CC BY
39
УДК 512.542
т-МИНИМАЛЬНЫЕ НЕ У-ГРУППЫ ДЛЯ ю-ВЕЕРНЫХ ФОРМАЦИЙ И КЛАССОВ ФИТТИНГА
М.М. Сорокина
В работе изучаются свойства т-минимальных не У-групп (У^критических групп) в случае, когда У - ю-веерная формация конечных групп с р-направлением 5, т - регулярный 5-радикальный подгрупповой функтор, и в случае, когда У - ю-веерный класс Фиттинга конечных групп с р-направлением 6, т - 5-корадикальный подгрупповой функтор. Для ю-веерной формации У установлена взаимосвязь между Ут-критичностью группы G и А(р)т-критичностью ее факторгруппы G/G5(p), для ю-веерного класса Фиттинга У установлена взаимосвязь между Ут-критичностью группы G и А(р)т-критичностью ее подгруппы G5(p), где реюПп(О).
Ключевые слова: конечная группа, подгрупповой функтор, класс групп, формация групп, класс Фиттинга, ю-веерная формация, ю-веер-ный класс Фиттинга, т-минимальная не У-группа.
В теории классов конечных групп центральное место занимают локальные формации, введенные в рассмотрение Гашюцом в 1963 году [1]. Общая проблема изучения локальных формаций, обладающих некоторым определенным свойством, была поставлена Л.А. Шеметковым на VIII Всесоюзном симпозиуме по теории групп в 1982 году (г. Сумы). На этом направлении возникла задача исследования минимальных не У-групп для локальной формации У (см., например, [2]). Группа, не принадлежащая классу У, называется минимальной не У-группой, если все ее собственные подгруппы классу У принадлежат. Наиболее значимые результаты о минимальных не У-группах были получены В.Н. Семенчуком (см., например, [3-5]). Исследованиями в данном направлении также занимались А.Д. Ходалевич, А.Ф. Васильев, А.В. Сидоров и другие (см., например, [6-8]). Как отмечается в [7-8], интерес представляет случай, когда для группы ОёУ некоторая фиксированная система ее собственных подгрупп содержится в У. Такой случай приводит к рассмотрению понятия т-минималь-ной не У-группы (см., например, [9], с. 38), где т - подгрупповой функтор, т.е. отображение, ставящее в соответствие каждой группе некоторую непустую систему ее подгрупп. Основные положения и центральные результаты теории подгрупповых функторов наиболее полно представлены в монографии С.Ф. Каморникова, М.В. Селькина [10]. Наряду с формациями немаловажную роль в теории классов групп играют классы Фиттинга, представляющие собой классы групп, двойственные к формациям. Локальные классы Фиттинга были введены в рассмотрение Хартли в 1969 году [11]. Естественным обобщением локальности для формаций и классов Фиттинга явилась концепция веерности, предложенная В.А. Ведерниковым в 1999 году (см., например, [12]). Настоящая работа посвящена изучению свойств т-минимальных не У-групп в случае, когда У - ю-веерная формация конечных групп, и в случае, когда У - ю-веерный класс Фиттинга конечных групп.
Рассматриваются только конечные группы. Используемые обозначения и определения можно найти в [10, 12, 16]. Приведем лишь некоторые из них.
Пусть т - отображение, ставящее в соответствие каждой группе в некоторую непустую систему т(О) ее подгрупп. Говорят, что т - подгрупповой функтор, если (т(О))ф = т(Оф) для любого изоморфизма ф каждой группы в ([10], с. 13). Подгруппы группы в, принадлежащие т(О), называются т-подгруппами группы в.
Подгрупповой функтор т называется регулярным, если выполняются следующие два условия:
1) из N>0 и Мет(О) следует М№№т(вМ);
2) из М/№т(вМ) следует Мет(0) ([10], с. 197).
Пусть О - группа, Н - подгруппа группы О. Тогда HПт(G)={HПL | Leт(G)} (см. [10], с. 13).
Подгрупповой функтор т называется наследственным, если для любой группы О и любой ее подгруппы Н справедливо включение НПт(О)£т(Н) ([10], с. 15).
Подгрупповой функтор т называется радикальным, если для любой группы О и любой ее нормальной подгруппы N справедливо равенство ^т(в)=т(№) ([10], с. 16).
Пусть т - подгрупповой функтор. Класс групп F называется т-замкнутым, если из GeF всегда следует, что т(О) £ F (см., например, [9], с. 23).
Класс групп У называется формацией, если выполняются два условия:
1) из ОеУ следует, что в^еУ, для любой нормальной подгруппы N группы О;
2) из О/№У и О/МеУ следует, что О/^ПМеУ (см., например, [16], с. 9).
Класс групп У называется классом Фиттинга, если выполняются два условия:
1) из ОеУ следует, что NеУ, для любой нормальной подгруппы N группы О;
2) из О=КМ, где N и М - нормальные У-подгруппы группы О, следует, что ОеУ (см., например, [16], с. 14).
В дальнейшем, Р - множество всех простых чисел; N - класс всех р-групп, где реР; ю - непустое подмножество множества Р; Ош - класс всех ю-групп; Ош(О)=ООш, Ою(О)=ООю - Ою-радикал и Ою-корадикал группы О соответственно.
Функция f : юи{ю'}^{формации групп} называется ю-формационной функцией простого натурального аргумента или, коротко, юF-функцией. Функция f : Р ^{формации групп} коротко называется F-функцией. Функция f : юи{ю'}^{классы Фиттинга групп} называется ю-радикальной функцией простого натурального аргумента или, коротко, юЯ-функцией. Функция f : Р ^-{классы Фиттинга групп} называется коротко Я-функцией. Функция 5: Р ^-{непустые формации Фиттинга} называется формационно-радикальной функцией, или коротко, РFR-функцией [12].
Пусть У - класс групп, т - подгрупповой функтор. Группа О называется т-минимальной не У-группой или Ут-критической группой, если ОёУ, но классу У принадлежит каждая собственная т-подгруппа группы О ([9], с. 38).
Пусть У - класс групп. Через Мт(У) обозначается класс всех т-минимальных не У-групп.
Лемма 1 [4, с. 138]. Каждая группа О, не принадлежащая некоторому классу групп У, содержит по крайней мере одну минимальную не У -подгруппу.
Следующее утверждение является непосредственным следствием леммы 1.
Следствие 1. Пусть т - подгрупповой функтор. Тогда каждая группа О, не принадлежащая некоторому классу групп У, содержит по крайней мере одну т-минимальную не У -подгруппу.
Доказательство. Пусть О - группа, У - класс групп и Оё У. Согласно лемме 1, существует подгруппа К группы О, такая, что КёУ, причем всякая собственная подгруппа группы К принадлежит У, а значит, и всякая собственная т-подгруппа группы К принадлежит У. Следовательно, К - т-минимальная не У-группа. Следствие доказано.
Точные и естественные науки
421
1. Свойства т-минимальных не Т-групп для ю-веерной формации Т
Определение 1 ([121. с. 45). Пусть f и 5 - некоторые (aF-функция и PFR-функция соответственно. Формация T={GeG | G/Om(G)£f(a>') и G/G5(p)£f(p) для всех р£юПя:^)} называется ю-веерной формацией с ю-спутником f и направлением 5 и обозначается T=raF(f,5). Пусть f и 5 - некоторые F-функция и PFR-функция соответственно. Формация T={G£G | G/G5(p)£f(p) для всех р£я:^)} называется веерной формацией со спутником f и направлением 5 и обозначается T=F(f,5).
Определение 2 ([131. с. 37). Направление 5 ю-веерной формации называется p-направлением, если Gq5(q)=5(q) для любого q£P.
Определение 3 ([151. с. 95). Пусть 5 - некоторая PFR-функция. Подгрупповой функтор т называется 5-радикальным. если для любой группы G и любой N£t(G) выполняется равенство G5(р)ПN=N5(р) для всех р£Р. Подгрупповой функтор т называется ю-радикальным. если для всякой группы G и всякой N£t(G) справедливо Om(G)nN=Om(N). Подгрупповой функтор т называется ю5-радикальным. если он является ю-радикальным и 5-радикальным.
Теорема 1. Пусть 5 - p-направление ю-веерной формации. т - регулярный 5-радикальный подгрупповой функтор, Т -непустая т-замкнутая ю-веерная формация с направлением 5 и ю-спутником f. G - группа. р£юПл^). G/Op(G)£T и KG5(p)^G для любой собственной т-подгруппы K группы G. Если G/G5(p)£MT(f(p)). то G£Mt(T).
Доказательство. Пусть G/G5(p)£M^f(p)). Покажем. что G£Mt(F). Так как G/G5(p)/p) и р£юПл^). то по определению ю-веерной формации G£T. Пусть H - собственная т-подгруппа группы G. Покажем. что Н£Т.
1. Установим. что H/Op(H)£T. Действительно. поскольку H£t(G). то. ввиду регулярности подгруппового функтора т. получаем HOp(G)/Op(G)£T(G/Op(G)). Так как по условию теоремы G/Op(G)£T и Т - т-замкнутая формация. то HOp(G)/Op(G)£T. и значит. H/HnOp(G)£T. Поскольку HnOp(G) - нормальная р-подгруппа группы Н. то HnOp(G)£Op(H) и H/Op(H)=(H/HnOp(G))/(Op(H)/HnOp(G))£F. Таким образом. H/Op(H)£T (1).
2. Покажем. что H/H5(p)£f(p). Как и в пункте 1. из H£t(G) и регулярности подгруппового функтора т получаем HG5(p)/G5(p)£T(G/G5(p)). Если HG5(p)/G5(P)=G/G5(p). то HG5(p)=G. что. ввиду условия. невозможно. Поэтому HG5(p)/G5(p)<G/G5(p). Так как G/G5(p)£MT(f(p)). то HG5(p)/G5(p)=H/HnG5(p)£f(p). Тогда. в силу 5-радикальности подгруппового функтора т. справедливо H/H5(p)=H/HnG5(p)£f(p). Тем самым установлено. что H/H5(p)£f(p) (2).
Поскольку направление 5 формации Т является p-направлением. то из (1) и (2). согласно лемме 2 [13]. получаем Н£Т. Следовательно. G£Mt(T). Теорема доказана.
Следствие 2. Пусть 5 - p-направление веерной формации. т - регулярный 5-радикальный подгрупповой функтор, Т -непустая т-замкнутая веерная формация с направлением 5 и спутником f. G - группа. р£л^). G/Op(G)£T и KG5(p)^G для любой собственной т-подгруппы K группы G. Если G/G5(p)£MT(f(p)). то G£MT(T).
Теорема 2. Пусть Т - непустая ю-веерная формация с р-направлением 5 и минимальным ю-спутником f. ю£п(Т). т - регулярный ю5-радикальный подгрупповой функтор. Если G£MT(F). то справедливо по крайней мере одно из следующих утверждений:
1) G/Om(G)£MT(f^'));
2) G/G5(p)£MT(f(p)) для некоторого р£юПл^).
Доказательство. Пусть G£Mt(^). Если G/Om(G)£f^') и G/G5(p)£f(p) для любого р£юПл^). то по определению ю-веерной формации G£^. что невозможно. Следовательно. G/Om(G)£f(to') или G/G5(p)£f(p) для некоторого р£юПл^).
Рассмотрим случай. когда G/Om(G)£f(a)'). Покажем. что G/O^G^M^a)')). Пусть H/O^G) - собственная т-подгруппа группы G/Om(G). Установим. что H/Om(G)£f(o)'). Так как H/Om(G)<G/Om(G). то H<G и. ввиду регулярности подгруппового функтора т. имеем H£t(G). Поскольку G£Mt(F). то Н£Т и по определению ю-веерной формации НЮш(Н)£^ю'). Так как подгрупповой функтор т является ю-радикальным. то Ош^)ПН=Ош(Н). и значит. НОш(Н)=ННПОшда)=Шшда)Юш^)=НЮшда)£^ю'). Таким образом. G/Om(G)£MT(f(o)')).
Пусть G/G5(p)^f(p) для некоторого р£юПл^). Покажем. что G/G5(p)£MT(f(p)). Пусть K/G5(p)£T(G/G5(p)) и K/G5(p)<G/G5(p). Покажем. что К^5ф)£Др). Ввиду регулярности подгруппового функтора т. K является собственной т-под-группой группы G. Из G£Mt(^) ползаем К£Т и по определению ю-веерной формации K/K 5(q)£f(q) для любого q£юПп(K).
Рассмотрим случай. когда р£п(К). Так как подгрупповой функтор т является 5-радикальным. то G5(p)ПK=K5(p) и K/K5(p)=K/KПG5(p)=KG5(p)/G5(p)= K/G5(p)£f(р).
Пусть р^ПЮ. Поскольку направление 5 формации Т является p-направлением. то K£Gp£Gp'5(p)=5(p). и значит. K5(p)=K. Так как f - минимальный ю-спутник формации Т и р£юПп(Т). то по теореме 5 [12] и поэтому
K/G5(p)=KG5(p)/G5(p)=K/KПG5(p)= K/K5(p)=1£ffa).
Таким образом. G^^M^f^)). Теорема доказана.
2. Свойства т-минимальных не Т-групп для ю-веерного класса Фиттинга Т
Определение 4 ([121. с. 53). Пусть f и 5 - некоторые а^-функция и PFR-функция соответственно. Класс Фиттинга J7={G£G | Om(G)£f(<ö)') и G^ffr) для всех р£юПя:^)} называется ю-веерным классом Фиттинга с ю-спутником f и направлением 5 и обозначается ;F=a)R(f.5). Пусть f и 5 - некоторые R-функция и PFR-функция соответственно. Класс Фиттинга J7={G£G | G5(р)£f(р) для всех р£я:^)} называется веерным классом Фиттинга со спутником f и направлением 5 и обозначается ^=R(f.5).
Определение 5 ([141. с. 898). Направление 5 ю-веерного класса Фиттинга называется p-направлением. если 5(q)Gq=5(q) для любого q£P.
Определение 6. Пусть 5 - некоторая PFR-функция. Подгрупповой функтор т назовем 5-корадикальным. если для любой группы G и любой N£t(G) выполняется равенство G^^^N5® для всех р£Р. Подгрупповой функтор т назовем ю-корадикальным. если для всякой группы G и всякой N£t(G) справедливо 0т^)П№0°(№). Подгрупповой функтор т назовем ю5-корадикальным. если он является ю-корадикальным и 5-корадикальным.
Теорема 3. Пусть 5 - p-направление ю-веерного класса Фиттинга. т - наследственный 5-корадикальный подгрупповой функтор, Т - непустой т-замкнутый ю-веерный класс Фиттинга с направлением 5 и ю-спутником f. G - группа. р£юПл^). Op(G)£F и ^G^VG5® для любой собственной т-подгруппы K группы G. Если G5(p)£MT(f(p)). то G£Mt(F).
Доказательство. Пусть G5(p)£MT(f(p)). Покажем. что G£Mt(^). Так как G5(p)£f(p) и р£юПл^). то по определению ю-веерного класса Фиттинга Пусть Н - собственная т-подгруппа группы G. Покажем. что Н£Т.
1. Установим. что Op(H)£^. Действительно. поскольку H£t(G). то. ввиду наследственности подгруппового функтора т. получаем ^O^G^^^G)). Так как по условию теоремы Op(G)£^ и Т - т-замкнутый класс Фиттинга. то НП^^^Т.
Поскольку G/Op(G)eNp и H/HnOp(G)=HOp(G)/Op(G)<G/Op(G), то H/HnOp(G)£Np, и значит, Op(H)£HnOp(G). Поскольку Т - нормально наследственный класс групп, HnOp(G)£T и Op(H) - нормальная подгруппа в HnOp(G), то Ор(Н)£Т (1).
2. Покажем, что HS(p)£f(p). Так как H£x(G) и т - наследственный подгрупповой функтор, то HnGS(p)£x(GS(p)). По условию теоремы HnGS(pVGS(p). Следовательно, HnGS(p)<GS(p). Тогда, ввиду GS(p)£MT(f(p)), имеем HnGS(p)£f(p). Так как т - 5-корадикальный подгрупповой функтор, то HnG5(p)=H5(p). Тем самым установлено, что H5(p)£f(p) (2).
Поскольку направление 5 класса Фиттинга Т является р-направлением, то из (1) и (2), согласно лемме 2 [14], получаем Н£Т. Следовательно, G£Mt(T). Теорема доказана.
Следствие 3. Пусть 5 - р-направление веерного класса Фиттинга, т - наследственный 5-корадикальный подгрупповой функтор, Т - непустой т-замкнутый веерный класс Фиттинга с направлением 5 и спутником f, G - группа, р£л^), Op(G)£F и KnG5(pVG5(p) для любой собственной т-подгруппы K группы G. Если G^^M^p)), то G£Mт(Т).
Теорема 4. Пусть Т - непустой ю-веерный класс Фиттинга с р-направлением 5 и минимальным ю-спутником f, ю£л(Т), т - радикальный ю5-корадикальный подгрупповой функтор. Если G£Mt(T), то справедливо по крайней мере одно из следующих утверждений:
1) Ош^)£М#(ю'));
2) G^^M^p)) для некоторого р£юПл^).
Доказательство. Пусть G£M^T). Если Om(G)£f(ra') и G5(p)£f(p) для любого р£юПл^), то по определению ю-веерного класса Фиттинга G£T, что невозможно. Следовательно, Om(G)£f(ra') или G5(p)£f(p) для некоторого р£юПл^).
Рассмотрим случай, когда Om(G)£f(<B'). Покажем, что Ою^)£Мт(ДЮ')). Пусть H - собственная т-подгруппа группы Om(G). Установим, что H£f(<a'). Так как H<Om(G), то H<G. Поскольку т - радикальный подгрупповой функтор и Om(G) - нормальная подгруппа в G, то т(Ою^))=Ою^)Пт^). Так как Н£т(Ою^)), то существует подгруппа L£^G) такая, что H=Om(G)nL. В силу ю-корадикальности подгруппового функтора т, имеем Om(G)nL=Om(L). Поэтому H=Om(L). Если L=G, то H=Om(G)nG=Om(G), что невозможно. Следовательно, L - собственная т-подгруппа группы G. Тогда, ввиду G£Mт(Т), получаем L£T. Отсюда по определению ю-веерного класса Фиттинга справедливо Н=Ою(Ц£(ю'). Таким образом, H£f(<a'), и значит, O^G^M^a»')).
Пусть G5(p)gf(p) для некоторого р£юПл^). Покажем, что G^^M^p)). Пусть K£т(G5(p)) и K<G5(p). Покажем, что K£f(р). Так как т - радикальный подгрупповой функтор и G5(p) - нормальная подгруппа группы G, то ^G^^G^n^G). Поскольку К£т^5(р)), то найдется такая подгруппа N£^G), что K=G5(p)nN. В силу 5-корадикальности подгруппового функтора т, имеем G5(p)nN=N5(p). Таким образом, K=N5(p). Если N=G, то K=G5(p)nG=G5(p), что невозможно. Следовательно, N<G. Тогда, ввиду G£Mт(Т), получаем N£T, и поэтому N5(q)£f(q) для любого q£rann(N). Если р£л(№), то K=N5(p)£f(р). Пусть р£л(№). Поскольку направление 5 класса Фиттинга Т является p-направлением, то N£Gp£5(p)Gp=5(p), и значит, N5(p)=1. Так как f - минимальный ю-спутник класса Фиттинга Т и р£юПп(Т), то по теореме 11 [12] и поэтому ^N^^^fp).
Таким образом, G^^M^fp)). Теорема доказана.
We study the properties of т-minimal non Т-groups (^-critical groups) for a ю-fibered formation Т of finite groups with p-direction 5, where т is a regular 5-radical subgroup functor, and for a ю-fibered Fitting class Т of finite groups with p-direction 5, where т is a 5-coradical subgroup functor. For the ю-fibered formation Т we revealed a relationship between ^-critical^y of G and f(p)x-criticality of G/G5(p), for the ю-fibered Fitting class Т we revealed a relationship between ^-critical^y of G and f(p)x-criticality of G5(p), where p£ff>nn(G).
Keywords: a finite group, a subgroup functor, a class of groups, a formation of groups, a Fitting class, a a-fibered formation, a a-fibered Fitting class, a т-minimal non Т-group.
Список литературы
1. Gaschutz W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. 1963. V. 80, № 4. P. 300-305.
2. Шеметков Л.А. Новые идеи и результаты теории формаций // Вопросы алгебры. Минск: Университетское. 1989. Выпуск 4. С. 65-76.
3. Семенчук В.Н. Минимальные не Т-группы // Алгебра и логика. 1979. Т. 18, № 3. С. 348-382.
4. Семенчук В.Н. Конечные группы с системой минимальных не Т-подгрупп // Подгрупповое строение конечных групп. Мн.: Наука и техника. 1981. С. 138-149.
5. Семенчук В.Н. Описание конечных разрешимых минимальных не Т-групп для произвольной локальной формации Т // Мат. заметки. 1988. Т. 43, № 4. С. 452-459.
6. Ходалевич А.Д. Минимальные не Т-группы // Докл. АН БССР. 1984. Т. 28, № 5. С. 389-391.
7. Васильев А.Ф. (Х^)-различимые локальные формации // Вопросы алгебры. Минск: Университетское. 1986. Выпуск 2. С. 34-40.
8. Сидоров А.В. О группах, близких к минимальным не Т-группам // Вопросы алгебры. Минск: Университетское. 1986. Выпуск 2. С. 55-61.
9. Скиба А.Н. Алгебра формаций. Минск: Беларуская навука, 1997.
10. Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. Минск: Беларуская навука, 2003.
11. Hartley B. On Fischer's dualization of formation theory // Proc. London Math. Soc. 1969. V. 3, № 9. P. 193-207.
12. Ведерников В.А., Сорокина М.М. ю-веерные формации и классы Фиттинга конечных групп // Математические заметки. 2002. Т. 71, вып. 1. С. 43-60.
13. Ведерников В.А. О новых типах ю-веерных формаций конечных групп // Укр. матем. конгресс. Алг. i теор. чисел. Пращ. Киев. 2002. - С. 36 - 45.
14. Ведерников В.А. О новых типах ю-веерных классов Фиттинга конечных групп // Укр. мат. журнал. 2002. Т. 54, № 7. С. 897-906.
15. Корпачева М.А., Сорокина М.М. Критические ю-веерные т-замкнутые формации конечных групп // Дискретная математика. 2011. Т. 23, вып. 1. С. 94-101.
16. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука. 1978.
Об авторе
Сорокина М.М. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, [email protected]
