О τ-замкнутых n-кратно ω-биканонических формациях конечных групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

О Г-ЗАМКНУТЫХ Д-КРАТНО &-БИКАНОНИЧЕСКИХ ФОРМАЦИЯХ

КОНЕЧНЫХ ГРУПП

Сорокина Марина Михайловна

канд. физ.-мат. наук, доцент Брянского государственного университета, РФ,

г. Брянск

E-mail: mmsorokina@yandex. ru Петрушин Павел Викторович

магистрант направления «Математика» физико-математического факультета Брянского государственного университета, РФ, г. Брянск

ON Г-CLOSED Д-MULTIPLY &-BICANONICAL FORMATIONS OF

FINITE GROUPS

Sorokina Marina

candidate of Physical and Mathematical Sciences, assistant professor of Bryansk

State University, Russia, Bryansk Petrushin Pavel

undergraduate of Mathematics Direction of Faculty of Physics and Mathematics of

Bryansk State University, Russia, Bryansk

АННОТАЦИЯ

Работа посвящена исследованию ^-расслоенных формаций конечных групп. Свойства таких формаций зависят от свойств двух описывающих их функций: ^-спутника и направления. Целью данной статьи является исследование свойств ^-биканонических формаций, которые представляют один из видов ^-расслоенных формаций. При исследовании используются методы доказательств теории классов групп. В статье установлена взаимосвязь между т-замкнутостью n-кратно ^-биканонической формации и т-замкнутостью ее ^2(п-1)-спутника.

ABSTRACT

This article is devoted to ^-foliated formations of finite groups. Properties of such formations depend on the properties of the two functions which describe: ^-satellite and direction. The purpose of this paper is to study the properties of ^-bicanonical formations, which are a type of ^-foliated formations. In the study used methods of proof of the theory of classes of groups. In this article there has been established a connection between т-closure of n-multiply ^-bicanonical formation and т-closure of its ПЛ у-satellite.

^ created by free version of

S DociFreezer

Ключевые слова: конечная группа; класс групп; формация групп; Q-расслоенная формация; ^-биканоническая формация; подгрупповой функтор.

Keywords: a finite group; a class of groups; a formation of groups; ^-foliated formation; ^-bicanonical formation; a subgroup functor.

В современной теории классов групп центральное место занимают формации конечных групп, введенные в рассмотрение В. Гашюцем в 1963 году [8]. Важнейшие результаты о формациях конечных групп представлены в монографии Л.А. Шеметкова [7]. В теории формаций конечных групп большую роль играют функциональные методы. Так, например, наиболее изученные в настоящее время локальные и композиционные формации построены с помощью специальных функций — экранов [7]. В 1999 году В.А. Ведерниковым был разработан новый функциональный подход к исследованию классов групп, при котором формации (названные в [1] Q-расслоенными) строятся с помощью двух сопутствующих функций — функции-спутника (аналог экрана) и функции-направления [1]. Важным видом Q-расслоенных формаций являются ^-биканонические формации, изучаемые в данной статье.

В ходе исследований (см., например [1; 9]) было выявлено, что свойства Q-расслоенных формаций во многих случаях зависят от свойств их спутников. В работе [4] получены результаты о спутниках т-замкнутых ^-расслоенных формаций. В [7] была исследована взаимосвязь между т-замкнутостью ^-кратно ^-расслоенной формации и т-замкнутостью ее п-1)-спутника в случае, когда

П Пй = (^р). Данная работа продолжает исследования в этом направлении для ^-биканонических формаций и произвольного класса простых групп П.

Рассматриваются только конечные группы. Используются определения и обозначения, принятые в [1; 9]. Приведем лишь некоторые из них. Пусть 3 — класс всех конечных простых групп, K(G) — класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы G ; К(Х) — объединение

created by free version of

DociFreezer

классов K(G) для всех G EX, Q — непустой подкласс класса 3, — класс всех конечных Q-групп, т.е. таких групп, что K(G) Q П.

Функция f:H U [П'} -^{формации групп} называется QF-функцией; функция ф\ 3 -^{непустые формации Фиттинга} называется F^-функцией. Функции f и ф принимают одинаковые значения на изоморфных группах из области определения [1, с. 126]. Формация QF(f,y) = {G E&I G/On(G)E f(fi') и G/Gy(A) E f(A) для всех A E П П K(G)} называется Q-расслоенной формацией с Q-спутником f и направлением ф [1, с. 127]. Формация ^ = nF(f,y) называется Q-биканонической, или, коротко, Q^S-формацией, если ф(А) = для любой абелевой группы A E 3 и ф(А) = для любой

неабелевой группы A E 3, и обозначается ^ = OBF(f) [1, с. 129]. Направление Q-биканонической формации обозначается через ф2.

Пусть n EN U [0}, ф — некоторая F^-функция. Всякая формация считается 0-кратно Q-расслоенной формацией с направлением ф. При п> 1 формация $ называется ^-кратно Q-расслоенной с направлением ф, или, иначе, Пфп-расслоенной формацией, если ^ обладает &Ф(п-1)-спутником, т. е. таким Q-спутником, всякое значение которого является (п — 1)-кратно Q-расслоенной формацией с направлением ф [9, с. 218]. ^-кратно Q-биканоническую формацию кратко будем называть Пп-биканонической.

Пусть т — отображение, которое ставит в соответствие всякой группе G некоторую систему t(G) ее подгрупп. Отображение т называется подгрупповым

функтором, если (r(G))^ = t(G^) для любого изоморфизма ф каждой группы G [3, с. 13]. Подгрупповой функтор т называется регулярным, если выполняются два условия: 1) N <G, ME z(G) ^ MN/N E t(G/N); 2) M/N E t(G/N) ^ ME t(G) [2, с. 14]. Подгрупповой функтор т называется Q-радикальным, если для любой группы G и для любой N E t(G) справедливо 0n(G) П N = 0n(N); ф-радикальным, если для любой группы G и для любой N E t(G) для всех A E3 выполняется G^(A) П N = N^(A); Qф-радикальным, если т является Q-радикальным и ф-радикальным, где ф — некоторая F^-функция [3, с. 76].

created by free version of

DociFreezer

Подгрупповой функтор т называется замкнутым относительно композиционных факторов, если для любой N Е т(С) справедливо включение К(Ы) Я К(в) для каждой группы в [4, с. 76].

Формация ^ называется т-замкнутой, если т(С) Я $ для любой группы в Е 5 [5, с. 23]. О-спутник О-расслоенной формации ^ называется т-замкнутым, если все его значения являются т-замкнутыми формациями.

В следующей теореме устанавливается взаимосвязь между т-замкнутостью п-кратно О-биканонической формации и т-замкнутостью ее П<р2^п_1 ^-спутника.

Теорема 1. Пусть $ — О-биканоническая формация, т — регулярный О ф2-радикальный подгрупповой функтор, замкнутый относительно композиционных факторов, пЕМ. Тогда формация ^ является т-замкнутой Пп-биканонической формацией в том и только том случае, когда ^ обладает хотя бы одним т-замкнутым успутником.

Доказательство. Необходимость. Пусть ^ — т-замкнутая Пп -биканоническая формация. По следствию 12 [9, с. 224] ^ имеет единственный максимальный внутренний О-спутник к, причем к(А) = $ для всех А Е (П') и (П\Щ) и = Жр/^р) для всех 1р Е П, где / — произвольный внутренний

О-спутник формации Поэтому для любого А Е (П') и (П\Щ) формация к(А) является т-замкнутой, а согласно лемме 2.1 [6, с. 26] — &(п-1)-биканонической формацией.

Пусть 1р Е П. Покажем, что — т-замкнутая П(п-1)-биканоническая

формация. Согласно доказательству леммы 2 [3, с. 77], — т-замкнутая

формация. Покажем, что — &(п-1)-биканоническая формация. Так как ^

— Пп-каноническая формация, то ^ обладает ^-спутником Д. Пусть д —

ОР-функция, такая, что д(А) = ^(А) П ^ для всех А Е П и (П'). Согласно лемме

4 [1, с. 128], д является О-спутником формации Так как по лемме 2.1 [6, с. 26]

5 является 0(п-1)-биканонической формацией, то по лемме 2.4 [6, с. 27] д(А) — 0(п-1)-биканоническая формация для любого А Е П и (П'). Таким образом, О-

^ сгеа!ес1 Ьу ^ее уетоп

д Роа^геегег

спутник д формации ^ является Пф2^п_г ^-спутником. Кроме того, по лемме 2.3 [6, с. 27] формация является &(п-1)-биканонической. Тогда, согласно теореме 5.38 [4, с. 191] и следствию 9 [2, с. 223], Жрд^р) = ^р° д(^р) — 0(п-1)-биканоническая формация. Из строения д следует, что д является внутренним ^-спутником формации и поэтому к(Ер) = Жрд^р). Тем самым установлено, что к — т-замкнутый Пф2^п_г ^-спутник формации

Достаточность. Пусть f — т-замкнутый П<р2^и_1 ^-спутник формации & Е % и N Е т(в). Покажем, что N Е Так как в Е то С/0А>А(С) Е /(А) для любой абелевой группы А Е П П К (в) и С/0А'(С) Е /(А) для любой неабелевой группы А Е П П К(в). Поскольку N Е т(С) и т — подгрупповой функтор, замкнутый относительно композиционных факторов, то К(Ы) ^ К(С), и значит, &/0А' А(С) Е /(А) для любой абелевой группы А Е П П К(Ы). Пусть А Е П П Щ П К(Ы). Из N Е т(С), ввиду регулярности подгруппового функтора т,

получаем ^0А'А(С)/0А'А(С) Е т (С/0А' А(С)). Отсюда, в силу т-замкнутости

формации f(A), следует, что Ы0А>А(С)/0А> А(С) = N/(Ы П 0А' А(С)) Е f(A). Так как подгрупповой функтор т является ф2-радикальным и N Е т(С), то N П оа',а(с) = °а',а(м) и М/(ЫП0А'1А(С)) = М/0АГ1А(М)ЕГ(А). Аналогично рассуждая, получаем, что Ы/0А'(Ы) Е /(А) для любой неабелевой группы А Е ППК(Ы). Далее, из С/0П(С) Е Г(П'), ЫОп(С)/Оп(С) Е т(С/Оп(С)) и т-замкнутости формации 0') имеем ЫОп(С)/Оп(С) = П 0П(&)) Е /(&).

Так как т — ^-радикальный подгрупповой функтор, то N П 0П(С) = 0П(Ы) и Ы/Оп(Ы) = П ОпЮ) Е /(&). Таким образом, по определению

биканонической формации, N Е и значит, формация ^ является т-замкнутой. Согласно определению ^-кратно ^-расслоенной формации, ^ — ^п -биканоническая формация. Теорема доказана.

Список литературы:

^ сгеа!ес1 Ьу ^ее уетоп

д РооРгеегег

1. Ведерников В.А., Сорокина М.М. ß-расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп // Дискретная математика. — Т. 13. — Вып. 3, — 2001. — С. 125—144.

2. Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. Минск: Беларуская навука, 2003. — 254 с.

3. Корпачева М.А., Сорокина М.М. Критические ß-расслоенные т-замкнутые формации конечных групп // Вестник Брянского государственного университета. № 4: Точные и естественные науки. Выпуск 2. — Брянск: РИО БГУ, 2012. — С. 75—79.

4. Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов. Минск: Вышэйшая школа, 2006. — 207 с.

5. Скиба А.Н. Алгебра формаций. - Минск: Беларуская навука, 1997. — 240 с.

6. Сорокина М.М., Петрушин П.В. О спутниках т-замкнутых ^-кратно Q-расслоенных формаций конечных групп // Молодой ученый. — № 10 (90),

— 2015. — С. 24—30.

7. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978. — 272 с.

8. Gaschütz W. Zur Theorie der endlichen auflösbaren Gruppen. Math. Z., — 1963.

— Vol. 80, — № 4. — S. 300—305.

9. Vedernikov V.A. Maximal satellites of ß-foliated formations and Fitting classes // Proc. Steklov Inst. Math. — № 2, — 2001. — P. 217—233.

DociFreezer

created by free version of