CC BY
45
УДК 512.542
ПОЛУВНУТРЕННИЕ П-СПУТНИКИ ^-РАССЛОЕННЫХ ФОРМАЦИЙ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
М.М. Сорокина
Рассматриваются только конечные группы. Пусть I - класс всех простых групп, О - непустой подкласс класса I, / Ои{О'}^-{формации групп} и ф: I ^-{непустые формации Фиттинга} - соответственно О^-функция и FR-функция. Все рассматриваемые функции на изоморфных группах из области определения принимают одинаковые значения. Формация QF(/,ф) = (G : G/OО(G) е/(О') и G/Gф(A) е/(А) для всех А е ОПК^)) называется О-расслоенной формацией с О-спутником / и направлением ф. В настоящей работе изучаются полувнутренние О-спутники О-расслоенных формаций с йАг-направлением ф, для некоторой простой группы А.
Ключевые слова: конечная группа, формация групп, О-расслоенная формация, О-спутник О-расслоенной формации, полувнутренний О-спутник О-расслоеннаой формации.
В теории классов конечных групп центральное место занимают классы, называемые формациями. Основные положения теории формаций конечных групп изложены в монографии Л.А. Шеметкова [2]. Наиболее изученными в настоящее время являются локальные и композиционные формации (см., например [3, 4]). В 1999 году В.А. Ведерниковым были введены в рассмотрение ю-веерные и О-расслоенные формации конечных групп, являющиеся естественным обобщением локальных и композиционных формаций конечных групп соответственно [5, 6]. К основным видам О-расслоенных формаций относятся О-каконические, О-биканонические, О-композиционные, О-свободные формации. Изучением различных видов О-расслоенных формаций занимались Еловикова Ю.А., Силенок Н.В., Корпачева М.А., Демина Е.Н. и другие (см., например, [7-10]).
Как отмечено в [11], при изучении О-расслоенных формаций существенную роль играют минимальные и максимальные О-спутники. Описание строения минимального О-спутника О-расслоенной формации приведено в [5]. В [11] получено описание строения максимальных внутренних О-спутников О-расслоенных формаций. Л.А.Шеметков и А.Н.Скиба в монографии [3] рассматривают полувнутренние экраны композиционных формаций. Следуя [3], в настоящей работе вводится определение полувнутрен-него О-спутника О-расслоенной формации и приводится описание строения максимального полувнут-реннего О-спутника О-расслоенной формации с йАг-направлением, где А - некоторая простая группа.
Рассматриваются только конечные группы. Основные определения и обозначения, используемые
в работе, можно найти в [2-3, 11-12]. Приведем лишь некоторые из них. Пусть I - класс всех простых групп, О - непустой подкласс класса I, © О - класс всех О-групп, то есть таких групп G, что К(О) ^ О, где К(О) - класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы G. Через (X) обозначают класс групп, порожденный множеством групп X , в частности, (О) - класс всех групп, изоморфных группе G. Пусть Ае1 . Тогда А' =1 \(А), ©А = ©(А). Через Gд обозначается д -радикал группы G, где д - непустой класс Фиттинга групп; через Gд - д -корадикал группы G, где д - непустая формация групп. 0А^), 0А;А^), Oa(G) - @А-радикал, ©А. ©А -радикал и © О-радикал группы G соответственно. Пусть д 1 и д 2 - классы групп. Тогда д1 д 2= ^ : G имеет нормальную подгруппу N
е д! с G/N е д 2).
Все рассматриваемые функции принимают одинаковые значения на изоморфных группах из области определения. Функции / Ои{О'}^{формации групп}, g: 1 ^{формации групп}, ф: 1 ^■{непустые формации Фиттинга} называются соответственно О^функцией, ^-функцией и FR-функцией. Формация ОF(/'ф) = (О : G/OО(G) е/(О1) и G/Gф(A) е/(А) для всех А еОПК^)) называется О-расслоенной формацией с О-спутником /и направлением ф; формация F(g,ф) = ^ : G/Gф(А) е g(А) для всех А е К(О)) называется расслоенной формацией со спутником g и направлением ф [12]. Направление
С43
ф О-расслоенной формации называется йАг-направлением, где А е 1 , если ф является ^-направлением,
т е. ф(А) ©А = ф(А), и ф является г-направлением, т.е. ф(В) = ф(В) для любой группы Ве1 . Пусть ^
и ^2 - произвольные О^функции ^-функции, FR-функции). Говорят, что щ < ^2, если у\(А) ^ ^2(А)
для всех А єОи{О'} (для всех Аєі) [і2]. Формация F = ОF(f,ф) называется О-канонической формацией, если ф(A)= ©а для любой группы АП I. Формация F =ОF(f,ф) называется О-биканонической
формацией, если ф(A)= для любой неабелевой группы А □ I и ф(A)= ©А для любой абелевой
С43
группы АП I .
При доказательстве теоремы і используются следующие результаты из [іі].
Лемма 2 [іі]. Пусть F =ОЩ ф) с r-направлением ф. Тогда
1) если AєО, G/OA(G)є F и G/G^/A), то Gє F ;
2) если G/Oa '(G) є F и G/Oq(G) є/(О'\ то Gf F .
Лемма 6 [іі]. Пусть F - О-расслоенная формация с О-спутником f и ЬЛ-направлением ф. Тогда выполняются следующие утверждения:
1) OA(GG?(AD □ □□□ для любой группы G;
2) F обладает О-спутником g таким, что g(B) = /(B) для всех Вє {О'}^(О\(А)) и g(A) = ©A /(A).
Напомним, что О-спутник f О-расслоенной формации F называется внутренним О-спутником,
если /(A) ^ F , для всех А є{О'}^О.
Определение і. Следуя [3], О-спутник /О-расслоенной формации F назовем полувнутренним О-спутником, если из /(A) следует, что /(A) ^F , для всех А є{О'}^О. Аналогично, f - полувнутрен-
ний спутник расслоенной формации F, если из /(A) следует, что fA) ^F , для любой группы Аєі
Максимальным полувнутренним О-спутником (спутником) О-расслоенной (расслоенной) формации F называется максимальный элемент множества всех полувнутренних О-спутников (спутников) формации F .
Теорема 1. Пусть F - О-расслоенная формация с ЬЛг-направлением ф, где АШОП Тогда F обладает максимальным полувнутренним О-спутником f удовлетворяющим условию: если /(A) , то
fA)= ©а h(A), где h — произвольный полувнутренний О-спутник формации П
Доказательство. Ввиду леммы 4 [і2], О-расслоенная формация F обладает внутренними О-спутниками. Поскольку всякий внутренний О-спутник формации F удовлетворяет определению і, то множество всех полувнутренних О-спутников формации F не пусто. Пусть h — произвольный полувнутренний О-спутник формации F , АПОППТак как ф — bA-направление, то по лемме 6 [іі] формация F обладает О-спутником f таким, что/(A)= GA h(A) иfB)=h(B), для всех Вє {О'}^(О\(А)).
Покажем, что f является полувнутренним О-спутником формации F . Действительно, для любого Вє{О'}^(О\(А)) либо h(B)= ©, либо h(B)^F . Следовательно, из/(B)Ф& следует, что /(B)^F , для всех Вє {О'}^(О\(А)). Далее, если h(A)= ©, то fA)= ©а h(A)= GA ©= ©. Пусть h(A) ^@. Тогда, согласно определению і, h(A)^F . Покажем, что в этом случае /(A)^F . Допустим, /(A)□ F и G - группа наименьшего порядка из fA)\ F . Тогда G является монолитической группой с монолитом P=GF. Покажем, что G/OA(G)U F . Если OA(G)=1, то из GDfA)=@Ah(A) следует, что GDh(A), и ввиду h(A)^F , получаем GD F . Противоречие. Следовательно, OA(G)^і. Тогда PQ9A(G) и G/OA(G)=(G/P)/(OA(G)/P)D F . Таким образом, G/OA(G)D F . Покажем, что G/G^DfA). Поскольку GDfA), то G/G„,(A)DfA)= ©Ah(A). Согласно лемме 6 [іі], O^G/G^U^. Следовательно, G/Gф(A)=(G/Gф(A))/OA(G/Gф(A)□ Dh(A). Так как ф является r-направлением, то по лемме 2 [іі] G□□ОF(h,ф)= F . Получили противоречие. Следовательно, f (A)cF . Тем самым установлено, что f является полувнутренним О-спутником формации F . Из строе-
ния О-спутника f вытекает, что h<f. Поэтому f — максимальный полувнутренний О-спутник формации F. Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть F - расслоенная формация с ЬАг-направлением ф, где А □ I □ Тогда F обладает максимальным полувнутренним спутником f, удовлетворяющим условию: если fA) , то fA)=
Ga h(A), где h — произвольный полувнутренний спутник формации П
Отметим, что направление О-канонической формации является ЬАг-направлением, для любой группы А ПО□□ Направление О-биканонической формации является ЬАг-направлением, для любой абелевой группы АШОП
Следствие 2. Пусть F — О-каноническая формация□ Тогда F обладает максимальным полувнутренним О-спутником f удовлетворяющим условию: если fA) ^@, то fA)= GAh(A), для любой группы АПО, где h — произвольный полувнутренний О-спутник формации F □
Следствие 3. Пусть F — О-биканоническая формация□ Тогда F обладает максимальным полувнутренним О-спутником f, удовлетворяющим условию: если fA) ^@, то fA)=@Ah(A), для любой абелевой группы АПО, где h — произвольный полувнутренний О-спутник формации F □
Only finite groups are considered. Let I be a class of simple groups, let О be a non-empty subclass of I, let f О и{О '} ^ { formations of groups } and ф: I ^ { non-empty Fitting formations } be a О^-АшСюп and a FR-function respectively. All of the functions considered are unchanged under isomorphic groups of the domain. A formation QFf<p) = (G: G/OQ(G)^f (О ') and G/G9(A) ef (A) for all A ^ОПК (G)) is called an О-foliated formation with the О-satellite f and the direction ф. In this paper we study semi-inner О-satellites of О-foliated formations with bAr-direction ф for the simple group A.
The key words: a finite group, a formation of groups, an О-foliated formation, an О-satellite of the О-foliated formation, a semi-inner О-satellite of the О-foliated formation.
Список литературы
1. Сорокина М.М. О Q-спутниках Q-расслоенных формаций конечных групп // Международная конференция «Алгебра и логика: теория и приложения», посвященная 80-летию и памяти В.П. Шункова. Красноярск, 2013. С. 125.
2. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978.
3. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука, 1978.
4. Скиба А.Н. Алгебра формаций. Минск: Беларуская навука, 1997.
5. Ведерников В.А., Сорокина М.М. О-расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп. Препринт. № 5. Брянск: БГПУ, 1999.С. 1-24.
6. Ведерников В.А., Сорокина М.М. □-веерные формации и классы Фиттинга конечных групп. Препринт. № 6. Брянск: БГПУ, 1999. С. 1-22.
7. Сорокина М.М., Силенок Н.В. Критические О-расслоенные формации конечных групп // Математические заметки. Т. 72, Вып. 2, 2002. С. 269-282.
8. Сорокина М.М., Корпачева М.А. О критических О-расслоенных формациях конечных групп // Дискретная математика. Т. 18, Вып. 1, 2006. С. 106-115.
9. Ведерников В.А., Демина Е.Н. О-расслоенные формации мультиоператорных Т-групп // Сиб. матем. ж. 2010. Т. 51. № 5. С. 990-1009.
10. Еловикова Ю.А. О тождествах решеток О-канонических формаций // Вестник Брянского государственного университета. № 4 (2012): Точные и естественные науки. Брянск: РИО БГУ, 2012. С. 12-16.
11. Vedernikov V.A. Maximal satellites of О-foliated formations and Fitting classes // Proc. Steklov Inst. Math. № 2, 2001. P. 217-233.
12. Ведерников В.А., Сорокина М.М. О-расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп // Дискретная математика. Т.13. Вып. 3, 2001. С. 125-144.
Об авторе
Сорокина М. М. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии, Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского, [email protected]
Semi-inner O-satellites of O-foliated formations of finite groups. M.M. Sorokina
