Прямые разложения w-канонических формаций конечных групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

Точные и естественные науки

361

УДК 512.542

ПРЯМЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ Q-КАНОНИЧЕСКИХ ФОРМАЦИЙ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

Ю.А. Еловикова

Исследуются решетка ОКп всех n-кратно Q-канонических формаций конечных групп. Доказано, что операция прямого суммирования формаций из QKn является алгебраической на решетке QKn , а также показана возможность разложения ОКп -формации F в прямую сумму ее подформаций - атомов решетки QKn(F) в случае дополняемости каждого элемента решетки QKn(F).

Ключевые слова: конечная группа, формация, решетка, n-кратно Q-каноническая формация, прямая сумма формаций, прямое разложение формации.

С точки зрения функционального подхода к заданию формаций конечных групп, впервые изложенного в работах В.А. Ведерникова и М.М. Сорокиной (1999 г), можно ввести в рассмотрение бесконечное множество новых типов формаций, каждый из которых характеризуется определенным направлением ф. Таким образом были определены О-расслоенные формации с различными направлениями [1,2]. Частным случаем О-расслоенных формаций являются композиционные формации, играющие важную роль при изучении конечных неразрешимых групп.

Через О обозначается непустой подкласс класса I всех конечных простых групп, а направление формации определяется как отображение ф класса I во множество всех непустых формаций Фиттинга. В частности, в работах [1, 2] были определены канонические (K-формации) и О-канонические (ОК-формации), имеющие направление ф (A)=GA'GA при всех AeI.

Множества формаций образуют структуру решетки относительно операций пересечения и формационного объединения. В [3] исследуется полная решетка lnT всех n-кратно локальных т-замкнутых формаций.

Множество ОКп всех n-кратно О-канонических формаций также образует полную решетку формаций [4]. Работы автора [4-7] посвящены разработке специального аппарата для применения методов общей теории решеток при изучении n-кратно О-расслоенных и, в частности, ОКп-формаций. Основные результаты данной работы - доказательство замкнутости решетки ОКп относительно операции прямого суммирования а также возможности разложения ОКп -формации F в прямую сумму ее подформаций - атомов решетки ОК„^) в случае дополняемости каждого элемента решетки ОК„^).

Все группы предполагаются конечными. Через G обозначают класс всех конечных групп. Необходимые определения и обозначения можно найти в [1-3]. В частности, функция f : Ои{О'}^{формации групп}, принимающая одинаковые значения на изоморфных группах из О, называется О-формационной функцией или, коротко, QF-функцией. Функция ф : ^{непустые формации Фиттинга}, принимающая одинаковые значения на изоморфных группах из I, называется формационно-радикальной функцией или, коротко, FR-функцией. Согласно [1], формация F называется О-расслоенной с направлением ф, если

F=QF( f, ф )=(GeG| G/Oo(G)e f (О') и G/G^ef (A) для всех AeQ^G)),

где f и ф - некоторые QF-функция и FR -функция соответственно. Функцию f называют О-спутником формации F. В частности, если ф - направление О-канонической формации, получим О-каноническую формацию вида

F =ОKF( f)=(GeG| G/Oo(G)e f (О') и G/OA^(G)e f (A) для всех АеО^К(О)).

Как показано в [4], множество ОК всех О-канонических формаций образует полную решетку формаций. Всякую формацию считают 0-кратно ОК-формацией. Формацию F называют n-кратно ОК -формацией для некоторого натурального n, если она обладает О -спутником, все непустые значения которого являются (п-7)-кратно ОК-формациями. Обозначим ОКп - множество всех n-кратно О-канонических формаций. Если X - некоторый непустой класс групп, то QXnF(X) - пересечение всех формаций из ОКп, содержащих X.

Решетку формаций 6 назовем ограниченной, если (1) еб и существует формация Fe6 такая, что для произвольной формации Неб справедливо включение H çF. Здесь единичную формацию (1) будем рассматривать в качестве минимального непустого элемента решетки 6. Следуя [5], ограниченную решетку формаций 6 будем называть решеткой с дополнениями, если для любой формации Ме6 существует формация Не6 такая, что МПН= (1) и MV6H = F, где F - максимальный элемент решетки 6. Ограниченная решетка формаций называется булевой, если она дистрибутивна и является решеткой с дополнениями.

Если {F, | iel } - набор формаций таких, что

F,nF, = (1), ijel, j,

то, согласно [3], прямой суммой формаций F,, iel называется формация

F = Ф,Е/ Fi = { А х А2 X . . . X А I Aij е F , ij-el, j=1,2, . . . , n, neN}.

Лемма 1. ([5]). Пусть QF^ - множество всех n-кратно О-расслоенных формаций с направлением ф, ф0<ф. Непустая

неединичная формация из QFф имеет лишь тривиальные QFф -подформации, тогда и только тогда, когда она порождается просто группой.

Лемма 2. Пусть {F, | iel } - система ОК- формаций, причем F,= QKF( f, ), где f, - внутренний спутник F,, FinFj= (1) для любых i*j, i, jeI. Если F= ф,е/ F,, то F= О^( f ), где f (О') = F, f (А) = f (A) для всех Âe^F,) ПО и f (А) = 0 при Âe[I \Ue КГ,)] ПО.

Доказательство. Обозначим Н= QKF( f ) и покажем, что H = F. Предположим, что H£F и G - группа наименьшего порядка из H\F. Тогда G - монолитическая группа с монолитом R, причем К^) = (Â). Если £Q, то Oq(G) = 1 и из GeH следует, что G=G/Oo(G)ef (О') = F. Получаем противоречие с выбором G.

Значит, ÂeQ. Так как GeH, то G/ Oaa(G) ef (А) Ф 0. Из строения f заключаем, что f (А) = fi (А)для некоторого iel.

Тогда

G/Oa(G) = G/Оа A(G)ef (А).

Так как f - внутренний спутник F,, то G/OA(G)ef (A)EF,- и, по лемме 2 из [2], GeF,EF, что противоречит выбору G.

362

Вестник Брянского госуниверситета. 2015(3)

Отсюда, GeF и HEF.

Пусть теперь F£H и G - группа наименьшего порядка из F\H. Тогда G - монолитическая группа с монолитом R = GH. Так как GeF, найдутся i1, ..., it такие, что G = G1xG2x. ,.xGt, G.e F , j=1,...t. Из монолитичности G следует, что существует ae{l, . . . , t} такое, что G = Gae F Следовательно,

G/OAA(G)e f (A) = f (A)

a

для любойAeQnK(G) £QnK(Fo). Кроме того, G/Oq(G) eF= f (Q'). Таким образом, GeQKF( f) = H. Следовательно, FEH и F=H. Лемма доказана.

Теорема 1. Формация F = ©¡eI F, , где {F, | iel } - некоторая система n - кратно (тотально) QK-формаций. также является n- кратно (тотально) QK-формацией.

Доказательство проводится индукцией по n, причем справедливость утверждения теоремы при n = l следует из леммы 2. Теорема 2. Пусть FeQKn. Тогда из того, что в F каждый элемент решетки QKn(F) дополняем, следует, что F = ®,eiFj, где {F,- | iel } - набор атомов решетки QKn(F).

Доказательство. Рассмотрим набор {F, | iel } всех атомов решетки QKn(F) и H = ®ieIF,. Очевидно, что HczF и, по теореме 1, HeQKn. Допустим, что HF и G - группа наименьшего порядка из Р\И.Тогда G - монолитическая группа с монолитом M = GH. Так как HcF и HeQKn , то HeQKn(F). По условию, H дополняема в F, то есть найдется такая формация McF, что HnM = (1) и F = HVM = H©M. Поскольку GgH, из монолитичности G заключаем, что GeM и G/М eMnH= (1). Таким образом, G = М, G- простая группа и по лемме 1 QKF(G) - атом решетки QKn.. Получаем, что GeQKF(G)czH, что противоречит выбору G. Значит, F = H.

It is proved, that the operation of direct summation is algebraic on QKn as well as the possibility of decomposition оа QKn -formation F to the direct sum of its subformations - atoms of the lattice QKn (F), in the case of the complementarity of each element of the lattice QKn (F). Keywords: finite group, formation, lattice, n-multiply Q-canonical formation, the direct sum of formations.

Список литературы

1. Ведерников В.А., Сорокина М.М. Q-расслоенные формации и классы Фиттинга// Дискретная математика. 2001. Т.13, Вып.3. С.125-144.

2. Ведерников В.А. Максимальные спутники Q-расслоенных формаций и классов Фиттинга// Труды ИММ УрО РАН. 2001. Т.8. С.1-23.

3. Скиба А.Н. Алгебра формаций. Мн.: Беларуская навука, 1997.

4. Скачкова Ю.А. Решетки Q -расслоенных формаций// Дискретная математика. 2002. Т.14, Вып.2. С.85-94.

5. Скачкова Ю.А. Булевы решетки кратно Q-расслоенных формаций // Дискретная математика. 2002. Т. 14, Вып.3. С.42-46.

6. Еловикова Ю.А. G-отделимость решетки QKn // Вестник БГУ-2004.-Вып.4.- С. 95-98.

7. Еловикова Ю.А. Свойства решетки всех кратно Q-канонических формаций// Дискретная математика. 2006. Т.18, Вып.2. С.146-158.

8. Еловикова Ю.А. Решетки Q-расслоенных формаций конечных групп. - Дисс. на соиск. учен. степени канд. физ.-мат. наук. Брянск. 2002.

9. Скиба А.Н. О локальных формациях длины 5 // В сб. Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. Минск: Наука и техника, 1986. С.135-149.

Об авторе

Еловикова Ю.А. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровсого, [email protected]

УДК 550.836

РОЛЬ ГЕОТЕРМИЧЕСКОГО ФАКТОРА В ФОРМИРОВАНИИ СЕРОВОДОРОДСОДЕРЖАЩЕГО

ВОДО-НЕФТЯНОГО КОМПЛЕКСА ПАЛЕОГЕНА ЮЖНОГО БОРТА ФЕРГАНСКОЙ ВПАДИНЫ

М.Р. Жураев, Р.А. Турсунметов, М.А. Куличкина

В статье определены эталонная геотермического градиента с целью выявления средней температуры сероводородсодержащего продуктивного комплекса палеогена, а также уточнена геотермического фактора нефтегазоносных месторождений по южному борту Ферганской впадины. Ключевые слова: геотермический градиент, температурном интервале, в продуктивных горизонтов, развиваются сульфатвосстанавли-вающие бактерии.

Введение

В 1950-1960 гг. прошлого века были проведены геологоразведочные работы с целью поиска нефтяных месторождений в южной части Ферганской впадины. В результате были выявлены многие нефтегазоносные месторождения палеогена. Попутно были обнаружены сероводородные воды в некоторых скважинах на антиклинальных структурах Северный Сох, Чонгара-Гальча, Чимион, Андижан, Палванташ, Ходжаабад и Южный Аламышик (рис.1) [6]. На основе анализа и обобщения геолого-геофизических выполненных данных работ появилась возможность изучения формирование сероводородных вод, для выявления роли геотермического фактора в формировании сероводородсодержащего водо-нефтяного комплекса палеогена южного борта Ферганской впадины.