Об одном обобщении тора Клиффорда в Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рис. 4

Аппроксимация ячейки поверхности линейчатыми поверхностями

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Forrest A.R. Computational Geometry. Proc. Roy. Soc. Lond, 1971. С. 187-195.

2. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. М.: Мир, 1982. С. 302.

3. Стародетко Е.А. Элементы вычислительной геометрии. Минск: Наука и техника, 1986. С. 240.

4. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. С. 352.

5. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука; 1976. С. 248.

В.Т. Фоменко, О.Н. Фартушная, В.В. Сидорякина

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ТОРА КЛИФФОРДА В Е'

Т2 с

П. 1 Известно, что тор Клиффорда Ьв определяется как произведение двух ок-

1 1

ружностей 3 а и Ь ^радиусов а и Ь, соответственно. Тор Клиффорда обладает рядом замечательных свойств, в частности: 1) имеет плоскую метрику;

2) имеет плоскую нормальную связность;

3) имеет нулевое нормальное кручение в любой точке по любому направлению;

4) имеет постоянные главные кривизны, равные, соответственно,

5) имеет постоянную среднюю кривизну Н —

V Л2 +ь-

6) индикатриса кривизны тора Клиффорда есть отрезок прямой длины I =

7) тор Клиффорда лежит на гиперсфере + Ь^) радиуса + Ъ ;

8) индикатриса кривизны в оснащении {Н^ имеет вид, изображенный на рисунке:

1

А(~,0) а

Перечисленными свойствами тор Клиффорда с точностью до движения в Е однозначно определен. Это означает, что задав поверхность ^ в £ с указанными свойствами, где а и Ь -некоторые действительные числа, можно утверждать, что Т есть тор Клиффорда

¿1 = 5Г; <5ДЬ

П.2. Определение. Обобщенным тором Клиффорда в Е назовем поверхность Т , обладающую следующими свойствами:

1) поверхность 7" имеет плоскую метрику,

2) поверхность Т имеет плоскую нормальную связность.

Докажем следующую теорему:

Теорема К Обобщенный тор Клиффорда в Е есть произведение двух плоских кривых

I ^ (к.^ ) и I ^ (^2 ). где к и кривизны кривых I * (к^ ) и I ^ (к^ ). соответственно.

2

Доказательство. Так как поверхность имеет нулевую кривизну, то на поверхности Т можно

ввести декартовы координаты

(л, V)

так, что метрика

имеет

вид: (152 = (IX2 + йу .

Так как нормальная связность поверхности Т является плоской, то, не нарушая в общности, можно считать, что нормальное оснащение, порожденное ортонормированным базисом {?!а таково, что вторые квадратичные формы поверхности Т имеет вид:

В самом деле, индикатриса кривизны есть отрезок прямой (в силу плоской нормальной связности) и этот отрезок просматривается из точки поверхности под прямым углом (в силу плоской метрики точка поверхности лежит на ортооптической окружности).

Обратимся к уравнениям Кодацци:

Отсюда находим

Эти уравнения дают:

л 1,3 рз ьЛ _ иу°11 ^ 1 24 11 —

л М гз ьз _

иуа22 т 1 13"21 ~

Г3 — Г4 —0

Так как — Щ.2 — ^12 — то имеем

= Ь^и) ъ\2 = ь*2 (х)

Обратимся к уравнению Риччи. Имеем

оно выполняется тождественно. Далее находим:

Покажем, что в этом случае Т есть произведение двух кривых I ^ (к^ ). I ^ (к.1 ). Полагаем: Далее положим Т2 \ г(х, у) = {<рг(_х),ф2 00,$, (}'))

^ = уШШ

Г|4 = 0; = 0. Это означает, что основные формы поверхностей Т2 И Т совпадают.

Следовательно, поверхности Т^ и Т отличаются друг от друга на движение в Е . П.3. Докажем теперь обратную теорему:

Теорема 2. Пусть где 11 (к, ), i = 1,2 - есть плоские

кривые с кривизной к j, 1=1,2 Тогда поверхность Т есть обобщенный тор Клиффорда.

Доказательство. Положим

Т-2 :: г = г(х, у) = {<р1 {%), <р2 (у),1р2 Су)}, где X, у - натуральные пара-

метры кривых 11 (Tq): Г = {(р1 (У), <р2 0*0 }и I2 (к2): Г = {ф1 (у),ф2 (У)!' Подсчет показывает:

Это означает, что метрика поверхности Т имеет нулевую кривизну, и нормальная связность поверхности 7* является плоской, то есть поверхность Т2 = I ^ (к ^ ) X. I2 (А" 2 ), есть

обобщенный тор Клиффорда, что и доказывает теорему 2.

П.4. Ранее в работах [1], [2] изучались бесконечно малые ARG - деформации тора Клиф-

|Г<4

с . Здесь будут изучены бесконечно-малые ARG - деформации обобщенного тора Клиффорда Т" либо его односвязных кусков в Е . Далее будем считать, что параметры (х, V) пробегают некоторую односвязную область D числовой плоскости R В случае, если обобщенный тор Клиффорда представляет собой замкнутую без границы ограниченную поверхность рода v > о. то будем изучать ARG - деформации универсальной накрывающей тора

f.

Положим ТЕ = т(%, У) + ЕЕ (Х} у), где г - поле деформации поверхности 7* таково, что 8па^ = 0и 7) = 2 (Н,г)Л(1о, где йЕ (Т - элемент площади поверхности, Н-

вектор средней кривизны поверхности. А, - заданный действительный коэффициент реккурент-

.«Р

ности, Ä.E R: Ла - единичный бивектор нормальной плоскости для Т .

rf.2

Уравнение ARG - деформации поверхности 1 имеют вид:

Полагая — О "Г,- + С ■ ^., отсюда находим систему дифференциальных уравнений от-

Ё а

носительно й , С . Имеем

где

§ — с1б/ 11С1 п и |. На 11° - вектор средней кривизны. Для поверхности I эта система принимает вид:

Отсюда следует, что С"' = <р, С4 = ф (у)

0

Последнее соотношение перепишем в виде

1 X 2 у

Так как левая часть этого уравнения зависит от х, а правая от у, то последнее уравнение эквивалентно двум уравнениям:

Будем считать, что в некоторой точке Ы. поверхности Т" наложена внешняя связь — 0. Это означает, что в точке М0 (Л'о^Уо) - ... = - ... = - ... = ... = 0.

i имеем:

Отсюда следует, что функции (р и у/ удовлетворяют начальным условиям: Задача С*,), С**,) всегда имеет единственное решение (р = (р(х), ф

= vy)

для

любой заданной постоянной С и любом значении А, Таким образом, доказана

Теорема 3. Любая поверхность I (или её часть) при закрепленной точке допускает

однопараметрическое семейство ARG - деформации для любого фиксированного коэффициента рекуррентности /_.

Замечание. Положим

Л = -1 Тогда имеем:

<РХ = (сох+с^к^ху,

ipv = ~(c0y+c2)k2(у);

rjiZ

Это означает, что поверхность I допускает ARG - деформации, зависящие от 5 параметров. Если закрепить точку ). то (р (0) = ^(0) = 0 и потому С-2 = С^ = 0. Так как <¡0^,(0) = = 0, то С2 = С3 = 0 при условии, что клФ 0, к2 Ф 0.

Это означает, что при закрепленной точке М^ и Л = — 1 поверхность Т допускает однопараметрическое семейство ARG - деформации с параметром С^. Это утверждение содержится также в теореме 3.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

4

1. Фоменко В.Т. Бесконечно малые ARG - деформации тора Клиффорда в Е . Вестник ТГПИ; Естественные науки, 2007. № 1. С. 21-33.

4

2. Бабенко О.Н. Бесконечно малые ARG-деформации куска тора Клиффорда в Е . Вестник ТГПИ; Естественные науки, 2008. № 1. С. 21-26.