Алгебраичность решеток w-расслоенных формаций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.542

АЛГЕБРАИЧНОСТЬ РЕШЕТОК Q-РАССЛОЕННЫХ ФОРМАЦИЙ

Ю.А. Еловикова

Исследуются решетка ПП^ всех n-кратно П-канонических формаций конечных групп. Доказано, что ПП^ для произвольного n e □ и ф такого, что ф0<ф является алгебраической решеткой.

Ключевые слова: конечная группа, формация, решетка, n-кратно П--расслоенная формация, алгебраичность решетки.

Классом групп называется совокупность групп X, содержащая вместе с каждой своей группой G и все группы, ей изоморфные. Через H(X) обозначается класс всех гомоморфных образов всех групп из X, R0(X) - класс всех изоморфных копий конечных подпрямых произведений групп из X. Формацией называется класс групп F, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений групп из F.

В рамках функционального подхода к заданию формаций конечных групп в работах В.А. Ведерникова и М.М. Сорокиной (1999 г.) было введено понятие П-расслоенных формаций с различными направлениями. Оно позволило ввести в рассмотрение бесконечное множество новых типов формаций, каждый из которых характеризуется определенным направлением ф. Частным случаем П-расслоенных формаций являются композиционные формации, играющие важную роль при изучении конечных неразрешимых групп.

Через П обозначается непустой подкласс класса I всех конечных простых групп, а направление формации определяется как отображение ф класса I во множество всех непустых формаций Фиттинга.

Результаты и методы общей теории решеток с успехом используются в различных областях современной математики. Решеткой называется частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное множество имеет как точную верхнюю, так и точную нижнюю грани. Отсюда следует, что указанные грани имеет и каждое непустое конечное подмножество.

Рассматривая множество формаций 9, упорядоченное относительно включения «&>, точную нижнюю и точную верхнюю грань находят, соответственно, при помощи операций пересечения и формационного объединения, и обозначают: inf (F, H)=FaH=FoH и

sup (F, H)=FvH=9form(FuH) - пересечение всех формаций из 9, содержащих FuH. Если множество 9 замкнуто относительно пересечения и в 9 имеется такая формация M, что L9M для любой Le9, то inf (F, H)e9 и sup (F, H)e9, тем самым на множестве 9 задана структура решётки. В этом случае 9 называется полной решеткой формаций.

В [3] исследуется полная решетка lnT всех n-кратно локальных т-замкнутых формаций. Ряд работ автора [4-7] посвящен разработке специального аппарата для применения методов общей теории решеток при изучении n-кратно П-расслоенных формаций. Основной результат данной работы - доказательство алгебраичности решетки П □□ всех n-кратно П-расслоенных формаций для произвольного ne □ и ф такого, что ф0<ф.

Все группы предполагаются конечными. Через G обозначают класс всех конечных групп. Необходимые определения и обозначения можно найти в [1-3]. В частности, функция f Пи{П'}^{формации групп}, принимающая одинаковые значения на изоморфных группах из П, называется П-формационной функцией или, коротко, ПР-функцией. Функция ф: 1^{непустые формации Фиттинга}, принимающая одинаковые значения на изоморфных группах из I, называется формационно-радикальной функцией или, коротко, PR-функцией. Согласно [1], формация F называется П-расслоенной с направлением ф, если

F=fiFf ф )=(GeG| G/OQ(G)e f (П') и G/G^ef (A) для всех AeO^K(G)),

где f и ф - некоторые ПР-функция и FR -функция соответственно. Функцию f называют П-спутником формации F.

Пусть 9 - полная решетка формаций. Будем называть П-формационную функцию 9-значной или, коротко, П9-функцией, если все ее значения принадлежат 9. Через ПР^9 обозначим множество всех П-расслоенных формаций с направлением ф, обладающих хотя бы одним П9-спутником. Обозначим также ПР9(Х ,ty)=QFv9form(X) - пересечение всех формаций, принадлежащих решетке ПР^9, и содержащик класс групп X. Множество всех П-расслоенных формаций с направлением ф обозначим через ПРф.

Как показано в [4], ОР образует полную решетку формаций. Всякую формацию считают 0-кратно ОР-формацией. Формацию F называют «-кратно ОР -формацией для некоторого натурального п, если она обладает О -спутником, все непустые значения которого являются (п-1)-кратно ОР-формациями. Обозначим ОП^- множество всех п-кратно О-расслоенных формаций с направлением ф. Если X - некоторый непустой класс групп, то ОFn(X, ф)= ОО^Аэгт(Х) -пересечение всех формаций из ОП^, содержащих X.

Элемент F полной решетки формаций 9 называется компактным, если для любого подмножества ^ | /е/ } 39 из F3sup (Fг■ | /е/ )=v9( Fг■ | /е/ )=9form(Fг■ | /е/ ) вытекает существование такого конечного подмножества ^ | у'=1,2,..., | /е/ }, что

F &ир ^ | у'=1,2,..., 5)^Э( Fj | у'=1,2,..., 5)=Эйэгт^у | у'=1,2,..., 5). Полная решетка формаций называется алгебраической, если любой ее элемент является решёточным объединением компактных элементов.

Лемма 1 ([4], лемма 1). Пусть X - непустой класс групп, 9 - полная решетка формаций. Тогда О-расслоенная формация F=ОРЭ (X, ф), где ф0<ф, обладает единственным минимальным О9-спутником f таким, что

f (О') =9/огт (G / 0О G е X),

f (А)=9/огт (G / Gф(А) | G е X) для всех А ^ОпК^), f (А)=0, если А ^ОЖ^).

Лемма 2 ([1], стр 133). Пусть f/ - минимальный О-спутник О-расслоенной формации F/ с направлением ф, где ф0<ф, /=1,2. Тогда и только тогда Fl 9?2, когда /¡</2.

Лемма 3. Пусть 9 - полная решетка формаций, ф - направление О-расслоенной формации, ф0<ф,/ - минимальный О9-спутник О-расслоенной с направлением ф формации F/, /£/. Тогда vЭ (/ | /е/ ) - минимальный 9-значный О-спутник формации

VОрф) (^ I

Доказательство.

Пусть / - минимальный 9-значный О-спутник формации F, а h = vЭ (/ | / ) - спутник,

описанный в условии. Покажем, что / = h. Рассмотрим формацию Н=ОР(^ф). Поскольку то F/ 3Н, значит F 3Н.

Заметим также, что из строения минимального 9-значного О-спутника формации F=ОРЭ (X, ф)=ОР9 ф) (лемма 1) справедливо K(F)nО=K(X)nО. В нашем случае

ВДпО= К( Це/ F/)nО= (Це/ К^))пО.

С учетом этого, для любой простой группы АеК^пО имеем АеК^^пО для некоторого kеI. Тогда /к (А)^0 и

^А)=9/огт( Це/ /(А))Э 9/огт( Це9form(G/Gф(A) | GеFг))=9form(G/Gф(A) | Gе ЦеFг)=/(А)^0

При Ае ОЩГ) получим h(A)=f (А)=0 для всех /е/. Таким образом, h<f и Н3\

По доказанному выше, Н = F и F обладает спутником h.

Из минимальности / и условия h<f заключаем, что / = h. Лемма доказана.

Теорема 1. Для произвольного пеО и направления О-расслоенной формации ф такого, что ф0<ф, решетка ОП^ является алгебраической.

Доказательство. Применяя индукцию по п, покажем, что каждая однопорождённая ОП^-формация F является компактным элементом в ОП^. Пусть

F=ОРn(G, ф)ЭН=ОРп(Це/ F/, ф),

где F/ - п-кратно О-расслоенная формация с направлением ф. Покажем, что существуют такие у'ьу2, ..., jsеI, что

F^0Рn( и , ф).

г=1

Пусть п=0. Тогда F=foгm(G)3H=foгm(ЦеI F/), следовательно, Gеfoгm( Це F/)= НЛ0(Це Fг)

Значит, G^M/N для некоторой группы М = R0(ЦеI F/), и найдутся /1, /2, ..., /ге/, такие что GеR0( и Ъ/2 и... и Ъц ). Отсюда следует, что Gе/огт( и Ъ/2 и... и ) и

?Я/огт(Ъ иЪ/2 и — иЪ).

Пусть n >0 и однопорожденные формации являются компактными элементами в

ППд_7. По лемме 1, существуют следующие спутники: f - минимальный ППд_7-значный П-спутник формации F, h - минимальный ППд_7-значный П-спутник формации H, f - минимальный значный П-спутник формации F;-. ieI.

Принимая в лемме 1 9=ПП^_7, получим

f (П') =ПРп-1 (G/On(G),ф), f (A)= QFnA (G/Оф(А),ф) для всех А^ПпВД,

f (А)=0, если А ^KG).

Таким образом, все непустые значения П-спутника f являются однопорожденными ПО^_}-формациями. По лемме 2, f<h. Для произвольной группы АеПи{П'}, ввиду леммы 3,

h(A)= VПFф (f | ie I )(A)= ПР^Ще f (А), ф).

n-1

Поскольку f (A) Eh (А), то, по предположению индукции, для каждой группы АеПпК^) можно найти такие индексы i1, i2, ..., iteI, что

GGAf^v^ (f (А)| k=1,2,..., t )= ПРп-:( \ flk (А), ф) и

n-! k k=1

GO^G^^c vпFф (f (П')| k=1,2,..., t )= ПРп-,(\fk(П'), ф).

k k=1

Так как G - конечная группа, то K(G) содержит конечное число попарно неизоморфных простых групп, и из доказанного выше заключаем, что найдутся индексы 71,j2, ...,j*eI, такие что

G/O^G^f (П')Е VПFф (f. (П')| k=1,2,..., t )= ПРи-1( \ f (П'), ф),

n-! k k=1

t

G/G^ef(A)E vпFф (f (A)| k=1,2,..., t )= OF^\f (А),ф) для всех AeПnK(G).

n-! k k=1

Таким образом, Ge VпFФ (Fj | k=1,2,..., 5). Отсюда

^П^ф ( Fjk I 5)= ПFn( U Fr' ф)

k=1

и F - компактный элемент решётки П □ ф.

Для доказательства алгебраичности решётки ПП^ осталось показать, что каждая П[Информация есть объединение в решетке ПП^ своих однопорожденных ПП^-подформаций. Действительно, для любой формации LeП□□ справедливо L= VпFФ (ПFn(G, ф) | GeL).

Теорема доказана.

Как следствие из теоремы 1 можно установить алгебраичность решеток формаций, рассматриваемых в работах [1-7].

Следствие 1. Для произвольного ne □ и направления П-расслоенной формации ф такого, что ф(A)=ScA при всех AeI, решетка ПП^=ПСп всех n-кратно П-композиционных формаций является алгебраической.

Следствие 2. Для произвольного ne □ и направления П-расслоенной формации ф такого, что ф(A)=GA'GA при всех AeI, решетка ПП^=ПКп всех n-кратно П-канонических формаций является алгебраической.

Следствие 3. Для произвольного ne □ и направления П-расслоенной формации ф такого, что ф(A)=GA' при всех Ae^^^^A) и ф(A)=GA'GA при всех AeПnA, решетка ПО^=ПБп всех n-кратно П-биканонических формаций является алгебраической.

The lattice ^/of all n-multiply П- foliated formations of finite groups considered. It is proved, that the lattice П^ф is algebraic for every natural n and ф such that ф0<ф.

The key words: finite group, formation, lattice, n-multiply П- foliated formation, algebraic lattice.

Список литературы

1. Ведерников В.А., Сорокина М.М. П-расслоенные формации и классы Фиттинга//

Дискретная математика. 2001. Т.13, Вып.3. С.125-144.

2. Ведерников В.А. Максимальные спутники О-расслоенных формаций и классов Фиттинга// Труды ИММ УрО РАН. 2001. Т.8. С. 1-23.

3. Скиба А.Н. Алгебра формаций. Мн.: Беларуская навука, 1997.

4. Скачкова Ю.А. Решетки О-расслоенных формаций// Дискретная математика. 2002. Т.14, Вып.2. С.85-94.

5. Скачкова Ю.А. Булевы решетки кратно О-расслоенных формаций // Дискретная математика. 2002. Т.14, Вып.3. С.42-46.

6. Еловикова Ю.А. G-отделимость решетки ОКп // Вестник БГУ. 2004. Вып.4. С.95-98.

7. Еловикова Ю.А. Свойства решетки всех кратно О-канонических формаций// Дискретная математика. 2006. Т.18, Вып.2. С.146-158.

8. Скиба А.Н. О локальных формациях длины 5 // В сб. Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. Минск: Наука и техника, 1986. С.135-149.

Об авторе

Еловикова Ю. А.- кандидат физ.-мат. наук, доцент Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, [email protected]

The algebraic lattices of Q-foliated formations. Elovikova Iuliia

Bryansk State University, Bryansk, Bejitskaya str. 14, [email protected] Annotation.

The lattice QD^of all «-multiply Q- foliated formations of finite groups considered. It is proved, that the lattice Q □□ is algebraic for every natural n and 9 such that

The key words: finite group, formation, lattice, n-multiply Q- foliated formation, algebraic lattice.

241036 r. EpaHCK, yn. Ee^H^aa, 16, Kop. 2E, k. 502/1. E-mail, Ten. 8-919-191-53-93.