CC BY
28
УДК 513.74
НЕПОГРУЖАЕМОСТЬ m-МЕРНЫХ МЕТРИК ВРАЩЕНИЯ В ВИДЕ ГЕЛИКОИДАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ В (т+1)-МЕРНОЕ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
A.B. Ершова
В данной работе доказана невозможность изометрического погружения /я-мерной метрики вращения в (»»+1)-мерное евклидово пространство в виде геликоидальной поверхности.
Непогружаемость плоскости Лобаческого в Е3 доказана Д. Гильбертом [1], а погружаемость в Е" при п > 5 установлена в работах [2, 3]. Вопрос о погружении плоскости Лобачевского в Е4 (без дополнительных ограничений на вид погружения, кроме его регулярности) остается открытым. В работе [4] Э.Р. Розендорн доказал невозможность погружения плоскости Лобачевского в Е4 в виде геликоидальной поверхности. Невозможность погружения плоскости Лобачевского в Е4 исследовалась также в работах [5-8].
В работе [9] доказана теорема: если Ви (и) - неограниченная функция при - оо <и < +со, то
метрика ds2 = du2 + В2(и) ■ dv2 не допускает изометрического погружения в Е" (п > 3) в виде геликоидальной поверхности.
Следуя Э.Р. Розендорну [4], назовем поверхность геликоидальной, если после приведения ее
2 2 2 2 2 метрики к виду ds = dux + В (и)- (du2 + ... + dun ) коэффициенты вторых квадратичных форм
и коэффициенты кручения зависят только от координаты щ. Примером может служить прямой геликоид в пространстве Е3.
В настоящей работе рассматривается вопрос о погружении в Еи+1 m-мерных метрик вращения
ds2 = du2 + В2(и) • (du2 +... + du2) (1)
в виде геликоидальной поверхности.
Теорема. Если Вщ (и) - неограниченная функция при -со <щ < +со, то метрика
ds2 = du] + В2(и) • (du\ +... + du2m) не допускает изометрического погружения в Ега+1 в виде геликоидальной поверхности.
Доказательство: Пусть F - да-мерная односвязная поверхность в Em+1 с внутренней метрикой неположительной кривизны. Будем считать, что на Еш введена единая система координат (к,, и2,...,ит), а поверхность F задана вектор-функцией г(и], и2,...,ит). Как обычно,
дг д2 v
г, =----, гц =-------, /,/ = 1, 2, Зафиксируем вдоль F ортонормированный базис нор-
dut dufiuj
мали е1. Коэффициенты первых основных форм находятся по формулам = r/j,
i,j = 1, 2, ...,т, т.е. gn =1, gy = В2(и,) при i = j и gy = 0 при / ^ j, коэффициенты вторых квадратичных форм - по формулам ЬУ = rye], i,j = l, 2,
Уравнения Гаусса, Петерсона-Кодацци, Риччи имеют вид:
т
< , т ь < =£(—-)гк,
Ы gjj
где i,j,k = 1, 2,
Ершова А.В.
Непогружаемость т-мерных метрик вращения в виде геликоидальной поверхности в (т+1)-мерное евклидово пространство
Для метрики (1) коэффициенты Кристоффеля Г'и = \ Г1и = -В(щ) • В (щ),
В(щ)
{ = 2, остальные равны нулю.
гг д д д , Э ,
Используя равенства частных производных----------г. =----гЛ и —е ---------е , получаем систе-
дик ди, ди, ди,
Л _/ / у
му уравнений:
г) г> т Ь1 ’
ои} р=, Ькк
(2)
Эм,
где /,7,/ = 1, 2, ...,от . Сделаем замену:
Тогда
Ъ\р если i = у=1,
Ьу ■ В(их), если у,
. • В2 (и,), если / = у * 1.
— (б‘ ), если 1 = 7 = 1,
ом,
—(Ъ\) ■ В(щ) + А' • Д(| (м,), если I * 7,
5м,
■ Фу)• В1 (щ) + 2Ь\ ■ В(щ)■ В (м,), если / = 7 * 1,
где г, у = 1, 2, .
Будем считать, что коэффициенты вторых квадратичных форм и коэффициенты кручения зависят только от координаты щ. Умножим первое уравнение системы (2) на и сложим полученные уравнения. Из второго уравнения системы (2) несложно получить равенства, которые будем использовать в дальнейшем:
и1 и.1 ги1 \2
Ъи-Ь„-(Ъи) =-------——, ? = 2,...,ОТ. (3)
В(щ)
Тогда справедливо равенство:
J,^=1
Можно заметить, что:
014] *‘
1 ]М
7=1
В(Щ) (=2
Положим
, и воспользуемся равенствами (3), тогда
0,5 • ■— (/2) = . (/2) - (т -1). В"'(М' * ’5“'"'(М'
5м,
В(их) К(щ)
Эм,
Ж«,)
В2(«,)
Вщ(щ)-Вщщ(щ)
В\щ)
Серия «Математика, физика, химия», выпуск 8
13
Математика
Умножим правую и левую часть уравнения на 2В2(щ). Тогда
ВЧщ)~(/2) + 2 В(щ) ■■ В„ (и,) ■ (/!) = -2(т -1) ■ Вщ (и,) • В.л («.),
т.е,
~(Вг (и,) ■• /2) = -2(m -1) • й (в,) • Д (и,).
OMj ill
В итоге получаем равенство: f2B2 (м,) = -(/и -1) ■ 5И2 («,) + С. Если функция 2? (м1) не ограничена, то это равенство выполняется не для всех значений их.
Теорема доказана.
Литература
1. Гильберт, Д. Основания геометрии/ Д. Гильберт. - М.; Л.: ОГИЗ, 1948. - 491 с.
2. Blanusa, D. Über die Einbettung hyperbolischer Räume in euklidische Räume / D. Blanusa // Monatsh. Math. - 1955. - Bd. 59, № 3. - S. 217-229.
3. Розендорн, Э.Р. Реализация метрики ds2 = du2 + f2(u)dv2 в пятимерном евклидовом пространстве / Э.Р. Розендорн // ДАН АРМССР - 1960. - Т. 30, № 4. - С. 197-199.
4. Оссерман, Р. Минимальные поверхности / Р. Оссерман // Успехи матем. наук. - 1967. -Т. 22. - Вып. 4(136). - С. 55-136.
5. Розендорн, Э.Р. К вопросу о погружении двумерных римановых метрик в четырехмерное евклидово пространство / Э.Р. Розендорн // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. - 1979. - № 2. - С.47-50.
6. Кадомцев, С.Б. Невозможность некоторых специальных изометрических погружений пространств Лобачевского / С.Б. Кадомцев // Мат. сб. - 1978. - Т. 107. - Вып. 2. - С. 175-198.
7. Аминов, Ю.А. Кручение двумерных поверхностей в евклидовых пространствах / Ю.А. Аминов // Укр. геометр, сб. - 1974. - Вып. 17. - С. 3-14.
8. Ефимов, Н.В. Невозможность в трехмерном евклидовом пространстве полной регулярной поверхности с отрицательной верхней гранью гауссовой кривизны / Н.В. Ефимов // Докл. АН СССР. - 1963. - Т. 150, № 6. - С. 1206-1209.
9. Глазырина, A.B. Непогружаемость метрик вращения в виде геликоидальной поверхности в n-мерное евклидово пространство / A.B. Глазырина // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика, физика, химия». - 2006. - Вып.7. - №7(62). - С. 10-12.
Поступила в редакцию 15 марта 2007 г.
