CC BY
50
УДК 512.542
О ПОДГРУППОВЫХ ФУНКТОРАХ И КЛАССАХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
М.А. Корпачева, Л.В. Грищенкова, М.В. Кирюшина, Ю.А. Левшенкова
Рассматриваются только конечные группы. Пусть X - некоторый непустой класс групп. Отображение 0, выделяющее в каждой группе О£Х некоторую непустую систему 0(О) ее подгрупп, называется подгрупповым Х-функтором (подгрупповым функтором на X), если (0(О))ф=0(Оф) для любого изоморфизма ф каждой группы G £Х. В настоящей работе изучаются свойства 5-радикальных подгрупповых функторов, а также свойства некоторых классов групп, индуцированных подгрупповыми функторами.
Ключевые слова: конечная группа, класс групп, подгрупповой функтор, д-радикальныый подгрупповой функтор, радикальный подгрупповой функтор.
Пусть т - функция, которая выделяет в каждой группе О из класса групп X некоторую систему т(О) ее подгрупп. Говорят, что т - подгрупповой Х-функтор, если (0(О))ф=0(Оф) для любого изоморфизма ф каждой группы О£Х. Теория подгрупповых функторов как самостоятельное направление в рамках теории групп берет свое начало в работах А.Г. Куроша [1] и С. Амицура [2-3]. Особенно интенсивно теория подгрупповых функторов стала развиватся в последние годы, что обусловлено обнаружением тесной связи между подгрупповыми функторами и классами групп, то есть множествами, содержащими с каждой своей группой О и все группы, изоморфные О. Основные положения теории подгрупповых функторов изложены в книге С.Ф. Каморникова, М.В. Селькина «Подгрупповые функторы и классы конечных групп» [4]. В [6] введено понятие 5-радикального подгруппового функтора. Целью данной работы является изучение некоторых свойств 5-радикальных подгрупповых функторов, а также некоторых классов групп, индуцированных подгрупповыми функторами.
Рассматриваются только конечные группы. Определения и обозначения, не приведенные в работе, можно найти в [4,7].
Подгрупповой Х-функтор называется подгрупповым функтором, если Х=О - класс всех конечных групп. В [4] на множестве F(X) всех подгрупповых Х-функторов была введена операция умножения. Пусть 01 и 02 - подгрупповые Х-функторы, причем 02 - Х-замкнутый подгрупповой Х-функтор, т.е. 0(О)£Х, для любой Х-группы О. Подгрупповой Х-функтор 0, сопоставляющий каждой группе О£Х множество ее подгрупп 0(О)={К | К^01(Н), Н£02(О)}, называется
произведением подгрупповых Х-функторов 01 и 02, и обозначается 01°02.
На множестве подгрупповых Х-функторов следующим образом вводится бинарное отношение «<»: 01<02 тогда и только тогда, когда 01(О)Э)2(О) для любой группы О£Х.
Подгрупповой функтор 0 называется регулярным, если выполняются два условия: 1) из того, что КпО и М£0(О), следует, что МЖК£0(О/К); 2) из того, что М/К£0(О/К), следует, что М£0(О).
Одним из важных видов подгрупповых функторов являются решёточные подгрупповые Х-функторы. Подгрупповой Х-функтор 0 называется решеточным, если для любой Х-группы О из Н, К £0(О) следует, что НПК£0(О) и <Н,К>£0(О). Другими словами, решёточный подгрупповой X-функтор 0 выделяет в каждой Х-группе О некоторую её решетку подгрупп 0(О). Решёточными подгрупповыми функторами, например, являются подгрупповые Х-функторы S, Sn, sn, которые сопоставляют каждой Х-группе О множества S(G) всех подгрупп, Sn(G) всех нормальных подгрупп и sn(G) всех субнормальных подгрупп группы О соответственно.
Класс F называется формацией, если выполняются два условия: 1) из О £7 и N□G всегда следует, что О/К £7; 2) из О/А и О/В всегда следует, что О/АПВ£7. Класс групп 7 называется классом Фиттинга, если выполняются два условия: 1) из О£7 и КИЮ всегда следует, что N £7; 2) из АНЮ, В □ О, А £7, В £7, О=АВ, всегда следует, что О £7. Пусть 7 - класс Фиттинга. Класс групп 7 называется формацией Фиттинга, если он является формацией и классом Фиттинга. Отображение 5: Р ^ {непустые формации Фиттинга} называется формационно-радикальной функцией или □FR-функцией. 7-радикалом группы О называется произведение всех нормальных 7-подгрупп группы О, где 7 - некоторый класс Фиттинга. Обозначается
Подгрупповой функтор т называется 5-радикальным, если для любой группы О и любой подгруппы N£т(О) справедливо равенство К5(р=КПО5(Р) для любого р£□, где 5 - □FR-функция. В следующих леммах устанавливаются некоторые свойства 5-радикальных подгрупповых функторов.
Лемма 1. Пусть 5 - □FR-функция, т - 5-радикальный подгрупповой функтор. Тогда
1) если т2 - подгрупповой функтор, то т1Пт2 является S-радикальным подгрупповым функтором;
2) если т2 - S-радикальный подгрупповой функтор, то т1 Ur2 является S-радикальным подгрупповым функтором;
3) если т2 - S-радикальный подгрупповой функтор, то т^т2 является S-радикальным подгрупповым функтором.
Доказательство. Пусть S - DFR-функция.
1) Пусть G - группа, N^n^G). Покажем, что NS(P)=NnGS(P) для любого p£D. Так как N£1^^^)=^^^^^), то N^rl(G) и N^r2(G). По условию, т1 - S-радикальный подгрупповой функтор. Значит, из N£rl(G) заключаем, что NS(P)=NnGS(P).
2) Пусть G - группа, N£rlUr2(G). Покажем, что NS(P)=NnGS(P) для любого p£D. Так как N^ Ur^G^^)^^), то N£rl(G) или N£r2(G). Рассмотрим случай, когда N£rl(G). По условию, т1 - S-радикальный подгрупповой функтор. Значит, из N£rl(G) заключаем, что NS(P)=NnGS(P). Пусть теперь N£r2(G). Так как т2 - S-радикальный подгрупповой функтор, то из N£r2(G) следует равенство NS(P)=NnGS(P). Таким образом, т1 Ur2 является S-радикальным подгрупповым функтором.
3) Пусть G - группа, N^r^^G). Покажем, что NS(P)=NnGS(P) для любого p£D. Так как N^o^G), то существует B£i2(G) такая, что N£il(B). Тогда, в силу S-радикальности подгруппового функтора т2, имеем BS(P)=BnGS(P) Так как N£il(B) и т1 - S-радикальный подгрупповой функтор, то NS(P)=NnBS(P). Поэтому
NS(P)=NnBS(P)=Nn(BnGS(P))=(NnB)nGS(P)=NnGS(P). Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть S - DFR-функция, т - S-радикальный подгрупповой функтор. Тогда S(p) является т-замкнутой формацией Фиттинга для любого p .
Доказательство. Пусть p£D, G£S(p), N£i(G). Покажем, что N£S(p). Так как S(p) - класс фитинга и G£S(p), то GS(P)=G. По условию, т - S-радикальный подгрупповой функтор. Значит, из N £i(G) следует, что NS(P)=NnGS(P)=NnG=N. Таким образом, NS(P)=N и, следовательно, N £S(p). Тем самым мы показали, что S(p) является т-замкнутой формацией Фиттинга. Лемма доказана.
Пусть X - класс Фиттинга, F - класс групп. Радикальным произведением классов X и F называется класс XDF=(G : G/GX£F).
Лемма 3. Пусть S - DFR-функция, т - регулярный S-радикальный подгрупповой функтор. Тогда S(p) □ S(q) является т-замкнутым классом Фиттинга для любых p, q SD.
Доказательство. Пусть p, q£D. Так как S(p) и S(q) - классы Фиттинга, то S(p)DS(q) - класс Фиттинга.
Пусть G£5(p)DS(q), N£i(G). Покажем, что N£S(p) □ S(q). Для этого необходимо показать, что N/NS(P)£S(q). Так как G£5(p)DS(q), то G/GS(P)£S(q). В силу регулярности подгруппового функтора т и того, что N£i(G) получаем, что NGS(P)/GS(P)£i(G/GS(P)). По лемме 2, S(q) является т-замкнутым классом Фиттинга. Тогда из G/GS(P)£S(q) следует, что ^G/G^^S^q). Значит, NGS(P)/GS(P)£S(q). Так как т - S-радикальный подгрупповой функтор и N£i(G), то NS(P)=NnGS(P). Тогда NGS(P)/GS(P)DN/(GS(P)nN)=N/NS(P)£5(q). Следовательно, N£5(p)DS(q) и S(p)DS(q) является т-замкнутым классом Фиттинга. Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть S - DFR-функция, т1 - S-радикальный подгрупповой функтор, т2 -подгрупповой функтор, причем т2<т1. Тогда для любой группы G£S(p) справедливо включение
I N=NS(P)} для любого p£D.
Доказательство. Пусть p£D, G£S(p) и N^o^G). Покажем, что N=NS(P). Так как N^o^G), то существует M£i2(G) такая, что N£il(M). По условию т1 - S-радикальный подгрупповой функтор. Значит, NS(P)=NnMS(P). Так как т2<т1, то M£il(G). Но согласно лемме 2 S(p) является т1-замкнутым классом. Значит, т1(G)SS(p) и M£5(p). Следовательно, M=MS(P) и NS(P)=NnMS(P)=NnM=N. Лемма доказана.
Следствие 4.1. Пусть S - DFR-функция, т - S-радикальный подгрупповой функтор. Тогда для любой группы G£5(p) справедливо включение I N=NS(P)} для любого p£D.
В монографии [5] рассмотрен класс F^G^F I т^З7), где F - класс групп, т -подгрупповой функтор.
Теорема 1 [5]. Пусть т - подгрупповой функтор. Если F - формация, то F^G^F I т^З7) является формацией.
Теорема 2. Пусть т - радикальный подгрупповой функтор, F - нормально наследственный класс групп, то F^G^F I т^)3') является нормально наследственным классом групп.
Доказательство. Пусть G^F^ NDG. Покажем, что N^F^ Так как G^F^ то G£F и т^)З\
Из G^F, NDG и нормальной наследственности класса F заключаем, что N^F. Покажем, что t(N)S\ Пусть ASt(N). Так как т - радикальный подгрупповой функтор и NDG, то A£r(N)=Nnx(G). Значит, существует X£r(G) такая, что A=NOX. Из NOXDX и t(G)3F в силу нормальной наследственности класса групп F, следует, что NOX=A£F. Таким образом, t(N)3F и, значит, класс групп Ft является нормально наследственным. Теорема доказана.
Обозначим через т(А) т(В) множество вида {X Y | X£r(A), Y£r(B)}. Класс групп F назовем замкнутым относительно произведения т-подгрупп, если для любых групп A и B из t(A)3F и т(В)З всегда т(А)-т(В)3\
Теорема 3. Пусть т - радикальный подгрупповой функтор, причем t(AB)3t(A)t(B), F -класс Фиттинга, замкнутый относительно произведения т-подгрупп. Тогда Ft=(G^F | t(G)S') является классом Фиттинга.
Доказательство. 1) Согласно теореме 2, класс F1" является нормально наследственным.
2)Пусть G=A B, ADG, BDG, А^т, В^т. Покажем, что G£F\ Так как A^F^ В^т, то A^F, B^F и т(А)ЗР, т(В)З\ По условию, F - класс Фиттинга. Значит, из G=A B, ADG, BDG и A^F, B^F следует, что G^F. Покажем, что т^)З\ По условию, F замкнут относительно произведения т-подгрупп. Следовательно, из т^З7, т(В)З заключаем, что ^A^^B)^. Поэтому для любой подгруппы H£r(G) имеем He^G^^A^Q^A^^B)^. Таким образом, т^)З и, значит, G£F\
Из 1) и 2) следует, что 7т является классом Фиттинга. Теорема доказана.
Гашюцовым произведением классов групп X и F называется класс групп ExtXF=(G | E3NDG, N£X, G/N^F).
Лемма 4. Пусть т - регулярный подгрупповой функтор, F - нормально наследственная формация. Тогда для любой группы G^F^G^F | т^)ЗР) каждая ее т-подгруппа является расширением некоторой F-группы с помощью F-группы.
Доказательство. Согласно теореме 1, класс 7т является формацией. Пусть G£F\ H£r(G). Тогда G^F и т^)З\ Покажем, что H£ExtFF. Так как G£F\ 7т - формация, то для любой NDG справедливо G/N^F^ Значит, G/N^F и ^G/N)^. Далее, в силу регулярности подгруппового функтора т и H£r(G) имеем HN/N^r(G/N). Следовательно, HN/NdH/(HON)£F. Так как HOlNDH, H£r(G)3F, то, из нормальной наследственности класса групп F, следует, что HOlN^F. Таким образом, HOlNDH, HON £F и H/(HOlN) £F. Тем самым мы показали, что H - расширение F-группы с помощью F-группы, то есть H£ExtFF. Лемма доказана.
Only finite groups are considered. Let X be nonempty class of groups. A function 0 mapping each group G from X onto a certain nonempty system 0(G) of its subgroups is called a subgroup X-functor (or else a subgroup functor on X), if (0(G))9=0(G9) for any isomorphism ф of every group G from X. In this paper we study some properties of 5-radical subgroup functors and properties some class of groups subgraph of subgroup functors.
The key words: a finite group, a class of groups, a subgroup functor, a of 8-radical subgroup functors, radical subgroup functors.
Список литературы
1. Курош А.Г. Радикалы колец и алгебр. Матем. сб., Т. 13. 1953. С. 13 - 26.
2. Amitsur S. A general theory of radicals. Amer. J. Math. V. 74. 1952. P. 774 - 786.
3. Amitsur S. A general theory of radicals. Amer. J. Math. V. 76. 1954. P. 100 - 136.
4. С.Ф. Каморников, М.В. Селькин. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. Минск: Беларуская навука, 2003. 254 с.
5. Скиба А.Н. Алгебра формаций. Минск: Беларуская навука, 1997. 240 с.
6. Корпачева М.А., Сорокина М.М. О максимальных т-замкнутых подформациях т-замкнутых формаций // Вестник Брянского государственного университета. № 4. 2009. - С. 35-40.
7. В.С. Монахов. Введение в теорию конечных групп и их классов. - Гомель, УО ГГУ им. Ф. Скорины, 2003.
Об авторах
Корпачева М. А.- кандидат физико-математических наук Брянский государственный университет им. акад. И.Г. Петровского, доцент кафедры алгебры, makorpachova@mail. ru
Грищенкова Л. В. - магистрант 1 курса магистратуры физико-математического факультета Брянского государственного университета им. ак. И.Г. Петровского
Кирюшина М. В.- магистрант 1 курса магистратуры физико-математического факультета Брянского государственного университета им. ак. И.Г. Петровского
Левшенкова Ю. А.- магистрант 1 курса магистратуры физико-математического факультета Брянского государственного университета им. ак. И.Г. Петровского
ON SUBGROUP FUNCTORS AND ON CLASS A FINITE GROUP M.A. Korpachova, L. Grichenkova, M. Kiryushina, J. Levshenkova
Bryansk state university, 241036, Bryansk, Bejitskaya, 14, e-mail: makorpachova@mail. ru
