Ωζ-РАССЛОЕННЫЕ КЛАССЫ ФИТТИНГА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.542

^-расслоенные классы Фиттинга

О. В. Камозина

Камозина Олеся Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, Брянский государственный инженерно-технологический университет, Россия, 241037, г. Брянск, просп. Станке Димитрова, д. 3, [email protected]

Все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Для непустого подкласса ü класса всех простых групп i и разбиения Z = {Zi I i e I}, где Zi — непустой подкласс класса i, i = Uie1 Zi и Zi п Zj = 0 для всех i = j, в работе вводятся üZR-функция f и üZFR-функция ф. Областью определения данных функций является множество üZ U {ü'}, где üZ = {ü п Zi I Ü п Zi = 0}, ü' = i \ ü. Областью значений функций является множество классов Фиттинга и множество непустых формаций Фиттинга соответственно. С помощью функций f и ф определяется üZ-расслоенный класс Фиттинга f = üZR(f, ф) = (G : OQ(G) e f (ü') и ) e f (ü п Zi) для всех ü п Zi e üZ(G)) с üZ-спут-

ником f и üZ-направлением ф. В работе приведены примеры üZ-расслоенных классов Фиттинга. Определены два вида üZ-расслоенных классов Фиттинга: üZ-свободные и üZ-канонические классы Фиттинга. Их направления обозначены ф0 и ф! соответственно. Показано, что каждый непустой неединичный класс Фиттинга является üZ-свободным классом Фиттинга для некоторого непустого класса ü с i и любого разбиения Z. Получен ряд свойств üZ-расслоенных классов Фиттинга. В частности, дано определение внутреннего üZ-спутника и показано, что каждый üZ-расслоенный класс Фиттинга обладает внутренним üZ-спутником. При ü = i введено понятие Z-расслоенного класса Фиттинга. Показаны условия связи между üZ-расслоенными и Z-расслоенными классами Фиттинга.

Ключевые слова: конечная группа, класс Фиттинга, üZ-расслоенный, üZ-спутник, üZ-на-правление.

Поступила в редакцию: 17.11.2019 / Принята: 15.01.2020 / Опубликована: 30.11.2020 Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution License (CC-BY4.0) DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2020-20-4-424-433

ВВЕДЕНИЕ

В 1963 г. в работе В. Гашюца [1] с помощью специальной функции f : P ^ {формации групп} были определены локальные формации, в 1969 г. в работе Б. Хартли [2] с помощью функции д : P ^ {классы Фиттинга групп} определены локальные классы Фиттинга. В 1984 г. Л. А. Шеметков заменил множество всех простых чисел P на класс всех простых групп I. В результате были построены композиционные формации [3]. Независимо композиционные формации были введены Р. Бэром (см. [4]). В 1999 г. Л. А. Шеметков и А. Н. Скиба в работе [5] для локального случая вместо множества P области определения функций рассмотрели непустое подмножество ш множества P и одноэлементное подмножество {ш'}, где ш' = P\ш. В результате были построены ш-локальные формации и классы Фиттинга, а также изучены их различные свойства. Построение новых видов формаций и классов Фиттинга привело к идее рассмотрения не только ранее введенных функций-спутников, но еще и функций-направлений В 2001 г. В. А. Ведерниковым и

М. М. Сорокиной в работе [6] были определены о-расслоенные формации и классы Фиттинга, где композиционный случай являлся одним из имеющихся «слоев». Кроме указанных авторов, изучением различных видов о-расслоенных формаций и классов Фиттинга занимались Ю. А. Скачкова, В. Е. Егорова, Е. Н. Демина и др. (см., например, [7-10]). В настоящее время появилась новая идея в функциональном подходе. В 2018 г. А. Н. Скиба в работе [11] для локального случая на множестве P вводит разбиение a = | i G I}, где P = UieIai и ai П aj = 0 для всех i = j, и начинает изучение a-локальных формаций, а также их приложений.

Цель данной работы — используя непустой подкласс о класса всех простых групп I и разбиение С класса I, ввести оС-расслоенные классы Фиттинга; на основе хорошо известных классов групп показать существование оС-расслоенных классов Фиттинга; выделить их виды, исследовать свойства.

1. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Класс групп F называется классом Фиттинга, если он замкнут относительно нормальных подгрупп и произведений нормальных F-подгрупп. Класс групп F называется формацией Фиттинга, если F является формацией и классом Фиттинга одновременно. Группа G называется комонолитической, если в G имеется такая нормальная подгруппа M (комонолит группы G), что G/M — простая группа и N С M для любой собственной нормальной подгруппы N группы G [5].

Символ I обозначает класс всех простых конечных групп, о — непустой подкласс класса I, о' = I \ о, K(G) обозначает класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы G, (G) — класс всех групп, изоморфных группе G. G — класс всех конечных групп, Gn и Gn — класс всех о- и о'-групп соответственно. о-группа — группа G, где K(G) С о [6].

Кроме того, С = {Ci | i G I}, где С — непустой подкласс класса I, I = UieIС и Ci П Zj = 0 для всех i = j ; С (G) = {0 | Ci П K (G) = 0}, оС = {о П Ci | о П Ci = 0}, оС (G) = {о П Ci | о П Ci П K (G) = 0}, оС (F) = {оС (g) | G G F} для любого класса групп F.

Все рассматриваемые функции принимают одинаковые значения на изоморфных группах их области определения. Функцию f : оС U {о'} ^ {классы Фиттинга групп}, где f (о' ) = 0, назовем oCR-функцией; функцию у : оС U {о'} ^ {непустые формации Фиттинга} — oCFR-функцией; функцию g : С ^ {классы Фиттинга групп} — CR-функцией; функцию ф : С ^ {непустые формации Фиттинга} — CFR-функцией. Определим oCFR-функцию у0 следующим образом: у0(о') = Gn, у0(о П С) = 6(^пСгУ для всех о П Ci G оС. Определим CFR-функцию ф0 следующим образом: ф0(Ci) = для всех С G С.

Пусть ^х и — произвольные oCR-функции (oCFR-функции). Будем полагать, что ^ , если ^i(o') С ^2(о') и (о П Ci) С (о П Ci) для всех о П Ci G оС. Пусть vx и v2 — произвольные CR-функции (CFR-функции). Будем полагать, что vx ^ v2, если vi(Ci) С V2(Ci) для всех Ci G С.

Теорема 1. Пусть f — OCR-функция, у — oCFR-функция, где у0 ^ у, и F = oCR(f, у) = (G : On (G) G f (о' ) и G^nZi) G f (о П Ci ) для всех о П Ci G oC (G)). Тогда F является классом Фиттинга.

Доказательство. 1. Пусть G G F и N<G. Так как NOn(G)/On(G) <G/On(G) G G Gn и Gn — класс Фиттинга, то NOn(G)/On(G) = N/N П On(G) G Gn. Тогда

(N) ç N П (G), а значит, (N) ç (G). Так как по условию (G) G f (о') и f (о') — класс Фиттинга, то (N) G f (о').

Пусть о П Zi G оС (N ). Тогда о П О G оС (G) и по условию G^(nnZi ) G f (о П 0). Так как NG^(nnZi)/G^(nnZi) «G/G^nZi) G у (о П Ci) и у(о П Ci) — класс Фиттинга, то NG^nnZi^ N/N П ) G у (о П Ci) и N) ç N П G^(nnZi). Учитывая,

что f (о П С ) — класс Фиттинга, как и выше, получаем, что N ) g f (о П Ci). Таким образом, N G F.

2. Пусть G = HK, где H<G, K<G, H G F, K G F. Тогда по условию (H) G f (о') и (K) G f (о' ). Так как f (о' ) — класс Фиттинга, то T = (H)On(K) G f (о'). Поскольку G = HK, то G/T = HT/T • KT/T. Так как (h) < H, то по модулярному тождеству Дедекинда H П T = H П (H)On(K) = (H)(H П (K)). Тогда HT/T = H/H П T = H/On(H)(H П (K)). Так как H/On(H) G 6^ и — формация, то

H/On(H)(H П (K)) ^ H/On(H)/On(H)(H П (K))/On(H) G .

Следовательно, HT/T G 6^. Аналогично KT/T G 6^. Так как 6^ — класс Фиттинга, то G/T = HT/T • KT/T G 6^, а значит, (G) ç T. Так как T G f (о' ) и f (о' ) — класс Фиттинга, то (G) G f (о' ).

Пусть о П Ci G оС (G). Тогда о П Ci G оС (H ) или о П С G оС (K ). Из условия получаем, что H ) G f (о П Ci ) или K ) G f (о П Ci ). Если о П Ci G оС (H ) и о П Q G оС (K ), то, учитывая, что f (о П С ) — класс Фиттинга и у (о П С ) — формация Фиттинга, как и выше, получаем, что G^(nnZi ) G f (о П С ).

Пусть, для определенности, о П С G оС(H) и о ПС G оС(K). Тогда K — (о П -группа. Так как по условию у0 ^ у, то K G 6(юп^)' = у0(о П С) Ç у (о П Поскольку G = HK, то

G/H) = H/H) • KH/H).

Кроме того, KHv(nnZ<)/Hv(nnZ<) = K/K П Hv(nnZ<). Так как у (о П Ci) — формация Фиттинга, то K/K П H^(nnZi) G у(о П 0) и G/H^(nnZi) G у(о П Ci). Тогда G^(nnZi ) Ç H ). Так как H ) G f (о П 0 ) и f (о П G ) — класс Фиттинга, то G^(nnZi ) G f (о П С ).

Таким образом, G G F.

Из 1 и 2 следует, что F — класс Фиттинга. Теорема доказана. □

Следующая теорема доказывается аналогично.

Теорема 2. Пусть g — СЯ-функция, ф — С^Я-функция, где ф0 ^ ф, и F = СЯ(д,Ф) = (G : ) G g(Ci) для всех С G С(G)). Тогда F является классом Фиттинга.

Определение 1. Класс Фиттинга F = оСЯ(^ у), где f — оСЯ-функция, у — оС^Я-функция, у0 ^ у, назовем оС-расслоеннным классом Фиттинга с оС-спутником f и оС-направлением у. Класс Фиттинга F = СЯ(д,Ф), где g — СЯ-функ-ция, ф — С^Я-функция, ф0 ^ ф, назовем С -расслоенным классом Фиттинга с С-спутником g и С-направлением ф.

Лемма 1. Пусть F — класс Фиттинга и оС(F) = 0- Тогда F = оСЯ(^ у), где f — ОСЯ-функция такая, что f (о') = F, f (о П 0) = 0 для всех о П С G оС, у — оС F Я-функция, у0 ^ у.

Доказательство. Пусть FX = oCR(f, у), где f и у — функции, описанные в заключении леммы.

1. Покажем, что F С FX. Пусть G G F. Тогда оС (G) = 0, а значит, G — о'-группа. Тогда On (G) = G G F = f (о') и из о П Ci G oC (G) = 0 следует, что G^(nnZi > G f (о П Ci ) для всех о П С G оС(G). Таким образом, G G FX и F С FX.

2. Покажем, что Fi С F. Допустим противное, и пусть G — группа минимального порядка из FX \ F. Тогда G — комонолитическая с комонолитом M = Gf. Так как G G Fi, то On(G) G f(o') = F. Следовательно, On(G) С Gf = M и G/M ^ G/On(G)/M/On (G) G Gn. Пусть о П Ci G oC (G/M). Тогда о П Ci G oC (G). Так как G G Fb то G^(nnZi ) G f (о П Ci ) = 0. Противоречие. Таким образом, G G F и Fi С F.

Из 1 и 2 следует, что F = Fx. Лемма доказана. □

Пример 1. Из леммы 1 следует, что Gn и (1) являются оС-расслоенными классами Фиттинга для любого непустого класса о С I и любого разбиения С.

Пример 2. G = oCR(f, у), где f — oCR-функция такая, что f (о' ) = G, f (о П С ) = G для всех о П Ci G оС, у — oCFR-функция, у0 ^ у.

Действительно, пусть FX = oCR(f,у), где f и у — функции, описанные в примере 2.

1. Покажем, что G С Fx. Пусть G G G. Так как On(G)<G, G^(nnZi)<G и G — класс Фиттинга, то On(G) G G = f (о' ) и G^(nnCi > G G = f (о П Ci ) для всех о П Ci G oC (G). Следовательно, G G Fx и G С Fb

2. Так как рассматриваются только конечные группы, то Fi С G.

Из 1 и 2 следует, что G = Fx.

Пример 3. Gn = oCR(f, у), где f — oCR-функция такая, что f (о' ) = (1), f (о П С ) = Gn для всех о П Ci G оС, у — oCFR-функция, у0 ^ у.

Действительно, пусть FX = oCR(f,у), где f и у — функции, описанные в примере 3.

1. Покажем, что Gn С Fi. Пусть G G Gn. Тогда On (G) = 1 G (1) = f (о' ). Так как Gn — класс Фиттинга, то G^(nnCi ) G Gn = f (о П Ci ) для всех о П Ci G oC (G). Следовательно, G G Fi и Gn С Fi.

2. Покажем, что FX С Gn. Пусть G G FX . Тогда On(G) G f (o' ) = (1), а значит, G G Gn и Fi С Gn.

Из 1 и 2 следует, что Gn = Fx .

Пример 4. Пусть Л — непустой подкласс класса всех простых групп I. Определим в классе I разбиение С следующим образом: если о П Ci П Л = 0, то о П С С Л; если о П С П Л = 0, то о П С С Л. Тогда GA = oCRf^), где f — oCR-функция такая, что f (о' ) = GA, f (о П С ) = GA для всех о П С С Л, f (о П С ) = 0 для всех о П С С Л, у — oCFR-функция, у0 ^ у.

Действительно, пусть FX = oCR(f,у), где f и у — функции, описанные в примере 4.

1. Покажем, что GA С Fx. Пусть G G GA. Так как GA — класс Фиттинга, то On (G) G Ga = f (о' ). Пусть о П Ci G оС (G). Так как G G Ga , то K (G) С Л, а значит, о П Ci П Л = 0 и о П Ci С Л. Тогда G^(nnZi ) G Ga = f (о П Ci ). Следовательно, G G Fi и Ga С Fi.

2. Покажем, что FX С GA. Допустим противное, и пусть G — группа минимального порядка из FX \ Ga. Тогда G — комонолитическая с комонолитом M = GGa . Так как G G FX, то, как и в лемме 1, On(G) С M и G/M G Gn. Если для всех о П С G оС(G/M) выполняется неравенство о П С П Л = 0, а значит, о П С С Л, то K(G/M) С Л и G G Ga. Противоречие. Пусть существует о П С G оС(G/M) и выполняется равенство о П Ci П Л = 0, а значит, о П Ci С Л. Так как о П Ci G оС (G) и G G Fi, то G^(nnCi) G f (о П Ci) = 0. Противоречие. Таким образом, G G Ga и Fi С Ga .

Из 1 и 2 следует, что GA = Fx .

Пример 5. Из примера 4 следует, что G^ = oCR(f, у), где f — oCR-функция такая, что f (о') = G^, f (о П Cj ) = G^ для всех j = i, f (о П Cj ) = 0 для всех j = i, у — oCFR-функция, у0 ^ у.

Определение 2. Пусть у = у0. Тогда из определения 1 и теоремы 1 получаем класс Фиттинга F = oCFrR(f ) = (G : On (G) G f (о' ) и O(nnZi )' (G) G f (о П Ci ) для всех о П Ci G oC (G)), который назовем оС-свободным классом Фиттинга или oCFr-классом Фиттинга c оС-спутником f. Пусть ф = ф0. Из определения 1 и теоремы 2 получаем класс Фиттинга F = CFrR(g) = (G : Ozi(G) G g(Ci) для всех Ci G С (G)), который назовем С-свободным классом Фиттинга или CFr-классом Фиттинга c С-спутником g.

Теорема 3. Пусть F — непустой неединичный класс Фиттинга и оС = оС(F) Тогда F является оС-свободным классом Фиттинга.

Доказательство. Пусть FX = oCFrR(f), где f — oCR-функция такая, что f (о') = F, f (о П Ci ) = fit(O(nnZi)'(G) | G G F) для всех о П Ci G оС.

1. Покажем, что F С Fb Пусть H G F. Так как On(H) <H и F — класс Фиттинга, то On (H) G F = f (о'). Так как H G F, то O(nnZi )' (H) G fit(O(nnZi )' (G) | G G G F) = f (о П Ci ) для всех о П Ci G oC (H ). Следовательно, H G FX и F С FX .

2. Покажем, что FX С F. Допустим противное, и пусть T — группа минимального порядка из FX \ F. Тогда T — комонолитическая с комонолитом M = Tf. Так как T G Fb то, как и в лемме 1, On(T) С M и T/M G Gn. Пусть о П Ci G оС (T/M ) С оС (T). Так как T G Fi, то по определению класса Fi = oCFrR(f ) и оС-спутника f получаем, что O(nnZi )' (T) G f (о П Ci ) С F. Тогда O(nnZi)' (T) С M и T/M = T/O(nnZi)'(T)/M/O(nnZi)'(T) G G(nnCi)'. Противоречие. Таким образом, T G F и Fi С F.

Из 1 и 2 следует, что F = Fb Теорема доказана. □

Замечание 1. Из теоремы 3 следует, что каждый непустой неединичный класс Фиттинга является оС-свободным классом Фиттинга для некоторого непустого класса о С I и любого разбиения С.

Лемма 2. Пусть f — OCR-функция, у — OCFR-функция, где у0 ^ у, и F = oCR(f, у). Тогда выполняются следующие утверждения:

1) F = oCR(g, у), где g(o' ) = f (о' ) П F и g(o П Ci ) = f (о П Ci ) П F для всех о п Ci g оС;

2) F = oCR(h, у), где h(o') = F и h(o П Ci ) = f (о П Ci ) для всех о П Ci G оС;

3) если оС = оС (F), то F = (G : On (G) G f (о') и G^(nnZi ) G f (о П Ci) для всех о П Ci G оС).

Доказательство. 1. Пусть Fi = oZ#(9, у), гДе 9 — oZR-функция, описанная в пункте 1) леммы.

Так как g ^ f, то, учитывая теорему 1, получаем F1 Q F-

Пусть G G F = ü(R(f,y). Тогда (G) G f(о') и G^(nnZi) G f(о П Zi) Для всех о П Zi G oZ(G). Так как (G) < G, G^(nnZi) < G и F - класс Фиттинга, то

(G) G f (о') ПF = 9(о'), ) G f (оПZi) ПF = g(oПZi) для всех оП Zi G oZ(G).

Следовательно, G G oZR(9, у) = F1 и F Q F1.

Таким образом, F = F1.

2. Пусть F2 = oZR(h, у), где h — oZR-функция, описанная в пункте 2) леммы. Покажем, что F = F2.

Пусть G G F = oZR(f, у). Так как (G) <G и F — класс Фиттинга, то

(G) G F = h(o'). Кроме того, ) G f (oпZi) = h(o^i) для всех оПZi G oZ(G).

Тогда G G oZR(h, у) = F2 и F Q F2.

Предположим, что F С F2 и пусть H — группа минимального порядка из F2 \ F. Тогда H — комонолитическая с комонолитом M = Hf. Из H G F2, как и в лемме 1, получаем, что (H) Q M и H/M G 6П. Так как H/M ^ H/On(M)/M/On(M) и M/On (M) G то H/On(M) G . Тогда On(H) Q On(M). Так как

M G F = oZRf^), то (M) G f(о'), а значит, (H) G f(о'). Кроме того, H) G h(o П Zi) = f (о П Zi) для всех о П Zi G oZ(H). Следовательно, H G oZR(f, у) = F. Противоречие. Таким образом, F = F2.

3. Пусть F3 = (G : (G) G f (о') и G^(nnZi) G f (о П Zi) для всех о П Zi G oZ) и G G F = oZR(f, у). Если о П Zi G oZ(G), то G^nZi) G f (о П Zi). Пусть о П Zi G oZ \ oZ(G) = oZ(F) \ oZ(G). Тогда существует такая группа T G F, что о П Zi G oZ(T) и T^nzi) G f (о П Zi), а значит, f (о П Zi) = 0. Так как о П Zi G oZ(G), то G G 6(nnCi)' = уо(о П Zi) Q у(о П Zi). Тогда = 1 G f (о П Zi).

Таким образом, G^(nnCi) G f (о П Zi) для о П Zi G oZ и F Q F3.

Включение F3 Q F очевидно. Таким образом, F = F3. Лемма доказана. □

Определение 3. oZ-спутник f класса Фиттинга F = oZR(f, у) назовем внутренним, если f (о') Q F и f (о П Zi) Q F для всех о П Zi G oZ.

Замечание 2. Лемма 2 показывает, что каждый oZ-расслоенный класс Фиттинга всегда обладает внутренним oZ-спутником.

Теорема 4. Пусть F — oZ-расслоенный класс Фиттинга с oZ-спутником f и oZ-направлением у, где у0 ^ у, oZ = oZ(F) Тогда F является Z-расслоенным классом Фиттинга с Z-спутником g и Z-направлением ф для любого разбиения Z.

Доказательство. Пусть F = oZR(f, у). Рассмотрим ZR-функцию g такую, что g(Zi) = f (о П Zi) для всех Zi Q а = {Zj | о П Zj G oZ}, 9(Zi) = F для всех Zi Q I \ (UZj | Zj G а); ZFR-функцию ф такую, что ф (Zi) = у (о П Zi) для всех Zi G а, ф(Zi) = для всех Zi Q I \ (UZj | Zj G а). Пусть H = Z#(9^).

1. Покажем, что F Q H. Пусть G G F и Zi G Z(G). Если Zi G а и о П Zi G oZ(G), то G^) = ) G f(о П Zi) = 9(Zi). Если Zi G а и о П Zi G oZ(G), то G G )' = у0(о П Zi) Q у(о П Zi). Так как oZ = oZ(F), то, как и в лемме 2, f(o П Zi) = 0 и ) = G^(nnZi) = 1 G f(о П Zi) = 9(Zi). Далее, можем считать в силу леммы 2, что f (о') = F. Если Zi Q I \ (UZj | Zj G а), то G^(Zi) = (G) G f (о') = F = 9(Zi). Тогда G G ZR(9, у) = H. Следовательно, F Q H.

2. Покажем, что H Q F. Пусть T G H и Zi G Z(T). Установим, что (T) = ) для всех Zi Q I\ (UZj | Zj G а). Действительно, из T/T^(Zi) G ф(Zi) = следует, что

(T) ç T^i). Обратно, так как T/On(T) G б^ = ф(С), то T^) ç On(T). Тогда

(t) = ) g g (Ci ) = F = f (о' ). Для всех о П Ci G oC (T) ç оС получаем, что Ci G д. Тогда ) = T^(Zi) G g(0) = f (о П Ci). Следовательно, G G oZR(f, y) = F.

Таким образом, H Ç F.

Из 1 и 2 следует, что F = H. Теорема доказана. □

Определение 4. Определим oZFR-функцию y1 следующим образом: y1 (о') = = , y1 (о П Z) = 6(юпСг)' для всех о П С G оС. Тогда из определения 1

и теоремы 1 получаем класс Фиттинга F = оСКЯ^) = (G : (G) G f (о') и OnnZi ,(nnZi (G) G f (оПО ) для всех oпCi G оС (G)), который назовем оС-каноническим классом Фиттинга или оСК-классом Фиттинга c оС-спутником f. Определим ZFR-функцию ф1 следующим образом: ф1 (С) = G^i для всех С G С. Из определения 1 и теоремы 2 получаем класс Фиттинга F = CKR(f ) = (G : OZi(G) G f (С) для всех Z G С(G)), который назовем С-каноническим классом Фиттинга или СК-классом Фиттинга c С-спутником g.

Следствие 1. Если F — оС-свободный класс Фиттинга с оС-спутником f и оС = оС (F) то F — С-свободный класс Фиттинга с С-спутником g для любого разбиения С •

Следствие 2. Если F — оС-канонический класс Фиттинга с оС-спутником f и оС = оС (F) то F — С-канонический класс Фиттинга с С-спутником g для любого разбиения С •

Определение 5. С-направление ф С-расслоенного класса Фиттинга назовем правильным, если ф(С) • 6zi = ф(0) для всех С G С.

Теорема 5. Пусть F — С -расслоенный класс Фиттинга с С-спутником g и правильным С-направлением ф. Тогда F является оС -расслоенным классом Фиттинга с оС-спутником f и оС-направлением y для любого непустого класса о ç I и любого разбиения С•

Доказательство. Пусть F = ). Рассмотрим оС^-функцию f такую, что

f (о' ) = F, f (о П С) = g(0 ) для всех о П С G оС ; оС^^-функцию y такую, что y (о' ) = y (о П С ) = ф(С ) для всех о П С G оС. Пусть H = оСОД, y).

1. Покажем, что F Ç H. Пусть G G F. Так как On(G) < G и F — класс Фиттинга, то (G) G F = f (о' ). Для всех о П О G оС (G) Ç оС получаем О G С (G). Так как G G F = С#^,ф), то G^(nnZi ) = G^(Zi) G g (С ) = f (о П 0 ). Следовательно, G G H и F Ç H.

2. Покажем, что H ç F. Допустим противное, и пусть T — группа минимального порядка из H \ F. Тогда T — комонолитическая с комонолитом M = Tf. Так как T G H = оСЯ(лу), то (T) G f (о' ) = F, а значит, (T) Ç M и T/M ^ T/On (T )/M/On(T ) G 6n. Тогда для всех 0 G С (T/M ) получаем о П о G оС (T/M ) Ç оС (T ) Ç оС. Так как T G H = оСЯ(лу), то T^Ci) = T ) G f (о П 0 ) = gfô ). Пусть 0 G С (T ) \ С (T/M ). Тогда T/M G 6zi. Так как T/M = T/M^(Zi)/M/M), то T/M) G ф(С) • 6С/. По условию ф — правильное С-направление, а значит, ф(С) • 6C¿ = ф(С). Тогда T/MG ф(С) и T^(Ci) Ç M^(Ci). Из M G F = СЯ^,ф ) получаем, что M^(Ci ) G g(0 ), а значит, T^(Ci) G g (С ). Таким образом, T^(Zi) G g(0) для всех С G С(T). Тогда по определению T G F = С^0,ф). Противоречие. Следовательно, H Ç F.

Из 1 и 2 следует, что F = H. Теорема доказана. □

Замечание 3. В теоремах 4 и 5 показана связь между qZ-расслоенными и Z-расслоенными классами Фиттинга.

Следствие 3. Если F — Z-свободный класс Фиттинга с Z-спутником g, то F — qZ-свободный класс Фиттинга с qZ-спутником f для любого непустого класса q ç I и любого разбиения Z.

Следствие 4. Если F — Z-канонический класс Фиттинга с Z-спутником g, то F — q(-канонический класс Фиттинга с qZ-спутником f для любого непустого класса q ç I и любого разбиения Z.

2. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В случае, когда Z = {(A), (B ),...}, где (A), (B ),... — простые группы, A = B, qZ-расслоенные классы Фиттинга становятся q-расслоенными классами Фиттинга в определениях работы [6].

При дальнейшем исследовании введенных в данной статье классов Фиттинга представляет интерес изучение их минимальных и максимальных спутников, произведений, решеток и т. д.

Библиографический список

1. Gaschütz W. Zur Theorie der endlichen auflösbaren Gruppen // Math. Zeitschrift. 1963. Bd. 80, № 4. S. 300-305.

2. Hartley В. On Fischer's dualization of formation theory // Proc. London Math. Soc. 1969. Vol. 3, № 2. P. 193-207.

3. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. М. : Наука, 1978. 272 с.

4. Doerk K, Hawkes T. Finite soluble groups. Berlin ; N. Y. : Walter de Gruyter, 1992. 892 p.

5. Скиба А. H., Шеметков Л. А. Кратно и-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп // Матем. тр. 1999. Т. 2, № 2. C. 114-147.

6. Ведерников В. А., Сорокина М. М. о-расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп // Дискрет. матем. 2001. Т. 13, вып. 3. С. 125-144. DOI: https://doi.org/10.4213/dm299

7. Скачкова Ю. А. Решетки о-расслоенных формаций // Дискрет. матем. 2002. Т. 14, вып. 2. С. 85-94. DOI: https://doi.org/10.4213/dm243

8. Егорова В. Е. Критические неоднопорожденные тотально канонические классы Фиттинга конечных групп // Матем. заметки. 2008. Т. 83, вып. 4. С. 520-527. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm4572

9. Ведерников В. А., Демина Е. Н. о-расслоенные формации мультиоператорных T-групп // Сиб. матем. журн. 2010. Т. 51, № 5. С. 990-1009.

10. Камозина О. В. Алгебраические решетки кратно о-расслоенных классов Фиттинга // Дискрет. матем. 2006. Т. 18, вып. 2. С. 139-145. DOI: https://doi.org/10.4213/dm53

11. Skiba A. N. On one generalization of the local formations [Об одном обобщении локальных формаций] // ПФМТ. 2018. № 1 (34). С. 79-82.

Образец для цитирования:

Камозина О. В. ^-расслоенные классы Фиттинга // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2020. Т. 20, вып. 4. С. 424-433. 001: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2020-20-4-424-433

-foliated Fitting Classes

O. V. Kamozina

Olesia V. Kamozina, https://orcid.org/0000-0003-2803-6016, Bryansk State Technological University of Engineering, 3 Stanke Dimitrova Ave., Bryansk 241037, Russia, [email protected]

All groups under consideration are assumed to be finite. For a nonempty subclass of q of the class of all simple groups i and the partition Z = {G I i e I}, where Zi is a nonempty subclass of the class i, i = uie/Zi and Zi n Q = 0 for all i = j, qZR-function f and qZFR-function p are introduced. The domain of these functions is the set qZ u {q'}, where qZ = {q n Zi | q n Zi = 0}, q' = i\q. The scope of these function values is the set of Fitting classes and the set of nonempty Fitting formations, respectively. The functions f and p are used to determine the qZ-foliated Fitting class f = qZR(f, p) = (G : On(G) e f (q') and ) G f (q n ^) for all q n Zi £ qZ(G)) with

qZ-satellite f and qZ-direction p. The paper gives examples of qZ-foliated Fitting classes. Two types of qZ-foliated Fitting classes are defined: qZ-free and qZ-canonical Fitting classes. Their directions are indicated by p0 and p1 respectively. It is shown that each non-empty non-identity Fitting class is a qZ-free Fitting class for some non-empty class q c i and any partition Z. A series of properties of qZ-foliated Fitting classes is obtained. In particular, the definition of internal qZ-satellite is given and it is shown that every qZ-foliated Fitting class has an internal qZ-satellite. For q = i, the concept of a Z-foliated Fitting class is introduced. The connection conditions between qZ-foliated and Z-foliated Fitting classes are shown.

Keywords: finite group, Fitting class, qZ-foliated, qZ-satellite, qZ-direction. Received: 17.11.2019 / Accepted: 15.01.2020 / Published: 30.11.2020

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution License (CC-BY 4.0)

References

1. Gaschutz W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen. Math. Zeitschrift, 1963, Bd. 80, no. 4, s. 300-305 (in Germany).

2. Hartley B. On Fischer's dualization of formation theory. Proc. London Math. Soc., 1969, vol. 3, no. 2, pp. 193-207.

3. Shemetkov L. A. Formatsii konechnykh grupp [Finite group formations]. Moscow, Nauka, 1978. 272 p. (in Russian).

4. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. Berlin, New York, Walter de Gruyter, 1992. 892 p.

5. Skiba A. N., Shemetkov L. A. Multiply u-local formations and Fitting classes of finite groups. Siberian Adv. Math., 2000, vol. 10, no. 2, pp. 112-141.

6. Vedernikov V. A., Sorokina M. M. q-foliated formations and Fitting classes of finite groups. Discrete Math. Appl., 2001, vol. 11, iss. 5, pp. 507-527. DOI: https://doi.org/10.4213/dm299

7. Skachkova Yu. A. Lattices of q-fibered formations. Discrete Math. Appl., 2002, vol. 12, iss. 3, pp. 269-278. DOI: https://doi.org/10.4213/dm243

8. Egorova V. E. Critical non-singly-generated totally canonical Fitting classes of finite groups. Math. Notes, 2008, vol. 83, iss. 4, pp. 478-484. DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434608030206

9. Vedernikov V. A., Demina E. N. o-foliated formations of multioperator T-groups. Siberian Math. J., 2010, vol. 51, no. 5, pp. 789-804. DOI: https://doi.org/10.1007/s11202-010-0079-3

10. Kamozina О. V. Algebraic lattices of multiply o-foliated Fitting classes. Discrete Math. Appl. 2006, vol. 16, iss. 3, pp. 299-305. DOI: https://doi.org/10.1515/15693920 6777970453

11. Skiba A. N. On one generalization of the local formations. Problems of Physics, Mathematics and Technics, 2018, no. 1 (34), pp. 79-82.

Cite this article as:

Kamozina O. V. oZ-foliated Fitting Classes. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2020, vol. 20, iss. 4, pp. 424-433 (in Russian). DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2020-20-4-424-433