходимо и достаточно, чтобы

(16)

к2 = bnbl2 ~ъ\ =0. §11§22 ~ §12

Доказательство. Найдем коэффициенты кручения поверхности (Е2) в нормалях т и ?

Р\ =™и1 •? = -— ■Al-gn- — -A2-g22 = -bnA1-Ь12А2, gil g22

P2 =mu •? = -—-gn- — -A2 ■g22 =-bnAl-b22A2. gil g22 Рассмотрим систему уравнений

(17)

\bn-Al +bl2-A2 =0 1 bu-Al +b22-A2= 0

(18)

Поскольку Ах ф 0 иА2 то ЬпЬ22 —Ь22 =0. Последнее равенство и доказывает теорему.

Заключение

Таким образом, доказана формула, позволяющая вычислять кривизну нормального образа поверхности специального вида в четырехмерном евклидовом пространстве через геометрические характеристики исходной поверхности. Доказаны также некоторые свойства нормального образа поверхности без кручения.

Литература

1. Шармин В. Г. Сферическое отображение пространственной полосы // Исследования по теории поверхностей постоянной кривизны. — Л.: Изд-во ЛГПИ им. А.И Герцена. — 1987. — С. 98 - 100.

2. Шармина Т. Н., Шармин В. Г. Связь гауссовой кривизны двумерной поверхности в (п+2)-мерном евклидовом пространстве с гауссовой кривизной ее сферического образа // Альманах современной науки и образования. — Тамбов: Изд-во «Грамота», 2010. — №1(32). — Ч. 1. — С. 33 - 36.

3. Шармин В. Г., Шармина Т. Н. Кривизна сферического образа двумерной

поверхности с ненулевым кручением в Е4 II Вестник Бурятского университета. Математика, информатика. — 2016. — №2. — С. 17 - 24.

4. Фирсов А. И. Канонические нормали поверхности большой коразмерности // Вестник МГУ. Механика. Математика. — 1976. — № 2. — С. 37 - 42.

5. Рамазанова К. Ш. Теория кривизны Х2 в Л4 // Известия вузов. Математика. — 1966. — № 6. — С. 137 - 143.

6. Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. — М.: Наука, 1974. — 176 с.

В. Г. Шармин, Д. В. II¡армии. Свойства нормального образа поверхности специального вида в Е*

PROPERTIES OF A NORMAL IMAGE OF THE SURFACE OF SPECIAL TYPE IN E4

Valentin G. Sharmin

Cand. Sci. (Physics and Mathematics), A/Professor, Department of Algebra and Mathematical Logic Tyumen State University 6 Volodarskogo St., Tyumen 625003, Russia

Dmitriy V. Sharmin

Cand. Sci. (Education), A/Professor, Department of Mathematics and Computer Science

Tyumen State University 6 Volodarskogo St., Tyumen 625003, Russia

The article deals with surfaces in four-dimensional Euclidean space. We study the properties of a normal image of these surfaces. In particular, the resulting formula allows us to calculate the curvature of a normal image of the considered surface using the geometric characteristics of original surface. Keywords: surface, normal image, Gaussian curvature, torsion coefficients.