КРИТИЧЕСКИЕ Ω-РАССЛОЕННЫЕ τ-ЗАМКНУТЫЕ ФОРМАЦИИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.542 КРИТИЧЕСКИЕ ^-РАССЛОЕННЫЕ г-ЗАМКНУТЫЕ ФОРМАЦИИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

М.М. Сорокина, М.А. Корпачева

Рассматриваются только конечные группы. Пусть Н - некоторый класс групп, т - подгрупповой функтор. О-расслоенная т-замкнутая формация F с направлением ф называется НОтф-критической формацией или, иначе, минимальной О-расслоенной т-замкнутой не Н-формацией с направлением ф, если F□H, но все собственные О-расслоенные т-замкнутые подформации с направлением ф из F в классе Н содержатся. В настоящей работе изучаются критические О-расслоенные т-замкнутые формации с йг-направлением ф<ф3 для регулярного Оф-радикального подгруппового функтора т, замкнутого относительно композиционных факторов.

Ключевые слова: конечная группа, формация групп, т-замкнутая формация, О-расслоенная формация, направление О-расслоенной формации, подгрупповой функтор, НОтф-критическая формация.

Общая проблема изучения Н0-критических формаций впервые была поставлена Л.А. Ше-метковым в 1980 году на VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп [1]. Решение данной проблемы для различных видов формаций (локальных, композиционных, частично локальных, частично композиционных, ю-веерных, О-расслоенных и др.) были получены В.А. Ведерниковым,

А.Н. Скибой и их учениками (см., например, [2-8]). В частности, в работе [8] исследовано строение критических О-расслоенных формаций с йг-направлением ф<ф3.

Последние десятилетия характеризуются интенсивным развитием теории подгрупповых функторов, что обусловлено обнаружением тесной связи между подгрупповыми функторами и классами групп. Так, например, А.Н. Скиба в [9] применил метод подгрупповых функторов к изучению свойств локальных формаций, замкнутых относительно систем подгрупп, выделяемых подгрупповыми функторами. С.Ф. Каморниковым и М.М. Селькиным получена классификация подгрупповых функторов и разработаны связи функторов с различными классами групп [10]. Пусть т -подгрупповой функтор. Формация называется т-замкнутой, если со всякой своей группой она содержит и все ее т-подгруппы. В настоящей работе изучаются критические О-расслоенные т-замкнутые формации конечных групп с йг-направлением ф<ф3. Предварительные результаты данной статьи были анонсированы в [11].

Рассматриваются только конечные группы. Основные определения и обозначения, используемые в работе, можно найти в [10, 12-13]. Приведем лишь некоторые из них. Запись G=[А]В означает, что группа G есть полупрямое произведение своих подгрупп А и В, где А - нормальная подгруппа группы G. Монолитической группой называется группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу (монолит). Пусть I - класс всех простых групп, О - непустой подкласс класса I, GО - класс всех О-групп, то есть таких групп G, что К(О) ^ О, где К(О) - класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы G; полагают, что 1 е GО. Через (X) обозначают класс групп, порожденный множеством групп X, в частности, О) - класс всех групп, изоморфных группе О. Пусть А е I. Тогда А' = 1\(А), GA = G(A), ЗсА - класс всех групп, у которых каждый главный А-фактор централен. Через обозначается F-радикал группы О, где F -непустой класс Фиттинга групп; через 0¥ - F-корадикал группы О, где F - непустая формация групп. 0А(0), 0О(0) - GA-радикал и GО-радикал группы О соответственно. Через FA(G) обозначается пересечение централизаторов всех главных А-факторов группы '; если в О нет главных А-факторов, то полагают FA(G) = О. Отметим, что FA(G) совпадает с ЗсА-радикалом группы О. Пусть Fl и F2 - классы групп. Тогда FlF2= (О : О имеет нормальную подгруппу N е Fl с G/N е F2).

Функции Д Ои{О'}^{формации групп}, £:^{формации групп}, ф:^{непустые формации Фиттинга} называются соответственно ОF-функцией, F-функцией и FR-функцией. Формация ОF(f,ф) = (О: О/Оо(О) е ДО') и О/Оф(А) е ДА) для всех А е ОпКО)) называется О-расслоенной формацией с О-спутником Ди направлением ф; формация F(g,ф) = (О: О/Оф(А) е g(А) для всех А е К(О)) называется расслоенной формацией со спутником g и направлением ф [12]. Направление ф О-расслоенной формации называется йг-направлением, если ф является й-направлением, т.е. ф(А^А = ф(А) для любой абелевой группы Ае^ и ф является г-направлением, т.е. GA'ф(A) = ф(А) для любого А е I. Через фо обозначается направление О-свободной формации, то есть фо(А) = GА' для всех А е I; через ф3 обозначается направление О-центральной формации, то есть ф3(А) = ЗсА для

всех А е I [13]. Пусть у1 и у2 - произвольные ОF-функции ^-функции, FR-функции). Говорят, что у1 < у2, если у1(А) Я у2(А) для всех А еОи{О'} (для всех Ае!) [12]. Следующая лемма является следствием теоремы 1 из [13].

Лемма 1. Пусть Д- внутренний О-спутник О-расслоенной формации F с йг-направлением ф, удовлетворяющим условию ф < ф3. Тогда формация F обладает единственным максимальным внутренним О-спутником h, причем h(A) = F для всех А е (О\А) и{О'} и h(Zp) = ~ЫРД(2Р) для всех 2Р е О.

Пусть т - отображение, ставящее в соответствие каждой группе О некоторую непустую систему т(О) ее подгрупп. Говорят, что т - подгрупповой функтор, если (т(О))ф = т(Оф) для любого изоморфизма ф каждой группы О. Подгрупповой функтор т называется регулярным, если выполняются следующие два условия:

1) из того, что N - нормальная подгруппа группы О иМ е т(О), следуетЫЫ№ е т(О/М);

2) изМЖ е т(О/Ы) следуетМ е т(О) (см., например, [10]).

Пусть ф - некоторая FR-функция. Подгрупповой функтор т назовем Оф-радикальным, если он является О-радикальным, т.е. для всякой группы О и для всякой N е т(О) справедливо OО(G)ПN = 0О(Ж), и т является ф-радикальным, т.е. для любой группы О и для любой N е т(О) выполняется равенство Gф(А)ПN = Nф(А) для всех А е I. Подгрупповой функтор т назовем замкнутым относительно композиционных факторов, если для всякой группы О и для всякой N е т(О) справедливо включение К(№) Я К(О).

Формация F называется т-замкнутой, если из GеF всегда следует, что т(О) Я F [9]. О-спутник (спутник) Д О-расслоенной (расслоенной) формации назовем т-замкнутым, если для любого А е Ои{О'} (для любого А е I) формация Д(А) является т-замкнутой. Установим взаимосвязь между т-замкнутостью О-расслоенной формации и т-замкнутостью ее О-спутника.

Лемма 2. Пусть F - О-расслоенная формация с йг-направлением ф, ф < ф3, т - регулярный Оф-радикальный подгрупповой функтор, замкнутый относительно композиционных факторов. Формация F является т-замкнутой тогда и только тогда, когда F обладает хотя бы одним т-замкнутым О-спутником.

Доказательство. Необходимость. Пусть F - т-замкнутая формация. Поскольку ф - йг-направление и ф < ф3, то по лемме 1 F имеет единственный максимальный внутренний О-спутник h, причем ^А) = F для всех А е (О\А) и{О'} и h(Zp) = ^РД^Р) для всех Zp е О, где Д - произвольный внутренний О-спутник формации F. Поэтому формация ^А) является т-замкнутой для любой группы А е (О\А)и{О'}.

Покажем, что h(Zp) - т-замкнутая формация для всех Zp е О. Предположим, что найдется такая группа Zp е О, что формация h(Zp) не является т-замкнутой. Пусть О - группа наименьшего порядка из h(Zp), обладающая такой подгруппой N, что N е т(О) и N □ h(Zp). Тогда О Ф 1.

Если О - не монолитическая группа, то найдутся две различные минимальные нормальные подгруппы R и М группы О, причем, ввиду О е h(Zp), имеем G/R е h(Zp) и О/М е h(Zp). Поскольку т - регулярный подгрупповой функтор и N е т(О), то NR/R е т(О/К). Тогда по индукции NR/R е h(Zp), и значит, N/NПR е h(Zp). Аналогично, NM/M □ N/NПM е h(Zp). Так как F - формация, то N/(NПRПM) □ N е h(Zp). Противоречие. Поэтому О - монолитическая группа.

Пусть М - монолит группы О. Предположим, что О^О) Ф 1. Тогда М Я О^О). Как показано выше, N/NПM е h(Zp). Так как NПM - ^-группа, то N е К^^) = h(Zp). Противоречие. Следовательно, О^О) = 1. Согласно лемме 18.8 [14], существует точный неприводимый Fp[G]-модуль К. Пусть Т = [К]О. Тогда группа Т монолитична с монолитом К = СТ(К). Покажем, что Т^) = К. Поскольку ф является й-направлением, то К е N Я ф(Zp)NP = ф^) и К Я Т^). С другой стороны, фз^) = и Тф3^) = Fzp(T) Я Ст(К) = К. Так как ф < ф3, то ТфШ Я Тфз^) Я К. Следовательно, Тф^)

= К. Из Т/К □ О е h(Zp) получаем Т е Nph(Zp) = h(Zp) Я F, и, ввиду т-замкнутости формации F, имеем т(Т) Я F. Покажем, что NK е т(Т). Так как Т/К □ О, то существует изоморфизм а: О ——Т/К, при этом, N = NK/K. Поскольку т - подгрупповой функтор и N е т(О), то NK/K = N е (т(О))а = т(Оа) = т(Т/К). Так как т - регулярный подгрупповой функтор и NK/K е т(Т/К), то NK е т(Т), и значит, NK е F. Поэтому NK/(NK)ф(Zp) е h(Zp). Поскольку т - Оф-радикальный подгрупповой функтор и NK е т(Т), то (NK)ф(zP) = Т^ПЫК = KПNK = К и NK/(NK)ф(zp) = NK/K □ N е h(Zp). Противоречие. Таким образом, формация h(А) является т-замкнутой для всех А е Ои{О'}, и значит, h - т-

замкнутый О-спутник формации F.

Достаточность. Пусть f - т-замкнутый О-спутник формации F, G е F и N е t(G). Покажем, что N е F. Так как G е F, то G/Gv(A) е f(A) для любого А е O^K(G). Поскольку N е t(G) и т - подгрупповой функтор, замкнутый относительно композиционных факторов, то K(N) Я K(G), и значит, G/Gv(A) е f(A) для любого А е OHK(N). Пусть А е OHK(N). Из N е t(G), ввиду регулярности подгруппового функтора т, получаем NGv(a/Gv(a) е t(G/G9(a)}. Отсюда, в силу т-замкнутости формации f(A), следует, что NGv(A/Gv(A) □ N/(NHG9(A)) е f(A). Так как подгрупповой функтор т является Оф-радикальным и N е т(G), то NHG9(A) = N9(A) и N/(N^G9(A)) = N/N9(A) е f(A). Далее, из G/OO(G) е f(O'), NO0(G)/O0(G) е т^/0О^)) и т-замкнутости формации f(O') имеем NO0(G)/O0(G) □ N/(NHOO(G)) е f(O'). Так как т - Оф-радикальный подгрупповой функтор, то NHOO(G) = OO(N) и N/Oo(N) □ N/(NHOo(G)) еf(O). Таким образом, по определению О-расслоенной формации, N еF, и значит, формация F является т-замкнутой. Лемма доказана.

Следствие 1. Пусть F - расслоенная формация с br-направлением ф, ф < ф3, т - регулярный ф-радикальный подгрупповой функтор, замкнутый относительно композиционных факторов. Формация F является т-замкнутой тогда и только тогда, когда F обладает хотя бы одним т-замкнутым спутником.

Следствие 2. Пусть F - О-расслоенная (расслоенная) т-замкнутая формация с br-направлением ф, ф < ф3, т - регулярный Оф-радикальный (ф-радикальный) подгрупповой функтор, замкнутый относительно композиционных факторов. Тогда максимальный внутренний О-спутник (спутник) формации F является т-замкнутым.

Через F = От^Х,ф) (F = тF(X,ф)) обозначается т-замкнутая О-расслоенная (расслоенная) формация с направлением ф, порожденная множеством групп X; F = OFт(X,ф) (F = Fr(X^)) - О-расслоенная (расслоенная) формация с направлением ф, обладающая хотя бы одним т-замкнутым О-спутником (спутником), порожденная множеством групп X.

Следствие 3. Пусть ф - br-направление О-расслоенной формации, ф < ф3, т - регулярный Оф-радикальный подгрупповой функтор, замкнутый относительно композиционных факторов. Тогда OтF(X,ф) = OF(X^).

Доказательство следующей леммы проводится аналогично доказательству теоремы

5 [12].

Лемма 3. Пусть X - непустой класс групп, ф - такое направление О-расслоенной формации, что ф0< ф, т - регулярный подгрупповой функтор. Тогда формация F = OFr(X,ф) обладает единственным минимальным т-замкнутым О-спутником f таким, что f(O') = т/о™^/Оо^) : G е X), f(A) = тform(G/Gф(A): G е X) для всех A е OflK(X) и f(A) = □, если A е О\ K(X) .

Пусть H - некоторый класс групп. Следуя [2], О-расслоенную (расслоенную) т-замкнутую формацию F с направлением ф назовем минимальной О-расслоенной (расслоенной) т-замкнутой не H-формацией с направлением ф, или иначе, НОтф-критической (Нтф-критической) формацией, если F

□ H, но все собственные О-расслоенные (расслоенные) т-замкнутые подформации с направлением ф из F в классе H содержатся.

Теорема 1. Пусть ф - br-направление О-расслоенной формации, ф<ф3, т - регулярный Оф-радикальный подгрупповой функтор, замкнутый относительно композиционных факторов, H -непустая О-расслоенная т-замкнутая формация с направлением ф и максимальным внутренним О-спутником h, F - О-расслоенная т-замкнутая формация с направлением ф и минимальным т-замкнутым О-спутником f Если формация F является НОтф-критической, то F = OтF(G,ф), где G -монолитическая т-минимальная не H-группа с монолитом P = GH, причем если K(P) Я О, то формация fA) является h(А)т-критической для A е K(P), а если K(P) □ О, то ДО') является h(O')r-критической формацией.

Доказательство. Пусть F - НОтф-критическая формация и G - группа минимального порядка из F\H. Тогда G является монолитической группой с монолитом P = GH. Поскольку OтF(G,ф) Я F и OтF(G,ф) □ H, то, в силу НОтф-критичности формации F, получаем OтF(G,ф) = F.

Покажем, что G - т-минимальная не H-группа. Пусть Н е т(G) и Н Ф G. Достаточно установить, что Н е H. Действительно, так как Н е т(G), то, ввиду т-замкнутости формации F, Н е F. Тогда, в силу |#| < |G|, Н е H. Следовательно, G является т-минимальной не H-группой.

Согласно лемме 3,ДО') = тform(G/OQ(G)), fA) = тform(G/Gф(A)) для всех A е OflK(G) и fA)

= □, если A е О \K(G). По лемме 1 h(O') = H, h(A) = H для всех A е O\A и h(Zp) = Nph1(Zp) для любого Zp е О, где hi - произвольный внутренний О-спутник формации H. Кроме того, по следствию 2 h - т-замкнутый О-спутник формации H.

Пусть K(P) Я О и A е K(P). Покажем, что f(A) - h(AX-критическая формация. Пусть A - неабелева группа. Так как ф(A) Я ф3(A) = ScA = GA' , то Р □ Gф), и значит, G^ = 1. Следовательно, f(A) = тformG, h(A) = H, и ввиду G □ H, получаемf(A) □ h(A). Поскольку A - неабелева группа, то Р

□ Ф(G). Тогда согласно лемме 2.1.5 [9], M = тform((G/P)UX) - единственная максимальная т-замкнутая подформация формации т/ormG = /(a), где X - множество всех собственных т-подгрупп группы G. Так как GH = P, то G/Р е H. Поскольку G - т-минимальная не H-группа, то X Я н. Таким образом, M Я н = h(A) и поэтому формация /(А) является ^А)т-кригической.

Пусть A □ Zp. Рассмотрим случай, когда h(Zp) = □. Допустим, что Zp е K(H). Пусть h2 - минимальный т-замкнутый О-спутник формации H. Тогда h2(Zp) Ф □, и значит, h(Zp) Ф □. Противоречие. Следовательно, Zp □ K(H), и поэтому Zp □ H. Ввиду А е О, по следствию 3 [13] имеем Zp е Np Я Np /(Zp) Я F. Таким образом, Zp е F\H, и значит, в силу выбора группы G, справедливо G = Zp. Так как ф - b-направление, то Zp е Np Я ф^)^ = ф(Zp). Тогда G4>(Zp) = G и /(Zp) = т/огт^/О) = т/огт(1). Поэтому формация f(Zp) является h(Zp)т-критической.

Пусть теперь h(Zp) Ф □. Предположим, что/(Zp) Я h(Zp). Тогда G/G4>(Zp) е h(Zp). Так как Р Я OZp(G), то G/OZp(G) □ (G/Р)/(OZp(G)/P) е H. Ввиду леммы 2 [13], G е H, что невозможно. Поэтому /(Zp) □ h(Zp).

Пусть M - собственная т-замкнутая подформация из f(Zp). Предположим, что MDh(Zp) и M - группа минимального порядка из M\h(Zp). Тогда M является монолитической группой с монолитом R = MZp). Допустим, что R Я Op(M). ТогдаM е Nph(Zp) = h(Zp), что невозможно. Следовательно, Op(M) = 1 и по лемме 18.8 [14] существует точный неприводимый Fp[Mj-модуль K. Пусть T = [K]M. Тогда группа T монолитична с монолитом K = CT(K). Покажем, что Tv(Zp) = K. Поскольку ф является b-направлением, то K е Np Я ф(Zp)Np = ф(Zp) и K Я Тф^. С другой стороны, ф3^) = ScZp и Тф3(Zp) = Fzp(T) Я Ct(K) = K. Так как ф < ф3, то Тф(Zp) Я Fzp(T), и следовательно, Тф(Zp) Я K. Следовательно, Tv(Zp) = K. Так как Т/K □ M е M С f(Zp), то Те Npf(Zp) Я F. Поэтому OтF(Т,ф) Я F. Если OтF(Т,ф) = F, то /(Zp) = т/огт^/Тф^)) = т/ormM Я M, что невозможно. Поэтому OтF(Т,ф) С F, и значит, OтF(Т,ф) Я H. Тогда M □ Т/K = Т/Тфр) е h(Zp). Противоречие. Следовательно, M Я h(Zp) и формация /(Zp) является h(Zp)x-критической.

Рассмотрим случай, когда K(P) □ О. Покажем, что /(O') является ^О')х-критической формацией. Поскольку K(P) □ О, то OO(G) = 1 и /(O') = т/ormG □ H = h(O'). Пусть M - собственная т-замкнутая подформация из /(O') и M1 = OтF(M,ф). Из МС/(О') Я F получаем M1 Я F. Допустим, что M1 = F. Тогда /(O') = т/0rm(M/OO(M): M е M) Я МС /(O'). Противоречие. Следовательно, M1 С F, и значит, М1 Я H. Тогда М Я H = h(O'). Тем самым установлено, что формация /(O') является h(O')T-критической. Теорема доказана.

Следствие 4. Пусть ф - br-направление расслоенной формации, ф < ф3, т - регулярный ф-радикальный подгрупповой функтор, замкнутый относительно композиционных факторов, H -непустая расслоенная т-замкнутая формация с направлением ф и максимальным внутренним спутником h, F - расслоенная т-замкнутая формация с направлением ф и минимальным т-замкнутым спутником f Если формация F является Нтф-критической, то F = тF(G,ф), где G - монолитическая т-минимальная не H-группа с монолитом P = GH, причем формация /(А) является h(А)т-критической для А еK(P).

Only finite groups are considered. Let H be a class of groups, let т be a subgroup functor. An Q-foliated т-closed formation F with direction ф is called HO^-critical formation or a minimal Q-foliated т-closed non-H-formation with direction ф, if FDH, but each non-trivial Q-foliated т-closed subformation with direction ф of F belongs to the class H. In the paper we study critical Q-foliated т-closed formations with br-direction ф<ф3 for regular Оф-radical subgroup functor т, closed by composition factors.

The key words: a finite group, a formation of groups, a т-closed formation, an Q-foliated formation, a direction of Q-foliated formation, a subgroup functor, an HQ^-critical formation.

Список литературы

1. Л.А. Шеметков. Экраны ступенчатых формаций // Тр. VI Всесоюз. Симпозиума по тео-

рии групп. Киев: Наукова думка. 1980. С. З7 - 50.

2. А.Н. Скиба. О критически: фopмaцияx // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев: ИМ АН Украины. 199З. С. 250 - 268.

3. В.М. Селькин, А.Н. Скиба. О Щ^-критически: фopмaцияx // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского ун-та. 1999. Вып. 14. С. 127 - 1З1.

4. В.А. Ведерников, М.М. Сорокина. Композиционные и локальные наследственные критические формации // Ред. журн. «Сиб. Матем. ж.». Новосибирск, 1998. 19 с. Деп. в ВИНИТИ 8.01.98. № 25 В 98.

5. В.А. Ведерников, Д.Г. Кoптюx. Частично композиционные формации групп. Препринт БГПУ. Брянск, 1999. С. 1-28.

6. М.М. Сорокина, Н.В. Силенок. Критические Q-расслоенные формации конечный: групп // Математические заметки. Т. 72, Вып. 2, 2002. С. 269 - 282.

7. М.А. Корпачева, М.М. Сорокина. О критически: ю-веерныи: фopмaцияx конечный: групп // Математические заметки. Т. 79, Вып. 1, 2006. С. 87 - 94.

8. М.М. Сорокина, М.А. Корпачева. О критически: Q-расслоеннык: фopмaцияx конечный: групп // Дискретная математика. Т. 18, Вып. 1, 2006. С. 106 - 115.

9. Скиба А.Н. Алгебра формаций. Минск: Беларуская навука, 1997. 240 с.

10. С.Ф. Каморников, М.М. Селькин. Подгрупповые функторы и классы конечный: групп. Минск: Беларуская навука, 200З. 254 с.

11. М.А. Корпачева, М.М. Сорокина. О Q-расслоеннык: т-замкнутыи: формация: конечный: групп // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (тезисы докладов). Москва, 2008. С. 1З7-1З8.

12. В.А. Ведерников, М.М. Сорокина. Q-расслоенные формации и классы Фиттинга конечный: групп // Дискретная математика. Т.1З. Вып. З, 2001. С. 125-144.

B.V.A. Vedernikov. Maximal satellites of Q-foliated formations and Fitting classes // Proc. Steklov Inst. Math. № 2, 2001. P. 217-2ЗЗ.

14. Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба. Формации алгебраически: систем. М.: Наука. 1978. 256с.

Об авторе

Сорокина М.М. - Брянский государственный университет, 2410З6, г. Брянск, ул. Бежицкая, 14, e-mail: [email protected]

Корпачева М.А. - Брянский государственный университет, 2410З6, г. Брянск, ул. Бежицкая, 14, e-mail :[email protected],

CRITICAL ^-FOLIATED г-CLOSED FORMATIONS OF FINITE GROUPS M.M. Sorokina, M.A. Korpacheva

Bryansk State University, 2410З6, Bryansk, Bejitskaya, 14, e-mail:

[email protected], [email protected]

Информация об авторах

Фамилия, имя, отчество:

Научная степень:

Ученое звание:

Место работы:

Должность:

Почтовый адрес:

Контактный телефон:

Сорокина Марина Михайловна Sorokina Marina Mihailovna

кандидат физико-математических наук

the candidate of physical and mathematical sciences

доцент

the associate professor

Брянский государственный университет им. акад. И.Г. Петровского Bryansk state university

доцент кафедры алгебры

the associate professor offaculty of algebra

241036, г. Брянск, ул. Бежицкая, д. 20, кв. 816 241036, Bryansk, Bejitskaya, 20, 816

8-910-336-26-67

e-mail:

mmsorokina@yandex. ru