О СТРОЕНИИ QUOTE - ВЕЕРНЫХ И QUOTE - РАССЛОЕННЫХ КЛАССОВ ФИТТИНГА И ФОРМАЦИЙ КОНЕЧНЫХ ГРУПП Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.542

О СТРОЕНИИ w-ВЕЕРНЫХ И ß-РАССЛОЕННЫХ КЛАССОВ ФИТТИНГА И ФОРМАЦИЙ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

С. П. Максаков, М. М. Сорокина

ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского»

Рассматриваются только конечные группы. Пусть Р - множество всех простых чисел, ш - непустое подмножество множества Р, 3 - класс всех конечных простых групп, П - непустой подкласс класса 3. В статье изучаются ш - веерные и П -расслоеные классы Фиттинга и формации конечных групп. Получено описание строения данных классов.

Ключевые слова: конечная группа, класс групп, формация групп, класс Фиттинга, ш-веерная формация, ш-веерный класс Фиттинга, П-расслоенная формация, П-расслоенный класс Фиттинга.

В теории классов конечных групп эффективным средством для изучения формаций и классов Фиттинга являются функции (называемые в настоящее время спутниками), в качестве области определения которых выступает либо множество всех простых чисел Р, либо класс всех конечных простых групп 3. Такой функциональный подход к изучению формаций был заложен в 1963 году в работе В. Гашюца [18], в которой с помощью функциональных методов были построены локальные формации, имеющие функцию-спутник вида /: Р ^{формации групп}. В 1969 году Б. Хартли, используя функциональные методы, построил локальные классы Фиттинга, обладающие спутником вида /: Р ^{классы Фиттинга групп} [17]. Позднее, в 1974 году Л.А. Шеметков ввел в рассмотрение композиционные формации, спутниками которых являются функции вида /: 3 ^{формации групп} [13]. Локальные и композиционные формации и классы Фиттинга являются наиболее изученными в теории классов конечных групп; они нашли широкое применение как в теории классов конечных групп, так и в теории конечных групп в целом (см., например, [3, 15, 16]).

В дальнейшем идея использования функциональных методов в теории классов конечных групп развивалась в направлении изменения области определения рассматриваемых функций-спутников: в качестве области определения стали рассматриваться не множество Р всех простых чисел, а некоторое его непустое подмножество ш (в определенных целях дополненное одним элементом, не принадлежащим ш); не класс 3 всех конечных простых групп, а некоторый его непустой подкласс П (дополненный одним элементом, не принадлежащим Л). На этом пути Л.А. Шеметковым и

A.Н. Скибой были определены ^-локальные формации и ^-локальные классы Фиттинга, П -композиционные формации и П-композиционные классы Фиттинга (см., например, [9, 10, 11, 14]).

В 1999 году В.А. Ведерниковым был предложен новый функциональный подход к изучению классов конечных групп, основанный на использовании для формаций и классов Фиттинга новой функции - функции-направления. Им совместно с М.М. Сорокиной были построены две новые серии формаций и классов Фиттинга - ш-веерные и П-расслоенные формации и классы Фиттинга (см., например, [1, 2]). Отметим, что w-локальные формации и классы Фиттинга являются представителями первой серии классов, а П - композиционные формации и классы Фиттинга - представителями второй. Изучением различных видов ш-веерных и П-расслоенных формаций и классов Фиттинга занимались Ю.А. Еловикова, О.В. Камозина, М.А. Корпачева, Д.Г. Коптюх, С.В. Чиспияков, М.М. Сорокина, Н.В. Силенок,

B.Е. Егорова, Е.Н. Демина и др. (см., например, [4, 5, 8, 12]).

В теории классов конечных групп хорошо известны формулы, описывающие строение локальных и композиционных формаций, локальных и w-локальных классов Фиттинга (см., например, [3, 6, 15, 16]). Настоящая работа посвящена изучению строения w-веерных и П-расслоенных классов Фиттинга и формаций конечных групп.

В работе рассматриваются только конечные группы. Используемые обозначения и определения можно найти в [1, 2, 15, 16]. Приведем лишь некоторые из них.

Класс групп ft называется формацией (или, иначе, корадикальным классом), если выполняется два условия:

1) из Geg и N <G следует G/N Е ft;

2) из G/AE% и G/B Е ft следует G/АПВ Е ft.

Класс групп ft называется классом Фиттинга (или, иначе, радикальным классом), если выполняется два условия:

1) из GEg и N < G следует N Е ft;

2) из G = АВ, А< G, В < G, Л Е ft, В Е ft следует G Е ft.

Пусть X - непустое множество групп. Тогда (X) обозначает класс групп, порожденный множеством X; в частности; form (X) - формация, порожденная множеством X; fit (X) - класс Фиттинга, порожденный множеством X; - ft-корадикал группы G, т.е. наименьшая нормальная подгруппа группы G, фактор-группа по которой принадлежит ft, где ft - непустая формация; - ft-радикал группы G, т.е. наибольшая нормальная подгруппа группы G, принадлежащая ft, где ft - непустой класс Фиттинга. Через обозначается произведение классов групп $ и $, т.е.

ft$ = (G | BN<G: N Е%, G/N Е$); через ft ° $ обозначается корадикальное произведение классов групп $ и $ т.е.

fto$ = (G I С$Е%);

где $ - класс групп, $ - непустая формация; через ft « $ - радикальное произведение классов групп ft и $, т.е.

%*$ = {G I С/С%Е$}, где ft - непустой класс Фиттинга, $ - класс групп.

1. to-Веерные классы Фиттинга

Пусть © - класс всех конечных групп, ш - непустое подмножество множества Р всех простых чисел; - одноэлементное множество, состоящее из одного элемента ш'. Через

обозначается класс всех w-групп, т.е. таких групп G, что n(G) С ш; Ош(С) = G& -радикал группы G; 0M(G) = - -корадикал группы G, - класс всех конечных р'-групп, где р Е Р.

Функция /:ши{ш'} ^{классы Фиттинга групп}, где f(ш') ф 0, называется mR-функцией; функция h: Р ^{классы Фиттинга групп} называется PR-функцией; функция 5:Р ^{непустые формации Фиттинга} называется PFR-функцией. Класс Фиттинга

ft = u>R(f, 8) = (СЕ$1 Oa(G) Е f(to') и G5(p) Е f(p) для всех р Е toftn(G)) называется ш-веерным классом Фиттинга с ^й-спутником f и направлением S. Класс Фиттинга

$ = PR(h,S) = (G Е © | GS(P) Е h(p) для всех р Е n(G)) называется веерным классом Фиттинга с й-спутником h и направлением 8 [1]. Через 80 обозначается направление ш-полного класса Фиттинга, т.е. 80(р) = для любого р Е Р. Через mR(%,8) обозначается ш-веерный класс Фиттинга с направлением S, порожденный множеством групп X.

Лемма 1.1 (теорема 11 [1]). Пусть X - непустой класс групп. Тогда ш-веерный класс Фиттинга ft = mR(X8) с направлением 8, где 80<8, обладает единственным минимальным teR-спутником f таким, что f(w') = fit(0^(G) | G Е X), f(p) = fit(Gs(^) I G ЕХ) для всех p Е ^Пя(Х) и f(p) = 0, если р Е ш\п(Х).

Лемма 1.2 (теорема 5.38 [7]). Пусть X - 5П-замкнутый класс групп и £ - формация. Тогда =

Рассмотрим строение ^-веерного класса Фиттинга с направлением 5, где 50 < 5.

Теорема 1.1. Пусть / - произвольный шИ-спутник ш-веерного класса Фиттинга $ с направлением 8, где 50 < 8. Тогда $ имеет следующее строение:

яржр)) п/(^')еш. Доказательство. Пусть ж = еЯ(5)п (п ЯрЖр)) п/(ы')еш.

I. Покажем, что $ £ Ж. Пусть С £

1) Установим, что С £ . Рассмотрим подгруппу 0Ш(С) группы С. По определению ^-веерного класса Фиттинга 0Ш(С) £ /(^') (1). С другой стороны, по определению -корадикала группы справедливо 0Ш(С) < С и С/Ош(С) £ (2). Из (1) и (2) по определению произведения классов групп получаем С £

2) Покажем, что С £ пр£п-(5)пшЯр)^(р). Достаточно проверить, что С £ /(р)5(р) для любого р £ Пусть р1 - произвольное простое число из Покажем, что С £ /(Р1)£(Р1). Так как С £ то я(С) £ и, значит, л"(С)п^ £ л"($)п^. Возможны два случая.

а) Пусть р1£я(С)п^. Так как С £ то по определению ^-веерного класса Фиттинга

£ /(Р1). По определению 5(р^-корадикала группы Следовательно, по определению произведения классов групп получаем, что С £ /(р1)5(р1).

б) Пусть р1 £ (я(^)п^)\я(С). Тогда С £ ©р ' = 50(р1). Так как по условию 50 < 5, то С £ 5(р1). Таким образом, С = С/1 £ 5(р1). Покажем, что 1 £/(р1). Для этого достаточно установить, что /(р1) Ф 0. Пусть /1 - минимальный ш-спутник ш-веерного класса Фиттинга По лемме 1.1 справедливо включение /1(р1) £ /(р1) (3). Покажем, что /1(р1) Ф 0. Так как $ = 5), то по лемме 1.1 /Кд) Ф 0 тогда и только тогда, когда ц £ ^п^(^). Из выбора р1 следует, что /1(р1) Ф 0 (4). Из (3) и (4) получаем, что /(р1) Ф 0. Так как /(р1) - 5П-замкнутый класс групп, то 1 £ /(р1). Следовательно, С £ /(р1)5(р1).

Из а) и б) получаем, что С £ /(р)5(р) для любого р £ а значит,

С £ пР£Я(5)Пы/(Р)5(р).

3) Покажем, что С £ Действительно, так как С £ то л"(С) £ я(^). Это означает, что С £ ©л-©).

Из 1) - 3) следует, что С £ Ж, и поэтому $ £ Ж.

II. Проверим, что Ж £ Пусть С £ Ж. Установим, что С £

1) Так как С £ Ж, то С £ . Поскольку /(^') - 5П-замкнутый класс групп, -формация, то по лемме 1.2 = /(^') ° . По определению корадикального произведения классов групп £ /(^').

2) Докажем, что для любого р £ л"(С)п^ выполняется условие С5(р) £ /(р). Так как С £ Ж, то С £ /(о05(д) для любого числа ц £ л"($)п^. Пусть £ Покажем, что

£ /(^1). Достаточно установить, что £ Действительно, так как С £ Ж, то

С £ ©л-©). Поэтому справедливо включение л"(С) £ я(^) и, значит, £ Отсюда

получаем, что С £ /(^1)5(д1).

Так как /(^1) - класс Фиттинга, а 5(д1) - формация, то по лемме 1.2 имеем равенство /(?1)^(?1) = /(?1) ° Тогда, согласно определению корадикального произведения,

справедливо £ /(^1).

Из 1) и 2) по определению ш-веерного класса Фиттинга получаем, что С £ а, следовательно, Ж £

Из I и II следует равенство $ = Ж. Теорема доказана.

Следствие 1.1. Пусть к - произвольный Я-спутник веерного класса Фиттинга % с направлением 8, где 80 < 8. Тогда % имеет следующее строение:

% = ®л(%)П (Преп(%)Кр)д(р)У 2. Л-Расслоенные классы Фиттинга

Пусть 3 - класс всех конечных простых групп, П - непустой подкласс класса 3, -одноэлементное множество, состоящее из одного элемента П'. Через К (С) обозначается класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы С; К(Х) -объединение классов К (в) для всех С Е X, где X - класс групп. Через обозначается класс всех П-групп, т.е. таких групп, для которых К(С) £ О; Оп(С) = - -радикал группы С; Оп(в) = - -корадикал группы С; ©у - класс всех А'-групп, где А' = 3\(Л).

Функция /: ^{классы Фиттинга групп}, где /(&') ^ 0, называется ПЯ-

функцией; функция к: 3 ^{классы Фиттинга групп} называется И -функцией; функция Ф-3 ^{непустые формации Фиттинга} называется РЯ-функцией. Функции /, к и ф принимают одинаковые значения на изоморфных группах из области определения. Класс Фиттинга

$ = = (в Е © | Оп(в) Е /(П') и Е /(А) для всех А Е ППК(в))

называется П-расслоенным классом Фиттинга с ПЯ-спутником / и направлением ф. Класс Фиттинга

% = И(к,ф) = (в Е&1 С*(А) Е к(А) для всех А Е К (в)) называется расслоенным классом Фиттинга с Я-спутником к и направлением <р [2]. Через <р0 обозначается направление П-свободного класса Фиттинга, т.е. <р0(А) = ©у для любой группы А Е 3. Через ПК(Х,<р) обозначается П-расслоенный класс Фиттинга с направлением ф, порожденный множеством групп X.

Лемма 2.1 (теорема 10 [2]). Пусть X - непустой класс групп. Тогда П-расслоенный класс Фиттинга % = с направлением ф, где ф0 < <р, обладает единственным

минимальным ПИ -спутником / таким, что /(П')=й1(0° (С)№ Е X), /(А)=П1(С^(а)1С Е X) для всех А Е ППК(Х) и [(А) = 0, если А Е П\К(Т).

Рассмотрим строение П -расслоенного класса Фиттинга с направлением ф, где <р0 < <р.

Теорема 2.1. Пусть / - произвольный ПЯ-спутник П-расслоенного класса Фиттинга % с направлением ф, где ф0 < <р. Тогда % имеет следующее строение :

Ъ = ЪК(ЮП (Паек(.ЮППГ(АЫА)) ПГ(П')Ъа.

Доказательство. Пусть Ж = ©^П (пАек(ЮПп[(А)ф(А)) П[(П')Ъп.

I. Покажем, что $ £ Ж. Пусть в Е

1) Установим, что С Е . По определению П-расслоенного класса Фиттинга имеем 0°(С) Е /(П') (5). С другой стороны, по определению -корадикала группы справедливо Оп(в) < в и С/0°(С) Е (6). Из (5) и (6) по определению произведения классов групп получаем, что С Е /(П')^п.

2) Покажем, что С Е ПаЕкС$)пп/(А)ф(А). Пусть А1 - произвольная группа из К(%)ПП. Так как С Е то К(в) £ К(%) и, значит, К(в)ПП £ К(%)ПП. Возможны два случая.

а) Пусть А1 Е К(в)ПП. Так как в Е^, то по определению П-расслоенного класса Фиттинга СФ(а1 Е /(А^. По определению ф(Л1)-корадикала группы справедливо, что Е <р(А-). Следовательно, по определению произведения классов групп получаем, что в Е [(А1)^(А1).

б) Пусть Л1 £ (^($)пЛ)\^(С). Тогда С £ ©(¿у = ф0(^1). Так как по условию теоремы < ф, то б ^ С/1 £ ф(Л1). Покажем, что /(^1) Ф 0. Пусть /1 - минимальный П-спутник П-расслоенного класса Фиттинга По лемме 2.1 справедливо следующее включение /1(^1) £ /(^1) (7). Так как $ = ф), то по лемме 2.1 /1(5) Ф 0 тогда и

только тогда, когда В £ ^п^(^). Из выбора Л1 следует, что Л1 £ ^п^(^) и /1(Л1) Ф 0 (8). Из (7) и (8) следует, что /(Л1) Ф 0. Так как /(Л1) - 5п-замкнутый класс групп, то 1 £ /(^1). Следовательно, С £ /(Л1)^(Л1).

Из а) и б) получаем, что С £ /(Л)^(Л) для любого Л £ ^(^)п^, а значит,

С £ плвд)пя/(ЛЖЛ).

3) Так как С £ & то ВД) £ ВД). Поэтому С £ ©^(Ю. Из 1) - 3) следует, что С £ Ж, а значит, $ £ Ж.

II. Проверим, что Ж £ Пусть С £ Ж. Установим, что С £

1) Так как С £ £, то С £ /(Л')®я. По лемме 1.2 /(Л')®я = /(Л') ° ©д. Поэтому С®^ £

/(Л').

2) Докажем, что для любого Л £ ^(С)п^ выполняется £ /(Л). Так как С £ Ж, то С £ /(5)^(5) для любого В £ ^(^)п^. Пусть 51 £ ^(С)п^. Покажем, что справедливо

£ /(51). Достаточно установить, что 51 £ ^(^)п^. Действительно, так как С £ £, то С £ Поэтому К (С) £ ВД) и, значит, £ ^(^)п^. Отсюда имеем С £ /(^1)^(^1).

Так как /(51) - класс Фиттинга, а ф(51) - формация, то по лемме 1.2 /(51)^(51) = /(В1) ° ^(51) и, значит, £ /(В1) для любого В1 £

Таким образом, из 1) и 2) по определению Л-расслоенного класса Фиттинга получаем, что С £ и поэтому Ж £

Из I и II следует равенство $ = Ж. Теорема доказана.

Следствие 2.1. Пусть к - произвольный й-спутник расслоенного класса Фиттинга £ с направлением ф, где < ф. Тогда £ имеет следующее строение:

£ = ^(§)п(плед)Л(ЛЖЛ)).

3. ^-Расслоенные формации

Функция /: П ^{формации групп}, где /(^') Ф 0, называется Л -функцией;

функция к: 3 ^{формации групп} называется F-функцией. Функции / и к принимают одинаковые значения на изоморфных группах из области определения. Пусть ^{непустые формации Фиттинга} - произвольная ^-функция. Формация

$ = Ж/» = (С £ © | С/Од (б) £ /(Л') и £ /(Л) для всех Л £ П П ВД))

называется Л -расслоенной формацией с -спутником / и направлением ф. Формация

£ = ^(к,^) = (С £ © | £ /(Л) для всех Л £ ВД))

называется расслоенной формацией с Л-спутником к и направлением ^ [2]. Формация

ф0) называется П-свободной. Через .^(Х, ф) обозначается Л-расслоенная формация с направлением ф, порожденная множеством групп X.

Лемма 3.1 (теорема 5 [2]). Пусть X - непустой класс групп. Тогда П-расслоенная формация $ = .^(Х, ф) с направлением ф, где < ф, обладает единственным минимальным -спутником / таким, что /"(р) = Югш^/С^^С £ X) для всех Л£ ^п^(Х), /(Л') = Гогш(С/Од(С)|С £ X) и /(Л) = 0, если Л £ Я\К(Х).

Лемма 3.2 (теорема 5.39 [7]). Пусть X - класс групп Фиттинга и £ - Q-замкнутый класс групп. Тогда X « £ = Х£.

Рассмотрим строение П-расслоенной формации с направлением ф, где < ф.

Теорема 3.1. Пусть [ - произвольный П.Р-спутник П-расслоенной формации $ с направлением ф, где ф0 < <р. Тогда % имеет следующее строение:

Ъ = ЪК(ЮП (ПАЕК®)П^Ш(А)) ПЪпГ(П').

Доказательство. Пусть Ж = ©^П (пАек(ЮПпФ(А)[(А)) ПЪп[(П').

I. Покажем, что $ £ Ж. Пусть С Е Тогда по определению П-расслоенной формации С/0п(в) Е /(О'). Так как 0п(в) Е , то по определению произведения классов групп получаем в Е &П[(П').

Пусть А1 - произвольная группа из Так как в Е то К (в) £ К($) и,

значит, К(в)ПО £ К($)ПО. Если А1 Е К(в)ПО, то по определению Л-расслоенной формации С/вф(А1) Е /(А1). Поскольку справедливо С^(^) Е ^(А1), то в Е ф(А1)[(А1). Предположим, что А1 Е (К($)ПА)\К(С). Тогда С Е ' = (р0(А1) £ <р(А{). Пусть -минимальный ПР-спутник П-расслоенной формации Так как $ = ПР($,ф), то по лемме 3.1 0 Ф [1(А1) £ [(А1). Так как [(А1) - Q-замкнутый класс групп, то 1Е[(А1). Следовательно, С

Таким образом, в Е ф(А)[(А) для любого А Е а значит,

С Е ПАЕК(ЮППФ(А)Г(А).

Так как в Е то К(в) £ К($). Поэтому в Е &к(&). Таким образом, в Е №. Тем самым установлено, что $ £ №.

II. Покажем, что Ж £ Пусть в Е Тогда С Е &п/(П'). По лемме 3.2 &п/(П') = о/(П') и, значит, й/й^ Е /(&'). Докажем, что для любого А Е К(С)П& выполняется

С/С^{А) Е /(А). Так как С Е то С Е ф(В)/(В) для любого В Е К(%)ПП. Пусть В1 Е К(в)ПО. Поскольку в Е&, то С Е &к(&). Поэтому справедливо К (в) £ К($) и, значит, В1 Е К($)П&. Отсюда получаем, что

С Е ^(В1)/(В1).

По лемме 3.2 имеем ф(В1)[(В1) = ^(В1) о [(В1) и Е [(В1). По определению

П -расслоенной формации й Е Таким образом, Ж £

Из I и II получаем равенство $ = Ж. Теорема доказана.

Следствие 3.1. Пусть к - произвольный Р-спутник расслоенной формации % с направлением ф, где ф0 < <р. Тогда % имеет следующее строение :

% = ®т)П(пАЕк(%)ф(А)к(А)).

Замечание 3.1. В работе [12] изучается один из видов ^-веерных формаций - ш-центральные формации, и, в частности, рассматривается формула, описывающая строение ш- центральной формации, из которой нетрудно получить следующую формулу для произвольной ^-веерной формации $ с направлением 8, где 80 < 8, и ПР-спутником f :

ЗШ(р)] №„№),

а также формулу, описывающую строение произвольной веерной формации % с направлением 8, где 80 < 8, с произвольным Р-спутником к:

% = ®я©)П (ПРЕп(^)3(р)к(р)Л).

Список литературы

1. Ведерников В.А., Сорокина М.М. П -Расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп // Дискретная математика, 13:3 (2001), 125-144.

2. Ведерников В.А., Сорокина М.М. ш-Веерные формации и классы Фиттинга конечных групп // Математические заметки, 71:1 (2002), 43-60.

3. Воробьев Н.Н. Алгебра классов конечных групп: монография. - Витебск: ВГУ им.

П.М. Машерова, 2012. - 322 с.

4. Егорова В.А. Критические неоднопорожденные тотально канонические классы Фиттинга конечных групп // Математические заметки, 83:4 (2008), 520-527.

5. Камозина О.В. Булевы решетки п - кратно П - биканонических классов Фиттинга // Дискретная математика, 14:3 (2002), 47-53.

6. Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. - Мн.: Беларуская навука, 2003. - 254 с.

7. Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов: учеб. пособие. -Мн.: Выш. шк., 2006. - 207 с.

8. Скачкова (Еловикова) Ю.А. Булевы решетки кратно П - расслоенных формаций // Дискретная математика, 14:3 (2002), 42-46.

9. Скиба А.Н., Шеметков Л.А. Кратно w-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп // Матем. труды, 2:2 (1999), 114-147.

10. Скиба А.Н., Шеметков Л.А. Частично композиционные формации конечных групп // Докл. НАН Беларуси, 43:4 (1999), 5-8.

11. Скиба А.Н. Алгебра формаций. - Минск: Беларуская навука, 1997. - 240 с.

12. Сорокина М.М., Котлярова М.В. ш - центральные формации конечных групп // Вестник Брянского государственного университета, № 3 (2004), 112-115.

13. Шеметков Л.А. Ступенчатые формации групп // Матем. сб., 94:4 (1974), 628-648.

14. Шеметков Л.А. О произведении формаций // Докл. АН БССР, 28:2 (1984), 101-103.

15. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. - М.: Наука, 1978.

16. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. - Berlin: Gruyter, 1992. - 891 s.

17. Hartley B. On Fischer's dualization of formation theory // Proc. London Math. Soc., 3:9 (1969), 193-207.

18. Gaschutz W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z., 80:4 (1963), 300-305.

Сведения об авторах

Сорокина Марина Михайловна - доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа, алгебры и геометрии Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, e-mail: [email protected].

Максаков Серафим Павлович - аспирант 1 курса физико-математического факультета по направлению «Математика и механика» Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, e-mail: [email protected].

ON THE STRUCTURE OF w-FIBERED AND Я-FOLIATED FITTING CLASSES AND

FORMATIONS OF FINITE GROUPS

S.P. Maksakov, M.M. Sorokina

Bryansk State University after Academician I.G. Petrovsky

We consider finite groups only. Let P be the set of all primes and ш be a nonempty subset of the set P, let 3 be the class of all simple finite groups and П be a nonempty subclass of the class 3. In the paper a description of the structure of the w-fibered and П -foliated Fitting classes and formations of finite groups is presented.

Keywords: a finite group, a class of groups, a formation of groups, a Fitting class, a ш-fibered formation, a ш-fibered Fitting class, a П-foliated formation, a П-foliated Fitting class.

References

1. Vedernikov V.A., Sorokina M.M. П -foliated formations and Fitting classes of finite groups // Discrete mathematics. - 2001. - V. 13. - №3. - P. 125-144.

2. Vedernikov V.A., Sorokina M.M. m-Fibered formations and Fitting classes of finite groups // Mathematical notes. - 2002. - V. 71. - № 1. - P. 43-60.

3. Vorobiev N.N. Algebra of classes of finite groups: monograph. - Vitebsk: Vitebsk State University after P.M. Masherov, 2012. - 322 p.

4. Egorova V.E. Critical non-singly-generated totally canonical Fitting classes of finite groups // Math. Notes. - 2008. - V. 83. - № 4. - P. 520-527.

5. Kamozina O.V. Boolean lattices of n - multiple fi -bicanonical Fitting classes // Discrete mathematics. - 2002. - V. 14. - № 3. - P. 47-53.

6. Kamornikov S.F., Selkin M.V. Subgroup functors and classes of finite groups. - Minsk: Belarusian science, 2003. - 254 p.

7. Monakhov V.S. Introduction to the theory of finite groups and classes of finite groups: textbook. - Minsk: Vyshaya shkola, 2006. - 207 p.

8. Skachkova (Yelovikova) Yu.A. Boolean lattices of multiple fi - foliated formations // Discrete mathematics, 2002. - V. 14. - № 3. - 42-46.

9. Skiba A.N., Shemetkov L.A. Multiple m-fibered formations and Fitting classes of finite groups // Mathematical works. - 1999. - V. 2 - № 2. - P. 114-147.

10. Skiba A.N., Shemetkov L.A. Partially composition formations of finite groups // National Academy of Sciences of Belarus report.- 1999. - V. 43. - № 4. - P. 5-8.

11. Skiba A.N. Algebra of formations. - Minsk: Belarusian science, 1997. - 240 c.

12. Sorokina M.M., Kotlyarova M.V. w- central formations of finite groups // The Bryansk State University Herald. - 2004. - № 3. - P. 112-115.

13. Shemetkov L.A. Graduated formations of groups // Math., USSR SB. - 1974. - V. 94. -№ 4. - P. 628-648.

14. Shemetkov L.A. On product of formations // Academy of Sciences USSR SB report. -1984. - V. 28. - № 2. - P. 101-103.

15. Shemetkov L.A. Formations of finite groups. - Moscow: Nauka, 1978.

16. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. - Berlin: Gruyter, 1992. - 891 s.

17. Hartley B. On Fischer's dualization of formation theory // Proc. London Math. Soc. -1969. - V. 3. - № 9. - P. 193-207.

18. Gaschutz W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. - 1963. - V. 80. - № 4. - P. 300-305.

About authors

Sorokina M. M. - ScD in Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].

Maksakov S. P. - Posgraduate student, Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].