CC BY
39
УДК 512.542
О МАКСИМАЛЬНЫХ г-ЗАМКНУТЫХ ПОДФОРМАЦИЯХ г-ЗАМКНУТЫХ ФОРМАЦИЙ
М.А. Корпачева, М.М. Сорокина
Рассматриваются только конечные группы. Пусть X - некоторый непустой класс групп. Отображение в,
выделяющее в каждой группе GGX некоторую непустую систему в(О) ее подгрупп, называется подгрупповым X-функтором (подгрупповым функтором на X), если (в(0))'р=в(0'р) для любого изоморфизма
Ф каждой группы GGX. Пусть т - X-подгрупповой функтор. Формация F называется т-замкнутой, если из
GGF всегда следует, что t(G)£F. В настоящей работе исследуется вопрос существования единственной максимальной т-замкнутой ю-веерной (^-расслоенной) подформации в т-замкнутой ю-веерной (ß-расслоенной) формации конечных групп.
Ключевые слова: конечная группа, формация групп, т-замкнутая формация, ю-веерная формация, Q-расслоенная формация, подгрупповой функтор.
Многие важные исследования в теории классов конечных групп связаны с максимальными в-подклассами изучаемых классов, где в - некоторая непустая совокупность классов групп. Так, например, А.Н. Скибой в монографии [1] результаты о максимальных т-замкнутых локальных подформациях т-замкнутой локальной формации, где т - регулярный подгрупповой функтор, широко использовались при исследовании строения т-замкнутых локальных критических формаций, при изучении свойств решетки всех т-замкнутых локальных формаций и т.д. Данная работа посвящена исследованию вопроса существования единственной максимальной т-замкнутой ю-веерной (ß-расслоенной) подформации в т-замкнутой ю-веерной (ß-расслоенной) формации.
Рассматриваются только конечные группы. Определения и обозначения, не приведенные в работе, можно найти в [2-6]. Приведем лишь некоторые из определений и обозначений.
Пусть [р - множество всех простых чисел, ю - непустое подмножество множества р,
Gю - класс всех ю-групп, то есть таких групп G, что Gq' - класс всех q'-групп, где
q'=p\{q}; scp - класс всех групп, у которых каждый главный р-фактор централен, Fcp(G)=GScp, Om(G)=GGm - s^-радикал и gю-радикал группы G соответственно. Функции
/•юи{ю'}^- {формации групп}, g: р^-{формации групп}, ¿:р^-{ непустые формации
Фиттинга} называются соответственно roF-функцией, pF-функцией и pFK-функцией.
Формация F=(G: G/O^G)efv), G/Göp)Gf(p) для всех рЕл^)Пю) называется ю-веерной формацией с ю-спутником f и направлением ö и обозначается F=юF(f,¿); формация F=(G:
GIGs(P)Gg(p) для всех pGn(G)) называется веерной формацией со спутником g и направлением ö и обозначается F=PF(g,S) [3]. ю-центральной (центральной) формацией называется ю-веерная (веерная) формация с направлением ¿3, где S3(p)=Scp для любого
pgp [4]; ю-полной (полной) формацией называется ю-веерная (веерная) формация с
направлением ¿0, где öo(p)=Gp> для любого pgp; через ¿i обозначается направление ю-локальной формации [3]. Направление ö ю-веерной (веерной) формации называется bp-
направлением, если ö является ¿-направлением, т.е. ö(q)Nq=ö(q) для любого qgp; и ö
являетсяp-направлением, т.е. ö(q)=Gq>ö(q) для любого qgp [4].
Пусть т - отображение, ставящее в соответствие каждой группе G некоторую непустую систему t(G) ее подгрупп. Говорят, что т - подгрупповой функтор, если (t(G))'p=t(G'p) для любого изоморфизма ф каждой группы G. Подгрупповой функтор т называется регулярным, если выполняются следующие два условия:
1) из того, что N - нормальная подгруппа группы G и M<Et(G), следует MNNEt(GN);
2) изM/N<Et(G/N) следуетM<Et(G) (см., например, [2]).
Пусть ё - некоторая pFR-функция. Подгрупповой функтор т назовем ё-
радикальным, если для всякой т-подгруппы N любой группы G (т.е. для всякой N^G))
выполняется равенство G^p)HN=N^p) для всехpep\
Формация f называется т-замкнутой, если из Ggf всегда следует, что т(G)QF [1]. ш-спутник (спутник) f ш-веерной (веерной) формации назовем т-замкнутым, если для
любогоpErnU{ш'} (для любогоpep) формацияf(p) является т-замкнутой.
Лемма 1. Пусть f - ш-веерная формация с Ьр-направлением ё, ё<ё3, т - регулярный ё-радикальный подгрупповой функтор. Формация f является т-замкнутой тогда и только тогда, когда f обладает хотя бы одним т-замкнутым ш-спутником.
Доказательство. Необходимость. Пусть f - т-замкнутая формация. Поскольку ё -такое Ьр-направление, что ё<ё3, то, согласно теореме 6 [4], f имеет единственный
максимальный внутренний ш-спутник h, причем И(р)=^рИ(р) для всех рЕш и h(m') = F. Поэтому формация h(m') является т-замкнутой. Покажем, что h(p) - т-замкнутая формация
для всех рЕш. Предположим, что найдется такое рЕш, что формация h(р) не является т-замкнутой. Пусть G - группа наименьшего порядка из h(р), обладающая такой подгруппой
N, что NЕт(G), NQhfa). Тогда G= 1. Если G - не монолитическая группа, то найдутся две различные минимальные нормальные подгруппы R и M группы G, причем, ввиду
GEh(p), имеем G/RЕh(р) и G/MЕh(р). Поскольку т - регулярный подгрупповой функтор,
то NR/REт(G/R). Тогда по индукции NR/REh(p), и значит, N/NnREh(p). Аналогично,
NM/M=N/NnMEh(p). Следовательно, N/(NnRnM)=NEh(p). Противоречие. Поэтому G -
монолитическая группа. Пусть М - монолит группы G. Предположим, что Op(G) =£1. Тогда
M^Op(G). Как показано выше, N/NnMEh(р). Так как NnM - р-группа, то NENph(р)=h(р). Противоречие. Следовательно, Op(G) = 1. Согласно лемме 18.8 [7], существует точный неприводимый FP[G]-модуль K. Пусть T=[K]G. Тогда группа Т монолитична с монолитом K=CT(K). Покажем, что Тё(Р)=К. Поскольку ё является Ь-направлением, то
КЕЩЯ:ё(р)Щ=ё(р) и К<^Тё(Р). С другой стороны, ё3(р)=Бср и Tfop)=Fcp(T)QCT(K)=K. Так как
ё<ё3, то T^p)QTfo(p)=K. Следовательно, T^p=K. Из T/K=GEh(р) получаем
TENph(p)=h(p)^F, и, ввиду т-замкнутости формации f, имеем tfT)^F. Покажем, что
NKE^T). Так как T/K=G, то существует изоморфизм ф: G -T/K, при этом, NP=NK/K.
Поскольку т - подгрупповой функтор и NEт(G), то NK/K=ЫpE(т(G))'p=т(G'p)=т(T/K). Так
как т - регулярный подгрупповой функтор и NK/KE^T/K), то NKE^T), и значит, NKE f.
Поэтому NK/(NK)ё(P)Eh(р). Поскольку т - ё-радикальный подгрупповой функтор и
NKE^T), то (NK)S(p)=TS(p)nNK=KnNK=K и NK/(NK)S(p)=NK/K=NEh(р). Противоречие.
Таким образом, формация h(р) является т-замкнутой для любогореши{ш'}, и значит, h -т-замкнутый ш-спутник формации f.
Достаточность. Пусть f - т-замкнутый ш-спутник формации f, Gef и NEт(G).
Покажем, что NE f. Так как G/G^p)Ef(p) для любого pEmПп(G), то из NG^p/G^p)E
r(G/Gs(p)) и т-замкнутости формации f(p) следует, что NGô(P)/Gô(P)=N/(NnG ô(P))Ef(p). Так как подгрупповой функтор т является ¿-радикальным, то N/(NnG ô(P))=N/Nô(P)Ef(p) для любого pEœHn(N). Далее, из G/Oœ(G)Ef(œ'), NOm(G)/Om(G)ET(G/Om(G)) и т-замкнутости формации f(œ') следует NOw(G)/Ow(G)=N/(NnOœ(G))Ef(œ'). Так как NnOw(G)^Ow(N), то N/Om(N) = (N/NnOm(G))/(Om(N)/NnOm(G))Ef(œ'). Таким образом, по определению œ-веерной формации, NE f, и значит, формация f является т-замкнутой. Лемма доказана.
Через F=œтF(X,ô) (f=тГ(Х,0)) обозначается т-замкнутая œ-веерная (веерная) формация с направлением ô, порожденная классом групп x; F=œFi:(X.,â) (F=Fi:(X,ö)) - œ-веерная (веерная) формация с направлением ô, обладающая хотя бы одним т-замкнутым œ-спутником (спутником), порожденная классом групп x. Доказательство следующей леммы проводится аналогично доказательству теоремы 5 [3].
Лемма 2. Пусть X - непустой класс групп, ô - такое направление œ-веерной формации, что ô0<ô, т - регулярный подгрупповой функтор. Тогда формация F=œFT((X,ô) обладает единственным минимальным т-замкнутым œ-спутником f таким, что
f(œ')=xform(G/Ow(G) : GEX), f(р)=тform(GIGô(P): GEX) для всех рEœПж(X) и /(р)=0, если рeœ\ n(X) .
Пусть т - подгрупповой функтор, f - т-замкнутая формация, m - т-замкнутая подформация из f. m называется максимальной т-замкнутой подформацией формации f,
если mc f и для любой т-замкнутой подформации h из f из включений mçhcf следует равенство m=h. Аналогично определяется максимальная т-замкнутая œ-веерная (веерная) подформация с направлением ô т-замкнутой œ-веерной (веерной) формации f с направлением ô. Формационно критическая группа G называется т-базисной группой (œ^-базисной группой, т0-базисной группой), если формация rformG (соответственно формация œтF(G,ô), формация тF(G,ô)) содержит единственную максимальную т-замкнутую подформацию (единственную максимальную т-замкнутую œ-веерную (соответственно веерную) подформацию с направлением ô).
Теорема 1. Пусть ô - bp-направление œ-веерной формации такое, что ô<ô3, т -регулярный ô-радикальный подгрупповой функтор, G=[P]H - монолитическая группа с
монолитом P=Cg(P), где P - p-группа, pEœ, H - т-базисная группа и m - максимальная т-замкнутая подформация из rformH. Тогда G является œтô-базисной группой, причем максимальная т-замкнутая œ-веерная подформация с направлением ô из œтF(G,ô) обладает таким т-замкнутым œ-спутником h, что h(œ')=rform(G/Oœ(G)),
h(q)=rform(G/Gô(q)) для всех qE(n(G)Hœ)\{p], h(p)=M и h(q) = 0, если qEœ\n(G).
Доказательство. Пусть F=œrF(G,ô). Согласно лемме 1 F=œF-l(G,ô), и значит, по лемме 2 формация f обладает единственным минимальным т-замкнутым œ-спутником f
причем f(œ')=rform(G/Oœ(G)), f(q)=0, для всех qEœ\n(G), f(q)=rform(G/Gô^q)) для любого
qEn(G)Hœ. Пусть h - такая œF-функция, что h(œ')=rform(G/Oœ(G)), h(q)=rform(G/Gô(qj)
для всех qE(n(G)Hœ)\{p], h(p)=M и h(q) = 0, если qEœ\n(G). Тогда h(œ')=f(œ') и h(q)=f(q)
для любого qEœ\{p} (1). Покажем, что h(p)Cf(p). Ввиду условия, достаточно проверить,
что f(p)=rformH. Так как ô<ô3, то Gô(P)<^Gô3(P)<^CG(P)=P. С другой стороны, поскольку ô -
b-направление œ-веерной формации, то ô(p)Np=ô(p), и значит, PEô(p). Следовательно, Gô(P)=P и f(p)=тform(G/Gô(P))=тform(G/P)=тformH. По условию m - единственная
максимальная т-замкнутая подформация формации rformH. Поэтому h(p)=MCтformH=f(p).
Тем самым установлено, что h<f. Пусть H=œF(h,ô). Тогда из h<f получаем hcf. Отметим, что, ввиду леммы 1, формация h является т-замкнутой.
Пусть b - собственная т-замкнутая ш-веерная подформация с направлением ö из f.
Покажем, что в^и. Пусть b - минимальный т-замкнутый ш-спутник формации b.
Проверим, что b<h. Так как b<f, то, ввиду (1), Ь(ш')ЯИ(ш') и b(q)(^h(q) для любого
qEm\{p). Допустим, что b(p)=f(p). Тогда G/Gö(p)=G/P£b(p). Поскольку ö - bp-направление
ш-веерной формации, то ö1<ö и по лемме 7 [4] G£Npb(p)^B. Это означает, что f^b.
Получили противоречие. Следовательно, b(p)<Zf(p). Так как f(p)=rformH, то b(p)(~M=h(p).
Таким образом, b<h и поэтому b^h. Тем самым доказано, что и - единственная максимальная т-замкнутая ш-веерная подформация с направлением ö из f.
Согласно теореме 53.44 [8], G - критическая, а значит, и формационно критическая группа. Следовательно, G является шт0-базисной группой. Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть ö - bp-направление веерной формации такое, что ö<ö3, т -регулярный ö-радикальный подгрупповой функтор, G=[P]H - монолитическая группа с монолитом P=CG(P), где P - p-группа, H - т-базисная группа и m - максимальная т-замкнутая подформация из rformH. Тогда G является т0-базисной группой, причем максимальная т-замкнутая веерная подформация с направлением ö из тЕ^,0) обладает
таким т-замкнутым спутником h, что Щф=^гт^^0(ф) для всех q£n(G)\{p}, h(p)=M и
h(q) = 0, если q£p> \n(G).
Пусть i - класс всех простых групп, Q - непустой подкласс класса i, gq - класс
всех Q-групп (полагают, что 1£Gq), то есть таких групп G, что K(G)QQ, где K(G) - класс
всех групп, изоморфных композиционным факторам группы G; Oq(G)=GGq. Пусть Ä£i. Тогда Ä'=i\(Ä); sca - класс всех групп, у которых каждый главный А-фактор централен,
Fca(G)=GSca, Функции f: Qu{Q'} -^-{формации групп}, g:^ {формации групп}, ф: i
-^•{непустые формации Фиттинга}, принимающие одинаковые значения на изоморфных группах из области определения, называются соответственно QF-функцией, F-функцией и
FR-функцией. Формация F=(G: G/Oü(G)£f(Q), G/G^ffÄ) для всех Ä£K(G)nQ) называется Q-расслоенной формацией с Q-спутником f и направлением ф и обозначается F=QF(f,ф); формация f=(G:G/G9(Ä)£g(Ä) для всех Ä£K(G)) называется расслоенной формацией со спутником g и направлением ф и обозначается f=F(g,ф) [5]. Q-композиционной (композиционной) формацией называется Q-расслоенная (расслоенная)
формация с направлением ф3, где ф3(А)=ScА для любого Ä£i; Q-свободной (свободной) формацией называется Q-расслоенная (расслоенная) формация с направлением фо, где
фo(Ä)=GÄ' для любого Ä£i [5]. Направление ф Q-расслоенной (расслоенной) формации называется br-направлением, если ф является b-направлением, т.е. ф(Ä)GA=ф(Ä) для любой
абелевой группы A£i; и ф является r-направлением, т.е. ф(Ä)=GA' ф0) для любого Ä£i [6].
Пусть ф - некоторая FR-функция. Подгрупповой функтор т назовем Qф-радикальным, если для всякой т-подгруппы N любой группы G справедливо
Oq(G)HN=Oq(N) и Gv(Ä)nN=Nv(Ä) для всех Ä£i. Подгрупповой функтор т назовем
замкнутым относительно композиционных факторов, если KftG^QKG), где
K(т(G)) = UHeT(G)K(H). Q-спутник (спутник) f Q-расслоенной (расслоенной) формации
назовем т-замкнутым, если для любого Ä£Qu{Q'} (для любого Ä£i) формация f(Ä) является т-замкнутой.
Лемма 3 (теорема 1 [9]). Пусть f - Q-расслоенная формация с br-направлением ф, ф<ф3, т - регулярный Qф-pадикальный подгрупповой функтор, замкнутый относительно
композиционных факторов. Формация f является т-замкнутой тогда и только тогда, когда f обладает хотя бы одним т-замкнутым Q-спутником.
Аналогично, как и для веерных формаций, F=QtF(X^) (F=tF(X^)) - т-замкнутая Q-расслоенная (расслоенная) формация с направлением ф, порожденная классом групп x; F=QFT(X,f) (F=FT(X^)) - Q-расслоенная (расслоенная) формация с направлением ф, обладающая хотя бы одним т-замкнутым Q-спутником (спутником), порожденная классом групп x.
Доказательство следующей леммы проводится аналогично доказательству теоремы 5 [5].
Лемма 4. Пусть x - непустой класс групп, ф - такое направление Q-расслоенной формации, что ф0<ф, т - регулярный подгрупповой функтор. Тогда формация f= QFT(X,ф) обладает единственным минимальным т-замкнутым Q-спутником f таким, что
f(Q')=Tform(G/OQ(G) : Ggx), f(Ä)=Tform(GIG(p(A): GEX) для всех ÄEQhK(X) и f(Ä)=0, если
AeQ\K(X) .
Аналогично, как и выше, m - максимальная т-замкнутая Q-расслоенная подформация с направлением ф т-замкнутой Q-расслоенной формации f с направлением
ф, если mc f и для любой т-замкнутой Q-расслоенной подформации h с направлением ф
из f из включений mçhcf следует равенство m=h; Qтф-базисная (тф-базисная) группа -такая формационно критическая группа G, что формация QtF(G^) (формация tF(G^) ) содержит единственную максимальную т-замкнутую Q-расслоенную (расслоенную) подформацию с направлением ф.
Теорема 2. Пусть ф - br-направление Q-расслоенной формации такое, что ф<ф3, т
- регулярный Qф-радикальный подгрупповой функтор, замкнутый относительно композиционных факторов, G=[P]H - монолитическая группа с монолитом P=CG(P), где
P - р-группа, ZpEQ, H - т-базисная группа и m - максимальная т-замкнутая подформация из TformH. Тогда G является Qтф-базисной группой, причем максимальная т-замкнутая Q-расслоенная подформация с направлением ф из QtF(G^) обладает таким т-замкнутым Q-
спутником h, что h(Q')=Tform(G/OQ(G)), h(A)=Tform(G/GV(Ä)) для всех Ä<E(K(G)nQ)\(Zp),
h(Zp)=M и h(Ä) = 0, если À EQ\K(G).
Доказательство. Пусть F=QtF(G^). Согласно лемме 3 F=QFt(G,ф), и значит, по лемме 4 формация f обладает единственным минимальным т-замкнутым Q-спутником f,
причемf(Q')=Tform(G/OQ(G)), f(Ä) = 0, для всех à<EQ\K(G), f(Ä)=Tform(G/G4,^Ä)) для любого AeK(G)HQ. Пусть h - QF-функция, описанная в заключении теоремы. Тогда h(Q')=f(Q') и h(Ä)=f(Ä) для любого ÄEQ\(Zp). Покажем, что h(Zp)Cf(Zp). Так как ф<ф3, то Gfp(Zp)QGfP3(Zp)^CG(P)=P. С другой стороны, поскольку ф - b-направление Q-расслоенной формации, то ф^^^ф^), и значит, PEф(Zp). Следовательно, GV(Zp)=P и f(Zp)=Tform(G/Gq>(Zp))=TformH. По условию m - единственная максимальная т-замкнутая
подформация формации TformH. Поэтому h(Zp)=MCTformH=f(Zp). Тем самым установлено,
что h<f. Пусть H=QF(h,ф). Тогда из h<f получаем hcf. Отметим, что, ввиду леммы 3, формация h является т-замкнутой.
Пусть b - собственная т-замкнутая Q-расслоенная подформация с направлением ф
из f, b - ее минимальный т-замкнутый Q-спутник. Так как b<f, то b(Q')^h(Q') и b(Ä)^h(Ä)
для любого ÄEQ\(Zp). Допустим, что b(Zp)=f(Zp). Тогда G/G9,(Zpj=G/PEb(Zp). Поскольку ф
- br-направление Q-расслоенной формации, то ф\<ф и по следствию 3 [6] Ggnpb(Zp)çb. Противоречие. Следовательно, b(Zp)Cf(Zp), и значит, b(Zp)^M=h(Zp). Таким образом, b<h
и поэтому bs h. Тем самым доказано, что h - единственная максимальная т-замкнутая Q-расслоенная подформация с направлением ф из f. Ввиду теоремы 53.44 [8], G -формационно критическая группа. Следовательно, группа G является Qтф-базисной. Теорема доказана.
Следствие 2. Пусть ф - br-направление расслоенной формации такое, что ф<ф3, т - регулярный ф-радикальный подгрупповой функтор, замкнутый относительно композиционных факторов, G=[P]H - монолитическая группа с монолитом P=CG(P), где P - p-группа, H - т-базисная группа и m - максимальная т-замкнутая подформация из т/ormH. Тогда G является тф-базисной группой, причем максимальная т-замкнутая расслоенная подформация с направлением ф из тF(G,ф) обладает таким т-замкнутым
спутником h, что h(A)=тform(G/Gф(Ä)) для всех AEK(G)\(ZP), h(Zp)=M и h(A) = 0, если
ÄEI\K(G).
Only finite groups are considered. Let X be nonempty class of groups. A function в mapping each group G from X onto a certain nonempty system e(G) of its subgroups is called a subgroup X-functor (or else a subgroup functor on X), if (e(G))'p=e(G'p) for any isomorphism ф of every group G from X. Let т be a subgroup X-functor. A formation
F is called т-closed if from GEF it follows that x(G) sf. In this paper we study maximal т-closed œ-fibered exfoliated) subformations of т-closed œ-fibered (X-foliated) formations of finite groups.
The Key words: a finite group, a formation of groups, a т-closed formation, a œ-fibered formation, a Q-foliated formation, a subgroup functor.
Список литературы
1. Скиба А.Н. Алгебра формаций. Минск: Беларуская навука. 1997. С. 240.
2. Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. Минск: Беларуская навука. 2003. С. 254.
3. Ведерников В.А., Сорокина М.М. Q-веерные формации и классы Фиттинга конечных групп II Математические заметки. 2002. Т. 71. Вып. 1. С. 43 - 60.
4. Ведерников В.А. О новых типах œ-веерных формаций конечных групп II Укр. матем. конгресс. Алг. i теор. чисел. Пращ. Киев. 2002. С. 36 - 45.
5. Ведерников В. А., Сорокина М.М. Q-расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп II Дискретная математика. 2001. Т. 13. Вып. 3. С. 125 - 144.
6. Vedernikov V.A. Maximal Satellites of Q-Foliated Formations and Fitting Classes. Proc. of the Steklov Institute of Math. Suppl. 2. 2001. P. 217 - 233.
7. Шеметков Л. А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. М.: «Наука». 1989. С. 253.
8. Нейман Х. Многообразия групп. М.: Мир. 1969. С. 264.
9. Корпачева М.А., Сорокина М.М. О Q-расслоенных т-замкнутых формациях конечных групп II Тезисы докладов Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша. 2008. С. 137 - 138.
Об авторах
М. А. Корпачева - канд., доц. Брянского государственного университета им. академика И.Г. Петровского, [email protected]
М.М. Сорокина - канд., доц. Брянского государственного университета им. академика И.Г. Петровского, [email protected].
