CC BY
8
ЧЕБЫШЕВСКИИ СБОРНИК
Том 21. Выпуск 4.
УДК 512.542
DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-4-107-116
wa-веерные классы Фиттинга
О. В. Камозина
Олеся Владимировна Камозина — кандидат физико-математических наук, доцент, Брянский государственный инженерно-технологический университет (г. Брянск). e-mail: [email protected]
Рассматриваются только конечные группы. Класс групп $ называется классом Фиттинга, если он замкнут относительно нормальных подгрупп и произведений нормальных ^-подгрупп; формацией, если он замкнут относительно фактор-групп и подпрямых произведений; формацией Фиттинга, если $ является формацией и классом Фиттинга одновременно.
Для непустого подмножества ш множества простых чисел Р и разбпения ст = {а^ | г € I}, где Р = о г и о г П ст ^ = 0 для всех г = ], в работе вводятся ^аД-фупкция / и ^ст^Д-функция Областью определения данных функций является множество ша и {ш'}, где ша = {ш П а^ | ш П а^ = 0} ш' = Р \ ш. Областью значений функций является множество классов Фиттинга и множество непустых формаций Фиттинга соответственно. С помощью функций ] и определяется ^ст-веерный класс Фиттинга
F = u>aR(f,ip) = (G : Ош(G) € f (w') и е f (ш П о*) для всех ш П ^ е ua(G)) с
шст-спутником ] и ^ст-наиравлением
В работе приведены примеры ^ст-веерных классов Фиттинга. Выделены два вида ша-веерных классов Фиттинга: ^ст-полные и ша-локальные классы Фиттинга. Их направления обозначены ^о и соответственно. Показано, что каждый непустой неединичный класс Фиттинга является шст-полным классом Фиттинга для некоторого непустого множества ш С Р и любого разбиения ст. Получен ряд свойств ^ст-веерных классов Фиттинга. В частности, дано определение внутреннего ^ст-спутника и показано, что каждый ^ст-веерный класс Фиттинга всегда обладает внутренним шст-спутником. При ш = Р введено понятие ст-веерпого класса Фиттинга. Показана связь между шст-веерными и ст-веерными классами Фиттинга.
Ключевые слова: конечная группа, класс Фиттинга, ^ст-веерный, опт-спутник, ша-паправлепие.
Библиография: 15 названий.
Аннотация
Для цитирования:
О. В. Камозина. wa-веерные классы Фиттинга // Чебышевский сборник, 2020, т. 21, вып. 4, с. 107-116.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 21. No. 4.
UDC 512.542 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-4-107-116
wa-fibered Fitting classes
О. V. Kamozina
Olesya Vladimirovna Kamozina — candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, Bryansk state University of engineering and technology (Bryansk). e-mail: [email protected]
Abstract
The paper considers only finite groups. A class of groups F is called a Fitting class if it is closed under normal subgroups and products of normal F-subgroups; formation, if it is closed with respect to factor groups and subdirect products; Fitting formation if F is a formation and Fitting class at the same time.
For a nonempty subset ш of the set of primes P and the partition a = | i e I}, where P = Uiei<7j and <jjn<7j = 0 for al 1 г = j, we introduce the uaR-function / and uaFR-function y. The domain of these functions is the set ша U{w'}, where ша = jw n <Ji | ш П CTj = 0} ш' = P\ ш. The range of function values is the set of Fitting classes and the set of nonempty Fitting formations, respectively. The functions / and ¡p are used to determine the wa-fibered Fitting class F = waR(f, <p) = (G : Ou(G) e f Ю md G*(a,n<Ti) e f (ш П for all ш П ^ e wa(G)) with the w<7-satellite / and the wa-direction y.
The paper gives examples of wa-fibered Fitting classes. Two types of wa-fibered Fitting classes are distinguished: wa-complete and wa-local Fitting classes. Their directions are indicated by and <p\, respectively. It is shown that each nonempty nonidentity Fitting class is an wa-complete Fitting class for some nonempty set ш С P and any partition a. A number of properties of wa-fibered Fitting classes are obtained. In particular, a definition of an internal w<7-satellite is given and it is shown that each wa-fibered Fitting class always has an internal w<7-satellite. For ш = P, the concept of a a-fibered Fitting class is introduced. The connection between w<r-fibered and a-fibered Fitting classes is shown.
Keywords: finite group, Fitting class, wa-fibered, wu-satellite, wa-direction.
Bibliography: 15 titles.
For citation:
0. V. Kamozina, 2020, "wa-fibered Fitting classes", Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 4, pp. 107116.
1. Введение
В исследованиях формаций и классов Фиттиига часто применяется функциональный подход. С помощью специальной функции / : P ^ {формации групп} в 1963 году в работе Гашюца [1] были построены локальные формации, в 1969 году в работе Хартли [2] с помощью функции д : P ^ {классы Фиттинга групп} были построены локальные классы Фиттинга. В нашей стране данное направление получило развитие в работах Л.А. Шеметкова [3] при изучении формаций и Н.Т. Воробьева [4] при изучении классов Фиттинга. Была проведена классификация функций, установлена связь между свойствами формаций (классов Фиттинга) и их функциями. Используя функциональный подход, А.Н. Скиба в работе [5] разработал
методы исследования решеток, произведений, критических локальных формаций. В 1999 году Л.А. Шеметков и А.Н. Скиба в работе [6] вместо множества P области определения функций рассмотрели непустое подмножество ш множества P и одноэлементное подмножество {ш1}, где ш' = P \ ш. В результате были построены w-локальные формации и классы Фиттинга, а также изучены их различные свойства. В 2001 году В.А. Ведерниковым и М.М. Сорокиной был предложен новый подход в изучении формаций и классов Фиттинга [7]. Кроме основной функции (спутника) введена ещё одна функция (направление) р : P ^ {непустые формации Фиттинга}; определены w-веерные формации и классы Фиттинга, где локальный случай является одной из частей «веера». В результате удалось провести классификацию уже имеющихся, а также получить новые виды формаций и классов Фиттинга. Кроме указанных авторов, изучением различных видов w-веерных формаций и классов Фиттинга занимались К. Дьорк, Т. Хоукс, В.Г. Сафонов, Го Веньбинь, H.H. Воробьев и др. (см. например, [8-14]). В настоящее время появилась новая идея в функциональном подходе. На множестве области определения P функций вводится разбиение а = {04 | г £ I}, где P = U^/Oi и П aj = 0 для всех г = j. В работе А.Н. Скибы начато изучение ст-локальных формаций, а также рассмотрены их приложения [15].
Цель данной работы — используя непустое подмножество ш простых чисел и разбиение а, ввести шст-веерные классы Фиттинга; на основе хорошо известных классов групп, показать существование шст-веерных классов Фиттинга; выделить виды, исследовать свойства шст-веерных классов Фиттинга.
2. Основная часть
Рассматриваются только конечные группы. Класс групп F называется классом Фиттинга, если он замкнут относительно нормальных подгрупп и произведений нормальных F-подгрупп. Класс групп F называется формацией Фиттинга, если F является формацией и классом Фиттинга одновременно. Группа G называется комонолитической, если в G имеется такая нормальная подгруппа М (комонолит группы G), что G/M — простая группа и N С М для любой собственной нормальной подгруппы N группы G. ([6])
Символ P обозначает множество всех простых чисел, 0 = ш С P, ш' = P\w, n(G) обозначает множество всех различных простых делителей порядка группы G. Кроме того, а = {ai | г £ I}, где P = Ui^i /Jim a^aj = 0 для всех i = j-, a(G) = {оч | а^к(С) = 0} ша = {шПаг | шП^ = 0}, wa(G) = {ш П <Ji | ш П <Ji П k(G) = 0} wct(F) = {ua(G) | G £ F} для любого класса групп F- G обозначает класс всех конечных групп, &ш и 0Ш/ — класс всех ш- и w'-rpvnn соответственно, w-rpvnna — группа G, где k(G) С ш.
Функцию f : шаU{w'} ^ {классы петтинга групп}, где f (ш') = 0, назовем шстЛ-функцией; функцию р : шаU{w'} ^ {непустые формации Фиттинга} назовем шст^Л-функцией; функцию g : а ^ {классы Фиттинга групп} назовем стД-функцией; функцию ф : а ^ {непустые формации Фиттинга} назовем (jFR-функцией. Определим wctFД-функцию ро следующим образом: Ро(ш') = р0(ш П ai) = ®(шпа-г)' Для любого ш П ai £ ша. Определим ст^Е-функцию ф0 следующим образом: ^0(ai) = Ga( для любо го ai £ а.
Пусть и ß2 — произвольные шстД-функции (шст^Л-функции). Будем полагать, что ßi ^ Ц-2, если ßi(u') С и ßi(w П ai) С П <Ji) для всех ш П ai £ ша. Пусть ^ и v2
произвольные стД-функции (ctF Д-функции). Будем полагать, что vi ^ ^ если vi(ai) С v2(ai) для всех ai £ а.
Теорема 1. Пусть f — шаЯ-функция, р — waFR-функция, где р0 ^ р, и F = = waR(f, p) = (G : Ош (G) £ f (wr) и G£ f (и П ai) для ееех ш П ai £ wa(G)).
Тогда F является классом, Фиттинга,.
Доказательство, а) Пусть О е $ и М<С.Тш как NОш(0)/0ш(О) < 0/0ш(О) е и - класс Фиттинга, то NОш(0)/0ш(О) = М/М П Ош(О) е ©-.Тогда Ош(М) С N П Ош(О), а значит, Ош(Ы) С Ош(О). Так как по уеловию Ош(О) е /(ш') и /(ш') — класс Фиттинга, то О- (М) е f (ш').
Пусть ш П аг е ша(И). Тогда ш П аг е ша(О) и то условию е /(ш П аг).
Так как N С^(шПа^)/С^(шПа^) < О/О^-^ е ^(ш П стг) и ^(ш П аг) — класс Фиттинга, то ^ п ) е ^(ш П стг) и С Ж П Учитывая, что
/(ш П аг) — класс Фиттинга, как и выше, получаем, что е /(ш П аг). Таким образом,
^ е $
б) Пусть О = НК, где Н <0, К <0, Н е $ К е $ Тогда то уело вию Ош (Н) е $ (ш') и Ош(К) е /(ш'). Так как $(ш') — класс Фиттинга, то Т = Ош(Н)Ош(К) е $(ш'). Поскольку О = НК, то О/Т = НТ/Т ■ КТ/Т. Так как Ош (Н) < Н, то по модулярному тождеству Дедекинда Н П Т = Н П Ош(Н)Ош(К) = Ош(Н)(Н П Ош(К)). Тогда НТ/Т = Н/Н П Т = Н/Ош (Н)(Н П Ош (К)). Так как Н/Ош (Н) е ©-и ©- - формация, то
Н/Ош(Н)(Н П Ош(К)) ^ Н/Ош(Н)/Ош(Н)(Н П Ош(К))/Ош(Н) е ©-.
Следовательно, НТ/Т е Аналогиино, КТ/Т е Так как ©ш — класс Фиттинга, то О/Т = НТ/Т■ КТ/Т е а значит, Ош(О) С Т. Так как Т е $(ш') и £(ш') — класс Фиттинга, то Ош(О) е /(и').
Пусть ш П е ша(О). Тогда ш П аг е ш П аг е ша(К). Из условия получаем,
что Н{р(шпа1) е /(ш П е /(^ п аг). Если ш П е ша(Н) и ш П аг е ), то,
учитывая, что /(ш П аг) — класс Фиттинга и П аг) — формация Фиттинга, как и выше, получаем, что С¥(шПаЛ е /(ш П аг).
Пусть, для определенности, ш П аг е ша(Н) и ш П аг е ша(К). Тогд а К — (ш П стг)'-груипа. Так как по условию ^о ^ ^оК е ©(шПо-4)' = П аг) С ^(ш П аг). ^^№Ольку С = НК, то
Q/^^p(шпai) = ) , /^¡р(шпа1) ^ ^/^¡р(шпа1) _ ^/К П Н'р(шПа1).
Так как ^(шПаг) — формация Фитти нга, то К/К ПНе ^(ш Пстг) и 0/Н1р(-Па^) е (р(шПаг). Тогда С¥(шПаЛ С Н^(шп,т^. Т&к как н(р(шп'т*) е /(ш П аг) и /(ш П аг) — класс Фиттинга, то е /(^ п стг). Таким образом, С е
Из а) и б) следует, что $ - класс Фиттинга. Теорема доказана. □ Если ш = Р, то получаем
Следствие 1. Пусть д — аЯ-функция, ф ^ аРК-функция, где ф0 ^ ф, и $ =
= аК(д,ф) = (О : е д(аг) для всех аг е а(О)).
$
Определение 1. Класс Фиттинга $ = где $ шаЯ-функция, <р - шаРК-
функция, назовем ша-веерным классом Фиттинга, с ша-спутником ¡'и ша-напщвлением, (р. Класс Фиттинга, $ = аК(д,ф), где д — аЯ-функция, ф — аРЯ-функция, назовем а-веерным классом, Фиттинга с а-спутником д и а-напщвлением, ф.
Лемма 1. Пусть $ — класс Фитти нга и ша($) = 0. Тогда, $ = шаЯ(/,р), где / ^ шаК-функция такая, что f (ш') = $, f (ш П аг) = 0 для, вс ех ш П аг е ша, ф - шаРК-функция, Ро ^
Доказательство. Пусть $1 = шаК(/,р), вде / и р — функции, описанные в заключении леммы.
а) Покажем, что $ С Пусть С € Тогда ша(С) = 0, а значит, С — ^'-группа. Тогда Ош (О) = О € $ = /(и') и из ша(О) = 0 следует, что € /(ш П аг) для всех ш П ст € ша(С). Таким образом, С € и $ С
б) Покажем, что $1 С Допустим противное и пусть С — группа минимального порядка из $1 \ Тогд а С — комонолитическая с комонолитом М = Так как С € $1, то Ош(О) € f (ш') = Следовательно, Ош(С) С = М и О/М = С/Ош(С)/М/Ош(С) € ©ш. Пусть ш П аг € ша(С/М). Тогда ш П ст € ша(С).Тш как С € то € /(ш П а^ = 0. Противоречие. Таким образом, С € $ и С
Из а) и б) следует, что $ =
Лемма доказана. □
Примеры. 1) Из леммы 1 следует, что ©ш< и (1) являются ша-веерными классам,и Фиттинга, для любого непустого множества ш С Р и любого разбиения, а.
2) © = шаЯ(/,р), где / — шаЯ-функция такая, что f (ш') = ©, f (ш П аг) = © для всех ш П ст € ша, р - шаРЯ-функция, р0 ^ р.
Действительно, пусть $1 = шаК(/, р), где / и р — функции, описанные в примере 2) выше.
а) Покажем, что © С Пусть С € ©. Так как Ош(С) < С, С¥(шПаЛ < С и © — класс Фиттинга, то Ош (О) € © = /(ш') и € © = f (ш П а{) для всех ш П € ша(С). Следовательно, С € $1 и © С
б) Так как рассматриваются только конечные группы, то $1 С ©.
Из а) и б) следует, что © =
3) ©ш = шаЯ(/,р), где / — шаЯ-функция такая, что f (ш') = (1) f (ш П а^ = ©ш для всех ш П ст € ша, р — ша Р Я-функция, р0 ^ р.
Действительно, пусть $1 = шаЯ(/, р), где / и р — функции, описанные в примере 3) выше.
а) Покажем, что ©ш С Пусть С € ©¡¿.Тогда Ош (С) = 1 € (1) = / (шг). Так как ©ш — класс Фиттинга, то ) € ©ш = /(ш П ст) для всех ш П аг € ша(С). Следовательно, С €
и ©ш С $1.
б) Покажем, что С ©ш. Пусть С € Тогда Ош(С) € /(шг) = (1), а значит, С € ©ш и $1 С ©ш.
Из а) и б) следует, что ©ш =
4) Пусть ж — непустое подмножество множества простых чисел Р. Определим, на, множестве Р разбиение а следующим образом: если ш П ст П ж = 0, то ш П ст С ж; если ш П ст П ж = 0, то ш П аг С к. Тогда, ©ж = шаЯ(/,р), где / — шаЯ-функция такая, что f (ш') = ©ж, f (ш П ст{) = ©к для всех ш П а1 С ж, f (ш П а^ = 0 для, всех ш П аг С ж, р шаРЯ-функция, ро ^ р.
Действительно, пусть $1 = шаК(/, р), где / и р — функции, описанные в примере 4) выше.
а) Покажем, что ©тт С ^усть С € ©ж. Так как ©ж — класс Фиттинга, то Ош(С) € ©т = /(шг). Пусть шПai € ша(С).Тш как С € ©тт, то к(С) С ж, а ^тачит, шПст^П^ = 0 и ш П ai С к.
Тогда С^(шПа') € ©тт = f (ш П аг). Следовател ьно, С € и ©т С
б) Покажем, что $1 С ©т. Допустим противное и пусть С — группа минимального порядка из $1 \ ©т. Тогд а С — комонолитическая с комонолитом М = 0©ж. Так к ак С € $1, то, как и в лемме 1, Ош(О) С М и О/М € ©ш. ^^^и для всех ш П аг € ша(С/М) выполняется неравенство ш П а1 П ж = 0 а значит, ш П аг С то ж(С/М) С «б € ©тт. Противоречие. Пусть существует ш П а1 € ша(С/М) и выполняется равенство ш П а1 П ж = 0, а значит, ш П аг С к. Так как ш П аг € ша(О) и О € то € /(ш П аг) = 0. Противоречие. Таким образом, О € ©т И $1 С ©т.
Из а) и б) следует, что ©т =
5) Из примера 4) следует, что ©а1 = шаЯ(/,р), где / ^ шаК-функция, такая, что f (ш') = ©а, f (ш П ау) = ©^ для вс ех ] = г, f (ш П а^) = 0 для, вс ех ] = г, р — шаРК-функция, Ро ^ Р-
Определение 2. Пусть <р = (р0. Тогда из определения 1 и теоремы 1 получаем класс Фиттинга $ = шаАК(/) = (С : Ош (С) е /(ш') и 0(шПа^' (С) е /(ш П аг) для всех ш П аг е ша (С)), который назовем и а-полным классом Фиттинга или, коротко, шаА-классом Фиттинга, с ша-спутником ¡. Пусть ф = ф0. Из определения 1 и следствия 1 получаем, класс Фиттинга $ = аАК(д) = (С : Оа' (С) е д(аг) для, вс ех аг е а(С)), который наз овем а-полным классом, Фиттинга или, коротко, аА-классом Фиттинга с а-спутником д.
Лемма 2. Пусть $ — непустой неединичный, класс Фиттинга и ша = ша($). Тогда $ является ша-полным классом, Фиттинга.
ДОКАЗАТЕ ЛЬСТВО. Пусть $1 = шаАК(/), где f — шстК-фупкция такая, что /(ш') = $, f (ш П а^ = ¡И(0(шп^)' (С) | С е $) для всех ш П аг е ша.
а) Покажем, что $ С $1. Пусть Н е $• Так как Ош(Н) < Н и $ — класс Фиттинга, то Ош(Н) е $ = /(ш'). Так как Н е $, то 0(шПа^(Н) е ¡и(0(шпа^(С) | С е $) = /(ш П аг) для всех ш П аг е ша(Н). Следовательно, Н е $1 и $ С $1.
б) Покажем, что $1 С $. Допустим противное и пусть Т — группа минимального порядка из $1 \ $. Тогд а Т — комонолитическая с комонолитом М = 2$. Так к ак Т е $1, то, как и в лемме 1, Ош(Т) С М и Т/М е © ш. Пусть ш П аг е ша(Т/М) С ). Так как Т е $ь то по определению класса $1 = шаАК(/, ф) ъ шст-спутпика /, получаем, что 0(шпоч)' (Т) е /(ш П аг) С $. Тогда 0(шп<7^' (Г) С М и Т/М ^ т/0(шПт^)' (Т)/М/0(шПа^ (Т) е £(шп^у. Противоречие. Таким образом, Т е $ и $1 С $.
$ = $1
□
Замечание. Из леммы 2 следует, что каждый непустой неединичный класс Фиттинга является ша-полным классом Фиттинга для некоторого непустого множества ш С Р и любого разбиения ст.
Лемма 3. Пусть / — шаК-функция, — шаРК-функция, где р0 ^ р, и$ = шаК(/,р). Тогда, выполняются следующие утверждения:
1) $ = шаК(д, ф), где д(ш') = / (ш') П $ и д(ш П аг) = / (ш П аг) П $ дм вс ех ш П аг е ша.
2) $ = шаК(к, ф), где к(ш') = $ и к(ш П аг) = / (ш П аг) для вс ех ш П аг е ша.
3) если ша = ша($),то$ = (С : Ош(С) е /(ш') и е /(шПаг) для всех шПаг е ша). Доказательство. 1) Пусть $1 = шаК(д,ф), где д — шстК-фупкция, описанная в пункте 1) леммы.
Так как д ^ /, то, учитывая теорему 1, получаем $1 С $.
Пусть С е $ = шаК(/,ф. Тогд а Ош (С) е / (ш') и е / (ш П аг) для всех
ш П аг е ша(С). Так как Ош(С) < С, < С и $ — класс Фиттинга, то Ош(С) е
/(ш') П $ = д(ш'), С^(ш<пт^) е /(ш П аг) П $ = д(ш П аг) для всех ш П аг е ша(О). Следовательно, С е шаК(д, ф) = $1 и $ С $1.
Таким образом, $ = $1.
2) Пусть $2 = шаК(к,ф), где к — шстК-функция, описанная в пункте 2) леммы. Покажем, что $ = $2.
Пусть О е $ = шаК(/, ф). Так к ак Ош (С) <С и $ — класс Фиттин га, то Ош (С) е $ = к(ш'). Кроме того, е / (ш П аг) = к(ш П аг) для всех ш П аг е ша(С). Тогд а С е шаК(к, ф) = $2
$ С $2
Предположим, что $ С $2 и пуст ь Н — группа минимального по рядка из $2 \ $• Тогда Н — комонолитическая с комонолитом М = Из Н е $2, как и в лемме 1, получаем, что Ош (Н) С м и Н/М е Так как Н/М = Н/Ош (М)/М/Ош (М) и М/Ош (М) е © ш, то Н/Ош (М) е ©-.Тогда Ош (Н) С Ош (М). Так как М е $ = шаК(/,ф, то Ош (М) е f (ш'), а значит, Ош(Н) е /(ш'). того, н(р(шГпт*) е к(ш П аг) = /(ш П аг) для всех ш П аг е ша(Н).
Следовательно, Н е шаК(/, ф) = $. Таким образом, $ = $2.
3) Пусть = (С : Ош(С) € /(и') и ) € /(ш П стг) для всех ш П ^ € шст)
и С € $ = шстК(/,р). Если ш П стг € шст(С), то € /(ш П ст»). Пусть ш П стг €
€ шст \ шст(С) = шст($) \ шст(С). Тогда существует такая группа Т € что ш П ст1 € шст(Т) и € /(ш П а^, а значит, /(ш П аг) = 0. Так как ш П аг € ист(С), то С € ©(шП<г4)' =
= П ст*) С П аг). Тогд а с^(шпа') = 1 € / (и П ст*).
Таким образом, С^(шГа') € /(и П а^ для ш П ст^ € ша и $ С $3.
Включение $з С $ очевидно. Таким образом, $ = $з. □
Определение 3. ша-спут,ник $ класса Фиттинга $ = шаЯ(/, ф) назовем внутренним, если f (ш') С $ и f (ш П а{) С $ для вс ех ш П ст1 € ша.
Замечание. Лемма 3 показывает, что каждый шст-веерный класс Фиттинга всегда обладает внутренним шст-спутником.
Лемма 4. Пусть $ — ша-веерный класс Фиттинга, с ша-спутником ¡'и ша-направлением р, где р0 ^ р, ша = шст($). Тогда $ является а-веерным классом Фиттлмга, с а-спутником д и а-направлением ф для любого разбиения а.
Доказательство. Пусть $ = шстВ,(/, ф. Рассмотрим стЕ-функцию д такую, что д(ст{) = = / (ш П а^ для вс ех ст1 € А = {сту- | ш П ау € ша}, д(аг) = $ для всех ст1 € Р \ (исту | ау € А)-, ст^Д-функцпю ф такую, что ф(а^ = р(ш П а^ для всех аг € А, ф(а^ = ©ш для всех аг € Р \ (исту | ау € А). Пусть Н = стК(д, ф).
а) Покажем, что $ С Н- Пусть С € $ и ст1 € а(С). Если ст1 € А и ш П ст1 € шст(С), то = (^^а) € f (ш п <л) = д(аг). Если ст € А и и П аг € шст(С), то С € ©(шГхт.у =
= <р0(ш П ст^ С р(ш П ст^). Так как ша = ша($), то, как и в лемме 3, /(ш П стг) = 0 и ^/Ф(аг) = Q<f(шГuJi) = 1 € у(шпаг) = д(аг). Далее, можем считать, в силу леммы 3, что /(ш') = Если аг € Р \ (исту | сту € А), то = Ош (С) € / (ш') = $ = д(а1) .Тогд а С € аК(д, ф) = Н
Следовательно, $ С Н-
б) Покажем, что Н С $ Пусть Т € Н и щ € ст(Т). Установим, что Ош(Т) = Т'^^ для всех стг € Р \ (исту | сту € А^. Действительно, из Т/Т'(оч) € ^(ст^) = ©ш следует, что Ош(Т) С т'(а'). Обратно, так как Т/Ош (Т) € ©ш = ф(стг), то Т'(<74) С (Т). Тогда
(Т) = Т'(а1) € д(стг) = $ = /(ш'). Для всех ш П стг € шст(Т) С шст получаем, что стг € А. Тогда Т= Т'(а>) € д(стг) = / (ш П стг). Следовател ьно, С € шстЯ(/, ф) =
Таким образом, Н С
Из а) и б) следует, что $ = Н-□
Определение 4. Определим, шстРЯ-функцию следующим образом: (ш') = ©ш, р1(ш П ст{) = ©шГ,л ©(шГа1у для, любо го ш П ст1 € шст. Тогда, из определения 1 и теоремы 1 получаем, класс Фиттинга $ = шстЬК(/) = (О : Ош(О) € f (ш') и ОшГ<7^'(шГ<7^)' (С) € /(ш П стг) для всех ш П ст1 € шст (С)), который наз овем шст-локальным, классом, Фиттлмга, или, коротко, шстЬ-классом Фиттинга с шст-спутником /. Определим, стРЯ-функцию ф1 следующим образом: ф^ст^ = ©о-; ©а( для любо го ст1 € ст. Из определения 1 и следствия 1 получаем, класс Фиттинга $ = стЬЯа) = (С : (С) € f (ст^ для вс ех стг € ст(С)), который назовем,
ст-локальным, классом, Фиттинга или, коротко, стЬ-классом Фиттинга с ст-спутником д.
Следствие 2. Если $ — шст-полный класс Фитт,инга, с шст-спутником ¡и шст = шст($), то $ — класс Фиттлмга, с ст-спутником д для любого разбиения ст.
Следствие 3. Если $ — шст-локальный класс Фиттинга, с шст-спутником / и шст = = шст($), то $ — ст-локальный класс Фиттинга с ст-спутником д для любого разбиения ст.
Определение 5. а-нап^вление ф а-веерного класса Фиттинга назовем главным,, если ф(аг) ■ = ф(аг) для вс ех аг е а.
Лемма 5. Пусть $ — ст-веерный класс Фиттинга, с а-спутником д и главным а-направлением ф. Тогда, $ является ша-веерным классом Фиттинга с ша-спутником ¡'и ша-направлением <р для любого непустого множества ш С Р и любого разбиения, а. Доказательство. Пусть $ = аК(д, ф). Рассмотрим шстК-функцию £ такую, что $(ш') = $, f (ш П аг) = д(аг) для всех ш П аг е ша; шстТК-фупкцию <р такую, что (р(ш') = (р(ш П аг) = ф(аг) для всех ш П аг е шст. Пусть Н = шаК(/, (р).
а) Покажем, что $ С Н- Пуст ь С е $• Так к ак Ош (О) < С и $ — класс Фиттинга, то Ош(С) е $ = /(ш'). Для всех ш П аг е ша(С) С ша получаем аг е а(С). Так как С е $ = аК(д, ф), то С{р(шпа^) = 0'ф(а^) е д(аг) = /(ш П аг). Следовательно, С е Н и $ С Н
б) Покажем, что Н С $ Допустим противное и пусть Т — группа минимального порядка из Н \ $• Тогд а Т — комонолитическая с комонолитом М = Т$. Так как Т е Н = шаК(/, ф), то Ош (Т) е /(и') = $ а зпачит, Ош (Т) С М и Т/М = Т/Ош (Т)/М/Ош (Т) е Тогда для всех стг е а(Т/М) получаем ш П аг е ша(Т/М) С шст(Т) С ша. Так как Т е Н = шаК(/, <р), то ТФЫ = т^(шпо) е f (ш п аг) = д(аг). Пусть аг е ст(Т) \ а(Т/М). Тогда Т/М е Так как Т/М ^ Т/М'ф(а^/М/то Т/М'ф(а^ е ф(аг) ■ ©о- По условию ф — отавное ст-паправлепие, а значит, ф(аг) ■ ©о/ = ф(аг). Тогда, Т/М'ф(а^ е ф(аг) и Т^(о) С М^(о). Из М е $ = аК(д,ф) получаем, что е д(аг), а зпачит, е д(аг). Таким образом, е д(аг) для всех стг е ст(Т). Тогда то определепию Т е $ = аК(д, ф). Следовательно, Н С $.
Из а) и б) следует, что $ = Н-□
Замечание. В леммах 4 и 5 показана связь между шст-веерными и ст-веерными классами
Фигргридрд^^
Следствие 4. Е'слм $ — а-полный, класс Фиттинга с а-спутником д, то $ — ша-полный класс Фиттинга с ша-спутником для любого непустого множества ш С Р « любого разбиения а.
Следствие 5. Если $ — ст-локальный класс Фиттинга с а-спутником д, то $ — шст-локальный класс Фиттинга с ша-спутником для любого непустого множества ш С Р « любого разбиения а.
3. Заключение
В случае, когда а = {{2}, {3},... } [15], шст-веерпые классы Фиттинга становятся ш-веерными классами Фиттинга в определениях работ [7,10].
При дальнейшем исследовании введенных в данной статье классов Фиттинга представляет интерес решение следующих вопросов.
Вопрос 1. Какое строение имеют минимальный и максимальный спутники шст-веерпых классов Фиттинга?
Вопрос 2. Верно ли, что произведение любых двух шст-веерпых классов Фиттинга является шст-веерпым классом Фиттинга?
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Gaschutz W. Zur Theorie der endlichen auflösbaren Gruppen // Math. Z. 1963. Vol. 80, № 4. P. 300-305.
2. Hartley В. On Fischer's dualization of formation theory // Proc. London Math. Soc. 1969. Vol. 3, № 2. P. 193-207.
3. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. М.: Наука. 1978. 272 с.
4. Воробьев Н. Т. О локальных радикальных классах // Вопросы алгебры. 1986. Вып 1. С. 2234.
5. Скиба А. Н. Алгебра формаций. Минск: Беларуская навука. 1997. 240 с.
6. Скиба А. Н., Шеметков Л. А. Кратно w-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп // Математические труды. 1999. Т. 2, № 2. С. 114-147.
7. Ведерников В. А., Сорокина М. М. w-веерные формации и классы Фиттинга конечных групп // Математические заметки. 2002. Т. 71, № 1. С. 43-60.
8. Шеметков Л. А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука. 1989. 256 с.
9. Doerk К., Hawkes Т. Finite soluble groups. Berlin-New York: Walter de Gruvter. 1992. 892 p.
10. Vedernikov V.A. On new types of w-fibered Fitting classes of finite groups // Ukrainian Mathematical Journal. 2002. Vol. 54, № 7. P. 897-906.
11. Корпачева M. А., Сорокина M.M. О критических w-веерных формациях конечных групп // Математические заметки. 2006. Т. 79, № 1. С. 87-94.
12. Сафонов В. Г. Об одном вопросе теории тотально локальных формаций конечных групп // Алгебра и логика. 2003. Т. 42, № 6. С. 727-736.
13. Воробьев Н.Н. Алгебра классов конечных групп. Витебск: ВГУ имени П.М. Машерова. 2012. 322 с.
14. Guo Wenbin. Structure theory for canonical classes of finite groups. Berlin Heidelberg: SpringerVerlag. 2015. 360 p.
15. Skiba A.N. On one generalization of the local formations // ПФМТ. 2018. № 1 (34). P. 79-82. REFERENCES
1. Gaschutz, W. 1963, "Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen", Math. Z., vol. 80, no. 4, pp. 300-305.
2. Hartley, B. 1969, "On Fischer's dualization of formation theory", Proc. London Math. Soc., 1969, vol. 3, no 2, pp. 193-207.
3. Shemetkov, L. A. 1978, Formatsii konechnyh grupp (Finite group formations), Nauka Publ., Moskva, 272 p. (in Russ.).
4. Vorob'ev, N. T. 1986, "O lokal'nvh radikal'nvh klassah (About local radical classes)", Voprosy algebry, no. 1, pp. 22-34. (in Russ.).
5. Skiba, A.N. 1997, Algebra formatsiy (Algebra of formations), Belaruskava navuka Publ., Minsk, 240 p. (in Russ.).
6. Skiba, A. N. & Shemetkov, L. A. 2000, "Multiply w-local formations and Fitting classes of finite groups", Siberian Adv. Math., vol. 10, no. 2, pp. 112-141.
7. Vedernikov, V. А. к Sorokina, M. M. 2002, "w-fibered formations and Fitting classes of finite groups", Mathematical Notes, vol. 71, no. 1, pp. 39-55.
8. Shemetkov, L. A. к Skiba, A. N. 1989, Formatsii algebraicheskih sistem (Formations of algebraic systems), Nauka Publ., Moskva, 256 p. (in Russ.).
9. Doerk, К. к Hawkes, T. 1992, Finite soluble groups Walter de Gruvter Publ., Berlin - New York, 892 p.
10. Vedernikov, V. A. 2002, "On new types of w-fibered Fitting classes of finite groups", Ukrainian Mathematical Journal, vol. 54, no. 7, pp. 897-906.
11. Korpacheva, M. A. к Sorokina, M. M. 2006, "On critical w-fibered formations of finite groups", Mathematical Notes, vol. 79, no. 1, pp. 79-85.
12. Safonov, V. G. 2003, "On a question of the theory of totally local formations of finite groups", Algebra and Logic, vol. 42, no. 6, pp. 407-412.
13. Vorob'ev, N.N. 2012, Algebra klassov konechnyh grupp (Algebra of classes of finite groups), VGU imeni P.M. Masherova Publ., Vitebsk, 322 p. (in Russ.).
14. Guo, Wenbin. 2015, Structure theory for canonical classes of finite groups, Springer-Verlag Publ., Berlin Heidelberg, 360 p.
15. Skiba, A.N. 2018, "On one generalization of the local formations", Problems of Physics, MathemMics and Technics, no. 1 (34), pp. 79-82.
Получено 12.10.2019 г.
Принято в печать 22.10.2020 г.
