Индуктивные решетки кратно w-расслоенных классов Фиттинга Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.542

ИНДУКТИВНЫЕ РЕШЕТКИ КРАТНО О -РАССЛОЕННЫХ КЛАССОВ ФИТТИНГА

О.В. Камозина

Рассматриваются только конечные группы. Для полной решетки классов Фиттинга в работе введено понятие ОЯрЬ -индуктивности и

доказано, что решетки ОКЬп , Оси, и Q являются окь -индуктивными, решетки ОВЬп и Q являются оBL -индуктивными. Ключевые слова: конечная группа, класс Фиттинга, ^.-канонический класс Фиттинга, П-биканонический класс Фиттинга, полная решетка, о кь -индуктивная решетка, о вь -индуктивная решетка.

Понятие индуктивности является одним из фундаментальных в теории решеток (приложения см. [1]). В работе А.Н. Скибы [1] доказана индуктивность решетки и-кратно локальных формаций, в работе Н.Н. Воробьева [2] доказана индуктивность решетки тотально локальных формаций, и-кратно и тотально локальных классов Фиттинга. В данной работе исследуются и-кратно О -канонические классы Фиттинга (Ос и, и - класс всех абелевых групп), и-кратно О -бикано-нические классы Фиттинга, а также классы Фиттинга, замкнутые относительно гомоморфных образов.

Рассматриваются только конечные группы. Необходимые определения и обозначения можно найти в [3,4,5]. В частности, О обозначает непустой подкласс класса всех конечных простых групп i, О' = i \ О. Функция f: О и { О'} ^

{классы Фиттинга групп} называется Оя -функцией, функция р : I ^ {непустые формации Фиттинга} называется ЕЯ -функцией. Все рассматриваемые функции принимают одинаковые значения на изоморфных группах из их области определения. Класс Фиттинга Г = ОЯ(/,р) = (G : О О (G) е f( О') и Gр(А) е f(A) для всех А еОп K(G)) называется О -расслоенным с О -спутником f и направлением р . При рассмотрении различных направлений получаются различные классы Фиттинга. В частности, класс Фиттинга Г =ОR(f,р) называется О -биканоническим и обозначается Г = ОВЯ ( f ) , если р(А) = ц/2(А) = GА для любой неабелевой Аеi и р(А) = ц/2 (А) = GAGА для любой абеле-вой Ае i; О -каноническим и обозначается Г = О КЯ ( f ) , если р( А) = ц' (А) = G А G А для любой Ае i.

При п > 1 класс Фиттинга г называется и-кратно О -расслоенным с направлением р , если г имеет хотя бы один О -спутник, все непустые значения которого являются (п — 1) -кратно О -расслоенными классами Фиттинга с тем же направлением р ; 0-кратно О -расслоенным с направлением р считается всякий класс Фиттинга; Ояп обозначает множество всех П-кратно О -расслоенным с направлением р .

Пусть 0 - полная решетка классов Фиттинга и - произвольная непустая совокупность групп. Пересечение всех 0-классов Фиттинга, содержащих x, обозначается через (0fitX . Оя -функция называется 0-значной, или коротко ОЯ0 -функцией, если все ее значения принадлежат 0. Через ОЯ0 обозначается множество всех О-расслоенных классов Фиттинга с направлением р , обладающих хотя бы одним О0 -спутником. Пересечение всех ОЯр0 -классов Фиттинга, содержащих x, обозначается через О Я 0(х , р).

Для произвольной совокупности 0-классов Фиттинга i е /| полагают V0 (Гг | i е I )= ffit^ и Г1 ^ . Если

{/¿| i е I1 - система ОЯ0 -функций, то через V0 (/ i е I) обозначают такую ОЯ0 -функцию, что

Vе / i е I )(а) = Vе (/ (а) i е I) для любой А е0и{0}

В теории классов Фиттинга большое значение имеет введенный Локеттом оператор «Г *». Напомним, что Г * -наименьший (по включению) класс Фиттинга, содержащий класс Фиттинга г и такой, что для любых групп G и

н

справедливо равенство X Н)р* = С^* X Н. Классом Локетта называется называется такой класс Фиттинга г, что

Г = Г *. Локальный класс Фиттинга является Локетта [6]. Однако СО -локальный класс Фиттинга при произвольном С уже перестает быть таковым. Это относится и к

О -расслоенным классам Фиттинга. Потому вместо понятия индуктивности в работе введем понятие ОЯ^Ь -индуктивности. Перейдем к изложению полученных результатов.

Обозначим через ОЯ 9 Ь0 множество классов Фиттинга из ОЯ0, являющихся классами Локетта; ОЯЬ(/,р) -

О

-расслоенный класс Фиттинга с О -спутником / и направлением р , являющийся классом Локетта.

Полную решетку классов Фиттинга 0 назовем ОЯрЬ -индуктивной, если для любого набора i е I} классов Фиттинга из О Я Ь0 и всякого набора ул 1 е I { внутренних

О0 -спутников /i, где Г1 = ОЯЬ(р) , имеет место

(Г i е I ) = ОRL(vf(/^|i е I), р).

Из леммы 3 [5] получаем следствия

Следствие 1. Пусть - непустой класс групп, в - полная решетка классов Фиттинга и F = Q K 0R (X ). Тогда f обладает единственным минимальным Ов -спутником f таким, что f (a)=eß{oQ(G} g g x), f(A) = eßt(oA^A(G\ G G x) для всех A g Q n K( X ) и f (a ) = 0 для всех A g Q \ K( X ) . Следствие 2. Пусть

x - непустой класс групп, в - полная решетка классов Фиттинга и F = QB eR (X ). Тогда f обладает единственным минимальным Ов -спутником f таким, что f(Q') = ft(oq(g)| g g X),

f(A) = 6ft(oA'(G) G G x) для всех A g(q \ U)n K( X ) ,f(A) = ft^'(g) G G x) для всех A G Qn U n K(X) и f (A) = 0 для всех A g Q \K(X ) .

Лемма 1. Пусть Q с U и в - полная решетка классов Фиттинга такая, что QKL всв, eG A с в для всех A G Q, причем если h G в, то H * g в . Если F = Q KLR ( f) , где f - его минимальный Qв -спутник, то класс Фиттинга f обладает единственным максимальным внутренним

Qв -спутником h, где h (Q') = F и

hA) = f (A)Ga для всех A gQ .

Доказательство. Поскольку F = QKвR(F ) , то по следствию 1 его минимальный Qв -спутник f имеет

следующее строение: f(Q' ) = ft(oQ(G\ G G f), ДЛ) = вГп(оАА (g) G G f) для всех A g Qn K( F ) и f (A )= 0 для всех A gQ \ K( F ) . Так как QKLв с в , то f(A) с Q KвR( F ) = F для всех A gQu{Q' j. Значит, f - внутренний Q в -спутник f. Тогда по теореме 6 [4] f обладает единственным максимальным внутренним Q

-спутником h, причем h (Q') = F и h(A) = f (A)Ga для всех a gQ . Так как f(A) g0, и значит, f (A) Gв,

то f (A)Ga свОА сви h (A) g в для всех A gQ . Кроме того, из QKL в с в следует, что f Gв, и значит, h (Q')

g в . Следовательно, h - в -значный Q -спутник. Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть в - полная решетка классов Фиттинга такая, что QBL всв, вGA с в для всех A G Q n u, причем если h G в , то H * g в . Если F = QBLR ( f) , где f - его минимальный Qв -спутник, то класс Фиттинга f обладает единственным максимальным внутренним Qв -спутником h, где h (А )= F , если A g {Q'}u (q \ U ) и

h(A) = f (A)Ga для всех A gQ n u .

Доказательство. Поскольку F = QBвR(F ) , то по следствию 2 его минимальный Ов -спутник f имеет следующее строение: f(Q') = f t(oQ (g) G G f), f(A) = fti^ (g) G G f) для всех A g(q \ U )n K( F ) ,

= G G F) для всех A g Q n U n K( F ) и f (A )=0 для всех A gQ \K( F ) . Так как

QBLв св , то f(А) сQBвR( F ) = F для всех A gQu{Q'}, и значит, f - внутренний

Ов -спутник f . Тогда

по теореме 7 [4] f обладает единственным максимальным внутренним Q -спутником h, строение которого описано в

заключении леммы. Так как f (A) g в , и значит, f (A) G в, то f (A)Ga св^А св и h(A)g в для всех A G Q n u . Так как QBL всв, то f Gв, и значит, h (A )g в , если A g {Q'ju (q \ U ). Следовательно, h - в-знач-ный

Q -спутник. Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть Ос U и в - полная решетка классов Фиттинга, причем QKL всв, вG A с в для всех A G Q, и если h G в , то H * g в . Тогда в является QKL -индуктивной решеткой.

Доказательство. Пусть F =QKRf), где f - внутренний Q в -спутник F-t, Ig I. Обозначим через f = V (F i GI) и M = Q KLR (f ), где f = V (f | i GI). Покажем, что

f = m. Так как

f(A) £4Gf (A) с^1(ЧGí f(A)) = f(A) для любой A g Q u {Q'j, то f < f, i GI. Тогда F сM, i gI , и следовательно, F с M .

Покажем, что M с F . Ввиду следствия 1 и леммы 1 существуют следующие спутники: m - минимальный Ов -спутник Fi, m - минимальный Ов -спутник f, hi - максимальный внутренний Ов -спутник F-t, h - максимальный внутренний Ов -спутник f. Пусть A G Q. Так как mi (А) с ffituG mi (А)), то по лемме 4 [5] и теореме 1.8 [7]

щ(Л) с (ф(и1е1 т,(Л)))* — (m(A))* — mi (Л). Тогда, учитывая строение максимальных спутников классов Фит-тинга F и f, получаем следующие включения:

f (Л) — в fit (u^f (Л)) с в fit (Л)) — в fit (u1е1т; ( A)Ga ) с в fit (и^т* (Л)) G с т (A)GA — h(A) .

Пусть Л е {Q'}. Так как fi - внутренний Q в-спутник F, то fi(A) СF СF, i е 1. Кроме того,

F е QKL0 св, и следовательно, f(A) — в! (u^f (Л)) с F—h(A).

Таким образом, f (Л) с h(Л) для всех Л е Q u {Q'}. Поэтому f < h и M с F . Теорема доказана. Теорема 2. Пусть в - полная решетка классов Фиттинга, причем QBL в с в, ввА с в для всех Л eQn u, и если h ев, то H * е в . Тогда в является QBL -индуктивной решеткой.

Доказательство. Пусть F — QBR(J), где fi - внутренний Qв -спутник F, i е 1. Покажем, что

f — vQBLв(F^| i е 1) — QBLRf) — m, где f — v(>(f\ i еl). Так как f < f, то F сM, i е 1, и значит, F с M .

Покажем обратное включение. Ввиду следствия 2 и леммы 2 существуют следующие спутники: m - минимальный ш -спутник -L i, т - минимальный ш -спутник F , rii - максимальный внутренний ш -спутник i i, h - максимальный внутренний Qв -спутник f. Как и в теореме 1 можно показать, что f (Л) с h(Л) для всех Л е Q u {Q'} (случай Л е Q n u рассматривается аналогично случаю Л е Q, случай Л е {Q'}u (Q \ U ) - аналогично случаю Л е {Q'}). Следовательно, f < h и M с F . Теорема доказана.

Лемма 3. Для множества Q всех классов Фиттинга, замкнутых относительно взятия гомоморфных образов, справедливы включения:

1) QKQ с Q ; 2) QBQ с Q . Доказательство. 1) Пусть G е F — Q KR ( f ), где все значения f принадлежат Q , и N < G. Покажем, что G/N е F

N

. Пусть Л е Q n KGN)с Q n K(G). Из G е f следует, что С44 (G) е f(A)еQ и СР^)е f(Q )еQ. Тогда

(G/ Y^ — САА (G )N / - CA A (G)/ UA )

VN/ — /N - /СА А'(G) n N е J(A)'

G/ )G" — С Q (G)N/ - С Q (G)

N1 - /Я- /О О (О) п N е /() .

Таким образом, е Г .

2) Доказательство проводится аналогично 1). Лемма доказана.

Замечание 1. Согласно свойству 1.25 [7], классы Фиттинга из Q являются классами Локетта. В частности, формация Фиттинга G А является классом Локетта.

Замечание 2. Нетрудно показать, что G А для всех А е i является каноническим классом Фиттинга со спутником / таким, что /(А) = (1) и /(В ) = 0 для всех В е I \( А) . Тогда по следствию 21 [3] G А является О -каноническим классом Фиттинга для любого непустого класса Ос I . По индукции, учитывая строение спутника, получаем, что С А е О К п .

Замечание 3. Можно показать, что формация Фиттинга С А для всех А е i является биканоническим классом Фиттинга со спутником / , причем, если А - абелева группа, то / имеет следующее строение: /(А) = (1) и /(В ) = 0 для всех В е I \( А) ; если А - неабелева группа, то / имеет вид: /(А) = С А и / (В ) = 0 для всех В е I \( А) . По теореме 9 [3] С А является О -биканоническим классом Фиттинга для любого непустого класса Ос I и по индукции С А е О Вп.

Лемма 4. Для любого натурального п и простой группы А справедливы следующие включения:

1) О КЬп С А с О КЬп ; 2) О ВЬп С А с О ВЬп ; 3) б С А с 0 .

Доказательство. 1) и 2) непосредственно следуют из замечания 2 и следствия 4 [8], замечания 3 и теоремы 1 [9]; замечания 1, леммы 1.26 [7].

3) Пусть Г е б , О е ГС А и N < О. Рассмотрим фактор-группу О^ ■ Так как О е ГС А, то ^^ е С А , и

значит, СЛ (G) с GF е F . Из F е Q получаем

СА G/N )- СА

И следовательно, СА G/N )с ^G/N) ' Тогда

СА (G/ )- СА(0)Х/ - СА(0)/ F

С У/N )- /N - /СA(G) n N е

N/(o/) е

\/N> F

и значит, е FG a . Лемма доказана.

Замечание 4. Множества QKL, QBLn и Q являются полными решетками, поскольку пересечение любой совокупности классов Локетта снова класс Локетта по свойству 1.13 [8].

Следствие 2. Решетки QKLn, Qc U, и Q являются Qkl -индуктивными.

Доказательство. Так как Q KL Q KL n c Q KLn, то ввиду леммы 4 и теоремы 1 получаем, что QKL" является QKL -индуктивной. Учитывая леммы 3 и 4, теорему 1, получаем, что Q - QKL -индуктивная решетка. Следствие 3. Решетки QBLn и Q являются QBL -индуктивными.

Доказательство. Из QBL QBLn c QBLn, леммы 4 и теоремы 2 получаем, что QBLn является Qbl -индуктивной. По леммам 3 и 4, теореме 2, получаем, что решетка Q - QBL -индуктивна.

Only finite groups are considered. For a complete lattice Fitting classes in the work introduced the concept of QR^L -inductance and it is

proved that the lattices QKLn , QcU, and Q are qkl -inductive, the lattices QBLn and Q are qbl -inductive.

Keywords: finite group, Fitting class, Q-canonical Fitting class, Q-bicanonical Fitting class, complete lattice, q kl -inductive lattice, q bl -

inductive lattice.

Список литературы

1. Скиба А.Н. Алгебра формаций. Мн.: Беларуская навука, 1997. 240 c.

2. Воробьев Н.Н. Об индуктивных решетках формаций и классов Фитинга // Препринт № 77. Гомель: ГГУ, 1998.

3. Ведерников В.А., Сорокина М. М. ^-расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп // Дискретная математика, 2001. Т. 13, № 3. С. 125-144.

4. Vedernikov V.A. Maximal satellites of ^-foliated formations and Fitting classes. // Proc. оf the Steclov Institute of Mathematics, 2001. Suppl. 2. p. 217-233.

5. Камозина О.В. Алгебраические решетки кратно ^-расслоенных классов Фитинга // Дискрет. матем., 2006. Т. 18, №2. С. 139-145.

6. Воробьев Н.Т. О радикальных классах конечных групп с условием Локетта // Матем. заметки, 1988. Т.43, №2. С. 161-168.

7. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groupes., Berlin - New York: Walter de Gruyter, 1992. 889 p.

8. Сыромолотова О.В. Произведения классов Фиттинга конечных групп // Матем. заметки, 2004. Т.75, №2. С. 269-276.

9. Сыромолотова О.В. О произведении ^-расслоенных классов Фиттинга // Материалы регион. науч.-техн. конф. «Вклад ученых и специалистов в нац. эк.». Брянск: БГИТА, 2002. С. 279-280.

Об авторе

Камозина О.В. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики Брянского государственного инженерно-технологического университета, ovkamozina@yandex.ru

УДК 535.5.031:62-434.5

ОБТЕКАНИЕ ПОТОКОМ ЖИДКОСТИ ВНУТРЕННЕЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА

Р.П. Капустин

Предложено решение уравнения Стокса и точное решение задачи осесимметричного обтекания потоком идеальной жидкости внутренней поверхности конуса.

Ключевые слова: функция тока, угол конуса, осесимметричный поток.

Для решения задачи обтекания потоком жидкости внутренней поверхности конуса, например, гидроциклона, достаточно найти выражение функции тока, удовлетворяющей уравнению Стокса Л х¥= 0 (1) и уравнению сплошности (неразрывности) div V= 0.

Ду = У + К - - у'г = о. (1)

г

Для облегчения решения поставленной задачи принята идеальная несжимаемая жидкость.

Функция тока должна удовлетворять условию: на границе обтекаемой поверхности и на оси симметрии у = 0.

Искомую функцию тока представим комбинацией двух функций

У = Ур + Уо , (2)