О ω-наследственном подгрупповом функторе Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЭЛЕКТРОННЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «APRIORI. CЕРИЯ: ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ»

№ 5 2015

УДК 512.542

О ^-НАСЛЕДСТВЕННОМ ПОДГРУППОВОМ ФУНКТОРЕ тп

Петрушин Павел Викторович

магистрант Сорокина Марина Михайловна

кандидат физико-математических наук Брянский государственный университет им. И.Г. Петровского, Брянск

[email protected]

Аннотация. В статье изучается ^-наследственный подгрупповой функтор тп, ставящий в соответствие каждой конечной группе G саму группу G и все ее подгруппы, принадлежащие П, где П - некоторый непустой класс простых конечных групп. Устанавливается тп-замкнутость ^-расслоенной формации конечных групп, а также тп-замкнутость ее максимального внутреннего ^-спутника.

Ключевые слова: конечная группа; подгрупповой функтор; класс групп; формация групп; г-замкнутая формация; ^-расслоенная формация.

ON ^-INHERITED SUBGROUP FUNCTOR тп

Petrushin Pavel Victorovich

undergraduate Sorokina Marina Mikhailovna

candidate of physical and mathematical sciences Bryansk State University named by I.G. Petrovsky, Bryansk

Abstract. In this article we have studied ^-inherited subgroup functor тп, which puts in conformity for every finite group G itself and all of its subgroups belonging to П, where П is a some nonempty class of simple finite groups. There has been established тп-closure of an ^-foliated formation of finite groups and тп-closure of its maximal inner ^-satellite.

Key words: a finite group; a subgroup functor; a class of groups; a formation of groups; a г-closed formation; an П-foliated formation.

В современной теории групп одно из центральных мест занимает понятие подгруппового функтора. Подгрупповой функтор есть отображение, ставящее в соответствие каждой группе некоторую непустую систему ее подгрупп. Основные положения теории подгрупповых функторов изложены в монографии С.Ф. Каморникова и М.В. Селькина [1], в которой отражена тесная связь между подгрупповыми функторами и классами конечных групп. Исследованием подгрупповых функторов и их влияния на классы групп занимались А.Н. Скиба, А.Ф. Васильев, Л.А. Воробей, И.А. Кузменкова, Л.П. Авдашкова и многие другие (см., например, [2-6]). В частности, в [2] представлена теория г-замкнутых локальных формаций конечных групп, где т - регулярный подгрупповой функтор, называемый также подгрупповым функтором Скибы [1, с. 14].

Локальные и композиционные формации, которые строятся с помощью специальной функции - экрана (см., например, [7]), долгое время являлись главными объектами исследования теории формаций. В 1999 году В.А. Ведерников ввел в рассмотрение ^-расслоенные формации, которые строятся с помощью уже двух сопутствующих функций - функции-спутника (аналог экрана) и функции-направления [8]. При этом композиционные формации представили один из видов расслоенных формаций.

В статье А.Ф. Васильева [9] изучаются слабо наследственные классы конечных групп, то есть классы групп, которые с каждой своей группой содержат и все ее подгруппы простого порядка, т.е. подгруппы, являющиеся простыми абелевыми группами. В этой связи интерес для исследования представляет такой подгрупповой функтор, который каждой группе сопоставляет некоторые ее подгруппы, являющиеся простыми группами. Настоящая работа посвящена исследованию ^-наследственного подгруппового функтора тп, ставящего в соответствие каждой конечной группе в саму группу в и все ее подгруппы, принадлежащие П, где П - некоторый непустой класс простых конечных групп. В работе установлена тп -замкнутость ^-расслоенной формации конечных групп,

обладающей внутренним т^-замкнутым ^-спутником, а также доказана тД'-замкнутость ее максимального внутреннего ^-спутника.

В работе используются определения и обозначения, принятые в [1; 8; 10]. Приведем лишь некоторые из них.

Множество групп называется классом групп, если с каждой своей группой оно содержит и все группы, изоморфные .

Пусть ® - класс всех конечных групп, 3 - класс всех конечных простых групп, П - непустой подкласс класса 3 .

Далее рассматриваются только конечные группы.

Через К(в) обозначается класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы в; К(Х) - объединение классов К( в ) для всех веХ, где X - класс групп.

Пусть т - отображение, которое ставит в соответствие всякой группе в некоторую непустую систему т(в) ее подгрупп. Отображение т называется подгрупповым функтором, если (т( в))р = т( вр) для любого изоморфизма р каждой группы в [1, с. 13].

Пусть в - группа и Я - подгруппа группы в. Тогда Нп т(в) = {Н ПК | К е т(в )+ [1, с. 13].

Подгрупповой функтор т называется регулярным, если выполняются два условия: 1) N < в, М е т(в) == МЫ/Ы е т(в/Ы); 2) М/Ы е т(в/Ы) => М е т(в) [1, с. 14]; наследственным, если для любой подгруппы Н группы в справедливо включение Нпт( в) с т(Н); включающим, если для любой подгруппы группы всегда из ( ) и следует ( ); транзитивным, если для любой группы всегда из ( ) и Н е т( в) следует 5 е т( в) [1, с. 15]; радикальным, если X п т( в) = т(Х) для любой группы в и любой ее нормальной подгруппы X [1, с. 16].

1. Подгрупповой функтор т^ и его простейшие свойства

Следуя терминологии из [9], введем определение ^-наследственного подгруппового функтора.

Определение 1. ^-наследственным подгрупповым функтором назовем подгрупповой функтор, обозначаемый тя, который каждой группе С ставит в соответствие саму группу С и все ее подгруппы, принадлежащие /3. В случае, когда /3 совпадает с 3, будем использовать обозначение т3.

Доказательство следующей леммы осуществляется непосредственной проверкой для тя сформулированных выше определений.

Лемма 1. Подгрупповой функтор тя является включающим транзитивным подгрупповым функтором.

Замечание 1. Подгрупповой функтор тя не является регулярным. Действительно, пусть С = § 3 = С 3хС 2, М = С 3, С 3 е /3 и N = М = С 3. Тогда М е тя(С ), но МЛ/Л = 1 £ тя(С/Л). Подгрупповой функтор тя не является наследственным. В самом деле, пусть С = § 5, А5 е/3, Н = С2,

. Тогда ( ), но ( ). Следовательно,

тя(С) тя(Н). Подгрупповой функтор тя не является радикальным. Действительно, пусть С = §3, С2 е/3, х = С 3, Н = С 2. Тогда к = хгпНехгп тя( С), но хпн = 1£тя(х).

Через F( ®) обозначается множество всех подгрупповых функторов. На множестве F( ®) следующим образом вводится частичный порядок < : для любых ( ) тогда и только тогда, когда для любой

группы С справедливо включение тх( С ) с т2( С) [1, с. 45].

Произведение подгрупповых функторов тх и т2 определяется следующим образом:

(тх о т2 )( С) = *Н | Н е т^К) и К е т2(С )} [1, с. 46].

Отметим, что F(©) является полугруппой относительно операции о [1 , с. 46].

Лемма 2. тя о тя = тя, т.е. тя - идемпотент полугруппы ®), о).

Доказательство. 1) Пусть Ме(тлотл)(в ). Тогда существует подгруппа К е тй(в) такая, что Метй(К). Если М = К = в, то Метй(в). Пусть М < в. Это означает, что М - простая группа, принадлежащая П. Поэтому ( ). Следовательно, .

2) Пусть ¿етя(в). Тогда, учитывая, что ¿етд^), получаем ¿е ( )( ). Таким образом, .

Из 1)-2) следует, что ^е^ = тд. Тем самым установлено, что под-групповой функтор тл является идемпотентом полугруппы (/(©), е). Лемма доказана.

2. т^-замкнутые ^-расслоенные формации

Пусть X - непустое множество групп. Тогда (X) обозначает класс групп, порожденный ; в частности, ( ) - класс всех групп, изоморфных группе .

- класс всех конечных ^-групп, т.е. таких групп в, для которых К( в ) с П; ©4 = ©(4); ©4 = ®(А)/.

51 — класс всех конечных абелевых групп.

Пусть X, £ - классы групп. Гашюцевым произведением классов X и £ называется класс групп XI) = (в е © | зN < в,Ы е X, в/Ы е £).

Формацией называется класс групп замкнутый относительно гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений. Классом Фиттинга называется класс групп замкнутый относительно нормальных подгрупп и конечных произведений нормальных ^-подгрупп.

Пусть ^ - класс Фиттинга. ^-радикалом группы в называется произведение всех нормальных подгрупп группы в, принадлежащих и обозначается в5. Используются следующие обозначения: О д(в ) = в ©

',4( в ) = в ©А

Функция / :Пи{П'} —{формации групп} называется ^/-функцией; функция д: 3 — {формации групп} называется /-функцией; функция

:З —{непустые формации Фиттинга} называется F^-функцией. Функции /, g и принимают одинаковые значения на изоморфных группах из области определения [8, с. 126].

Формация п F(/ <р ) = ( ce® | G/оп( G ) е /(/з') и G/ е /(л ) для всех л е п п G)) называется О-расслоенной формацией с О-спутником / и направлением <р; формация F(g , <р) = ( G е ® | G/сф(4) е д(Л ) для всех ( )) называется расслоенной формацией со спутником и направлением [8, с. 127].

Направление ^-расслоенной формации называется /т-направ-лением, если <р(Л )®4 = <р(л ) для любой абелевой группы ЛеЗ ; г-нап-равлением, если ( ) ( ) для любой группы ; -

направлением, если является Xj-направлением для любого i е * 1 ,. . .Д} [8, с. 128].

Через з обозначается направление ^-композиционной формации, т.е. з(Л) = S с4 для любого Л е З, где S с4 - класс всех конечных групп, у которых каждый главный Л-фактор централен [8, с. 128].

^-спутник / ^-расслоенной формации $ называется внутренним, если /(Л ) ç ^ для всех Лепи *п '}.

Пусть т - подгрупповой функтор. Класс групп $ называется г-замкнутым, если т( G ) ç $ для любой группы G е $ [2, с. 23]. ^-спутник ^-расслоенной формации $ называется г-замкнутым, если все его значения являются г-замкнутыми формациями.

Лемма 3. Пусть $ = X£ , где X - непустой нормально наследственный класс групп, £ - тп-замкнутый класс групп, 1 е £. Тогда класс групп $ также является тп-замкнутым.

Доказательство. Пусть G е $ и В е тп( G), В ф G. Покажем, что В е $. Так как G е $, то существует V < G такая, что V е X и G /йе£ . Рассмотрим факторгруппу В V/V. Поскольку В V/ V = В/В п V и В - простая группа, то возможны два случая: либо В п V = 1, либо В п V = В.

1) Пусть ßnJV = l. Тогда В = ßiV/iV е 2, и значит, ßiV/iV е тп(С/М). Учитывая, что G/VV е £ и £ - тп-замкнутый класс групп, получаем Ве§. Так как X - непустой нормально наследственный класс групп, то £ c 2, и поэтому В е 2?.

2) Пусть В n V = В. Тогда В — нормальная подгруппа группы VV. Учитывая, что V е X и X — нормально наследственный класс групп, получаем ВеХ. Так как l е £, то Xc? и значит, В е 2.

Таким образом, класс групп 2 является тл-замкнутым. Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть 22 c 51, ? - п-расслоенная формация с br-направлением р , р < р3, / - тп-замкнутый внутренний П-спутник формации Тогда 2 является т п-замкнутой формацией.

Доказательство. Пусть Се? и Н е тп( G ), Н ^ G. Покажем, что Не?. Так как Н е тп(G ), то Н < G, причем Н - простая группа из 2. Поскольку 2 c 5, то Н = Zp для некоторого простого числа р. По следствию 3 [10]

VW c 2?.

Пусть Д - минимальный П-спутник формации 2?. Так как 2? = 2 F(2< р ) и G е 2, то по теореме 5 [8] /i(zp) ^ 0. Ввиду теоремы 5 [8] /i(zp) c /(zp), и поэтому Z(zp) ^ 0. Следовательно, c 9tp/(Zp). Таким образом, c 2. Это означает, что Н = zp е 2. Тем самым установлено, что 2 - тп-замкнутая формация. Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть 22 c 2 - П-расслоенная формация с br-направлением р , р < р 3 , / - тп-замкнутый внутренний П-спутник формации 2. Тогда максимальный внутренний П-спутник формации 2 является -замкнутым.

Доказательство. По следствию 5.8 [11] формация 2 обладает единственным максимальным внутренним П-спутником h таким, что h(2') = 2 и h(A ) = ©4/(Л ) для всех А е 2. Так как по лемме 4 формация 2 является тп-замкнутой, то h(2') - тп-замкнутая формация. Так как ©4 - нормально

наследственная формация и /(Л ) - тп-замкнутая формация, то по лемме 3 h(4 ) является тп-замкнутой формацией для любого Л eß. Таким образом, h - тп-замкнутый П-спутник формации 5. Теорема доказана.

Формация 5 = ПF(/, () называется П-канонической, или, коротко, ПА-формацией, если ((Л ) = для любой группы Л e 3, и обозначается ( ) ( ( ) ( ) и ( ) ( ) для всех ЛеПпЛТ( С)); аналогично, 5 = ) = KF(g ) = (С e ® | С/ 04U(С ) e ,д(Л ) для всех Л e К( С )) - каноническая формация, или, коротко, А-формация [8].

Лемма 5. Пусть 5 - П-каноническая формация, / - тп-замкнутый внутренний П-спутник формации 5. Тогда 5 - тп-замкнутая формация.

Доказательство. Пусть С e 5 и He тп( С ), Я^ С. Покажем, что Н e 5. Так как Н e^^), то Н < С, причем Н - простая группа из П. Пусть Н = Л. Тогда Н e ®4. По лемме 7 [10] ®4/(Л ) с 5 для любого Л e П.

Пусть Д - минимальный П-спутник П-канонической формации 5. Так как 5 = П КF( 5 ) и С e 5, то по теореме 5 [8] /Х(Л ) ^ 0, и значит, /(Л ) ^ 0. Следовательно, с ®4/(Л ), и поэтому с 5. Это означает, что Н e 5. Таким образом, 5 - тп-замкнутая формация. Лемма доказана.

Следствие 1. Пусть 5 - каноническая формация, / - т3-замкнутый внутренний спутник формации 5. Тогда 5 - т3-замкнутая формация.

Теорема 2. Пусть 5 - П-каноническая формация, / - тп-замкнутый внутренний П-спутник формации 5. Тогда максимальный внутренний П-спутник формации 5 является тп-замкнутым.

Доказательство. По теореме 2 [10] формация 5 обладает единственным максимальным внутренним П-спутником h таким, что h(n') = 5 и ( ) ( ) для всех . Так как по лемме 5 формация является тп-замкнутой, то h(n') - тп-замкнутая формация. Так как - нормально наследственная формация и ( ) - -замкнутая формация, то по лемме

3 h(A ) является т^-замкнутой формацией для любого А е 22. Таким образом, h - т^-замкнутый ^-спутник формации 2. Теорема доказана.

Следствие 2. Пусть 2 - каноническая формация, f - т^-замкнутый внутренний спутник формации 2. Тогда максимальный внутренний спутник формации 2 является т^-замкнутым.

Список использованных источников

1. Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. Минск: Беларуская навука, 2003. 254 с.

2. Скиба А.Н. Алгебра формаций. Минск: Беларуская навука, 1997. 240 с.

3. Васильев А.Ф., Каморников С.Ф. Решеточные подгрупповые функторы. Препринт / Гомельский госуниверситет. Гомель, 1999. № 81. 21 с.

4. Воробей Л.А., Каморников С.Ф. О дополняемых элементах решетки подгрупповых функторов гомоморфа // Вопросы алгебры. 1998. Вып. 12. С. 74-77.

5. Каморников С.Ф., Кузменкова И.А. Регулярные фильтрующие функторы и формации // Вопросы алгебры. 2000. Вып. 3(16). С. 116-118.

6. Каморников С.Ф., Авдашкова Л.П. Радикальные дистрибутивные функторы // Мат. заметки. 2000. Т. 68. № 1. С. 91-97.

7. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978. 272 с.

8. Ведерников В.А., Сорокина М.М. ^-расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп // Дискретная математика. 2001. Т. 13. Вып. 3. С. 125-144.

9. Васильев А.Ф. О перечислении локальных формаций с условием Кегеля // Вопросы алгебры. 1992. Вып. 7. С. 86-93.

10. Vedernikov V.A. Maximal satellites of ^-foliated formations and Fitting classes // Proc. Steklov Inst. Math. 2001. № 2. P. 217-233.

11. Ведерников В.А., Демина Е.Н. ^-расслоенные формации мультио-ператорных 7-групп // Сиб. матем. ж. 2010. Т. 51. № 5. С. 990-1009.