CC BY
6
АЛГЕБРО-ЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ИНФОРМАТИКЕ И ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ
ALGEBRAIC AND LOGICAL METHODS IN COMPUTER SCIENCE AND ARTIFICIAL INTELLIGENCE
Серия «Математика» 2022. Т. 40. С. 34—48
Онлайн-доступ к журналу: http://mathizv.isu.ru
ИЗВЕСТИЯ
Иркутского государственного университета
Научная статья
УДК 512.542 MSC 20D10
DOI https://doi.org/10.26516/1997-7670.2022.40.34
Булевы решетки
п-кратно wa-веерных классов Фиттинга
О. В. Камозина
Брянский государственный инженерно-технологический университет, Брянск, Российская Федерация И [email protected]
Аннотация. Пусть N — множество всех натуральных чисел. Все определения и результаты рассматривать с учетом разбиения области определения спутников и направлений. Всякий класс Фиттинга считается 0-кратно веерным классом Фиттинга; при п, равном или большим 1, класс Фиттинга называется п-кратно веерным, если он имеет хотя бы один спутник 1 все непустые значения которого являются (п-1)-кратно веерными классами Фиттинга. Основным результатом работы является описание п-кратно веерных классов Фиттинга, у которых решетка всех п-кратно веерных подклассов Фиттинга является булевой. Показано, что такие классы пред-ставимы в виде прямого разложения атомов решетки. В статье подробно изучены прямые разложения п-кратно веерных классов Фиттинга. Направление этих классов является главным, причем берется из отрезка между направлениями полного и локального классов Фиттинга. Частные результаты для п-кратно полных и п-кратно локальных классов Фиттинга получены в виде следствий из соответствующих теорем. При доказательстве утверждений использовались методы встречных включений и математической индукции. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейшем изучении булевых решеток п-кратно веерных классов Фиттинга с направлениями из других промежутков, а также стоуновых решеток п-кратно веерных классов Фиттинга.
Ключевые слова: конечная группа, класс Фиттинга, кратно веерный, прямое разложение, булева решетка
Ссылка для цитирования: КамозинаО. В. Булевы решетки те-кратно ш<т-веерных классов Фиттинга // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2022. Т. 40. C. 34-48. https://doi.org/10.26516/1997-7670. 2022.40.34
Research article
Boolean Lattices of n-multiply wa-fibered Fitting Classes Olesia V. Kamozina
Bryansk State University of Engineering and Technology, Bryansk, Russian Federation
Abstract. Let N be the set of all natural numbers. Consider all definitions and results taking into account the partitioning of the area for determining satellites and directions. An arbitrary Fitting class is considered a 0-multiply fibered Fitting class; for n equal to or greater than 1, a Fitting class is said to be n-multiply fibered if it has at least one satellite f, all non-empty values which are (n-l)-multiply fibered Fitting classes. The main result of this work is a description of n-multiply fibered Fitting classes, for which the lattice of all n-multiply fibered Fitting subclasses is Boolean. It is shown that such classes are representable in the form of a direct decomposition of lattice atoms. In this article, direct decompositions of n-multiply fibered Fitting classes are studied in detail. The direction of these classes is the main one, and is taken from the segment between the directions of the complete and local Fitting classes. Particular results for n-multiply complete and n-multiply local Fitting classes are obtained as corollaries of the corresponding theorems. When proving the statements, the methods of counter inclusions and mathematical induction were used. The results obtained can be used in the further study of Boolean lattices of n-multiply fibered Fitting classes with directions from other intervals, as well as Stone lattices of n-multiply fibered Fitting classes.
Keywords: finite group, Fitting class, multiply fibered, direct decomposition, Boolean lattice
For citation: Kamozina O. V. Boolean Lattices of те-multiply ша-fibered Fitting Classes. The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2022, vol. 40, pp. 34-48. (in Russian) https://doi.org/10.26516/1997-7670.2022.40.34
1. Введение
Исследование таких классов групп, как формации и классы Фиттинга, часто сводится к изучению решеток их подклассов. Рассмотрение свойств решетки помогает описать исследуемый класс групп. Например, использование свойства дополняемости в булевой решетке позволи-
ло изучить строение простейших подклассов (атомов решетки) и получить представление класса групп с помощью этих подклассов. Основной вклад в изучение булевых решеток классов групп внес А. Н. Скиба ( [11], раздел 4.3). Им была введена конструкция прямого разложения класса групп, помогающая в данных исследованиях.
Ортогональной системой классов [5] называется такая совокупность (Fi | j G J} непустых классов групп Fj, что Fj П Fk = (1) для любых j = k, j,k G J . Через Fj обозначается совокупность всех групп вида Ai х ... х At, где Ai G Fji, ..., At G Fjt, ii, ..., jt G J.
Булевы решетки различных видов формаций были изучены А. Н. Скибой, Л. А. Шеметковым, Ю. А. Скачковой, Е.Н.Деминой (см. [7; 10; 12; 13]). В теории классов Фиттинга этот вопрос исследован Н.Н.Воробьевым, А. Н. Скибой ( [5]).
ст-разбиение области определения спутников локальных формаций введено А. Н. Скибой ( [16]). Chi Z., В. Г. Сафоновым, А. Н. Скибой были определены n-кратно ст-локальные формации и установлены свойства алгебраичности и модулярности решетки таких формаций ( [14]). В работе [15] впервые определен ст-локальный класс Фиттинга и описаны его локальные задания. На основе идеи ст-разбиения автором введены и изучены шст-веерные классы Фиттинга ( [9]). В работе [8] исследованы спутники и произведения этих классов. Цель данной работы — дать определение n-кратно шст-веерных классов Фиттинга с шст-направлением р и изучить их булевы решетки.
Рассматриваются только конечные группы.
P обозначает множество всех простых чисел, 0 = ш С P, ш' = P \ ш, k(G) обозначает множество всех различных простых делителей порядка группы G; G обозначает класс всех конечных групп, и — класс всех ш- и w'-групп соответственно, w-группа — группа G, где n(G) С ш; ст = | г G I}, где ai = 0 для любого % G I, P = U^/ai и ai П aj = 0 для всех i = j ( [16]), ша = (ш П ai | ш П ai = 0}, ша(С) = (ш П ai | шПaiПk(G) = 0}, &a(F) = (ша(С) | G G F} для любого класса групп F.
Функция f : ша U (w'} ^ (классы Фиттинга групп}, где f (ш') = 0, называется шстД-функцией; функция р : ша U (w'} ^ (непустые формации Фиттинга} называется шст^Д-функцией. uaFД-функции ро и р1 определяются следующим образом: р0(ш') = , р0(ш П ai) = ®(шПai)' для любого ш П ai G ша; Р1(ш') = , р1(ш П ai) = ®(wnCTi)'
для любого ш П ai G ша.
Класс Фиттинга F = шаК(/,р) = (G : Ош (G) G f(ш') и Gv(wnai) G f (ш П ai) для всех ш П ai G ша(С)), где f — w^E-функция, р — шаРК-функция, называется wa-веерным классом Фиттинга с wa-спутником f и шст-направлением р. wa-спутник f класса Фиттинга F = ^aR( f, р) называется внутренним, если f (ш') С F и f (ш П ai) С F для любого ш П ai G ша. Класс Фиттинга F = ^aR( f, р) называется wa-полным классом
Фиттинга и обозначается $ = шаАК(/), если р = ^о; шст-локальным классом Фиттинга и обозначается $ = шаЬК(/), если р =
Пусть и — произвольные шаК-функции (шст^Д-функции). Полагаем, что < ц,2, если ^1(шг) С ^2(ш') и П ст^) С ^2(ш П ст^) для всех ш П € ша. ( [9])
шст-направление р шст-веерного класса Фиттинга называется главным, если р(ш П &г)®(шпа^' = П ст) для всех ш П € ша. ( [8])
2. Основная часть
Лемма 1. Пусть | ] € 3} — ортогональная система классов Фиттинга, причем $ = Ш(гК($з, р), где — внутренний ша-спутник $з, ,] € 3, и р — главное ш а-направление, (р0 < р < р1. Если $ = $, то $ = шаК(/,р), где
/ (^) = $,
/(ш П а^ = (ш П если ш П ст € ша($з), /(ш П а^ = 0, если ш П € ша \ (ц-^зша($з)).
Доказательство. Пусть Н = шаЯ(/, (р), где f — шстЕ-функция, описанная в заключении леммы.
1. Покажем, что Н С Допустим противное, и пусть О — группа наименьшего порядка из Н \ Тогда О — комонолитическая с комоно-литом М =
Так как С € Н = шаЯ(/,р), то Ош(С) € /(ш') = Следовательно, Ош (О) С = М и С/М = С/Ош (С)/М/Ош (О) € .
Пусть ш П € ша(С/М) С ша(С). Так как С € Н = ф), то
) € f (ш П аг), т. е. /(ш П аг) = 0. Тогда существует такое ] € 3, что шПоъ € ), I(шПп) = ^(шПп) и € ¡3(шП^) С $ С
Так как р < р1, то р(ш П а¿) С р1(ш П а¿) = 6шПа1®(шПо-;)'. По лемме 1 пункт 1) [4] получаем С^1(шПа') С С М. По лемме 1 пункт 7) [4]
имеем = С6^6(-п-;)' = . Если = С,
то С&(^)' С М и С/М ^ /М/С&(^п^У € . Проти-
воречие. Следовательно, С6^;)' = С. Значит, = =
(С) С М и С/М = С/ОшПа> (С)/М/ОшПа* (С) € ®шп<л. В силу леммы 3 пункт 2) [9] можем считать, что fj(ш') = . Учитывая рассуждения, проведенные выше, получаем, что
ОшПа' (С) = С^1(шпа') С с^(шпа') € ¡з (ш П ъ).
Так как 6шпа{ С 6Ш, то по лемме 1 пункт 1) [4] Ош (О) С ОшП^ (О) € ¡3 П аг) С = ¡3 (и').
Пусть и П ак е ша(С) \ [ш П Так как ОшПа>(О) = ) С
), то
С/С^(шпа') = С/ОшПа'(С)/0^(шПа'),/ОшПа'(С) е С ©(шПСТку
и ш Пак е Так как ^ является главным ^-направлением,
то П ст^)©(шПо-ку = П аи) и по лемме 1 пункт 9) [4] получаем с^(шпак) = ^шъ^ш^к). Из ^^^ е ^ = шаЯ(/з,<р) следует, что (С^^^к) е ¡у(ш П ак). Поэтому получаем, что С^(шПак) е ¡з (ш П аи) и по определению С е Ъз С Ъ. Противоречие. Следовательно, Н С Ъ.
2. Покажем, что Ъ С Н. Допустим противное, и пусть С — группа наименьшего порядка из Ъ \ Н. Тогда С — комонолитическая с комо-нолитом М = С^. Из С е Ъ = ®jeJЪз следует, что существует такое ] е 3, что С е Ъ] = шаКаз, р). Тогда для всех ш П а1 е ша(С) С ша(Ъз) имеем С1р(шПа^ е ¡з(ш П аг) = /(ш П аг). Кроме того, так как О е Ъ, (С)<С и Ъ — класс Фиттинга, то Ош(С) е Ъ = /). Таким образом, С е шаЯ(/, р) = Н. Противоречие. Следовательно, Ъ С Н. Из 1) и 2) получаем, что Ъ = Н.
Лемма доказана. □
Пусть п е Ы, N — множество всех натуральных чисел. Следуя [6; 14] произвольный класс Фиттинга будем считать 0-кратно ша-веерным классом Фиттинга с ша-направлением р. При п ^ 1 класс Фиттинга Ъ назовем п-кратно ша-веерным с ша-направлением р, если Ъ имеет хотя бы один шст-спутник /, все непустые значения которого являются (п — 1)-кратно шст-веерными классами Фиттинга с шст-направлением р. Коротко, f будем называть (п — 1)-кратно ша-спутником.
Лемма 2. Каждый п-кратно ша-веерный класс Фиттинга с ша-на-правлением р является (п — 1)-кратно ша-веерным классом Фиттинга с ша-направлением р для любого п е N.
Доказательство. Проведем индукцию по кратности п.
Пусть п = 1 и Ъ — шст-веерный класс Фиттинга с шст-направлением р. Тогда по определению 1 [9] Ъ — класс Фиттинга и по определению кратности Ъ — 0-кратно шст-веерный класс Фиттинга с шст-направлением р. Следовательно, утверждение леммы выполнено.
Пусть п > 1 и утверждение леммы выполняется для всех натуральных чисел, меньших п.
Если Ъ — п-кратно шст-веерный класс Фиттинга с шст-направлением <р, то по определению кратности Ъ имеет хотя бы один шст-спутник /, все непустые значения которого являются (п — 1)-кратно шст-веерными классами Фиттинга с шст-направлением р. По предположению индукции все непустые значения / являются (п—2)-кратно шст-веерными классами
Фиттинга с шст-направлением <р. Тогда по определению кратности $ — (п — 1)-кратно шст-веерный класс Фиттинга с шст-направлением р.
Лемма доказана. □
Лемма 3. Пусть — п-кратно ша-веерный класс Фиттинга с (п — 1)-кратно ша-спутником , ] € 3, и ша-направлением р. Тогда $ = П;^является п-кратно ша-веерным классом Фиттинга с (п — 1)-кратно ша-спутником f = П^и ша-направлением р для любого п € N.
Доказательство. Проведем индукцию по кратности п.
Пусть п = 1. Тогда утверждение леммы выполнено ввиду леммы 1 [8].
Пусть п > 1 и утверждение леммы выполняется для всех натуральных чисел, меньших п.
Если — п-кратно шст-веерный класс Фиттинга с (п — 1)-кратно шст-спутником , и шст-направлением р, то = шаК,р), ] € 3. По лемме 1 [8] $ = П.,-^^ = шаЯ(/,р) и f = П^^. По предположению индукции все непустые значения значения шст-спутника / являются (п— 1)-кратно шст-веерными классами Фиттинга с шст-направлением р. Тогда по определению кратности $ — п-кратно шст-веерный класс Фиттинга с (п — 1)-кратно шст-спутником f = П^^и шст-направлением р.
Лемма доказана. □
Теорема 1. Пусть | ] € 3} — ортогональная система классов Фиттинга и $ = . Если Fj является п-кратно ша-веерным
классом Фиттинга с главным ша-направлением р, (р0 < р < р1, ] € 3, то $ также является п-кратно ша-веерным классом Фиттинга с тем же ша-направлением р.
Доказательство. Проведем индукцию по кратности п.
Случай п = 0 доказан в теореме 3.2.14 [3].
Пусть п = 1. Тогда = шаК(!^),р). По лемме 3 пункт 1) [9] = шаК(д^ ,р), где д^ (ш') = ¡^ (ш') П и д^ (ш П а{) = (ш П а{) П для всех ш П а1 € ша, т.е. обладает внутренним шст-спутником д^, ] € 3. Тогда по лемме 1 получаем, что $ = — шст-веерный класс Фиттинга с
шст-направлением р.
Пусть п > 1 и утверждение теоремы выполняется для всех натуральных чисел, меньших п.
Если — п-кратно шст-веерный класс Фиттинга с шст-направлением Ф, то = шаК($з, ф), где — (п—1)-кратно шст-спутник . По лемме 3 пункт 1) [9] = шаК(д^, р), где д^ — внутренний шст-спутник , ] € 3. Используя лемму 1, получаем, что $ = = шаК(д,р), где
д(и') =
д(ш П аг) = д^(ш П аг), если ш П аг € шa(Fj),
д(ш П а г) = 0, если ш П а^ € ша \ (Ц^ ша($з)).
По лемме 2 $ ^ — (п — 1)-кратно шст-веерный класс Фиттинга с ша-направлением р. Тогда по предположению индукции $ = 0jeJ5j также является (п — 1)-кратно шст-веерным классом Фиттинга с ^-направлением р. Кроме того, так как ¡у — (п — 1)-кратно шст-спутник , то по лемме 3 д^ — (п — 1)-кратно шст-спутник , ] € 3. Таким образом, получаем, что все непустые значения шст-спутника д — (п — 1)-кратно шст-веерные классы Фиттинга с шст-направлением р. Следовательно, по определению кратности $ = 0з^$ ] является п-кратно шст-веерным классом Фиттинга с шст-направлением р.
Теорема доказана. □
Лемма 4. Пусть {$.,• | ] € 3} — ортогональная система классов Фиттинга, ша($з)Пша($1) = 0 для любых ] = I, ],1 € 3, и $ = 0 J$3. Если $ = шаЯ(/, р), где f — внутренний ша-спутник р — главное ш а-направление, р0 < р < р-\_, то $^ = шаК($з ,р), где
I, Ы) =
(со П а^ = /(со П а^), если ш П € ша($^, (со П аг) = 0, если ш П € ша \ ша($з).
Доказательство. Пусть Н ] = шаК($з ,р), где — шстЕ-функция, описанная в заключении леммы, ] € 3.
1) Покажем, что Н ] С $ Допустим противное, и пусть С — группа наименьшего порядка из Н ] \ Тогда С — комонолитическая с комонолитом М = .
Так как С € Н j = шaR(fj,р), то Ош(С) € ^(ш') = $ j. Следовательно, Ош (О) С = М и О/М = С/Ош (С)/М/Ош (О) € .
Пусть ш П аг € ша(С/М) С ша(С). Так как С € Hj = шaR(fj,р), то С^(шпа') € ¡з (ш П <п), т. е. /)(ш П <л) = 0. Тогда ш П <л € ша($ ■), ¡з (ш П <л) = / (ш П аг) и € / (ш П аг).
Так как р < р1, то р(ш П а^ С р1(ш П а^ = 6шПа1 ®(шп^у. По лемме 1 пункт 1) [4] получаем С^1(шПа') С С^(шПа'). По лемме 1 пункт 7) [4] имеем С^1(шпа') = ©(-п-;)' = (С©(^)' . Если С©(^)' = С,
то СМ и С/М ^ а/а6(^п^)' /М/а6(^п^)' € 6{шпа.у. Проти-
воречие. Следовательно, = С. Значит, С^1(шПа1) = =
ОшПа> (С).
В силу леммы 3 пункт 2) [9] можем считать, что /(ш') = Учитывая рассуждения, проведенные выше, получаем, что
ОшПа' (С) = С^1(шпа') С С^(шпа') € ¡(ш П аг) С
Так как С 6Ш, то по лемме 1 пункт 1) [4] Ош (О) С ОшП^ (О) €
¡(со Паг) С $ = /(ш').
Пусть и П ак е ша(С) \ [ш П Так как ОшПа>(О) = ) С
), то
С/С^(шпа') = С/ОшПа'(С)/0^(шПа')//ОшПа'(С) е 0шпа1 С &(шПаку
и ш П ак е ша^^^^^). Так как р является главным ^-направлением, то р(ш П ак)&(шПаку = П ак) и по лемме 1 пункт 9) [4] получаем с^(шп*к) = (¿¡Жшы^ш^. Из е Ъ = иаЯ(/,<р) следует, что
(^и^)^*^ е /(шПак). Поэтому получаем, что С^(шПак) е }(шПак) и по определению С е Ъ. Так как Ъ = Ъз, то, ввиду комонолитично-сти группы С существует такое I е 3, что О е Ъь Тогда ша(С) С ша(Ъ{). Пусть ^ = I. Тогда ш П а^ е ша(Ъ з) П шст(Ъг) = 0. Противоречие. Значит, ^ = I и С е Ъ]. Противоречие. Следовательно, Н С Ъ з.
2) Покажем, что Ъ С Н. Допустим противное, и пусть С — группа наименьшего порядка из Ъ з \ Нз. Тогда С — комонолитическая с ко-монолитом М = С^з. Из С е Ъ С Ъ = шаЯ(/,р) следует, что для всех ш П аг е ша(С) С ) имеет место С{р(шПа1) е /(ш П ст») =
(ш П аг). Кроме того, так как С е Ъ, (С) < С и Ъ з — класс Фит-тинга, то Ош(С) е Ъ] = (и'). Таким образом, С е шаКа^,р>) = Н. Противоречие. Следовательно, Ъ з С Н.
Из 1) и 2) получаем, что Ъ з = Н.
Лемма доказана. □
Теорема 2. Пусть [Ъ | .] е 3} — ортогональная система классов Фиттинга, ша(Ъз) Пша($1) = 0 для любых ] = I, ],1 е 3, и Ъ = ®jeJЪ з. Если Ъ является п-кратно ша-веерным классом Фиттинга с главным ша-направлением р, < р < то Ъз также является п-кратно ша-веерным классом Фиттинга с тем же ша-направлением р, ] е 3.
Доказательство. Проведем индукцию по кратности п.
Пусть п = 0. Тогда Ъ — 0-кратно шст-веерный класс Фиттинга с ша-направлением р. Так как по условию Ъ з — непустой класс Фиттинга, то по определению кратности Ъ з — 0-кратно шст-веерный класс Фиттинга с шст-направлением р, ] е ■], и утверждение теоремы выполнено.
Пусть п = 1. Тогда Ъ = шаВ,(/,(р). По лемме 3 пункт 1) [9] Ъ = шаК(д, ф), где д(ш') = /(ш') П Ъ и д(ш П а^ = /(ш П а^ П Ъ для всех шПОг е ша, т.е. Ъ обладает внутренним шст-спутником д. Тогда по лемме 4 получаем, что Ъ з — шст-веерный класс Фиттинга с шст-направлением р.
Пусть п > 1 и утверждение теоремы выполняется для всех натуральных чисел, меньших п.
Если Ъ — п-кратно шст-веерный класс Фиттинга с шст-направлением Ф, то Ъ = шаЯа, р), где f — (п — 1)-кратно шст-спутник Ъ. По лемме 3 пункт 1) [9] Ъ = шаК(д, р), где д — внутренний шст-спутник Ъ. Используя лемму 4, получаем, что Ъз = шоВ,(дз,р), где
9з(ш') = $
д^ (ш П а г) = д(ш П ст^), если ш Пai € ша($з), дз (ш П а г) = 0, если ш Пai € ша \ ша($з).
По лемме 2 $ — (п — 1)-кратно шст-веерный класс Фиттинга с ши-нап-равлением р. Тогда по предположению индукции $з также является (п — 1)-кратно шст-веерным классом Фиттинга с ^-направлением р, ] € 3. Кроме того, так как / — (п — 1)-кратно шст-спутник то по лемме 3 д — (п — 1)-кратно шст-спутник Таким образом, получаем, что все непустые значения ш<т-спутника д^ — (п — 1)-кратно шст-веерные классы Фиттинга с ^-направлением р. Следовательно, по определению кратности является п-кратно шст-веерным классом Фиттинга с ша-направлением р, ] € 3.
Теорема доказана. □
Так как ^-направление ро шст-полного класса Фиттинга является главным, то из теорем 1 и 2 получаем
Следствие 1. Пусть {^ | ] € 3} — ортогональная система классов Фиттинга, ша($з) П ша($1) = 0 для любых ] = I, I € 3, и $ = $з. Тогда $ является п-кратно ша-полным классом Фиттинга тогда и только тогда, когда Fj является п-кратно ша-полным классом Фиттинга, ,] € 3.
Лемма 5. Пусть $ = 0 — п-кратно ша-локальный класс Фиттинга. Если ш П aí € ша($), то С
Доказательство. Согласно лемме 3 пункт 1 [9] $ обладает внутренним шст-спутником /. Тогда по лемме 2 пункт 1 [8] ¡(ш П С $ для
всех ш П ст € ша.
Если ш П ai € ша ($), то ¡(ш П а¿) = 0, а значит, ©шПа1 С / (ш П СТг)6шП<п С
Лемма доказана. □
Следствие 2. Пусть {^ | ] € 3} — ортогональная система классов Фиттинга и $ = 0з^$з. Тогда $ является п-кратно ша-локальным классом Фиттинга тогда и только тогда, когда $з является п-кратно ша-локальным классом Фиттинга, ] € 3.
Доказательство. Покажем, что ша($з) П ша($[) = 0 для любых ] = I, I € 3. Допустим противное, и пусть ш П ст € ша($з) П ша($[) для некоторых ] = I, I € 3.
Так как ш Пaí € ша($з), то по лемме 5 ©¡^¿^ С ^. Аналогично, так как ш Паг € ша($1), то ©шпа1 С $. Получаем, что ©шпа1 С $з П& = (1). Противоречие. Таким образом, шa(Fj) П ша($г) = 0 для любых ] = I, 3,1 €3.
Тогда, поскольку шст-направление шст-локального класса Фиттин-га является главным, утверждение следствия вытекает из теорем 1 и 2. □
Пусть Ъ — произвольный п-кратно шст-веерный класс Фиттинга с ша-направлением р. Через шаК™(Ъ) обозначим решетку всех его п-кратно шст-веерных подклассов Фиттинга с шст-направлением р.
Пересечение всех п-кратно шст-веерных классов Фиттинга с шст-направлением р, содержащих непустой класс групп X, обозначим шаКп(Х, р) и назовем п-кратно шст-веерным классом Фиттинга с ша-направлением р, порожденным X.
Далее рассмотрим необходимые понятия общей теории решеток [1] относительно решетки шаК^(Ъ).
п-кратно шст-веерный подкласс Фиттинга Н с шст-направлением р класса Ъ называется дополняемым в решетке шаК^(Ъ), если существует такой п-кратно шст-веерный подкласс Фиттинга К с шст-направлением р из Ъ, что Н П К = (1), Ъ = шаКп(Н и Я,<р). Решетка шаК^(Ъ) называется дистрибутивной, если для любых классов Т, Н, К е шаК™(Ъ) выполняется тождество
Т П шаКп(Н и &,<р) = шаКп((Т П Н) и (Т П К),р).
Булевой решеткой называется дистрибутивная решетка с дополнениями.
Элемент К называется атомом решетки шаК™ (Ъ), если К покрывает (1), т. е. не существует такого М е шаК™(Ъ), что (1) С М С К.
Лемма 6. Пусть Ъ = 0 jeJЪз, где [^ | .] е 3} — набор всех атомов решетки шаК™(Ъ). Если Т = 0 — произвольный неединичный п-кратно ша-веерный подкласс Фиттинга с ша-направлением р в Ъ, то во множестве 3 найдется такое подмножество 3\, что Т = 0 ^ Ъ/.
Доказательство. По следствию 3.2.8 [3] Т = 0 J(Т П Ъ). Так как Ъ ] — атом решетки шаК^(Ъ), то Т П Ъ з е [(1), Ъ ¿}. Пусть 3\ — такое подмножество в 3, что ] е 3\ тогда и только тогда, когда Т П Ъ з = Ъ]. Тогда Т = 0 J1Ъ
Лемма доказана. □
Теорема 3. Пусть Ъ — неединичный п-кратно ша-веерный класс Фиттинга с главным ша-направлением р, р0 < <р < Тогда следующие условия эквивалентны:
1) решетка шаК™(Ъ) булева;
2) Ъ = 0]егде [^ | .] е 3} — набор всех атомов решетки
шаВ^(Ъ).
Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2). Пусть [^ | .] е 3} — набор всех атомов решетки шаК™(Ъ) и Н = 0 jeJЪ ]. Так как Ъ з С Ъ
и $ замкнут относительно произведений нормальных $-подгрупп, то получаем, что Н = 0 je J$ з С По теореме 1 Н — п-кратно шст-веерный подкласс Фиттинга с ^-направлением р, т.е. Н € шаК™($). Покажем, что $ С Н. Допустим противное, и пусть С — группа наименьшего порядка из $ \ Н. Тогда Н С $ и С — комонолитическая с комонолитом М = С^. Так как булева решетка является решеткой с дополнениями, то в $ найдется такой п-кратно ш<г-веерный подкласс Фиттинга К с шст-направлением р, что Н П К = (1) и $ = шаКп(Н и К,ф). Учитывая теорему 1, получаем, что $ = шаКп(Н и К,ф) = Н 0 К. Так как С — комонолитическая группа, то О € Н или С € К. В первом случае имеем противоречие. Если С € К, то М € К, а следовательно, М € НПК = (1). Значит, С — простая группа.
Покажем, что шаКп(С,р) является атомом решетки шаК™($). Допустим противное, и пусть М — неединичный п-кратно шст-веерный подкласс Фиттинга с ^-направлением р и (1) С М С шаКп(С,р) С Так как булева решетка является решеткой с дополнениями, то в $ найдется такой п-кратно ш<г-веерный подкласс Фиттинга £ с ши-направлением р, что М П £ = (1) и $ = шаКп(М и £, ф) = М 0 £. Так как С € М, С € $ и С — простая группа, то С € £. Тогда (1) С М С шаКп(С,<ф С £ и М П £ = (1). Противоречие. Следовательно, шаЕп(С, ф) — атом решетки шаК™ ($).
Таким образом шаКп(С, ф) = для некоторого ] € 3 и С € ^ С Н. Противоречие. Значит, $ = Н.
Покажем, что из 2) следует 1). Для начала докажем, что шоК^($) — решетка с дополнениями. Пусть Т — произвольный неединичный п-кратно ш<т-веерный подкласс Фиттинга с ^-направлением р из Тогда по лемме 6 существует набор {$.,• | ] € 31} атомов решетки шаК™ ($), что Т = 0j£J1 . Пусть 32 = 3 \ 31 и Н = 0jeJ2$з. Покажем, что Н — дополнение к Т в решетке шаЕ^^В). По теореме 1 Н — п-кратно шст-веерный класс Фиттинга с ^-направлением р. Кроме того, из замкнутости класса Фиттинга $ относительно произведений нормальных $-подгрупп, получаем, что Н С
Пусть ТПН = (1). По лемме 3 ТПН — п-кратно шст-веерный подкласс Фиттинга в $ с ^-направлением р. Тогда по лемме 6 существует набор {$ j | ] € З3} атомов решетки что Т П Н = 0jeJзДля
любого ] € З3 имеем С Т, а следовательно, ] € 31. Аналогично, для любого ] € Зз имеем С Н, а следовательно, ,] € 32. Но 31 П 32 = 0 и 31 и 32 = 3. Противоречие. Таким образом, Т П Н = (1).
Покажем, что $ = шаКп(Ти Н, ф). Действительно, из Т С шаКп(Ти Н,ф) и Н С шаКп(%ПН, ф) в силу замнутости класса Фиттинга шаЕп(Ти Н, ф) относительно произведений нормальных шаКп(ТиН, ^)-подгрупп, получаем, что
$ = 0je^з = (0jeJl$ з) 0 (0зе^= Т 0Н С (ТиН,^>).
Обратно, так как Т С Ъ и Н С Ъ, а значит, ТиН С Ъ, и Ъ — п-кратно ша-веерный класс Фиттинга с шст-направлением р, то шаКга(Т и Н,ф) С Ъ. Следовательно, Ъ = шаКга(ТиН, ф). Таким образом, шаК^(Ъ) — решетка с дополнениями.
Докажем дистрибутивность решетки шаК^(Ъ). Пусть Т, Н и К — произвольные п-кратно шст-веерные подклассы Фиттинга с ^-направлением р из Ъ. Применяя лемму 3, непосредственно получаем включение
шаЯга((ТПН) и (ТПК), ф) = шаКп(ТП (Н иЯ),р) С ТП шаКп(Н иК,р).
Действительно, Т П (Н и К) С Т, Т П (Н и К) С Н и К С шаКга(Н и К, ф). Следовательно, Т П (Н и К) С Т П шаКга(Н и К,ф). По лемме 3 Т П шаКга(Н и Я,р). — п-кратно шст-веерный подкласс Фиттинга в Ъ с шст-направлением р. Тогда шаКга(Т П (Н и Я),ф С Т П шаКга(Н и К,ф).
Предположим, что обратное включение неверно и С — группа наименьшего порядка из Т П шаЕп(Н и К, ф) \ шаКга((Т П Н) и (Т П К), ф). Тогда С — комонолитическая группа. Поскольку С е Т С Ъ = 0 jeJЪ j, то существует такое ] е 3, что С е Ъ ] и шаКга(С, ф) С Ъ j. Так как Ъ ] — атом решетки шаЯ^(Ъ), то Ъ з = шаКп (С,р). Из С е шаКп(Н и &,ф) получаем, что Ъ з С шаЕп(Н и К,ф). По лемме 6 существуют такие наборы [Ъ j | ] е Л}, [Ъ j | ] е атомов решетки шаЕ!^(Ъ), что Н = Fj, К = ^Ъ]. Учитывая теорему 1, получаем, что Ъ] С
шаКга(Н и К,ф) С 0^J1 и ^Ъ ]. Значит, Ъ ] С Н или Ъ ] С К. Тогда О е Ъ С Н или С е Ъ С К, т. е. С е Н и К. Следовательно,
С е Т П (Н и К) = (Т П Н) и (Т П К) С шаКп((Т П Н) и (Т П К),ф.
Противоречие. Таким образом, шаК™(Ъ) — дистрибутивная решетка, а значит, учитывая доказанное выше, булева.
Теорема доказана. □
Следствие 3. Пусть Ъ — неединичный п-кратно ша-полный класс Фиттинга. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) решетка шаАп(Ъ) булева;
2) Ъ = 0jeгде [^ | .] е J} — набор всех атомов решетки иаАга(Ъ).
Следствие 4. Пусть Ъ — неединичный п-кратно ша-локальный класс Фиттинга. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) решетка шаЬга(Ъ) булева;
2) Ъ = 0jeJFj, где [^ | .] е J} — набор всех атомов решетки шоЕп(Ъ).
Следствие 5. Пусть Ъ — неединичный п-кратно ш-веерный класс Фиттинга с главным ш-направлением р, р0 < р < Тогда следующие условия эквивалентны:
1) решетка ш К™ ($) булева;
2) $ = где {$.,• | ] € 3} — набор всех атомов решетки
Следствие 6. Пусть $ — неединичный п-кратно ш-полный класс Фиттинга. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) решетка шАп($) булева;
2) $ = 0j£где {$.,• | ] € 3} — набор всех атомов решетки шАп($).
Следствие 7. [4] Пусть $ — неединичный п-кратно ш-локальный класс Фиттинга. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) решетка шЬп($) булева;
2) $ = 0j£где {$.,• | ] € 3} — набор всех атомов решетки шЬп($).
Следствие 8. [5] Пусть $ — неединичный п-кратно локальный класс Фиттинга. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) решетка Ьп($) булева;
2) $ = 0 з$ где {$.,• | ] € 3} — набор всех атомов решетки Ьп($).
Замечание 1. Следствия 3, 4 получаются из теоремы 3 при <р = и р = соответственно. Следствие 5 получено из теоремы 3 в случае, когда а = {{2}, {3},... }. Следствия 6, 7 вытекают тогда из следствия 5 при р = ро и р = соответственно. Из следствия 7 при ш = Р имеем следствие 8.
3. Заключение
В работе описаны п-кратно ш<т-веерные классы Фиттинга с ^-направлением р, у которых решетка всех п-кратно ш<т-веерных подклассов Фиттинга с ^-направлением р является булевой. Эти классы удалось представить с помощью прямого разложения атомов решетки. Вызывает интерес решение следующих вопросов в дальнейших исследованиях:
1) изучение булевых решеток п-кратно шст-веерных классов Фиттинга с ^-направлением р, р > р1;
2) изучение стоуновых решеток п-кратно шст-веерных классов Фиттинга с ^-направлением р.
Список источников
1. Биркгоф Г. Теория решеток. М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. 568 с.
2
3
4.
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
Ведерников В. A. О новых типах w-веерных классов Фиттинга конечных групп // Украинский математический журнал. 2002. Т. 54, № 7. С. 897-906. https://doi.org/10.1023/A:1022058224181
Воробьев Н. Н. Алгебра классов конечных групп. Витебск : ВГУ им. П. М. Машерова, 2012. 322 с.
Воробьев Н. Н. О булевых решетках те-кратно w-локальных классов Фиттинга // Известия Гомельского государственного университета им. Ф. Скорины. Вопросы алгебры-18. 2002. № 5(14). С. 43-46.
Воробьев Н. Н., Скиба А. Н. О булевых решетках те-кратно локальных классов Фиттинга // Сибирский математический журнал. 1999. Т. 40, № 3. С. 523-530. Воробьев Н. Т. О предположении Хоукса для радикальных классов // Сибирский математический журнал. 1996. Т. 37, № 6. С. 1296-1302. Демина Е. Н. Решетки те-кратно ^-расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператорных Г-групп // Дискретная математика. 2012. Т. 24, № 1. С. 3-25. https://doi.org/10.4213/dm1168
Камозина О. В. Спутники и произведения ша-веерных классов Фиттинга // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 1. С. 88-97. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2021-27-1-88-97
Камозина О. В. ша-веерные классы Фиттинга // Чебышевский сборник. 2020. Т. 21, №4. C. 107-116. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-4-107-116 Скачкова Ю. А. Булевы решетки кратно Q-расслоенных формаций // Дискретная математика. 2002. Т. 14, № 3. С. 42-46. https://doi.org/10.4213/dm252 Скиба А. Н. Алгебра формаций. Минск : Беларуская навука, 1997. 240 с. Скиба А. Н. О локальных формациях с дополняемыми локальными подфор-мациями // Известия вузов. Математика. 1994. № 10. С. 75-80. Скиба А. Н., Шеметков Л. А. Формации алгебр с дополняемыми подформаци-ями // Украинский математический журнал. 1991. Т. 43, № 7-8. С. 1008-1012. http://dx.doi.org/10.1007/BF01058698
Chi Z., Safonov V. G., Skiba A. N. On те-multiply a-local formations of finite groups // Comm. Algebra. 2019. Vol. 47, N 3. P. 957-968. https://doi.org/10.1080/00927872.2018.1498875
Guo W., Zhang L., Vorob'ev N. T. On a-local Fitting classes //J. Algebra. 2020. Vol. 542. P. 116-129. https://doi.org/10.1016Zj.jalgebra.2019.10.009 Skiba A. N. On one generalization of the local formations // Проблемы физики, математики и техники. 2018. N 1 (34). C. 79-82.
References
Birkhoff G. Lattice theory. Moscow, Science Publ., 1984, 568 p. (in Russian) Vedernikov V.A. On new types of w-fibered Fitting classes of finite groups. Ukrainian Mathematical Journal, 2002, vol. 54, no. 7, pp. 1086-1097. (in Russian) https://doi.org/10.1023/A:1022058224181
Vorob'ev N.N. Algebra of classes of finite groups. Vitebsk, VSU im. P.M. Masherova Publ., 2012, 322 p. (in Russian)
Vorob'ev N.N. On the Boolean lattices of n-multiply w-local Fitting classes. Proceedings of the Gomel State Univ. im. F. Skaryna. Questions of Algebra-18, 2002, no. 5(14), pp. 43-46. (in Russian)
Vorob'ev N.N., Skiba A.N. On the Boolean lattices of n-multiply local Fitting classes. Siberian Math. J., 1999, vol. 40, no. 3, pp. 446-452. (in Russian)
6. Vorob'ev N.T. On the Hawkes conjecture for radical classes. Siberian Math. J., 1996, vol. 37, no. 6, pp. 1137-1142. (in Russian)
7. Demina E.N. The lattices of n-multiply Qi-foliated r-closed formations of multioperator T-groups. Discrete Math. Appl., 2012, vol. 22, no. 2, pp. 147-172. (in Russian) https://doi.org/10.4213/dm1168
8. Kamozina O.V. Satellites and products of wa-fibered Fitting classes. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 1, pp. 88-97. (in Russian) https://doi.org/10.21538/0134-4889-2021-27-1-88-97
9. Kamozina O.V. wa-fibered Fitting classes. Chebyshevskii sbornik, 2020, vol. 21, no. 4, pp. 107-116. (in Russian) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-4-107-11
10. Skachkova Yu.A. Boolean lattices of multiply Q-foliated formations. Discrete Math. Appl., 2002, vol. 12, no. 5, pp. 477-482. (in Russian) https://doi.org/10.4213/dm252
11. Skiba A.N. Algebra of formations. Minsk, Belaruskaya navuka Publ., 1997, 240 p. (in Russian)
12. Skiba A.N. On local formations with complemented local subformations. Izvestiya vuzov. Matematika, 1994, no. 10, pp. 75-80. (in Russian)
13. Skiba A.N., Shemetkov L.A. Formations of algebras with complemented subformations. Ukrainian Mathematical Journal, 1991, vol. 43, no. 7-8, pp. 10081012. (in Russian) http://dx.doi.org/10.1007/BF01058698
14. Chi Z., Safonov V.G., Skiba A.N. On n-multiply a-local formations of finite groups. Comm. Algebra, 2019, vol. 47, no. 3, pp. 957-968. https://doi.org/10.1080/00927872.2018.1498875
15. Guo W., Zhang L., Vorob'ev N.T. On a-local Fitting classes. J. Algebra, 2020, vol. 542, pp. 116-129. https://doi.org/10.1016/jjalgebra.2019.10.009
16. Skiba A.N. On one generalization of the local formations. Problemy Fiziki, Matematiki i Tekhniki, 2018, no. 1 (34), pp. 79-82.
Об авторах
Камозина Олеся Владимировна,
канд. физ.-мат. наук, доц., Брянский
государственный
инженерно-технологический
университет, Российская Федерация,
241037, г. Брянск,
https://orcid.org/0000-0003-2803-6016
About the authors
Olesia V. Kamozina, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Assoc. Prof., Bryansk State University of Engineering and Technology, Bryansk, 241037, Russian Federation, [email protected], https://orcid.org/0000-0003-2803-6016
Поступила в 'редакцию / Received 11.12.2021 Поступила после рецензирования / Revised 07.04.2022 Принята к публикации / Accepted 14.04.2022
