CC BY
26
УДК 513.74
НЕПОГРУЖАЕМОСТЬ МЕТРИК ВРАЩЕНИЯ В ВИДЕ ГЕЛИКОИДАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ В л-МЕРНОЕ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
А.В. Гпазырина
В данной работе доказана невозможность изометрического погружения метрики вращения в л-мерное евклидово пространство в виде геликоидальной поверхности.
Непогружаемость плоскости Лобаческого в Е3 доказана Д.Гильбертом [1], а погружаемость в Е" при и > 5 установлена в работах [2, 3]. Вопрос о погружении плоскости Лобачевского в Е4 (без дополнительных ограничений на вид погружения, кроме его регулярности) остается открытым. В работе [4] Э.Р. Розендорн доказал невозможность погружения плоскости Лобачевского в Е4 в виде геликоидальной поверхности. Невозможность погружения в Е4 исследовалась также в работах [5-10].
В настоящей работе рассматривается вопрос о погружении в Е” двумерных метрик вращения
сЬ2 = du2 + В1 (и)сЬ2 (1)
в виде геликоидальной поверхности. Следуя Э.Р. Розендорну [4], назовем поверхность геликоидальной, если после приведения ее метрики к виду (1) коэффициенты вторых квадратичных форм и коэффициенты кручения не зависят от координаты V. Примером может служить прямой геликоид в пространстве Е3.
Теорема. Если Ви (м) - неограниченная функция при -оо < м < +оо, то метрика
с1й2 = <1и2 + В2 {и)ск2 не допускает изометрического погружения в Е“ (я >3) в виде геликоидальной поверхности.
Доказательство: Пусть Б - двумерная односвязная поверхность в Е“ с внутренней метрикой неположительной кривизны. Будем считать для простоты, что на Б введена единая система коор-
дг д2г
динат (и,у), а поверхность Б задана вектор-функцией Ни,\). Как обычно, гх = —г, г„ = —:—г,
ди' ди1ди]
/,У = 1,2, где и1 = и, и2 = у . Зафиксируем вдоль ¥ ортонормированный базис нормалей еи...,е„_2. Хорошо известно, ЧТО коэффициенты первой и второй ОСНОВНЫХ форм giJ-rtrj, г,7 = 1,2, Ма =гх2еа, Ьа =гпеа , = г22еа , ос = 1, 2,..., и-2; и так называемые коэффициенты
Зс
кручения Аарк = —|-ер, к = 1,2, удовлетворяют нижеследующей системе уравнений (2)-{5). ди
Уравнения погружения двумерной поверхности в Е” имеют вид (а = 1, 2,..., п-2): £(АЛ-м2)=(и;-.Р-2)* (2)
а-1
£*4 -|-4=г'„ма-г'иЪ-г^ма +§(^4^-МцЛ^п), (З)
±ма-Адг. = г'А-г;2ма + 1(^4^.-MfA.fi). (4)
д д п~2
^ар 1 — фу ^а/32 ~ ^ ~ ^а/2^/3/1) ■*" 8 р ~МаЬр) + ^ (-Л/аЛ^д — NаМр^, (5)
Уравнение погружения метрики вращения ск2 = <з?м2 + В2 (и) • Л2 в Е“:
<1^ = г2с!и2 + 2гиГуйи(Ь + г2<Ь>2,
Гпазырина А.В.
Непогружаемость метрик вращения в виде геликоидальной _________поверхности в п-мерное евклидово пространство
где г2 =Е = 1, 2гигу = ^ = 0, г2 = в- В2 (м) и К =—— - кривизна метрики,
2?
Ев-р2 = в2, |-1в =|-ма =4:Л^=о И ёи =1, g22
д_м = д_
& “ ду
коэффициенты Кристоффеля примут вид: 0,5Еив - РРи + 0, вЕ^ п
11““ О 9
Ев-Р
г РиЕ - 0,5ЕЕХ - 0,5ЕиР п_
11"” О " >
Ев-Р2
Н _ 0,5Еув - 0,5виР _ л 1 12 — « — и,
тогда наша система примет вид:
1М«-^) = -^2;
Я»
г2 _0Д£-0(5^ Яи 12 - =2
Ев-Р
в
, ^С-0,5СИ<?-0,5С?^
22-------їеір------------
Т-.2 0,5Су£-І^Ч0,5а„^ А
1 22 —----------о------— V ,
£G-F2
5
п-2
а-\
д-ма =-іма + Х(і/,^2-М^1);
5м
д_
ди
ди
Сделаем замену: Мх = тхВ(и);
-пхВ2(и);
І'х ~ ’
Аху\ — 1
№
=В,В1.а +^^ + ^{м^2-^/Лф);
д л \ / \ М„Мв -М„Ы п
~^Аар2 = ^(Аа/2АРу1 ~ Аау\Ару2) + {МаЬр -ЬаМр}+ ~2 .
' ^=1 -О
5 э
—Мх =—тхВ(и)+/И-А(«); ди ди
лгх =|-и^2(«)+2«л«)-^(«) ;
ом 9м
—Л =-ди арг дь
Аху2=“ху2В(и)’
Оп Аарг =-^<*аргВ(М) + ааріВМ і
где х,у = а,р,
и первое, и третье уравнение разделим на В* (и), а второе и четвертое - на В(и). Система уравнений примет вид:
ч-2 .
Д/вив-»£) = ■
В,
а=1
іш .
в ’
0 5
—»гв =-2та-± + ^(1раар2-траар1);
д Ви . Ви <£?, ч
»а=-"«у + /ау+ 2.\ПРаар2 ~праар\) і
ди
р=і
9 В т-?
—аар2 =-аар2-%- + УЕ{ааГ2ару\ -аау\арГ2) + та1р-1атр+патр-тапр.
В
г=і
Умножим уравнения (2), (3) и (4) соответственно на та, па, аарг и сложим полученные
д д
уравнения:
п-2 ( ъ
г 8
а=1 V.
Р*а
т„ — т„+п„ — п„ + апЮ — а„ю “ ди а ди “ ди
-_?ш2 ^г--и2 ^- + и / ^- + у
- ^ та д а В “ “ В 2 В ’
Серия «Математика, физика, химия», выпуск 7
11
Математика
п-2 п-2
и-2 п-2
л-2
п-2
ГДЄ fc°^2 ~ Vi* 1) +Е «« 'E(mfiaafi 2 ~ Праар\) + X ЛЧИ £ («вгЗ^І ~ аау\аРГ2 ) +
а=1 р=1 а=1 /(=1 а=1 у=1
Р*а
п-2
+ X аар2 (mJp ~1атр + «а™/? - таПр) = 0. а=1 Р*а
Можно заметить, что:
г \ ґ \
0,5— ди 1('»«+»а+4) а-1 КР*а ) и і Y,(ml+nl+alp2) а=1 \Р*а J Л в
'п-2 '
2(/апа-»£)
Va=l
п-2 . \ В п~2 / \
где X (7a"« - wa ) = “if И обозначим £ (»£ + «а + «а^2 ) = f> тогДа
а=1
а=1
/?#а
Д.
д • д,
В*
0,5—/2 + —-/2 =• 5"‘5““
ди‘
(умножим на 2Д );
Вг-1-/2+2ВВи-/г=-2ВиВт-,
ди
|-(л7г)-2ад..
В итоге мы получим: /2В2 (и) = -52 (ы) + С . Равенство не выполняется для всех значений и, если функция Ви(и) не ограничена. Теорема доказана.
Следствие. Плоскость Лобачевского I? (-1) не допускает изометрического погружения в Еп (и > 3) в виде геликоидальной поверхности.
Замечание. Если Ви(и) ограничена, то метрика (1) допускает погружение в виде геликои-
3 1 1 1 Г I 1 2
дальной поверхности в Е хх = —Д(ы)собСу, = —5(м)зіпСу, х3 = — jyC -В£с1и, здесь хх,
х2, х3 - декартовы прямоугольные координаты в Е , \Ви | < С = const.
Литература
1. Гильберт Д. Основания геометрии. - М.; Л.: ОГИЗ, 1948.
2. BlanuSa D. Uber die Einbettung hyperbolischer Raume in euklidische Raume // Monatsh. Math. - 1955. - Bd. 59. - № 3. - S. 217-229.
3. Розендорн Э.Р. Реализация метрики ds2 =du2 + f2(u)dv2 в пятимерном евклидовом пространстве // ДАН АРМССР - 1960. - Т. 30. - № 4. - С. 197-199.
4. Оссерман Р. Минимальные поверхности // Успехи матем. наук. - 1967. - Т. 22. -Вып. 4(136).-С. 55-136.
5. Аминов Ю.А. Кручение двумерных поверхностей в евклидовых пространствах // Укр. геометр, сб. - 1974. - Вып.17. - С. 3-14.
6. Кадомцев С.Б. Невозможность некоторых специальных изометрических погружений пространств Лобачевского // Мат. сб. - 1978. - Т. 107. - Вып. 2. - С.175-198.
7. Розендорн Э.Р. К вопросу о погружении двумерных римановых метрик в четырехмерное евклидово пространство // Вестн. МГУ. Сер.1. Математика, механика. - 1979. - № 2. - С. 47-50.
8. Ефимов Н.В. Невозможность в трехмерном евклидовом пространстве полной регулярной поверхности с отрицательной верхней гранью гауссовой кривизны // Докл. АНСССР. - 1963. -Т. 150.-№6.-С. 1206-1209.
Поступила в редакцию 15 мая 2006 г.
