О тождествах решёток w-канонических формаций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.542

О ТОЖДЕСТВАХ РЕШЁТОК О-КАНОНИЧЕСКИХ ФОРМАЦИЙ

Ю.А. Еловикова

Исследуются решетка ОКп всех п-кратно О-канонических формаций конечных групп. Доказано совпадение систем тождеств решеток ОКп и ОКт для любого бесконечного множества простых групп О и любых целых неотрицательных п и т.

Ключевые слова: конечная группа, формация, решетка, п-кратно О-каноническая формация, тождество решетки.

В рамках функционального подхода к заданию формаций конечных групп в работах В.А. Ведерникова и М.М. Сорокиной (1999 г.) было введено понятие О-расслоенных формаций с различными направлениями. Оно позволило ввести в рассмотрение бесконечное множество новых типов формаций, каждый из которых характеризуется определенным направлением ф. Частным случаем О-расслоенных формаций являются композиционные формации, играющие важную роль при изучении конечных неразрешимых групп.

Через О обозначается непустой подкласс класса I всех конечных простых групп, а направление формации определяется как отображение ф класса I во множество всех непустых формаций Фиттинга. В частности, в работах [1, 2] были определены канонические (К-формации) и

О-канонические (ОК-формации), имеющие направление ф (Л)=04Сл при всех Ле1.

Рассматривая операции пересечения и формационного объединения, на множествах формаций можно задать структуру решётки. В [3] исследуется полная решетка 1пТ всех п-кратно локальных т-замкнутых формаций. В частности, А.Н. Скиба доказал совпадение систем тождеств у

7 Т 1 т

решеток 1п и 1т при различных п и т.

Множества ОКп и Кп соответственно всех п-кратно О-канонических и п-кратно канонических формаций также образуют полные решетки формаций [4]. Ряд работ автора [4-7] посвящен разработке специального аппарата для применения методов общей теории решеток при изучении п-кратно О-расслоенных и, в частности, ОКп- и Кп-формаций. Основной результат данной работы -доказательство совпадения систем тождеств решеток ОКп и ОКт для любого бесконечного множества простых групп О и любых целых неотрицательных п и т.

Все группы предполагаются конечными. Через G обозначают класс всех конечных групп. Необходимые определения и обозначения можно найти в [1-3]. В частности, функция /: Ои{О'}^{формации групп}, принимающая одинаковые значения на изоморфных группах из О, называется О-формационной функцией или, коротко, О^-функцией. Функция ф : 1^{непустые формации Фиттинга}, принимающая одинаковые значения на изоморфных группах из I, называется формационно-радикальной функцией или, коротко, ^-функцией. Согласно [1], формация F называется О-расслоенной с направлением ф, если

F=ОF(/;ф )=^е^ G/0Q(G)e/(О) и G/Gф(л)efЛ) для всех ЛеОпВД)),

где /и ф - некоторые О^-функция и FR -функция соответственно. Функцию /называют О-спутником формации F. В частности, если ф - направление О-канонической формации, получим О-каноническую формацию вида

F =ОKF(/HGeG| G/0n(G)e/(О ) и МО^^е/(Л) для всех ЛеОпВД)).

Пусть 0 - полная решетка формаций. Будем называть О-формационную функцию 0-значной или, коротко, О0-функцией, если все ее значения принадлежат 0. Через ОFф0 обозначим множество всех О-расслоенных формаций с направлением ф, обладающих хотя бы одним О0-спутником (в этом случае для О-канонических формаций используем обозначение ОК0). Обозначим также ОF0(X ,ф)=ОFp0form(X), и, в сокращенном виде, ОK0F(X), если ф - направление О-канонической формации. Множество всех О-расслоенных формаций с направлением ф обозначим через ОF (ОК -для множества всех О-канонических формаций).

Как показано в [4], ОF образует полную решетку формаций. Всякую формацию считают 0-кратно ОFф-формацией. Формацию F называют п-кратно ОF -формацией для некоторого натурального п, если она обладает О -спутником, все непустые значения которого являются (п-1)-кратно ОFф-формациями. Обозначим ОFnф - множество всех п-кратно О-расслоенных формаций с направлением ф. Если X - некоторый непустой класс групп, то ОFn(X, ф)= ОFnvform(X) -

пересечение всех формаций из ОFnф, содержащих X. Аналогично для О-канонических формаций используются обозначения ОКп, ОKnF(X).

Лемма 1 ([4], лемма 1). Пусть X - непустой класс групп, 0 - полная решетка формаций и F=ОK0F(X). Тогда F обладает единственным минимальным О0-спутником / таким, что / (О') =0/огт

(О/0О (О)| О е X),/(Л)=0/огт (010л,ЛЛ (О)| О е X) для всех Л ^ОпК(Х),/(Л)=0, если Л ^СЖ(Х).

Выбирая в лемме 1 0=ОКп-1 , получим

Следствие 1.1 ([4], следствие 1). Пусть X - непустой класс групп, F=ОKnF(X). Тогда F обладает единственным минимальным ОКп-1-спутником / таким, что

/(О') =ОКп^(О/0О (О)| О е X), /(Л)= ОКп^(О0Л,Л (О)| О е X) для всех Л «^ОпК^), /(Л)=0, если Л ^ОК^).

Лемма. ([7], лемма 1). Пусть F =ОKnF(X), где X - непустой класс групп, п>1. Если / -минимальный ОКп_1-значный спутник F , то для любого ОКп_1-значного спутника h формации F имеет место /(Л)=ОКп_^(В1 BеFпh(Л), 0Л(В)=1) для всех Ле К^)пО.

Лемма 3 ([8], лемма 3.2.1). Пусть 0 - полная решетка формаций, ф - направление О-расслоенной формации, ф0<ф, / - минимальный О0-спутник О-расслоенной с направлением ф формации Fг, /£/. Тогда ve (/ | /£/ ) - минимальный 0-значный О-спутник формации F= voFг,e(Fг■ | 1Щ. _

Далее, для каждого терма а( х1,..., х3) сигнатуры {п, voFг,e}будем обозначать через а (х1,..., х5) терм сигнатуры {п, ve }, полученный из а заменой всех вхождений символа voFФe на символ ve . В частности, при 0=ОКп_1, сигнатуры термов, соответственно имеют вид {п, voK } и {п, Vак„_1 }.

Лемма 4 ([7], лемма 7). Пусть 0 - Оф-индуктивная решетка формаций, а(х15...,х^) - терм

сигнатуры {п, ve }, / - внутренний О0-спутник О-расслоенной с направлением ф формации F1,

/=1,^,5. Тогда а( , &) =oF (а( £ ) ,ф) .

Лемма 5 ([3], с 163). Пусть 0 - X-отделимая полная решетка формаций, М - такая ее подрешетка, которая со всякой своей формацией F содержит и все ее однопорожденные подформации вида 0/огтЛ, где Л£X. Тогда тождество а!=а2 сигнатуры {п, Ve} истинно в М, если оно выполняется для всех однопорождённых 0-формаций из М.

Пусть X - некоторый непустой класс групп. Полную решетку формаций 0 называют X-отделимой [3], если для любого терма га(х1; х2, ... , хт) сигнатуры {п, ve}, любых 0-формаций Fl, F2, ... , Fm и любой группы ЛеXnа(F1,F2, ... , Fm) найдутся такие X-группы Л1г Л2, ... , Лт, что

Леа(0/огтЛ1, 0/огтЛ2, ... ,0/огтЛт).

Теорема 1 ([6], теорема 1). Для любого целого неотрицательного п решетка ОКп всех п-кратно О-канонических формаций G-отделима.

Теорема 2. Для любого целого неотрицательного п всякое тождество, справедливое в решетке ОКп-1, справедливо и в решетке ОКп.

Доказательство. Пусть два тождества

а1 (х4,-,ха ) =а2(хл,~.,хь ) , (1) а1 ( х4,-, ха ) =а2 ( хл,-, хь ) (2)

имеют сигнатуры {п, voK } и {п, voK 1 } соответственно. Предположим, что тождество (2)

выполняется в решетке ОКп-1. Покажем, что (1) выполняется в решетке ОКп.

Пусть 5,,., 5, , _ произвольные ОКп-1 -формации, / , - минимальные ОКп-1-

значные спутники формаций 5, , 5, , с=1, ...,а; d=1, ...,Ь. Тогда, по лемме 4,

«1( 5,1.., 5,) (а( /)), а, (5Л,-, (а (/,1—/)).

Для любой простой группы Л ^О, значения спутников имеют вид

а1 (А—) (Л) =“ (/(Л),•■■, /ь (Л)) ■ 52 (Л— Л) (Л) =52 с /ДЛ>- • /,Ь (Л)) ■

и, ввиду справедливости тождества (2) в решетке ОКп-1, получаем равенство

а ( /..../, ) (Л) =а (/,■ /,Ь ) (Л).

Аналогично доказывается равенство

а С /;.../,.) (О) =а (л—л) (О’>.

Таким образом, спутники формаций а1 (5,,.,5, ) и а2 (5,—5 ) совпадают,

следовательно, а1 (5--■ 5,,) =а2 (5,Ь) и тождество (1) выполняется в решетке ОКп.

Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть О - бесконечное множество простых групп. Тогда для любого целого неотрицательного п, всякое тождество, справедливое в решетке ОКп, справедливо и в решетке ОКп-1. Доказательство. Рассмотрим некоторое тождество

“1 (х4>-’ х. ) =а2 (хЛ>. , хь ) (3)

сигнатуры {п, voK }. Предположим, что тождество (3) выполняется в решетке ОКп. Покажем, что в этом случае тождество

“1 ( х,1,. , х. ) =“2 ( хЛ,-, х,ь ) (4)

выполняется в решетке ОКп-1. Ввиду леммы 5 и теоремы 1, для этого достаточно показать, что для произвольных однопорождённых формаций 5,1, •, 5, , 5,1, •, из ОКп-1 справедливо

“ (5,,..., 5.)=“ (5Л,., 5ь ) (3)

Пусть 5, =ОKn-1F(Л ), =ОKn-1F(Л,), с=1,...,а; d=1,...,Ь. Выберем группу Р^О такую,

что Р^К(Л,1,.,Л ,л,1,.,л,ь ) и пусть В, —РП Л, , В, —РП Л, . Формации

М, — ОК^(Вс ), М, — ОК^(В, ) принадлежат решетке ОКп, следовательно, для них выполняется тождество (3):

м—“1 (от,1„.., т,_) —аг (, т,_) —н

Пусть / , /^ , т и h - минимальные ОКп-1-значные спутники формаций М, , М, , М и Н соответственно, с=1,...,а; d=1,...,Ь. Покажем, что , т(Р)—а1 (/ ) (Р) и

т—а (/„,..., ,) (Р).

Обозначим спутник s—а1 (_/,..., / ) и докажем и(Р)—т(Р) индукцией по числу г вхождений

символов из {п, voK 1 } в терм а1 .

Пусть г—1. В случае М—Мк voK Мь по лемме 3, s—fk voK 1 / - минимальный ОКп-1-значный

спутник формации М. Ввиду единственности минимального спутника (лемма 1), 8—т и 8(Р)—т(Р).

В случае М—М^пМ*- имеем s—fkn/ По лемме 2, т(Р)—ОКп_^(Н | НеМ^(Р), 0Р(Н)—1)—ОКп-

lF(H | HеMkпMt п /к (Р)п / (Р), 0р(Н)—1)— ОKn_lF(H | Не /к (Р)п / (Р), 0р(Н)—1). Так как /к -минимальный ОКп-1-значный спутник формации Мк—ОKnF(Bk), по следствию1.1, /к(Р)— ОKn-1F

(Вк/0Р'Р (Вк)) —ОKn-1F(Лk)^0Р,. Тогда для всех НЩ/к(Р)получаем Н^-&Р,, 0Р(Н)—1 и т(Р)=ОКп.

lF(H | Не /к (Р)п/ (Р))—/к (Р)п/ (Р) =з(Р). _

Пусть утверждение верно для всех натуральных чисел, меньших г, и а1 имеет г вхождений

символов из {п Тогда а1 (/ )=а1 (fk1,.,/ )Да1 (ft1,.,/ )где Д е{п

vqk„_1 } и { f^ — , fk, } U { ft,,---, f, M fh,---, fra }• По предположению индукции, значенИЯ ©

(fkl,—, fk,) и минимального QK^-значного спутника формации

© (Mki, — ,Mk;) на P совпадают. То же можно сказать и о значениях на Р спутника

© '(Л—, f,) и минимального QK^-значного спутника формации © (Mtj, —, Mt ) . Так как для r=1 утверждение справедливо, то совпадают и значения на P спутника

©1 (fv —, fkl )А© (f,, —, ftq) = © (А—А) и минимального QK^-значного спутника m формации ©' (Mk, —, Mk, ) А ©'' (Mtj, —, Mt ) = © (M^, —, ) = M . Таким образом, s(P) =

co1 (f 1, —, f ) (P)=m(P) выполняется для любого натурального r.

Аналогично можно показать, что h(P)= ©2 (f^, —, fjb) (P).

В силу равенства формаций M=H и единственности минимального спутника, их минимальные спутники равны: m=h. В частности, m(P)=h(P) и, по доказанному выше, ©

(fh, — , f га ) (P)= ©2 (fA , — , fh ) (P), то есть ©1 (fi (P), — , f a (P)) = ©2 (fh (P) — , fh (P)) . Но

fc (P)=QKn-iF (BtJOP' P (Bc )) =QKn-iF ( A ) = c=l,...,a . Аналогично, f]d (P)=QKn-iF

(Bdd IOP ' P (Bd )) =QKn-1F (Ajd) = Fjd , d=1,...,b. Таким образом,

©1 (, Fa ) =©2 (Fi,.. , Fdb ),

и равенство (3) выполняется.

Теорема доказана.

Из теоремы 2 и теоремы 3 следует

Теорема 4. Пусть Q - бесконечное множество простых групп. Тогда при любом целом неотрицательном n множества тождеств решеток QKn и QKn-1 совпадают.

Следствие 1. Пусть Q - бесконечное множество простых групп. Тогда при любых целых неотрицательных n и m множества тождеств решеток QKn и QKm совпадают.

Частным случаем следствия 1 при Q=I являются результаты, полученные автором в статье [7] для решеток Kn и Kn-1.

Следствие 2. Для любого целого неотрицательного n решетка QKn модулярна. Доказательство. При n=0 решетка QK0 совпадает с решеткой всех формаций, которая модулярна (см. [9]). Ввиду теоремы 2, индукцией по n можно показать, что все тождества решетки QK0 выполняются в решетке QKn. В частности, решетка QKn модулярна.

The lattice QKn of all n-multiply Q-canonical formations of finite groups considered. It is proved, that systems of laws of the lattices QKn and QKm are identical for every infinite set of prime groups Q and every integer non-negative n and m.

The key words: finite group, formation, lattice, n-multiply Q-canonical formation, law of lattice.

Список литературы

1. Ведерников В.А., Сорокина М.М. Q-расслоенные формации и классы Фиттинга// Дискретная математика. 2001. Т.13, Вып.3. С.125-144.

2. Ведерников В.А. Максимальные спутники Q-расслоенных формаций и классов Фиттинга// Труды ИММ УрО РАН. 2001. Т.8. С. 1-23.

3. Скиба А.Н. Алгебра формаций.-Мн.: Беларуская навука, 1997.

4. Скачкова Ю.А. Решетки Q -расслоенных формаций// Дискретная математика. 2002. Т.14, Вып.2. С.85-94.

5. Скачкова Ю.А. Булевы решетки кратно Q-расслоенных формаций // Дискретная математика. 2002. Т.14, Вып.3. С.42-46.

6. Еловикова Ю.А. G-отделимость решетки QKn // Вестник БГУ. 2004. Вып.4. С. 95-98.

7. Еловикова Ю.А. Свойства решетки всех кратно Q-канонических формаций// Дискретная математика. 2006. Т.18, Вып.2. С.146-158.

8. Еловикова Ю.А. Решетки Q-расслоенных формаций конечных групп. Дисс. на соиск. учен. степени канд. физ.-мат. наук. Брянск. 2002.

9. Скиба А.Н. О локальных формациях длины 5 // В сб. Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. Минск: Наука и техника, 1986. С.135-149.

Об авторе

Еловикова Ю.А.-кандидат физмат наук, доцент Брянский государственный университет, кафедра алгебры, [email protected], 89191915393

Laws of the lattices of Q-kanonical formations. Elovikova Iuliia