О произведениях подгрупповых функторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК - 512.542

О ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПОДГРУППОВЫХ ФУНКТОРОВ

М.А. Корпачева, М.В. Балева, А.Ю. Крахмалова

Рассматриваются только конечные группы. Пусть X - некоторый непустой класс групп. Отображение в, выделяющее в каждой группе G6X некоторую непустую систему в(О) ее подгрупп, называется подгрупповым X-фyнктopoм (подгрупповым функтором на X), если (в(0))'р=в(О9) для любого изоморфизма у каждой группы G6X. В настоящей работе установлены свойства произведений подгрупповых X-функторов.

Ключевые слова: конечная группа, класс групп, подгрупповой функтор на классе, произведение подгрупповых функторов.

Подгрупповые функторы, то есть согласованные с изоморфизмами групп функции, выделяющие в группах некоторые системы подгрупп, первоначально рассматривались в контексте теории радикалов колец. В теории конечных групп первоначально понятие подгруппового функтора использовалось в основном для обобщения конкретных теоретико-групповых объектов в направлении выделения и аксиоматизации их ключевых свойств. Позже исследования показали, что метод подгрупповых функторов является удобным средством изучения специфических классов групп (формаций, классов Фиттинга и классов Шунка). Существенное продвижение в решении отмеченных задач сделано в работе С.Ф. Каморникова и М.В. Селькина «Подгрупповые функторы в теории классов конечных групп». В дальнейшем пристальное внимание было обращено на конкретные типы подгрупповых функторов, в частности, на транзитивные и решеточные подгрупповые функторы, а также на произведение подгрупповых функторов. Привлечение аппарата подгрупповых функторов позволило охарактеризовать ряд классов конечных групп и решить ряд открытых вопросов, связанных с исследованием внутреннего строения групп. Целью данной работы является изучение некоторых свойств произведений подгрупповых X -функторов.

Рассматриваются только конечные группы. Определения и обозначения, не приведенные в работе, можно найти в [2].

Пусть X - некоторый непустой класс групп, 0 - отображение, ставящее в соответствие каждой группе О из X некоторую систему 0(0) ее подгрупп. 0 называется подгрупповым X-функтором (подгрупповым функтором на X), если для любой группы G£X и любого изоморфизма ф группы О выполняется равенство (0(О))Ф=0(ОФ). Пусть 01 и 02 - подгрупповые X-фyнктopы, причем 02 - X-зaмкнyтый подгрупповой X-фyнктop, т.е. 0(G)£X, для любой X-гpyппы О. Подгрупповой X-фyнктop 0, сопоставляющий каждой группе G£X множество ее подгрупп

0(О)={К | Ке01(Н), Не02(О)}, называется произведением подгрупповых X-фyнктopoв 01 и 02, и обозначается 01°02 [2]. Подгрупповой X-фyнктop 0 называется транзитивным, если для любой X-группы О из Ке0(Н) и Не©^)!^ всегда следует, что Ке0(О). На множестве подгрупповых X-функторов следующим образом вводится бинарное отношение «<»: 01<02 тогда и только тогда, когда 01(О)£02(О) для любой группы G6X.

В [2] отмечено следующее свойство транзитивных подгрупповых функторов:

Лемма 1 [2]. Пусть X - непустой наследственный класс групп, 0 - транзитивный подгрупповой X-фyнктop. Тогда для любой X-гpyппы G справедливо включение (0o0)(G)£0(G).

В следующих леммах рассматриваются некоторые свойства транзитивных подгрупповых функторов.

Лемма 2. Пусть Xф0 - наследственный класс групп, 01 - подгрупповой X-фyнктop, 02 -транзитивный подгрупповой X-фyнктop, причем 01<02. Тогда 0 =01°02 является транзитивным подгрупповым X-фyнктopoм.

Доказательство. Отметим, что в силу наследственности класса групп X имеем XGX для любой подгруппы X любой X-гpyппы G.

Пусть G6X, Не©^). Пусть Ке0(Н). Проверим, что Ке©^). Поскольку Не©^), то найдется такая подгруппа Me02(G), что Не01(М). Так как Ке0(Н), то существует Ье02(Н) такая, что Ке01(Ь). Тогда из 01<02 получаем Не01(М)с02(М). Из Ье02(Н), Не02(М), в силу леммы 1, следует Ье(02°02)(М)с02(М). Аналогично, из Ье02(М) и Me02(G) заключаем, что Le(02o02)(G)c02(G). Таким образом, мы имеем К60^) и L602(G). Следовательно, по определению произведения подгрупповых функторов, Ке©^^^©^) и поэтому подгрупповой X-фyнктop 0 является транзитивным. Лемма

доказана.

Подгрупповой X-фyнктop х называется эпиморфным, если для любых групп А, BGX и любого эпиморфизма ф группы А на группу В выполняется равенство (т(А))ф=т(В). Эпиморфный подгрупповой X-фyнктop х называется регулярным подгрупповым X-фyнктopoм (или функтором Скибы), если выполняются условия: 1)для любых групп А, BGX и любого эпиморфизма ф : А^-В справедливо включение (т(В))ф £х(А); 2) G6x(G) для любой группы G6X.

Лемма 3. Пусть Xф0 - наследственный класс групп, 01 - регулярный подгрупповой X-функтор, 02 - транзитивный подгрупповой X-фyнктop, причем 01<02. Тогда 01°02=02°01.

Доказательство. Отметим, что в силу наследственности класса групп X имеем XGX для любой подгруппы X любой X-гpyппы G.

1) Пусть GeX, Ne02o01(G). Покажем, что N60^0^). Поскольку Ne02o01(G), то существует

Ке©^) такая, что №02(К). Так как 01<02, то и КеО^^О^). Из того, что Ке©^) и

транзитивности подгруппового X-фyнктopa 02 следует, что ©^Ю^^). Тогда ^О^К^О^). Далее, в силу регулярности подгруппового X-фyнктopa 01, имеем №01(Ч). Поэтому из Ne0l(N), N602(G) следует, по определению произведения подгрупповых функторов, что N601o02(G). Таким образом, 02o01(G)c01°02(G). Тем самым показано, что 02°01<01°02.

2) Пусть G6X, Ae01o02(G). Покажем, что Ae02o01(G). Поскольку Ae01o02(G), то существует Be02(G) такая, что Ае01(В). Так как 01<02, то 01(В)с02(В) и Ае01(В)с02(В). Из того, что ВеВ^) и транзитивности подгруппового X-фyнктopa 02 следует, что 02(B)c02(G). Тогда Ae02(B)c02(G). Далее, в силу регулярности подгруппового X-фyнктopa 01, имеем G60l(G). Поэтому из Ae02(G), G601(G), следует, по определению произведения подгрупповых функторов, что Ae02o01(G). Таким образом, В^В^)^^^). Тем самым показано, что 01°02<02°01.

Из 1)-2) следует, что 01°02=02°01. Лемма доказана.

Еще одним из важных видов подгрупповых функторов являются решёточные подгрупповые Х-функторы. Подгрупповой Х-функтор 0 называется решеточным, если для любой Х-группы G из Н, Ke0(G) следует, что HПKe0(G) и ^Д^В^). Решёточными подгрупповыми функторами, например, являются подгрупповые X-фyнктopы 8, 8П, sn, которые сопоставляют каждой X-гpyппe G множества S(G) всех подгрупп, 8,!^) всех нормальных подгрупп и 8П^) всех субнормальных подгрупп группы G соответственно.

В следующей теореме устанавливается случай, в котором произведение подгрупповых X-функторов является решеточным подгрупповым X-фyнктopoм.

Теорема 1. Пусть Xф0 - наследственный класс групп, т1 - решеточный транзитивный подгрупповой X-фyнктop, х2 - регулярный подгрупповой X-фyнктop, причем х2<х1. Тогда х=т1°х2 является решеточным подгрупповым X-фyнктopoм.

Доказательство. Отметим, что в силу наследственности класса групп X имеем XGX для любой подгруппы X любой X-гpyппы G.

1) Пусть G6X, Aex(G), Bex(G). Покажем, что AПBex(G). Так как Aex(G)=x10x2(G), то существует такая подгруппа N6x2(G), что A6x1(N). Аналогично, поскольку Bex(G)=x10x2(G), то найдется такая подгруппа Mex2(G), что Вех1(М). По условию, х2<х1. Значит, NGx2(G)&;1(G). Тогда, в силу транзитивности подгруппового X-фyнктopa х1, из A6x1(N) имеем A6x1(N)£x1(G). Аналогично, M6x2(G)£x1(G) и BGx1(M)Cx1(G). Поскольку х1 - решеточный подгрупповой X-функтор, то из Aex1(G) и Bex1(G) заключаем, что AПBex1(G). Так как х2 - регулярный подгрупповой X-фyнктop, то G6x2(G). Следовательно, из AПBex1(G) и G6x2(G) получаем АИВех^^^^).

2) Пусть GeX, Aex(G), Bex(G). Покажем, что <A,B>ex(G). Так как Aex(G)=x10x2(G), то существует такая подгруппа N6x2(G), что Aex1(N). Аналогично, поскольку Bex(G)=x10x2(G), то найдется такая подгруппа Mex2(G), что Вех1(М). По условию, х2<х1. Значит, NGx2(G)&;1(G). Тогда, в силу транзитивности подгруппового X-фyнктopa х1, из A6x1(N) имеем A6x1(N)£x1(G). Аналогично, M6x2(G)£x1(G) и BGx1(M)Cx1(G). Поскольку х1 - решеточный подгрупповой X-функтор, то из Aex1(G) и Вех1^) заключаем, что <A,B>ex1(G). Так как х2 - регулярный подгрупповой X-фyнктop, то G6x2(G). Следовательно, из <A,B>ex1(G) и G6x2(G) получаем, что ^^^х^х^^х^).

Из 1)-2), по определению решеточного подгруппового X-фyнктopa, следует, что х является решеточным подгрупповым X-фyнктopoм. Теорема доказана.

Пусть т - решеточный подгрупповой Х-функтор. Подгрупповой X-фyнктop 0 называется х-идеальным X-фyнктopoм, если для любой X-гpyппы G множество 0(G) является идеалом решетки х^), то есть В^)^^) и для любой X-гpyппы G выполняются следующие условия:

1) если Ae0(G), Xex(G) и XcA, то Xe0(G);

2) если Ae0(G), Be0(G), то <^>60^) [2].

В теореме 2 устанавливается случай, в котором произведение подгрупповых X-фyнктopoв является т-идеальным подгрупповым X-фyнктopoм.

Теорема 2. Пусть Х^0 - наследственный класс групп, т - решеточный подгрупповой Х-функтор,

01 - регулярный подгрупповой Х-функтор, 02 - т-идеальный транзитивный подгрупповой Х-функтор, причем 01<02. Тогда 0=01°02 является т-идеальным транзитивным подгрупповым Х-функтором.

Доказательство. Отметим, что в силу наследственности класса групп X имеем XGX для любой подгруппы X любой X-гpyппы G.

1) Установим, что ©^^т^) для любой X-гpyппы G. Пусть G6X, He0(G). Поскольку He0(G), то найдется такая подгруппа Ме©^), что Не01(М). Из 01<02 получаем, что Не01(М)с02(М). Тогда, в силу транзитивности подгруппового Х-функтора 02, имеем He02(G). Так как 02 - т-идеальный подгрупповой Х-функтор, то He02(G)Cт(G). Таким образом, ©^^т^).

2) Пусть G6X, Ae0(G), Xeт(G) и XcA. Покажем, что Xe0(G). Так как Ae0(G)=01o02(G), то существует такая подгруппа Be02(G), что Ae01(B). Поскольку XcA и A<B, то XcB. В силу т-идеальности подгруппового Х-функтора 02, из Be02(G), Xeт(G) и XcB заключаем, что Xe02(G). По условию, 01 - регулярный подгрупповой Х-функтор. Значит, G601(G). Тогда из Xe02(G), Ge01(G) следует Xe02o01(G). По лемме 3 02°01=01°02. Поэтому Xe02o01(G)=01o02(G)=0(G).

3) Пусть GeX, Ae0(G), Be0(G). Покажем, что <A,B>e0(G). Так как Ae0(G)=01o02(G), то

существует такая подгруппа Ke02(G), что Ae01(K). Аналогично, поскольку Be0(G)=01o02(G), то найдется такая подгруппа L602(G), что B601(L). По условию, 02 - транзитивный подгрупповой X-функтор и Ke02(G). Значит, ©^К^О^). Тогда из 01<02 следует, что Ae01(K)c02(K)c02(G). Проводя аналогичные рассуждения, получим BG01(L)c02(L)c02(G). Так как 02 - т-идеальный подгрупповой Х-функтор, то из Ae02(G) и Be02(G) следует, что ^^>£0^). Кроме того, в силу регулярности подгруппового X-фyнктopa 01, имеем Ge01(G). Поэтому, из ^^>£0^) и Ge01(G) заключаем, что ^^>£0^0^). Но, согласно лемме 3, 02O01(G)=01O02(G). Значит,

<A,B>601°02(G)=0(G).

Из 1)-3) следует, что 0=0 1°02 является т-идеальным подгрупповым Х-функтором. Кроме того, согласно лемме 2, 0=0 1°02 является транзитивным подгрупповым Х-функтором. Теорема доказана.

Пусть т - решеточный подгрупповой Х-функтор. Подгрупповой Х-функтор 0 называется т-фильтрующим Х-функтором, если выполняются условия:

1) если Ае©^), Xeт(G) и А£Х, то Хе©^);

2) если Ае©^), Be0(G), то АПВе©^) [2].

В теореме 3 устанавливается случай, в котором произведение подгрупповых X-фyнктopoв является т-фильтрующим подгрупповым X-фyнктopoм.

Теорема 3. Пусть Х^0 - наследственный класс групп, т - решеточный подгрупповой X-функтор, 01 - регулярный подгрупповой Х-функтор, 02 - т-фильтрующий транзитивный подгрупповой Х-функтор, причем 01<02. Тогда 0=01°02 является т-фильтрующим транзитивным подгрупповым Х-функтором.

Доказательство. Отметим, что в силу наследственности класса групп X имеем XGX для любой подгруппы X любой X-гpyппы G.

1) Установим, что ©^^т^) для любой X-гpyппы G. Пусть G6X, He0(G). Тогда существует такая подгруппа Me02(G), что Не01(М). Из 01<02 получаем, что Не01(М)с02(М). В силу транзитивности подгруппового Х-функтора 02, имеем H602(G). Так как 02 - т-фильтрующий подгрупповой Х-функтор, то Не©^)^^). Таким образом, ©^Ст^).

2) Пусть GeX, Ae0(G), Xeт(G) и AcX. Покажем, что Xe0(G). Так как Ae0(G)=01o02(G), то существует такая подгруппа Ве©^), что Ae01(B). Из 01<02 получаем, что Ae01(B)c02(B). Тогда, в силу того, что AG02(B), B602(G), по определению произведения подгрупповых Х-функторов, получим Ae02o02(G). По лемме 1, 02o02(G)c02(G). Значит, Ae02(G). По условию, 02 является т-фильтрующим подгрупповым Х-функтором. Поэтому, из Ae02(G), X6т(G) и AcX следует, что Xe02(G). Далее, в силу регулярности 01 имеем Ge01(G). Тогда из Xe02(G), Ge01(G) имеем Xe02o01(G). По лемме 3, 02°01=01°02. Поэтому Xe02o01(G)=01o02(G)=0(G).

3) Пусть GeX, Ae0(G), Be0(G). Покажем, что AПBe0(G). Так как Ae0(G)=01o02(G), то

существует такая подгруппа Ke02(G), что Ae01(K). Аналогично, поскольку Be0(G)=01o02(G), то найдется такая подгруппа Le02(G), что ВеО^Ц). Из 01<02 получаем, что ©^Цс©^) и 01(К)с02(К). По условию, 02 - транзитивный подгрупповой Х-функтор. Значит, AG01(K)c02(K)c02(G) и

Be01(L)c02(L)c02(G). Так как 02 - т-фильтрующий подгрупповой Х-функтор, то из Ae02(G) и ВеВ^) следует, что AПB602(G). Кроме того, в силу регулярности подгруппового X-фyнктopa 01, имеем

Gg0i(G). Поэтому, из AflBe02(G) и Gg0i(G) заключаем, что AnBe02°0i(G). Но, согласно лемме 3, 02°0i(G)=0i°02(G). Значит, AHB60i°02(G)=0(G).

Из 1)-3) следует, что 0=0 1°02 является т-идеальным подгрупповым Х-функтором. Кроме того, согласно лемме 2, 0=0 1°02 является транзитивным подгрупповым Х-функтором. Теорема доказана.

Only finite groups are considered. Let X be nonempty class of groups. A function в mapping each group G from X onto a certain nonempty system 6(G) of its subgroups is called a subgroup X-functor (or else a subgroup functor on X), if (e(G))(p=e(G(p) for any isomorphism of every group G from X. In this paper some properties of products of subgroup functors a obtained.

The key words: a finite group, a class of groups, a subgroup functor on a class, a product of subgroup functors.

Список литературы

1.Селькин М.В. Максимальные подгруппы в теории классов конечных групп. Мн.: «БеларусскаяНавука», 1997.

2. Каморников С. Ф.,Селькин М. В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. // Мн.: Беларуская навука, 2003.

3. Монахов В. С. Введение в теорию конечных групп и их классов. Учебное пособие. // Гомель: ОУ «ГГУ им. Ф. Скорины». 2003. 322с.

Об авторах

Корпачева М. А. - кандидат физико-математических наук, доцент Брянского

государственного университета имени академика И.Г. Петровского, [email protected]

Балева М.В. - магистрант Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского

Крахмалова А.Ю. - магистрант Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского