CC BY
4
Челябинский физико-математический журнал. 2021. Т. 6, вып. 2. С. 152-161.
УДК 512.542 БОТ: 10.47475/2500-0101-2021-16202
СПУТНИКИ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ ^(-РАССЛОЕННЫХ классов фиттинга
О. В. Камозина
Брянский государственный инженерно-технологический университет, Брянск, Россия [email protected]
Все группы предполагаются конечными. О£-расслоенным классом Фиттинга с О£-спутником / и ^-направлением у называется класс Фиттинга О£Д(/, у) = (с : Оп(С) € /(О') и € /(О п (,) для всех О п С. € ОС(С)). Направления
О^-свободного и О^-канонического классов Фиттинга обозначаются через уо и у1 соответственно. В работе описан минимальный О£-спутник О£-расслоенного класса Фиттинга с О^-направлением у, где уо < у. Показано, что фиттингово произведение двух О£-расслоенных классов Фиттинга является О£-расслоенным классом Фиттинга для О£-направлений у, таких, что уо < у < У1. Для О^-свободных и О£-канонических классов Фиттинга получены результаты в качестве следствий из теорем. Описаны максимальный внутренний О^-спутник О^-свободного класса Фиттинга и максимальный внутренний О££-спутник О^-канонического класса Фиттинга. Полученные результаты могут быть использованы для исследования решёток, дальнейшего изучения произведений и критических О^-расслоенных классов Фиттинга.
Ключевые слова: конечная группа, класс Фиттинга, О£ -расслоенный, ОС,-свободный, О£ -канонический, минимальный О£-спутник, максимальный внутренний О£-спутник, фиттингово произведение.
Введение
В исследованиях формаций и классов Фиттинга большое значение имеет информация об их минимальных, максимальных спутниках, а также спутниках произведений. Используя строение минимального и максимального спутника, Ю. А. Скач-кова в работе [1] установила индуктивность и модулярность решётки всех п-кратно П-канонических формаций и решётки всех п-кратно П-биканонических формаций. А. Б. Еловиков в работе [2] описал класс однопорождённых несократимых произведений П-расслоенных формаций. В. А. Ведерников и В. Е. Егорова в работах [3; 4] изучили критические неоднопорождённые тотально канонические формации и классы Фиттинга.
В работе автора [5] с помощью идеи А. Н. Скибы из работы [6] разбиения области определения спутников были введены -расслоенные классы Фиттинга. Цель данной работы — описать строение минимального и максимального внутреннего спутников П(-расслоенных классов Фиттинга и установить, является ли фиттингово произведение двух -расслоенных классов Фиттинга -расслоенным классом Фиттинга.
Все группы предполагаются конечными. Класс групп ^ называется классом Фиттинга, если он замкнут относительно взятия нормальных подгрупп и произведений нормальных ^-подгрупп. Класс групп ^ называется формацией Фиттинга,
если F является формацией и классом Фиттинга одновременно. Группа G называется комонолитической, если в G имеется такая нормальная подгруппа M (комо-нолит группы G), что G/M — простая группа, и любая собственная нормальная подгруппа N группы G содержится в M [7].
Если X и V — классы групп, то XV = (G : G имеет нормальную подгруппу N G X с G/N G V). Если X — класс Фиттинга и V — класс групп, то X о V = (G : G/Gx G V) называется фиттинговым произведением X с V. ?* обозначает наименьший класс Фиттинга, содержащий непустой класс Фиттинга ?, такой, что (G х H)?* = G?* х H?* для всех групп G и H. Класс Фиттинга F называется классом Локетта, если F = F* [8].
I обозначает класс всех простых групп, П — непустой подкласс класса I, П' = I \ П, K(G) обозначает класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы G; G обозначает класс всех конечных групп, Gq и Gq/ — классы всех П- и П'-групп соответственно, П-группа — группа G, где K (G) Ç П [9]; Z = (Zi | i G I}, где Zi — непустой подкласс класса I, I = Uie/Zi и Zi П Zj = 0 для всех i = j, ^ = (П П Zi | П П Zi = 0}, ^ (G) = (П П Zi | П П Zi П K (G) = 0}, ^ (F) = (^(G) | G G F} для любого класса групп ?.
Все рассматриваемые функции принимают одинаковые значения на изоморфных группах их области определения. Функция f : ^ U (П'} ^ (классы Фиттинга групп}, где f (П') = 0, называется ^Я-функцией; функция р : ПZ U (П'} ^ (непустые формации Фиттинга} называется ^ТЯ-функцией. ^ТЯ-функции р0 и р1 определяются следующим образом: р0(П') = Gq, р0(П П Zt) = G(Qnzi)/ для любого П П Zi G ^; Р1(П') = Gq, ^1(П П Zi) = Gnnç,G^n&y для любого П П Zi G ^.
Класс Фиттинга F = ^R(f, р) = (g : Oq (G) G f (П') и G^(QnÇi) G f (П П Zi)
для всех П П Zi G ^(G) j, где f — ^Я-функция, р — ^ТЯ-функция, называется ^-расслоенным классом Фиттинга с ПZ-спутником f и ПZ-направлением р. ПZ-спутник f класса Фиттинга F = ^R(f, р) называется внутренним, если f (П') Ç F и f (П П Zi) Ç F для любого П П Zi G ^. Класс Фиттинга F = ^R(f, р) называется ПZ-свободным классом Фиттинга и обозначается F = ^FrR(f ), если р = р0; ПZ-каноническим классом Фиттинга и обозначается F = ^KR(f ), если р = р^
Пусть и — произвольные ^Я-функции (^ТЯ-функции). Полагаем, что < если ^(П') Ç ^2(П') и ^(П П Zi) Ç (П П Zi) для всех П П Zi G ПZ [5].
1. Минимальный ^Z-спутник ^Z-расслоенного класса Фиттинга
Пусть (fj | j G J} — множество ^Я-функций. Через П,^fj обозначим такую ^Я-функцию f, что f (П') = П,^fj(П') и f (П П Zi) = П,^fj(П П Zi) для всех П П Zi G ^.
Лемма 1. Пусть р — произвольная ПZFЯ-функцuл; F = П,^?, , где Fj = , р), j G J. Тогда ? = ^R(f, р), где f = П, е j f,.
Доказательство. Пусть H = ^R(f, р). Покажем, что ? = H.
Пусть G G ?. Так как ? = П, eJ Fj, то G G ?, для любого j G J. Из ?j = ,р) получаем, что OQ(G) G fj(П') и G^(QnÇi) G fj(П П Zi) для всех П П Zi G ^ (G) и для любого j G J. Тогда OQ(G) G П, e j fj (П') = f (П') и G^(QnÇi) G П, e j fj (П П Zi) = f (П П Zi) для всех П П Zi G ПZ(G). Следовательно, G G H и ? Ç H.
Пусть Т € Н. Тогда Оп(Т) € /(П') = П,^/,(П') и Т^(Пп« € /(П П £) = П,^/,(П П (г) для всех П П Сг € П((Т). Отсюда следует, что Оп(Т) € /,(П') и Т*>(ппсо € / (П П (г) для всех П П & € П((Т) и для любого ] € 7. Поэтому Т € , € 7, а значит, Т € = Таким образом, Н С $ и лемма доказана. □
Определение 1. Пусть $ — ПС-расслоенный класс Фиттинга с ПС-направлением у и {/, | ] € 7} — множество всех его П(-спутников. Тогда П(-спутник / класса Фиттинга $ назовём минимальным П(-спутником, если / является минимальным элементом множества {/, | ] € 7}, т. е. / < /,, € 7.
Пусть X — непустое множество групп. Напомним, что fit(X) обозначает пересечение всех классов Фиттинга, содержащих X [7]. Аналогично, обозначим через П(Я(£, у) пересечение всех П(-расслоенных классов Фиттинга с П(-направлением у, содержащих X.
Теорема 1. Пусть X — непустой класс групп. Тогда П(-расслоенный класс Фиттинга $ = П^Я^, у) с П(-направлением у, где у0 < у, обладает единственным минимальным П(-спутником /, таким, что
/(П')^(оп(С): с € X;
/(П П Сг) = fit(С^(Пп« : С € X, если П П (г € П((X);
/(П П (г) = 0, если П П (г € ПС \ ПС(X).
Доказательство. Согласно примеру 2 [5] Ф является ПС-расслоенным классом Фиттинга с ПС-направлением у, где у0 < у. Кроме того, X С Ф. Значит, класс Фиттинга $ = ПСЯ^, у) существует и множество Ь всех его ПС-спутников непусто. Обозначим через / пересечение всех элементов из Ь. Тогда по лемме 1 $ = ПСЯ(/ь у). Так как /1 < /г для любого /г € Ь, то /1 — единственный минимальный ПС-спутник класса Фиттинга
Пусть / — ПСЯ-функция, описанная в заключении теоремы. Покажем, что / = /1. Пусть Т € X. Тогда Оп(Т) € /(П') и из ПС(Т) С ПС(X) следует, что Т^пгх.) € /(П П Сг) для всех П П Сг € ПС(Т). Значит, Т € П£Я(/, у) и X С П£Я(/, у). Следовательно, $ = П^Я^, у) С П(Я(/, у).
Покажем, что П£Я(/, у) С Если С € X, то из X С $ получаем, что С € $ = П(Я(/1, у), а значит, Оп(С) € /1(П'). Так как /1(П') — класс Фиттинга, то
/(П') = fit(Оп(С) : С € XС /1(П').
Пусть П П Сг € ПС (X). Тогда найдётся такая группа Н € X С что П П Сг € ПС(Н). Из $ = П<Я(/Ь у) следует, что Н^(Пп^ € Л(П П Сг). Поэтому /1(П П Сг) = 0. Если С € X и П П Сг € ПС (С), то из X С $ = П<Я(/Ь у) получаем, что С^(Пп<^ € /1(П П Сг). Пусть теперь П П Сг € ПС (X) \ ПС (С). Тогда С — (П П Сг )'-группа. Так как по условию у0 < у, то С € )' = у0(П П Сг) С у(П П Сг), а значит, = 1 €
/1(П П Сг). Так как /1(П П Сг) — класс Фиттинга, то /(П П Сг) = fit(С^(Пп<^ : С € С
Л(ПП<г). Если ППСг € П\ПС(X), то /(ППСг) = 0 С Л(ППСг). Таким образом, / < /1. Пусть 5 € П<Я(/, у). Тогда 0П(£) € /(П') С Л(П') и 5€ /(П ПСг) С Л(П ПСг) для всех П П Сг € ПС(5). Значит, 5 € П<Я(/Ь у) = $ и П£Я(/, у) С П<Я(/Ь у) =
Следовательно, $ = П£Я(/, у) и / € Ь. Так как /1 — единственный минимальный ПС-спутник класса Фиттинга то из / < /1 следует, что / = /1. □
Следствие 1. Пусть /г — минимальный ПС-спутник ПС -расслоенного класса Фиттинга с ПС-направлением у, где у0 < у, г = 1, 2. Тогда соотношение С выполняется в том и только в том случае, когда /1 < /2.
Доказательство. Пусть / < /2. Тогда, как и в доказательстве теоремы 1, можно показать, что 5 = П^Я(/ь р) С ПСЯ(/2, р) = 5г.
Пусть 51 С 52. Покажем, что /1 < /2. Так как 51 С ПСЯ(5ъР) и 52 С П(Д(52, р), то из теоремы 1 следует, что
/1 (П') = fit(Оп(С) : С е С 0«(О : С е = /г(П');
Л(П П Сг) = fit(С^(Пп« : С е С fi^С^(ПnZi) : С е ) = /г(П п Сг), если
П п (г е (51) С ПС(5г); /1(П П Сг) = 0 С /г(П П Сг), если П П Сг е ПС \ ПС(51).
Тогда по определению /1 < /2. Следствие доказано. □
Следствие 2. Пусть X — непустой класс групп. Тогда ПС-свободный класс Фиттинга 5 = ПС^гД(Х) обладает единственным минимальным ПС-спутником /, таким, что
/(П')^(оп(С): с е X;
/(П П Сг) = fit(0(пп«'(С) : С е X, если П П Сг е ПС(X); /(П П Сг) = 0, если П П Сг е ПС \ ПС(X).
Следствие 3. Пусть X — непустой класс групп. Тогда ПС-канонический класс Фиттинга 5 = П^КЯ^) обладает единственным минимальным ПС-спутником /, таким, что
/(П')^(Оп(С) : С е X;
/(П П Сг) = fit(0ПпС*'(ПпС*)' (С) : С е X, если П П Сг е ПС(X); /(П П Сг) = 0, если П П Сг е ПС \ ПС(X).
2. Фиттингово произведение -расслоенных классов Фиттинга
Определение 2. ПС-направление р ПС-расслоенного класса Фиттинга назовём правильным, если р(П П Сг)®(пп^}' = р(П П Сг) для всех П П Сг е ПС.
Теорема 2. Пусть М и Н — ПС -расслоенные классы Фиттинга с внутренними ПС-спутниками т и Л, соответственно и с правильным ПС-направлением р, где р0 < Р < Рь Тогда 5 = М о Н является ПС -расслоенным классом Фиттинга с ПС-направлением р и с внутренним ПС-спутником /, таким, что
/ (П') = 5;
/(П П Сг) = М о й(П П Сг), если П П Сг е ПС(Н); /(П П СО = т(П П Сг), если П П Сг е ПС \ ПС(Н).
Доказательство. Пусть 51 = П^Я(/, р), где / — ПСЯ-функция, описанная в формулировке теоремы.
1) Покажем, что 5 С 5ь Допустим противное, и пусть Т — группа наименьшего порядка из 5 \ 51. Тогда Т — комонолитическая с комонолитом М = Т?1. Так как Т е 5 и Оп(Т) < Т, то Оп(Т) е 5 = /(П').
а) Пусть Т = ТМ. Тогда Т е М и из того, что М = ПСЯ(т, р), получаем, что Те т(П П Сг) для всех П П Сг е ПС(Т).
Если П П (г G (H), то найдётся такая группа H G H, что П П (г G (H). Из H = H(R(h, р) следует, что H^(nnZ;) G й(П П £). Поэтому h(H П Zi) = 0. Тогда, учитывая, что m — внутренний -спутник класса Фиттинга M, получем Т^(nnZi) g т(П П Zi) С M С Mо h(n П Zi) = f (П П Zi).
Если П П Zi G nZ \ nZ(H), то T^(nnZ;) G т(П П Zi) = f (П П Zi).
Таким образом, T G Fi. Получили противоречие.
б) Пусть T = Тм. Тогда Тм С М. Из T G F = Mо H следует, что Т/Тм G H.
Допустим, что T/M является П'-группой. Тогда L = Оп (T) С М G Fb Так как T/L G С 0(пп&)' и T/L = T/L^(nnZ;)/L/L^(nnZ;), то Т^(ппс;) G <^(П П Zi)G(niXi)' для всех П П Zi G ПZ(L) = ^(T). Поскольку ^ является правильным ПZ-направлением, то <£(ПП£г)6(П|Х;)' = ^(П^^, а следовательно, T/L^(nnZi) G <^(ПП£г). Тогда T^(nnZi) С L^(nnZi). Из L G F1 получаем, что L^(nnZi) G f (П П Zi). Тогда T^(nnZi) g f (П П Zi), а значит, T G F1. Получили противоречие. Следовательно, T/M является П -группой.
Так как T/M = Т/Тм/М/Тм, то ПZ(T/M) С ПZ(Т/Тм) С ПZ(H). Тогда для всех П П Zi G ПZ(T/M), учитывая, что <^(П П Zi) — формация и M — класс Фиттинга, по лемме 1, пункт 3) [10] имеем (Т/Тм)^(ппс;) = T^(ппс;)Тм/Тм = T^(nnZi)/T^(nnC;) П Tm = T^(nnZi)/(T^(nnZi))OT. Из T/Tm G H = p) получаем, что (Т/Тм)^(nnZi) g
й(П П Zi), а значит, T^(nnZi)/(T^(пп«)м G ^(П П Zi). Следовательно, T^(nnZ;) G Mо МП П Zi) = f (П П Zi).
Если П П Zi G ^(T) \ ^(T/M), то T/M является (П П ZO'-группой. Тогда, как и выше, можно показать, что T^(nnZi) С M^(nnZ;). Из M G F1 получаем, что M^(nnZi) g f (П П Zi). Тогда T^(nnZi) G f (П П Zi) для всех П П Zi G ПZ(M) = ПZ(T).
Таким образом, T G F1. Получили противоречие. Следовательно, F С F1.
2) Покажем, что F1 С F. Допустим противное, и пусть T — группа наименьшего порядка из F1 \ F. Тогда T — комонолитическая с комонолитом M = TF.
Из T G F1 следует, что Оп(Т) G f (П') = F. Допустим, что T/M является П'-группой. Тогда T = Оп(Т) G F. Противоречие. Следовательно, T/M является П-группой.
Пусть П П Zi G ^(T/M) С ^(T). Так как T G F1, то T^(nnZi) G f (П П Zi). Поскольку m и h — внутренние ^-спутники классов Фиттинга M и H соответственно, то т(П П Zi) С M С MоH = F и ^П П Zi) С H, а значит, Mо ^П П Zi) С MоH = F. Тогда T^(nnZi) G f (П П Zi) С F. Поэтому T^(nnZi) С M.
Так как ^ < то ^(ПпZi) С ^1(ППZi) = ®nnCiG(nnCi)'. По лемме 1, пункт 1) [10] имеем T^l(nnC;) с T^(nnZi) с M. По лемме 1, пункт 7) [10] получаем T^l(nnCi) = TGnnci)' = (TG(nnZi)' )6"nCi. Если TG(nnZi)' = T, то T6^;)' С M и T/M = T/T6(«nZi)'/M/T6(nnZi)' g 6(nnCi)'. Противоречие. Следовательно, T6(«ni;)' = T. Тогда T^l(nnCi) = T6«nci = onnZ;(T) С M и t/m = T/OnnCi(T)/M/OnnCi (T) G 6nnCi.
Пусть П П Zi G ^ \ ПZ(H). Тогда OnnCi(T) = T^i(nnZi) С T^(nnZi) G f (П П Zi) = т(П П Zi) С M. Так как t/Onn(T) G 6n nCi С 6 п, то по лемме 7,
пункт 2) [9] Оп(Т) = Оп(OnnCi(T))G т(П'). Пусть П П Zj G ПZ(T) \ {П П Zi}.
Так как Onn(Т) С Т^(nnZi), то Т/Т^(п nZi) = T/Onn(T)/T^(п n0/0Пп(T) G 6ПnCi С 6(П)' и П П Zj G ПZ(Т^(п nZ;)). Поскольку ^ является правильным ^-направлением, то <^(П П Zj)6(пгх-)' = ^(П П Zj) и по лемме 1, пункт 9) [10] получаем Т^(пnzj) = (Т^(пnZi))^(nnzj). Из Т^(пnZ;) G M = следует, что (Т^(пnC;))^(nnCj) g т(П П Zj-). Тогда получаем, что T^(nnCj) G т(П П Zj) и по определению Т G M С F. Противоречие.
Таким образом, П П Zi G ПZ(H). Так как M С M о H = F и Т G F, то Т G M. Следовательно, Т = Тм и Тм С M. По лемме 1, пункт 3) [10] Мм = M П Тм,
поэтому ММ = ТМ. Из М е 5 = М о Н следует, что М/ММ = М/ТМ е Н. Тогда П((Т/ТМ) С П((Н) и для всех П П е П((Т/ТМ) С П((Т) из Т е 51 получаем, что Т^(ппй) е /(П П ) = М о МП П ). По лемме 1, пункт 3) [10], как и выше, имеем (Т/ТМ)^(ПпСк) = Т^(ПпСк)/(Т^(ПпСк))М е Л(ПП<*). В силу леммы 2, пункт 2) [5] можем считать, что МП') = Н. Так как Оп(Т) е 5 = МоН, то по лемме 1, пункт 3) [10]
оп(Т/Тот) = Оп(Т)Тм/Тм = Оп(Т)/Оп(Т) П Тм = Оп(Т)/(Ъп(ТЛ е Н = МП').
V /от
Следовательно, по определению Т/ТМ е Н, а значит, Т е М о Н = 5. Получили противоречие. Поэтому 51 С 5.
Из 1) и 2) следует, что 5 = 5ь Теорема доказана. □
Следствие 4. Пусть М и Н — П(-свободные классы Фиттинга с внутренними П(-спутниками т и Л соответственно. Тогда 5 = МоН является П(-свободным классом Фиттинга с внутренним П(-спутником /, таким, что
/ (П') = 5;
/(П П 6) = Мо й(П П Сг), если П П (г е П((Н); /(П П Сг) = т(П П Сг), если П П Сг е ПС \ ПС(Н).
Следствие 5. Пусть М и Н — ПС-канонические классы Фиттинга с внутренними ПС-спутниками т и Л соответственно. Тогда 5 = М о Н является ПС -каноническим классом Фиттинга с внутренним ПС-спутником /, таким, что
/ (П') = 5;
/(П П Сг) = Мо Л(П П Сг), если П П Сг е ПС(Н); /(П П Сг) = т(П П Сг), если П П Сг е ПС \ ПС(Н).
3. Максимальный ПС-спутник ПС-расслоенного класса Фиттинга
Определение 3. Пусть F — ПС-расслоенный класс Фиттинга с ПС-направлением ^ и {fj | j G J} — множество всех его внутренних ПС-спутников. Тогда ПС-спутник f класса Фиттинга F назовём внутренним максимальным ПС-спутником, если f является максимальным элементом множества {fj | j G J}, т. е. f > fj, j G J.
Теорема 3. Пусть F — ПС-свободный класс Фиттинга. Тогда F обладает единственным максимальным внутренним ПС-спутником h, таким, что
Л,(П') = F, h(П П Zi) = F для всех П П С G ПС.
Доказательство. Пусть H = ПСТУЯ(Л,), где h — ПСЯ-функция, описанная в заключении теоремы, и m — минимальный ПС-спутник класса Фиттинга F. По следствию 2 получаем, что т(П') С F = h(П/) и т(П П Zi) С F = МП П Zi) для всех П П Zi G ПС, а значит, m < h. Тогда, как и в доказательстве теоремы 1, можно показать, что F С H.
Допустим, что F С H и Т — группа наименьшего порядка из H \ F. Тогда Т — комонолитическая с комонотитом M = Tf. Так как Т G H = ПС^УЯ(Л,), то On(T) G h(^) = F, а значит, On(T) С M. Тогда T/M = T/On(T)/M/On(T) G Gn.
Пусть П П О G ПС(T/M) С ПС(T). Так как T G H = ПС^гЯ(М, то O(nnZi)'(T) G h(ППО) = F, а значит, O(nnÖ'(T) С M. Тогда T/M = T/O(nnZi)'(T)/M/O(QnZi)'(т) G G(nnZi)'. Противоречие. Таким образом, F = H.
Пусть f — произвольный внутренний ПС-спутник класса Фиттинга F. Тогда Л (ПО С F = Л,(П0 и f1(П П СО С F = МП П СО для всех П П С G ПС. Следовательно,
fi < h. В силу произвольности выбора внутреннего ПС-спутника f1 получаем, что h — единственный максимальный внутренний ПС-спутник класса Фиттинга F. П
Следующее утверждение очевидно.
Следствие 6. Пусть hi — максимальный внутренний ПС-спутник ПС-свободного класса Фиттинга Fi, i = 1, 2. Тогда и только тогда F1 С F2, когда h1 < h2.
Лемма 2. Пусть f — внутренний ПС-спутник ПС -расслоенного класса Фиттинга F с правильным ПС-направлением р, где р1 < р. Тогда
1) f (П П С0®ппа С F для всех П П С G ПС;
2) если р = р1, то F обладает ПС-спутником h, таким, что
h(П/) = F;
МП П СО = f (П П С0®пп& для всех П П Сi G ПС.
Доказательство. 1) Пусть П П Сi G ПС. Допустим, что f (П П С F и Т —
группа наименьшего порядка из f (П П Со^пп^ \ F. Тогда Т — комонолитическая с комонолитом M = Tf. Так как f — внутренний ПС-спутник класса Фиттинга F, то f (П П СО С F и по лемме 1, пункт 2) [10] получаем, что Тдпг,^) С Tf = M G F. Из Т G f (П П С00ПпС, следует, что существует N < Т, N G f (П П Сi), такая, что Т/N G GnnCi. Тогда N С Т/(nn^) и Т/Т/(nn^) = T/N/Т/(nn&)/N G G nnCi. Следовательно, Т/M = Т/Т/(nnCi)/M/T/(nnZi) G G nnCi С gn. Поэтому в силу включения M G F = ПСВД, р) и леммы 7, пункт 2) [9] имеем Оп(Т) = On(M) G f (П/).
Так как р1 < р, то р1(П П Сi) = Gnn^iG(nnzi)/ С р(П П СО. Тогда по лемме 1, пункт 1) [10] получаем, что Т^(nnZi) С ТG. Из GnnCi С GnnCiG(nnCi)' по лемме 1, пункт 1) [10] имеем TGnnZi6(«п«' С OnnZi(Т). Поскольку Т/Т/^) G GnnCi, то OnnZi(Т) С Т/(nnZi). Поэтому Т^(пп<^ С OnnZi(Т) С Т/(nnCi) G f (П П Сi).
Пусть ППС? G ПС(Т)\{ПП^}. Тогда ППС? G Пс(опп<^(Т)). Так как T/OnnZi(Т) G
Gnnci С G(nnZj)' и р является правильным ПС-направлением, то р(П П С?)G(mx.,-)' =
/ \ ^(nnCj)
р(П П С?) и по лемме 1, пункт 9 [10] получаем, что T^nn<j) = mnnZi(Т) J . Из
/ \ ^(nnc,')
OnnZi(Т) G f (П П Сi) С F = ПСВД р) получаем, что (Т) J G f (П П С?).
Тогда Т^(nnzj) G f (П П С?) и по определению Т G F. Противоречие. Таким образом, f (П П С F.
2) Пусть H = ПСЯ(М р), где h — ПСД-функция, описанная в формулировке пункта 2) данной леммы. Так как f (П П СО С f (П П ^Gn^ = МП П СО для всех П П С G ПС и f — внутренний ПС-спутник класса Фиттинга F, а значит, f (П/) С F = h(П/), то f < h. Как и при доказательстве теоремы 1, можно показать, что F С H.
Допустим, что H С F и Т — группа наименьшего порядка из H \ F. Тогда Т — комонолитическая с комонотитом M = Tf. В силу леммы 2, пункт 2) [5] можем считать, что f (П/) = F. Так как Т G H = ПСЯ(М р), то Оп(Т) G h(^) = F = f (П/). Из Т G F получаем, что Оп(Т) С M и Т/M = Т/Оп(Т)/м/оп(Т) G Gn.
Пусть П П О G ПС (T/m ) С ПС (Т). Так как Т G H = ПСЯ(Мр), то Т ^(nnCi) G h(П П Сi) = f (П П . Если р = р1, то, как и при доказательстве теоремы 2,
можно показать, что Т^(nnZi) = ТGnnZi= (Т6(^)'= OnnZi(Т). Тогда OnnZi (Т) G f (ППСi)GnnZi. Так как T/OnnZi(Т) G GnnZi, то, учитывая пункт 1) данной
леммы, имеем Т G f (П П Gnnci = f (П П o^nna С F. Противоречие.
Таким образом, H С F и F = H. Лемма доказана. □
Определение 4. -спутник f назовём L-спутником, если f (П П (г) — класс Локетта для всех П П Zi G .
Лемма 3. Пусть f и f2 — внутренние L-спутники -канонического класса Фиттинга F. Тогда
1) fi(П П Сг)®ппс4, f2(n П (j)Gnnii — классы Локетта для всех П П Zi G ;
2) fi(П П Сг)®ппа = f2(n П Ci)GnnCi для всех П П Zi G П(.
Доказательство. 1) Так как GQ пz, — формация, то в силу утверждения 1.25 главы X [8] Gq nZi является классом Локетта и в силу замечания 1.11 главы IX [8] Д(ПП(г)^ GQnZi = fi(ПП£^nZi. Согласно лемме 1.26 b) главы X [8] фиттингово произведение двух классов Локетта — снова класс Локетта. Тогда n^ является классом
Локетта. Аналогично, ^(П П Z^Gq nz, — класс Локетта.
2) Так как F = ^KRf и F = ^КЯ(^), то по лемме 2 F = ^KR^) и F = ^KR^), где ^(П') = F, ^(П П Zi) = fl(П П Zi)Gqnz, С F для всех П П Zi G ПZ и ^2(П') = F, ^2(П П Zi) = f2(П П Zi)GqnZi С F для всех П П Zi G ПZ.
Допустим, что существует П П Zi G ПZ, такое, что ^1(П П Zi) С ^2(П П Zi) и H — группа из ^(П П Zi) \ ^2(П П Zi). Рассмотрим группу T = H l Zq nz, = [K]Zqnz,, где K — база регулярного сплетения T, ZQ nz, G Gq nz,.
Так как H G ^(П^^ и по пункту 1) данной леммы ^(П^^ — класс Локетта, то по утверждению 2.1 а) главы X [8] Th2(Q nz,) = K1, где K1 — база сплетения Hh2(Q nz,) l Zq nz,. Тогда по лемме 18.2 d) главы A [8] T/T^q nz,) = T/K = (H/H^q nz,)) l Zqnz,. Следовательно, П П Zi G ПZ(T/Th2(qnz,)).
Так как H G ^1(П П Zi), то K G ^1(П П Zi), а значит, K С Thl(Qf-^). Поскольку T/K = Zq nz, G Gqnz,, то T/K/Thi(qnz,)/K = T/T^q nz,) G Gq nz,. Следовательно,
T G ^(П П Zi)Gq nz, = (fl(П П Zi)Gq nGqnz, = fl(П П Zi)Gq nz, = ^(П П Zi) С F = ^KR^). Тогда OQnzi'(qn(T) G f2(П П Zi). Так как T/OQ nz-(q nzi)' (T) G Gqnz,G(qnzi)', то T G f2(П П Zi)Gqnz,G(qnz,)' = ^2(П П Zi)G(qnz,)'. Следовательно,
T/Th2(qnz,) G g(q nz,)'.
Получили противоречие. Тогда ^1(П П Zi) С Л,2(П П Zi). В силу симметрии Л,2(П П Zi) С ^(П П Zi), а значит, fl(П П Zi)Gqnz, = f2(П П Zi)Gqnz, для всех П П Zi G ^. □
Определение 5. Пусть F — ПZ-расслоенный класс Фиттинга с ^-направлением ^ и {fj | j G J} — множество всех его внутренних ^L-спутников. Тогда ^L-спутник f класса Фиттинга F назовём внутренним максимальным ^L-спутником, если f является максимальным элементом множества {fj | j G J}, т. е. f > fj, j G J.
Теорема 4. Пусть f — внутренний ^L-спутник ^-канонического класса Фиттинга F. Тогда F обладает единственным максимальным внутренним ^L-спутником h, таким, что
Л-(П') = F;
^П П Zi) = f (П П Zi)Gqnz, = h(П П Zi)Gqnz, для всех П П Zi G ПZ.
Доказательство. Так как F = ^KR(f), то по лемме 2, пункт 2) F = ^KR(h), где Л,(П') = F, h(П П Zi) = f (П П £)Gqnz, для всех П П Zi G ПZ.
Пусть f1 — произвольный внутренний ^L-спутник класса Фиттинга F. Тогда f1(П') С F = h(П') и в силу леммы 3, пункт 2) Д(П П Zi) С Д(П П Zi)GQrz = f (ППZi)GQnz, = Л,(ППZi) для всех ППZi G ^. Отсюда следует, что f1 < h. Учитывая лемму 2, пункт 1) и лемму 3, пункт 1), получаем, что h — максимальный внутренний ^L-спутник класса Фиттинга F. В силу произвольности выбора внутреннего
nZL-спутника /1 получаем, что h — единственный максимальный внутренний nZL-спутник класса Фиттинга F-
Кроме того, h(n П Сг)®ппс4 = (/(П П Zi)GnnCi) GnnCi = /(П n Ci)GnnCi = h(n П Zi) для всех П П Zi S nZ. Теорема доказана. □
Заключение
Описанные в теоремах 1-4 и следствиях nZ-спутники могут быть использованы в дальнейшем изучении nZ-расслоенных классов Фиттинга с дистрибутивными, индуктивными, стоуновыми решётками, исследовании однопорождённых произведений nZ-расслоенных классов Фиттинга, изучении критических nZ-расслоенных классов Фиттинга и т. д.
Список литературы
1. СкачковаЮ. А. Решётки Q-расслоенных формаций // Дискрет. математика. 2002. Т. 14, № 2. С. 85-94.
2. Еловиков А. Б. Факторизация однопорождённых частично расслоенных формаций // Дискрет. математика. 2009. Т. 21, № 3. С. 99-118.
3. Ведерников В. А., Егорова В. Е. Критические тотально Q-канонические формации конечных групп // Изв. Гомель. гос. ун-та им. Ф.Скорины. 2006. № 3 (36). С. 8-13.
4. Егорова В. Е. Критические неоднопорождённые тотально канонические классы Фит-тинга конечных групп // Мат. заметки. 2008. Т. 83, № 4. С. 520-527.
5. Камозина О. В. Q(-расслоенные классы Фиттинга // Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2020. Т. 20, № 4. С. 424-433.
6. Skiba A. N. On one generalization of the local formations // Problemy Fiziki, Matematiki i Tekhniki (Problems of Physics, Mathematics and Technics). 2018. № 1 (34). C. 79-82.
7. СкибаА.Н., Шеметков Л. А. Кратно w-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп // Мат. тр. 1999. Т. 2, № 2. C. 114-147.
8. DoerkK., НawkesT. Finite soluble groups. — Berlin; New York : Walter de Gruyter, 1992.
9. Ведерников В. А., Сорокина М. М. Q-расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп // Дискрет. математика. 2001. Т. 13, № 3. С. 125-144.
10. Ведерников В. А. О новых типах w-веерных классов Фиттинга конечных групп // Укр. мат. журн. 2002. Т. 54, № 7. C. 897-906.
Поступила в 'редакцию 04-12.2020 После переработки 06.02.2021
Сведения об авторе
Камозина Олеся Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры «Математика», Брянский государственный инженерно-технологический университет, Брянск, Россия; e-mail: [email protected].
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2021. Vol. 6, iss. 2. P. 152-161.
DOI: 10.47475/2500-0101-2021-16202
SATELLITES AND PRODUCTS OF -FOLIATED FITTING CLASSES O.V. Kamozina
Bryansk State University of Engineering and Technology, Bryansk, Russia [email protected]
All groups are assumed to be finite. Fitting class F = QQRf, y) = (G : Ofi(G) g / (Q') and g /(Q n Zi) for all Q n g QQ(G)) is called the QQ-foliated Fitting class
with QQ-satellite / and QQ-direction y. The directions of the QQ-free and QQ-canonical Fitting classes are denoted by y0 and yi, respectively. The paper describes the minimal QQ-satellite of the QQ-foliated Fitting class with QQ-direction y, where yo < y. It is shown that the Fitting product of two QZ-foliated Fitting classes is QZ-foliated Fitting class for QQ-directions y such that y0 < y < y1. For QQ-free and QQ-canonical Fitting classes, results are obtained as corollaries of theorems. A maximal inner QQ-satellite of an QQ-free Fitting class and a maximal inner QQl-satellite of the QQ-canonical Fitting class are described. The results obtained can be used to study lattices, further study products and critical QQ-foliated Fitting classes.
Keywords: finite group, Fitting class, QQ-foliated, QQ-free, QQ-canonical, minimal QQ-satellite, maximal internal QQ-satellite, Fitting product.
References
1. Skachkova Yu.A. Lattices of Q-foliated formations. Discrete Mathematics and Applications, 2002, vol. 12, no. 3, pp. 269-278.
2. Elovikov A.B. The factorisation of one-generated partially foliated formations. Discrete Mathematics and Applications, 2009, vol. 19, no. 4, pp. 411-430.
3. Vedernikov V.A., EgorovaV.E. Critical totally Q-canonical formations of finite groups. Izvestiya Gomel'skogo gosudarstvennogo universiteta imeni F.Skoriny [News of F. Skorina Gomel State University], 2006, no. 3 (36), pp. 8-13.
4. EgorovaV.E. Critical non-singly-generated totally canonical Fitting classes of finite groups. Mathematical Notes, 2008, vol. 83, no. 4, pp. 478-484.
5. Kamozina O.V. QQ-foliated Fitting classes. Izvestiya Saratovskogo Universiteta. Novaya Seriya. Seriya Matematika. Mekhanika. Informatika [News of Saratov University. New Series. Series Mathematics. Mechanics. Informatics], 2020, vol. 20, iss. 4, pp. 424-433.
6. Skiba A.N. On one generalization of the local formations. Problemy Fiziki, Matematiki i Tekhniki (Problems of Physics, Mathematics and Technics), 2018, no. 1 (34), pp. 79-82.
7. Skiba A.N., Shemetkov L.A. Multiply w-local formations and Fitting classes of finite groups. Siberian Advances in Mathematics, 2000, vol. 10, no. 2, pp. 112-141.
8. DoerkK., НawkesT. Finite Soluble Groups. Berlin; New York, Walter de Gruyter, 1992. 892 p.
9. Vedernikov V.A., SorokinaМ.М. Q-foliated formations and Fitting classes of finite groups. Discrete Mathematics and Applications, 2001, vol. 11, no. 5, pp. 507-527.
10. Vedernikov V.A. On new types of w-fibered Fitting classes of finite groups. Ukrainian Mathematical Journal, 2002, vol. 54, no. 7, pp. 1086-1097.
Article received 04.12.2020. Corrections received 06.02.2021.
