О подгрупповых функторах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.542

О ПОДГРУППОВЫХ ФУНКТОРАХ

М.М. Сорокина, С.М. Сазоненко, А.П. Симохина

Рассматриваются только конечные группы. Пусть X - некоторый непустой класс групп. Отображение в,

выделяющее в каждой группе ОEX некоторую непустую систему в(О) ее подгрупп, называется подгрупповым Х-функтором (подгрупповым функтором на X), если (в(О))Ф=в(ОФ) для любого изоморфизма

Ф каждой группы ОEX. В настоящей работе изучаются свойства регулярных, транзитивных подгрупповых Х-функторов, а также свойства подгрупповых да-функторов на X.

Ключевые слова: конечная группа, класс групп, подгрупповой функтор, регулярный подгрупповой X-функтор, транзитивный подгрупповой Х-функтор, т-функтор на X.

В современной теории групп важное место занимает понятие подгруппового функтора. Функция в, выделяющая в каждой группе О из класса групп X некоторую непустую систему в(О) её подгрупп, называется подгрупповым X-функтором, если (в (О))р = в (Ор), для любого изоморфизма р группы О. Теория подгрупповых функторов берет свое начало в работах А.Г. Куроша [1] и С. Амицура [2-3]. Основные положения теории подгрупповых функторов изложены в книге С.Ф. Каморникова, М.В. Селькина «Подгрупповые функторы и классы конечных групп» [4]. В [4] введены в рассмотрение многие важные виды подгрупповых функторов. Целью данной работы является изучение некоторых свойств регулярных подгрупповых X -функторов, в частности, регулярных транзитивных подгрупповыхX -функторов и регулярных да-функторов на X.

Рассматриваются только конечные группы. Определения и обозначения, не приведенные в работе, можно найти в [4].

Подгрупповой X -функтор т называется регулярным, если для любой X-группы О выполняются следующие условия:

1) из того, что N - нормальная подгруппа группы О и М<Ет(О), следует МЫ/Ы^т(О/Ы);

2) изМЖет(ОМ) следуетМЕт(О) [4].

Подгрупповой X-функтор в называется решеточным, если для любой X-группы О из

И,КЕв(О) всегда следует, что ИпКЕв(О) и <И,К>Ев(О). Пусть т - решеточный подгрупповой X-функтор. Подгрупповой X-функтор в называется т-идеальным X-функтором, если для любой X-группы О множество в(О) является идеалом решетки т(О),

то есть в(О)^т(О) и для любой X-группы О выполняются следующие условия:

1) если ЛЕв(О), ХЕт(О) и ХяА, то Хев(О);

2) если ЛЕв(О), Бев(О), то <Л,Б>Ев(О) [4].

В следующей лемме рассматривается свойство регулярного т-идеального подгруппового X-функтора.

Лемма 1. Пусть X - непустой класс групп, т - решеточный подгрупповой X -функтор, в - т -идеальный подгрупповой X -функтор. Если в является регулярным подгрупповым X -функтором, то в = т.

Доказательство. Пусть в - регулярный подгрупповой X -функтор. Покажем, что

в = т.

1) Проверим, что в < т. Действительно, по определению т -идеального подгруппового X -функтора множество в(О) является идеалом решетки т(О) , для любой

группы О е X . Это означает, что в (О) е т(О), для всех О е X . Следовательно, в < т.

2) Покажем, что т < в . Пусть О е X . Достаточно проверить, что т (О) е в (О) . Пусть Н ет (О). Покажем, что Н ев (О). Поскольку в - регулярный подгрупповой X -функтор, то О ев (О). Тогда из О ев (О), Н ет (О) и Н е О, ввиду т -идеальности подгруппового X -функтора в, получаем Н ев (О). Таким образом, т( О) е в( О) для всех О е X , и значит, т < в . Из 1) и 2) следует, что в = т . Лемма доказана.

Подгрупповой Х-функтор, который выделяет для любой группы О е X множество, содержащее группу О и некоторые ее максимальные подгруппы, называется подгрупповым да-функтором на X. В следующей лемме рассматриваются свойства подгрупповых да-функторов на X. Напомним, что подгрупповой Х-функтор, который выделяет для любой группы О е X множество, содержащее группу О и все ее максимальные подгруппы, называется максимальным подгрупповым да-функтором на X.

Лемма 2. Пусть X - непустая формация, в1 - максимальный да-функтор на X, в2 -подгрупповой X -функтор и в = в 1 п в2. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если в2 - X -субнормальный подгрупповой X -функтор, то в - X -нормальный да-функтор;

2) если в2 - X -субабнормальный подгрупповой X -функтор, то в - X -абнормальный да-функтор;

3) если в2 - регулярный подгрупповой X -функтор, то в - регулярный да-функтор. Доказательство. 1) Пусть в2 - X -субнормальный подгрупповой X -функтор.

Покажем, что в - X -нормальный да-функтор. Пусть О е X , Н е в (О) . Покажем, что либо а) Н = О, либо Ь) Н - X -нормальная максимальная подгруппа группы О. Так как Н е в (О) = в1(О) п в2(О), то Н е в1(О) и Н е в2(О). Поскольку Н е в1(О) и в1 -максимальный да-функтор, то либо Н = О, либо Н <-О (I). Так как Н е в2 (О) и в2 - X -субнормальный подгрупповой X -функтор, то либо Н = О, либо существует максимальная цепь группы О вида Н = Н0 е ... е Нп = О, такая что Н* е Hi_1, I = 1, п (II). Из пунктов (I)

и (II) получаем, что возможны следующие случаи:

(1) Н = О, и значит, Н удовлетворяет условию а);

(2) существует максимальная цепь группы О вида Н = Н0 < ■Н1 = О, где ОX е Н , то

есть Н - X -нормальная максимальная подгруппа группы О, и значит, Н удовлетворяет условию Ь) .

Из (1) - (2) следует, что в - X -нормальный да-функтор.

Пусть в2 - X -субабнормальный подгрупповой X -функтор. Покажем, что в - X -абнормальный да-функтор. Пусть О е X , Н е в (О) . Покажем, что либо Н = О, либо Н -X -абнормальная максимальная подгруппа группы О . Так как Н е в (О) , то Н е в1 (О) и Н е в2 (О). Поскольку Н е в1 (О) и в1 - максимальный да-функтор, то либо Н = О, либо Н <О (I). Так как Н е в2 (О) и в2 - X -субабнормальный подгрупповой X -функтор, то либо Н = О, либо существует максимальная цепь группы О вида Н = Н0 е ... е Нп = О такая, что Н^ ^ Hi_1, i = 1, п (II). Из пунктов (I) и (II), как и при доказательстве 1), получаем, что либо

Н = О, либо Н - X -абнормальная максимальная подгруппа группы О , и значит, в - X -абнормальный да-функтор.

2) Пусть в2 - регулярный подгрупповой X -функтор. Покажем, что в - регулярный да-функтор.

а) Пусть И е в (О) , N • О. Покажем, что е в (^). Так как И е в (О) , то

И е в1 (О) и И е в2 (О). Поскольку в2 - регулярный подгрупповой X -функтор и И е в2 (О), то получаем, что е в2 (О/Ат) (*). Так как в1 - максимальный да-функтор и И е в1 (О), то

H = G или H < -G . Тогда HN/N = G/N или HN/N <.0^ и поэтому HN/N е q, ) (**). Из (*) - (**) следует, что H% е в, (%) п в2 (G/N) = (в, п 02)(%) = в(%) • b) Пусть MyN е в (G/n). Покажем, что M е в(G). Так как M/N е в (G/N), то

m/n е в, (GN) и M/N е в2 (%) • Поскольку 0j - максимальный да-функтор, то M <-G , и

значит, M е в, (G) (*). Так как в2 - регулярный подгрупповой X -функтор, то M е в2 (G) (**). Из (*) и (**) получаем, что M е 0,(G) п 02(G) = (в, п 02)(G) = в(G) . Из а) - b), следует, что в - регулярный подгрупповой X -функтор.

Покажем, что в - да-функтор. Пусть K е в (G) . Покажем, что либо K = G, либо K <-G. Так как K е в (G), то K е в, (G) . Поскольку 0, - максимальный да-функтор, то либо K = G, либо K <-G. Это означает, что в - да-функтор.

Таким образом, нами установлено, что в - регулярный да-функтор. Лемма доказана.

При изучении подгрупповых X -функторов широко используется аппарат теории решеток. Так, множество R eg(X) всех регулярных подгрупповых X -функторов образует дистрибутивную решетку. Рассмотрим следующие подмножества решетки Reg(X) . Через Regtr (X) обозначают множество регулярных транзитивных подгрупповых X -функторов. Напомним, что подгрупповой X-функтор в называется транзитивным, если для любой X-группы G из того, что KEe(H) и Hee(G)flX, всегда следует, что KEe(G) [4]. Как отмечено в [4], множество Regr(X) является полной решеткой. Действительно, пусть 0 | i е I}

- некоторая совокупность элементов из Regr(F) ,0 = • вi . Тогда в е Regr(X) .

i е I

Далее, во множестве Regtr(X) имеется подгрупповой X -функтор 0, = S такой, что t < 0j, для любого t е Regr(X) . Кроме того, полная решетка Regtr(X) является дистрибутивной, поскольку в, п (02 и 03) = (0, п 02) U (0, п 03) и

0, и (02 п 03) = (в, и 02) п (в, и 03), для любых 0,, 02, 03 е R egr (X) . Отметим, что подгрупповой X -функтор 0, является единицей полной решетки Regtr(X) , подгрупповой X -функтор в0, где 0O(G) = {G}, для любой группы G е X , является нулем полной решетки R egtr (X) .

Пусть X , X , - непустые классы групп, X , i X ,0 - подгрупповой X -функтор и для каждой группы G е X, справедливо 0j(G) = в (G). Тогда 0, -подгрупповой X , -функтор, который называется ограничением функтора в на X ,, и

обозначается 0, = в X [4].

Лемма 3. Пусть X - непустой класс групп, X , - непустой гомоморф, X , i X , в еRegr(X) , 0, = в|x, . Тогда 0, е Regtr(X ,).

Доказательство. Покажем, что 0j е Regtr(X ,).

1) Установим, что в1 - регулярный подгрупповой X 1-функтор. Пусть О е X 1.

а) Пусть М е в1( О) , N • О. Покажем, что е в1(О/^) . В самом деле, так как М е в1 (О) и О е X 1, то, в силу в1 = в X , получаем М е в(О), и значит, ввиду регулярности подгруппового X -функтора в, имеем MN/N е в(. Поскольку X 1 -гомоморф, то е X 1 и поэтому MN/N е в1(О/^) .

б) Пусть е в1( О^) • Покажем, что М е в1( в) . Так как О^ е X1, то

в1( О/ы) = в(О^") , и значит, е в(. Поскольку О^ е X и в - регулярный

подгрупповой X -функтор, то М е в(О) . Так как О е X 1, то, ввиду в1 = в X ,

получаем М е в1 (О) . Из а) и б) следует, что в1 - регулярный подгрупповой X 1 -функтор.

2) Покажем, что в1 - транзитивный подгрупповой X 1-функтор. Пусть О е X 1, £ ев1(Н), Н е в1(О) п X1. Покажем, что £ е в1(О) . Так как О е X1 и Н е в1( О) , то, ввиду равенства в1 = в X , имеем Н е в(О) . Поскольку Н е X 1 и X1 е X , то Н е X . Следовательно, Н е в(О) п X (1). Так как Н е X1 и £ е в1(Н), то £ е в(Н) (2). Поскольку О е X , то из (1) и (2), в силу транзитивности в, следует, что £ е в( О) . Поскольку О е X 1, то £ е в1( О) , ввиду в1 = в X . Таким образом, в1 - транзитивный подгрупповой X 1-функтор.

Из 1) и 2) следует, что в1 е Regtr(X 1). Лемма доказана.

Пусть X - непустой класс групп, Regда(X) - множество всех регулярных да-функторов на X . Согласно теореме 4.1.10 [4], множество Regда(X) является булевой решеткой. В следующей лемме устанавливается, что множество Regда(X) является

алгеброй Ньюмена. Напомним, что алгеброй Ньюмена называется алгебра А с двумя бинарными операциями, удовлетворяющими следующим условиям:

N1) а(Ь+с)=аЬ+ас; (а+Ь)с=ас+Ьс, для любых а, Ь, еЕА;

N2) существует элемент 1 такой, что а1=а, для любого аЕА;

N3) существует элемент 0 такой, что а+0=0+а=а, для любого аЕА;

N4) для каждого аЕА существует по крайней мере один элемент а такой, что аа'=0 и а+а'=1 [5].

Лемма 4. Пусть X - непустой класс групп. Тогда множество Regда(X) является алгеброй Ньюмена.

Доказательство. 1) Поскольку решетка Regда (X) является дистрибутивной, то в1 и (в2 п в3) = (в1 и в2) п (в1 и в3) и (в1 п в2) и в3 = (в1 и в3) п (в2 и в3), для любых в1, в2, в3 еRegда(X) .

2) Пусть &0 - подгрупповой X -функтор такой, что &0 (О) = {О}, для любой группы Ое X , в е R egда (X) . Покажем, что в и & 0 = в . Действительно, так как для всех О е X справедливо в (О) и &0 (О) ={О} и {ММ е в (О), М * О} и {О} = ={О} и {ММ е в (О), М * О}= в( О) , то в и & 0 = в.

3) Пусть 0 j - максимальный m-функтор, в еRegm(X) . Покажем, что в п0 1=в . В самом деле, поскольку в (G) п 0 j (G) =

({G} u {MM е в(G), M я G}) п ({G} u {M|M < -G}) = {G} u {MM е в(G), M я G} =в (G) для всех Ge X , то в п0, = в.

4) Пусть в е R egm (X) и в - дополнительный m-функтор на X для в. Согласно лемме 4.1.7 [4], в е Regm(X) . Покажем, что в п в = 0 0 и в u в = 0 j. Действительно, пусть G е X. Тогда (в п 6)(G) = в(G) п в(G) = {G} = 0 0 (G), то есть в п в = 0 0. Далее, (в u в)(0) = в(G) u в(G) = {G} u {MM е в(G), M я G} u u {MM 2 в(G), M <-G} = {G} u {M|M < -G} = 01(G), то есть в u в = 01.

Из 1) - 4) следует, что множество Regm (X) является алгеброй Ньюмена. Лемма доказана.

Замечание. Множество Regtr(X) не является алгеброй Ньюмена, поскольку не всегда объединение транзитивных подгрупповых X -функторов является транзитивным подгрупповым X -функтором.

Only finite groups are considered. Let X be nonempty class of groups. A function в mapping each group G from X onto a certain nonempty system в(О) of its subgroups is called a subgroup X-functor (or else a subgroup functor on X), if (в(0))'р=в(0'р) for any isomorphism ф of every group G from X. In this paper we study some properties of regular subgroup X-functors, transitive subgroup X-functors and subgroup m-functors on X.

The key words: a finite group, a class of groups, a subgroup functor, a regular subgroup X-functor, a transitive subgroup X-functor, m-functors on X.

Список литературы

1. Курош А.Г. Радикалы колец и алгебр. Матем. сб., Т. 13. 1953. С. 13 - 26.

2. Amitsur S. A general theory of radicals. Amer. J. Math. V. 74. 1952. P. 774 - 786.

3. Amitsur S. A general theory of radicals. Amer. J. Math. V. 76. 1954. P. 100 - 136.

4. С.Ф. Каморников, М.В. Селькин. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. Минск: Беларуская навука. С. 254. 2003.

5. Биркгоф К.Г. Теория решеток. М.: «Наука», 1984. С. 568

Об авторах

М.М. Сорокина - канд., доц. Брянского государственного университета им. академика И.Г. Петровского, [email protected]

С.М. Сазоненко- магистр 2-го курса магистратуры Брянского государственного университета им. академика И.Г. Петровского, bryanskgu@ mail.ru.

А.П. Симохина - магистр 2-го курса магистратуры Брянского государственного университета им. академика И.Г. Петровского, bryanskgu@ mail.ru.