CC BY
1УДК 512.542
О МНОЖЕСТВАХ ФИТТИНГА КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ
Д.Г. Новикова, М.М. Сорокина
ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского»
Рассматриваются только конечные группы. Непустое множество подгрупп группы G называется множеством Фиттинга группы G, если оно замкнуто относительно субнормальных подгрупп, произведений нормальных подгрупп и сопряжений. Пусть ш - непустое множество простых чисел, X - класс Фиттинга. В настоящей статье для множества Фиттинга Т произвольной группы G Е X установлены условия, при которых Т П также является множеством Фиттинга группы G.
Ключевые слова: конечная группа, класс групп, класс Фиттинга, множество Фиттинга группы, Тш-инъектор.
Введение
Рассматриваются только конечные группы. Понятие ^-инъектора конечной группы, где $ - произвольный класс групп, было введено в рассмотрение в 1967 году в совместной работе Б. Фишера, В. Гашюца и Б. Хартли [11]. В настоящее время ^-инъекторы в конечных группах достаточно хорошо изучены, установлены их связи с другими подгруппами в группах (см., напр., [9, 10, 12]). В [6] для непустого множества ш простых чисел были определены -инъ-екторы в группе и установлены их простейшие свойства.
При исследовании ^-инъекторов в группе часто в качестве $ рассматривается класс Фиттинга. Однако, согласно исследованиям В. Андерсона [7, 8], в доказательствах ряда основных свойств ^-инъекторов не в полной мере используются все условия из определения класса Фиттинга а именно, свойство замкнутости относительно изоморфизмов может быть заменено свойством замкнутости относительно сопряженных подгрупп в рамках рассматриваемой группы. Этот факт привел к возникновению теории множеств Фиттинга, которую можно рассматривать как «локальную теорию классов Фиттинга в рамках множества подгрупп одной группы» [10, с. 536]. Большое внимание изучению Т-инъекторов группы для случая, когда Т является множеством Фиттинга данной группы, уделяется в монографии [10] (см., напр., [10, гл. VIII]). Многие важные результаты в данном направлении получены Н.Т. Воробьевым, В. Го, Т.Б. Василевич, М.Г. Семеновым и другими (см., напр., [2, 5, 13]).
В [4] рассматриваются Тш -инъекторы в группе в случае, когда Т - произвольное множество Фиттинга заданной группы. В настоящей статье для класса Фиттинга X и множества Фиттинга Т группы G Е% получена характеризация множества Т П в зависимости от существования Тш-инъекторов в определенных подгруппах группы G.
Предварительные сведения
В работе используются обозначения и определения, принятые в книгах [3, 10]. Приведем лишь некоторые из них. Запись Н < G (Н << G) означает, что Н - подгруппа (субнормальная подгруппа) группы G [3, с. 5]. Пусть ш - непустое множество простых чисел. Подгруппа Н группы G называется ш-подгруппой, если п(Н) Q ш, где п(Н) - совокупность всех простых делителей порядка Н. Пусть Т - некоторое множество подгрупп группы G. Подгруппа Н группы G называется Т-максимальной подгруппой в G, если НЕТ и из Н < К < G и КЕТ всегда следует, что Н = К [10, (VIII. 2.5.a)].
Классом групп называется множество групп, которое вместе с каждой своей группой содержит все изоморфные ей группы [10, с. 262]. Пусть X - класс групп. Подгруппа Н группы G называется Х-подгруппой, если Н Е X. Класс групп $ называется классом Фиттинга, если выполняются следующие условия:
1) из G и N < G следует N Е
2) из G = MN, М < G, N < G, М, N Е% следует G Е% [10, с. 563].
Определение 1. [10, (VIII. 2.1)] Непустое множество Т подгрупп группы G называется множеством Фиттинга группы G, если выполняются следующие условия:
1) из SET и Т << S следует Т Е Т;
2) из S< ST, Т < ST, S, Т ЕТ следует ST Е Т;
3) из S Е Т и х Е G следует, что Sx Е Т.
Для произвольного множества Т подгрупп группы G и произвольной подгруппы Н группы G через Тн обозначается следующее множество:
TH = {S <Н1 БЕТ].
Как отмечено в [10], если Т - множество Фиттинга группы G и Н < G, то Тн - множество Фиттинга подгруппы Н [10, с. 538].
Определение 2. [4, с. 83]. Пусть G - группа, Т - множество подгрупп группы G, ш -непустое множество простых чисел. Подгруппа Н группы G называется Тш-инъектором группы G, если Н - Т-максимальная подгруппа в G и для каждой субнормальной ^-подгруппы К группы G пересечение Н П К является Т-максимальной подгруппой в К.
Замечание 1. Пусть G - группа и Т - множество подгрупп группы G. Из [10, (VIII. 2.5.b)] следует, что всякий Т-инъектор группы G является её Тш-инъектором для любого множества ш простых чисел. Если ш совпадает с множеством Р всех простых чисел, то Тш-инъ-ектор группы является ее Т-инъектором.
Основной результат
Теорема 1. Пусть X - класс Фиттинга, G Е X, Т - множество Фиттинга группы G, ш - непустое множество простых чисел. Если в каждой И-подгруппе L группы G существует Т-инъектор, то Т П является множеством Фиттинга группы G.
Доказательство. Пусть в каждой Х-подгруппе L группы G существует Т^-инъектор. Покажем, что Т П является множеством Фиттинга группы G. Отметим, что Т П = {5 < g I бет и 5 ехш].
1. Пусть S Е Т П и Т « S. Установим, что Т ЕТ П Хш. Предварительно докажем, что группа S является Т5Ш-инъектором в S. Так как S Е X, то, по условию теоремы, в S существует Т5Ш-инъектор Н. Допустим, что Н ф S. Поскольку S - субнормальная ^-подгруппа группы S, то, по определению 2, Н П S = Н является Т-максимальной подгруппой в S. Из того, что S Е Т, получаем равенство Н = S. Противоречие. Следовательно, S является Т5ш-инъек-тором в S.
Ввиду определения 2, S П N = N - Т-максимальная подгруппа в N, для любой субнормальной ^-подгруппы N группы S. Поэтому N Е Т для любой субнормальной ^-подгруппы N из S. Так как Т - субнормальная ^-подгруппа группы S, то ТЕ Т. Поскольку S Е X, Т << S и X - класс Фиттинга, то, по лемме 1.8 [1, с. 67], ТЕХ. Таким образом, Т Е Т П Хш. Это означает, что множество Т П удовлетворяет условию 1) из определения 1.
2. Пусть S < ST, Т < ST, S, Т Е Т П . Покажем, что ST Е Т П Хш. Из того, что S < ST и Т < ST получаем ST = TS и, значит, ST < G. Ввиду определения класса Фиттинга, ST Е X. Так как ST - Х-подгруппа группы G, то, по условию теоремы, в ST существует Т5тш-инъек-тор. Пусть К - Т5тш-инъектор в группе ST. Поскольку S и Т - субнормальные ^-подгруппы ST, то, согласно определению 2, S П К является Т-максимальной подгруппой в S и Т П К является Т-максимальной подгруппой в Т. Так как SET и Т Е Т, то S П К = S и Т П К = Т. Тогда ST = (S ПК)(Т ПК) Я К П5Т = К и, значит, ST = К.
Так как К Е Т, то ST Е Т. Поскольку ST ЕХ и n(ST) Яш, то ST Е и поэтому ST Е Т П . Тем самым установлено, что множество Т П удовлетворяет условию 2) из определения 1.
3. Пусть S Е Т П и х Е G. Покажем, что Sx Е Т П . Так как S - класс групп и Sx = S, то Sx Е . Поскольку S Е Т, х Е G и Т - множество Фиттинга группы G, то, по определению множества Фиттинга группы, получаем Sx Е Т. Следовательно, Sx Е Т П Хш. Это означает, что множество Т П удовлетворяет условию 3) из определения 1.
Таким образом, из 1 - 3, согласно определению 1, получаем, что Т П Хш - множество Фиттинга группы G. Теорема доказана.
В случае, когда ш совпадает с множеством Р всех простых чисел, из теоремы 1 вытекает результат для Т-инъекторов в группах.
Следствие 1. Пусть X - класс Фиттинга, G Е X, Т - множество Фиттинга группы G. Если в каждой Х-подгруппе L группы G существует Ть-инъектор, то Т П X является множеством Фиттинга группы G.
Список литературы
1. Ведерников В.А. Элементы теории классов конечных групп. - Смоленск: СГПИ, 1988. - 95 с.
2. Воробьев Н.Т., Василевич Т.Б. Множества Хартли и инъекторы конечной группы // Математические заметки, 2021. Т. 110, № 6. - С. 1-12.
3. Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов. - Мн.: Выш. шк., 2006. -207 с.
4. Новикова, Д.Г., Сорокина М.М. О множествах Фиттинга и инъекторах конечных групп // Материалы Международной научно-практической конференции «Теоретические и прикладные аспекты естественнонаучного образования в эпоху цифровизации», Брянск, 2122 апреля 2023 г. - Брянск: РИСО БГУ, 2023. - С. 82-86.
5. Семенов М.Г., Воробьев Н.Т. Инъекторы во множестве Фиттинга конечной группы // Математические заметки, 2015. Т. 97, № 4. - С. 516-528.
6. Сорокина М.М., Новикова Д.Г. О -инъекторах конечных групп // Материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Современные проблемы физико-математических наук», Орёл, 25-26 ноября 2022 г. - Научное электронное издание [Электронный ресурс] // под общей редакцией канд. ф.-м. наук, профессора Т.Н. Можаровой. - Орел: ОГУ им. И.С. Тургенева, 2022. - С. 194-198.
7. Anderson W. Fitting Sets in Finite Soluble Groups. Ph. D. Thesis. - Michigan State University, 1973. - 270 p.
8. Anderson W. Injector in Finite Solvable Groups // J. Algebra, 1975. V. 36, No 3. -P. 333-338.
9. Ballester-Bolinches A., Ezquerro L.M. Classes of Finite Groups. - Dordrecht: Springer, 2006. -381 p.
10. Doerk K., №wkes T. Finite Soluble Groups. - Berlin - New York: Walter de Gruyter, 1992. - 891 p.
11. Fischer B., Gaschutz W., Hartley B. Injectoren Endlicher Auflosbarer Cruppen // Math. Z., 1967. V. 102, No 5. - P. 337-339.
12. Guo W. The Theory of Classes of Groups. - Beijing - New York: Science Press, 2000. -
251 p.
13. Yang N., Guo W., Vorob'ev N.T. On ^-Injectors of Fitting Set of a Finite Group // Communications in Algebra, 2018. V. 46, No 1. - P. 217-229.
Сведения об авторах
Сорокина Марина Михайловна - доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа, алгебры и геометрии, ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», e-mail: [email protected].
Новикова Диана Геннадьевна - аспирант кафедры математического анализа, алгебры и геометрии, ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», e-mail: [email protected].
ON FITTING SETS OF A FINITE GROUP
D.G. Novikova, M.M. Sorokina
Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky
Only finite groups are considered. A nonempty set of subgroups of a group G is called a Fitting set of G if it is closed with respect to subnormal subgroups, products of normal subgroups and conjugations. Let w be a nonempty set of primes and X be a Fitting class. In this paper, for a Fitting set T of an arbitrary group G E X, conditions under which T nXM is also a Fitting set of G are established. Keywords: finite group, class of groups, Fitting class, Fitting set of a group, -injector.
References
1. Vedernikov V.A. Elements of the Theory of Classes of Finite Groups. - Smolensk: SSPU, 1988. - 95 p.
2. Vorob'ev N.T., Vasilevich T.B. Hartley Sets and Finite Group Injectors // Mathematical Notes, 2021. V. 110, No 6. - P. 1-12.
3. Monakhov V.S. Introduction to the Theory of Finite Groups and Their Classes. - Mn.: Vysh. shk., 2006. - 207 p.
4. Novikova, D.G., Sorokina M.M. On Fitting Sets and Injectors of Finite Groups // Materials of the International Scientific and Practical Conference "Theoretical and Applied Aspects of Natural Science Education in the Era of Digitalization", Bryansk, April 21-22, 2023. - Bryansk: RISE BSU, 2023. - P. 82-86.
5. Semenov M.G., Vorob'ev N.T. Injectors in the Fitting Set of a Finite Group // Mathematical Notes, 2015. V. 97, No 4. - P. 516-528.
6. Sorokina M.M., Novikova D.G. On ^"-injectors of Finite Groups // Materials of the VIII All-Russian Scientific and Practical Conference with International Participation "Modern Problems of Physical and Mathematical Sciences", Orel, November 25-26, 2022. Scientific Electronic Edition [Electronic resource] // under the General Editorship of Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor T.N. Mozharova. - Orel: OSU named after I S. Turgenev, 2022. - P. 194-198.
7. Anderson W. Fitting Sets in Finite Soluble Groups. Ph. D. Thesis. - Michigan State University, 1973. - 270 p.
8. Anderson W. Injector in Finite Solvable Groups // J. Algebra, 1975. V. 36, No 3. - P. 333338.
9. Ballester-Bolinches A., Ezquerro L.M. Classes of Finite Groups. - Dordrecht: Springer, 2006. -381 p.
10. Doerk K., Hawkes T. Finite Soluble Groups. - Berlin - New York: Walter de Gruyter, 1992. - 891 p.
11. Fischer B., Gaschutz W., Hartley B. Injectoren Endlicher Auflosbarer Cruppen // Math. Z.,1967. V. 102, No 5. - P. 337-339.
12. Guo W. The Theory of Classes of Groups. - Beijing - New York: Science Press, 2000. -
251 p.
13. Yang N., Guo W., Vorob'ev N.T. On ^-Injectors of Fitting Set of a Finite Group // Communications in Algebra, 2018. V. 46, No 1. - P. 217-229.
About authors
Sorokina M. M. - Doctor in Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].
Novikova D. G. - Postgraduate Student of the Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].
