О СВОЙСТВАХ НОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП QUOTE -КРИТИЧЕСКИХ ГРУПП Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.542

О СВОЙСТВАХ НОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП Тт -КРИТИЧЕСКИХ ГРУПП

М.М. Сорокина, А.А. Горепекина

Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского

Рассматриваются только конечные группы. В работе изучаются Тт -критические группы в случае, когда Т - т-замкнутый О -расслоенный класс Фиттинга с r-направлением т - радикальный подгрупповой функтор. Установлены свойства некоторых нормальных подгрупп Тт -критической группы G.

Ключевые слова: конечная группа, подгрупповой функтор, класс групп, класс Фиттинга, О -расслоенный класс Фиттинга, ТТ -критическая группа.

Введение

Рассматриваются только конечные группы и классы конечных групп. Классом групп называется такое множество групп, которое вместе с каждой своей группой G содержит и все группы изоморфные группе G. Среди классов групп одно из центральных мест занимают классы Фиттинга - классы, замкнутые относительно взятия нормальных подгрупп и произведений нормальных подгрупп, принадлежащих рассматриваемому классу. Первые результаты о классах Фиттинга были получены Б. Фишером в работе [24]. Исследованием классов Фиттинга занимались Р. Брайс, Дж. Косси, М. Диксон, Ф. Локетт, С. Реффершейд, Н.Т. Воробьев, А.Н. Скиба, Н.Н. Воробьев и многие другие алгебраисты (см., например, [6, 7, 21, 22, 27, 28]). Наиболее полное изложение основных понятий и ключевых результатов теории классов Фиттинга конечных групп представлено в монографии К. Дерка и Т. Хоукса [23].

В теории классов групп и, в частности, в теории классов Фиттинга, большую роль играют функциональные методы. Так, в 1969 году Б. Хартли с помощью функциональных методов построил локальные классы Фиттинга [26]. Развивая данный функциональный подход, Л.А. Шеметков и А.Н. Скиба в 1999 году ввели в рассмотрение а-локальные классы Фиттинга [17], где а - непустое множество простых чисел. При построении таких классов используются специальные функции, называемые спутниками соответствующих классов (см., например, [8, 16]). В 1999 году В.А. Ведерников для исследования классов групп предложил новый функциональный подход, основанный на использовании ещё одной функции -направления. Это привело к открытию серий новых видов формаций и классов Фиттинга, в частности, к построению а-веерных и О -расслоенных классов Фиттинга [3 - 5]. Многие важные свойства О -расслоенных классов Фиттинга получены В.А. Ведерниковым, О.В. Камозиной, В.Е. Егоровой, Е.Н. Бажановой и др. (см., например, [1, 9, 10]).

В теории классов конечных групп большую роль играют Т -критические группы (иначе, минимальные не Т -группы) для заданного класса групп Т, естественным образом обобщающее такие классические виды групп, как группы Миллера-Морено (минимальные неабелевы группы) и группы Шмидта (минимальные ненильпотентные группы) (см., например, [19, 20]). Группа, не принадлежащая классу Т, называется Т -критической группой, если все ее собственные подгруппы классу Т принадлежат. Важные результаты о Т -критических группах получены в работах В.Н. Семенчука, А.Д. Ходалевича, А.Ф. Васильева, А.В. Сидорова и др. (см., например, [2, 13 - 15, 18]). Как показано в [16], интерес представляет случай, когда для группы G £ Т в классе Т содержится некоторая фиксированная система собственных подгрупп группы G. Такой случай приводит к рассмотрению понятия Тт -критической группы (иначе, т-минимальной не Т -группы), где т - подгрупповой функтор, т.е. отображение, ставящее в соответствие каждой группе некоторую непустую систему ее подгрупп (см., например, [16]). Основные положения теории подгрупповых функторов представлены в монографии С.Ф. Каморникова, М.В. Селькина [11].

Настоящая работа посвящена изучению ТТ -критических групп в случае, когда Т - т-замкнутый П -расслоенный класс Фиттинга конечных групп с г-направлением ф, т -радикальный подгрупповой функтор.

Предварительные сведения

Используемые обозначения и определения стандартны (см., например, [12, 23, 25]). Приведем лишь некоторые из них. Запись N < С (Ы < С, N < С) означает, что N является подгруппой (соответственно собственной подгруппой, нормальной подгруппой) группы С. Класс групп Т называется классом Фиттинга, если выполняются следующие два условия:

1) из С Е Т следует, что N Е Т для любой нормальной подгруппы N группы С;

2) из С = ЫМ, где N и М - нормальные Т -подгруппы группы С, следует, что С Е Т. Через © обозначается класс всех конечных групп, 3 - класс всех конечных простых групп, П - непустой подкласс класса 3; К(С) - класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы С; К(Ж) - объединение классов К (С) для всех С Е X, где X - класс групп. Пусть X - непустое множество групп. Тогда (Ж) обозначает класс групп, порожденный X; в частности, (С) - класс всех групп, изоморфных группе С. Через обозначается класс всех П -групп, т.е. таких групп С, для которых К (С) £ О. Для А Е 3 используются следующие обозначения: = &(А); &А' = &(Ау; &са - класс всех групп, у которых каждый главный ^-фактор централен.

Пусть Т - формация, т.е. класс групп, замкнутый относительно фактор-групп и подпрямых произведений. Т -корадикалом группы С называется наименьшая нормальная подгруппа группы С, фактор-группа по которой принадлежит формации Т, и обозначается вТ. Через Т±Т2 обозначается произведение классов групп Тг и Т2, т.е.

ТТ = (в Е®\ В N <в, N ЕТ±, в/Ы Е Т2). Используются следующие обозначения:

0п(О = , оА'(в) = в^А', 0А-А'(С) = в^А', рА(в) = .

Функция {классы Фиттинга групп}, где называется ПЯ-

функцией; функция д:3 ^ {классы Фиттинга групп} называется Я-функцией; функция <р:3 ^ {непустые формации Фиттинга} называется ¥Я-функцией. Функции f, д и ф принимают одинаковые значения на изоморфных группах из области определения [4]. Класс Фиттинга Т = ПЯ(/,ф) = (в Е$\ 0п(С) Е /(П') и Е /(А) для всех АЕПП К (в))

называется П -расслоенным классом Фиттинга с П -спутником / и направлением <р; класс Фиттинга

Т = Я(д,(р) = (в ЕЪ\ в^(А) Е д(А) для всех А Е К (в)) называется расслоенным классом Фиттинга со спутником д и направлением ф [4]. Направление ф П -расслоенного (расслоенного) класса Фиттинга называется г-направлением, если ф(А) = ф(А)&А' для любой группы А Е 3 [3].

Пусть т - отображение, которое ставит в соответствие каждой группе С Е © некоторую непустую систему т(С) ее подгрупп. Отображение т называется подгрупповым функтором, если (г(С))^ = т(в^) для любого изоморфизма ф каждой группы в Е & [11]. Подгруппы группы С, принадлежащие т(С), называется т-подгруппами группы С. Пусть С - группа, Н -подгруппа группы С. Тогда

Н Пт(в) = {Н ПЬ \ ЬЕ т(в)}. Подгрупповой функтор т называется радикальным, если для любой группы С и любой ее нормальной подгруппы Н справедливо равенство Н П т(С) = т(Н) [11].

Пусть <р - РЯ-функция. Подгрупповой функтор т назовем П -корадикальным, если для любой группы в и для любой N Е т(в) справедливо 0п(в) П N = 0П(Ы); ф-корадикальным, если для любой группы С Е © и для любой N Е т(С) выполняется равенство П N =

щфШ для всех А Е 3; Пу-радикальным, если тявляется П-радикальным и у-радикальным.

Класс групп Т называется т-замкнутым, если т(С) £ Т для любой группы С Е Т [16]. Пусть Т - класс групп, т - подгрупповой функтор. Группа С называется Тт -критической

группой, или, иначе, т-минимальной не Т -группой, если G £ Т, но каждая собственная т-подгруппа группы G принадлежит классу Т [16]. Через Мт(Т) обозначается класс всех Тт -критических групп.

Основные результаты

Пусть т - подгрупповой функтор. В следующей теореме для т-замкнутого ß -расслоенного класса Фиттинга Т c внутренним ß -спутником f изучается влияние Тт -критичности группы G на (f(A))T -критичность некоторых ее нормальных подгрупп, где А Е (П П K(G))ö[ü'}.

Теорема 1. Пусть Ü - непустой класс простых групп, ф - r-направление ß -расслоенного класса Фиттинга, т - радикальный ßq-корадикальный подгрупповой функтор, Т - т-замкнутый ß -расслоенный класс Фиттинга c направлением ф и внутренним ß -спутником f, Ü Ç К(Т). Если G - ТТ -критическая группа, то справедливо по крайней мере одно из следующих утверждений :

1) 0n(G) - (f(ß'))T -критическая группа;

2) G^(Ä) - (f(A))T -критическая группа для некоторой группы А Е П П K(G).

Доказательство. Пусть G Е МТ(Т). Если 0n(G) Е f(ü') и Gv(À) Е f(A) для любого А Е Ü П K(G), то G Е Т, что противоречит выбору группы G. Следовательно, 0n(G) £ f(ü') или Gv(Ä) £ f(A) для некоторого АЕПП K(G).

Рассмотрим случай, когда 0n(G) £ f(ß'). Покажем, что в данном случае 0n(G) Е MT(f(ß')). Пусть H - собственная т-подгруппа группы 0n(G). Установим, что H Е f(ß'). Так как H < 0n(G), то H < G. Поскольку т - радикальный подгрупповой функтор и 0n(G) - нормальная подгруппа группы G, то

T(On(G)) = On(G)nr(G). Так как H Е t(0°(G)), то, ввиду последнего равенства, существует подгруппа L Е t(G) такая, что H = 0n(G) П L. В силу ß-корадикальности подгруппового функтора т, имеем 0n(G) ПЬ = 0n(L). Поэтому H = 0n(L). Если L = G, то H = 0n(G), что невозможно. Следовательно, L - собственная т-подгруппа группы G. Тогда, ввиду G Е Мт(Т), получаем L Е Т. Отсюда по определению ß-расслоенного класса Фиттинга справедливо 0n(L) Е f(ü'). Таким образом, H Е f(ü') и, значит, 0a(G) Е MT(f(ü')). Следовательно, 0°(G) -(f(ß'))T - критическая группа.

Пусть теперь

GVW £ f(A)

для некоторого А Е П П K(G). Покажем, что в данном случае Gv(À) Е Mr(f(A)). Пусть К Е t(G^(a)) и К < G^(Ä). Покажем, что К Е f(A). Так как т- радикальный подгрупповой функтор и - нормальная подгруппа группы G, то

T(G<P(a)) = GV(Ä) П T(G). Поскольку К Е t(G^(ä)), то найдется такая подгруппа N Е t(G), что К = П N. В силу

^-корадикальности подгруппового функтора т, имеем ПЫ = N^(A\ Таким образом,

К = N^(a\ Если N = G, то К = G^(A^, что невозможно. Следовательно, N < G. Тогда, ввиду G Е Мт(Т), получаем N ЕТ и поэтому N*(À) Е f(B) для любого В ЕйП K(N). Если А Е K(N), то К = Е f(A). Пусть А £ K(N). Поскольку направление ф класса Фиттинга Т

является r-направлением, то

N ç(A)®a, = <р(А)

и, значит, = 1. Пусть f1 - минимальный ß-спутник класса Фиттинга Т. Согласно

теореме 11 [4], Д является единственным минимальным ß -спутником класса Фиттинга Т. Это означает, что Д < f. Так как А Е ü = Ü П К(Т), то по теореме 11 [4] f\(Ä) Ф 0 и поэтому

К = N*(a) = 1Е Д(Л) Ç f(A). Таким образом, Е MT(f(A)). Следовательно, - (f(A))T -критическая группа.

Теорема доказана.

П -расслоенный (расслоенный) класс Фиттинга Т с направлением ф0 называется П -свободным (свободным), где <р0(А) = для любого А Е 3; П-расслоенный (расслоенный) класс Фиттинга Т с направлением ф2' называется П-каноническим (каноническим), где ф2'(А) = для любой группы А Е 3 [4]; П-расслоенный (расслоенный) класс Фиттинга

Т с направлением ф2 называется П-биканоническим (биканоническим), где <р2(А) = для любой абелевой группы А Е 3 и <р2(А) = для любой неабелевой группы А Е 3 [3]; П -расслоенный (расслоенный) класс Фиттинга Т с направлением называется П -композиционным (композиционным), где <р3(А) = <ЗсА для любой группы А Е 3 [4]. Поскольку для любой группы А Е 3 справедливы следующие равенства:

<Ро(А)ЪА' = = $А> = <Ро(А);

ф2'(а)ъа> = (ъАъА')ъА' = ъА(ъА'ъА') = = Ф2(А);

<Р2(А)ЪА' = <Р2(А);

ф3(а)^а> = <5сА®А> = <ЗсА = Фг(А),

то направления П -свободного, П -канонического, П -биканонического, П -композиционного классов Фиттинга являются г-направлениями. В этой связи из теоремы 1 получаем следующие результаты.

Следствие 1.1. Пусть П - непустой класс простых групп, т - радикальный П% -корадикальный подгрупповой функтор, Т - т-замкнутый П -свободный класс Фиттинга с внутренним П -спутником П £ К(Т). Если в - ТТ -критическая группа, то справедливо по крайней мере одно из следующих утверждений:

1) Оп(в) - ([(0'))Т -критическая группа;

2) 0А (в) - ([(А))Т -критическая группа для некоторой группы А Е П П К(в).

Следствие 1.2. Пусть П - непустой класс простых групп, т - радикальный П-корадикальный подгрупповой функтор, Т - т-замкнутый П -канонический класс Фиттинга с внутренним П -спутником П £ К(Т). Если в - ТТ -критическая группа, то справедливо по крайней мере одно из следующих утверждений:

1) Оп(в) - ([(0'))Т -критическая группа;

2) 0А,А (в) - ([(А))Т -критическая группа для некоторой группы А Е О. П К (в).

Следствие 1.3. Пусть П - непустой класс простых групп, т - радикальный Пр2 -корадикальный подгрупповой функтор, Т - т-замкнутый П -биканонический класс Фиттинга с внутренним П -спутником П £ К(Т). Если в - ТТ -критическая группа, то справедливо по крайней мере одно из следующих утверждений:

1) Оп(в) - ([(0'))Т -критическая группа;

2) 0А,А (в) - ([(А))Т-критическая группа для некоторой абелевой группы А Е О. П

К(С); К(С).

3) 0А (в) - ([(А))Т -критическая группа для некоторой неабелевой группы А Е О. П

Следствие 1.4. Пусть П - непустой класс простых групп, т - радикальный Пр3 -

корадикальный подгрупповой функтор, Т - т-замкнутый П -композиционный класс Фиттинга с внутренним П -спутником П £ К(Т). Если в - Т -критическая группа, то справедливо по крайней мере одно из следующих утверждений:

1) Оп(в) - ([(&')У -критическая группа;

2) РА(в) - ([(А)У -критическая группа для некоторой группы А Е П П К (в).

Согласно теореме 8 [4], для непустого неединичного класса Фиттинга Т, при условии К(Т) £ П, класс Фиттинга Т является расслоенным тогда и только тогда, когда он является

П -расслоенным. В этой связи из теоремы 1 вытекает следующий результат для расслоенных классов Фиттинга.

Следствие 1.5. Пусть ф - r-направление расслоенного класса Фиттинга, т -радикальный 3<р -корадикальный подгрупповой функтор, Т - т-замкнутый расслоенный класс Фиттинга c направлением ф и внутренним спутником f, К(Т) = 3. Если G - Т -критическая группа, то является (f(A))T -критической группой для некоторой группы

A G K(G).

Из следствия 1.5 непосредственно вытекают результаты для свободных, канонических, биканонических, композиционных классов Фиттинга конечных групп.

Список литературы

1. Бажанова Е.Н., Ведерников В.А. П-расслоенные классы Фиттинга Г-групп // Сибирские электронные математические известия. - 2017. - Т. 14. - С. 629-639.

2. Васильев А.Ф. (X, К) -различимые локальные формации // Вопросы алгебры. -Минск: Университетское, 1986. - Вып. 2. - С. 34-40.

3. Ведерников В.А. Максимальные спутники П-расслоенных формаций и классов Фиттинга // Труды ИММ УрО РАН. - 2001. - Т. 7, № 2. - С. 55-71.

4. Ведерников В.А., Сорокина М.М. П-расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп // Дискретная математика. - 2001. - Т. 13, № 3. - С. 125-144.

5. Ведерников В.А., Сорокина М.М. w-веерные формации и классы Фиттинга конечных групп // Математические заметки. - 2002. - Т. 71, Вып. 1. - С. 43-60.

6. Воробьев Н.Т. О радикальных классах конечных групп с условием Локетта // Математические заметки. - 1988. - Т. 43, Вып. 2. - С. 161-168.

7. Воробьев Н.Н., Скиба А.Н. О булевых решетках и-кратно локальных классов Фиттинга // Сибирский математический журнал. - 1999. - Т. 40, № 3. - С. 523-530.

8. Воробьев Н.Н. Алгебра классов конечных групп. - Витебск: ВГУ имени П.М. Машерова, 2012. - 322 с.

9. Егорова В.Е. Критические неоднопорождённые тотально канонические классы Фиттинга конечных групп // Математические заметки. - 2008. - Т. 83, № 4. - С. 520-527.

10. Камозина О.В. Алгебраические решетки кратно П-расслоенных классов Фиттинга групп // Дискретная математика. - 2006. - Т. 18, № 2. - С. 139-145.

11. Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. - Минск: Беларуская навука, 2003. - 254 с.

12. Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов. - Минск: Вышэйшая школа, 2006. - 207 с.

13. Семенчук В.Н. Минимальные не Т -группы // Алгебра и логика. - 1979. - Т. 18, № 3. - С. 348-382.

14. Семенчук В.Н. Конечные группы с системой минимальных не Т -подгрупп // Подгрупповое строение конечных групп. - Минск: Наука и техника, 1981. - С. 138-149.

15. Сидоров А.В. О группах, близких к минимальным не Т -группам // Вопросы алгебры. - Минск: Университетское, 1986. - Вып. 2. - С. 55-61.

16. Скиба А.Н. Алгебра формаций. - Минск: Беларуская навука, 1997. - 240 с.

17. Скиба А.Н., Шеметков Л.А. Кратно w-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп // Математические труды. - 1999. - Т. 2, № 2. - С. 114-147.

18. Ходалевич А.Д. Минимальные не Т -группы // Доклады АН БССР. - 1984. - Т. 28, № 5. - С. 389-391.

19. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. - М.: Наука, 1978. - 272 с.

20. Шеметков Л.А. Новые идеи и результаты теории формаций // Вопросы алгебры. - Минск: Университетское, 1989. - Вып. 4. - С. 65-76.

21. Bryce R.A., Cossey J. A Problem in Theory of normal Fitting classes // Math. Z. -1975. Bd. 141, № 2. - S. 99-110.

22. Dixon M.R. Sylow Theory, Formations and Fitting Classes in Locally Finite Groups.

- Singapore - New Jersey - London Hong Kong: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 1994. -304 p.

23. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. - Berlin - New York: Walter de Gruyter, 1992. - 901 p.

24. Fischer В. Klassen konjugierter Untergruppen in endlichen auflosbaren Gruppen // Habilitationsschrift, Universitat Frankfurt (M). - 1966.

25. Guo W. The Theory of Classes of Groups. - Beijing - New York: Science Press, 2000.

- 258 p.

26. Hartley B. On Fischer's Dualization of Formation Theory // Proc. London Math. Soc.

- 1969. - V. 3, № 9. - P. 193-207.

27. Lockett F.P. On the Theory of Fitting Classes of Finite Soluble Groups // Math. Z. -1973. Bd. 131. - S. 103-115.

28. Reifferscheid S. On T -normal Fitting Classes of Finite Soluble Groups // Arch. Math.

- 2000. V. 75, № 3. - P. 164-172.

Сведения об авторах

Сорокина Марина Михайловна - доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа, алгебры и геометрии Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, e-mail: [email protected].

Горепекина Анастасия Андреевна - аспирант 1 курса физико-математического факультета по направлению «Математика и механика» Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, e-mail: [email protected].

ON THE PROPERTIES OF NORMAL SUBGROUPS OF T -CRITICAL GROUPS

M.M. Sorokina, A.A. Gorepekina

Bryansk State University after Academician I.G. Petrovsky

Only finite groups are considered. We study TT -critical groups for a т-closed Q -foliated Fitting class T of finite groups with an r-direction where t is a radical subgroup functor. We established the properties of some normal subgroups of an TT -critical group G.

Keywords: finite group, subgroup functor, class of groups, Fitting class of groups, Q -foliated Fitting class, T -critical group.

References

1. Bazhanova E.N., Vedernikov V.A. Q-Foliated Fitting Classes of Г-groups // Siberian Electronic Mathematical Reports. - 2017. - V. 14. - P. 629-639.

2. Vasiliev A.F. (X, h) -distinguishable Local Formations // Issues of Algebra. - Minsk: University, 1986. - № 2. - P. 34-40.

3. Vedernikov V.A. Maximal Satellites of Q -Foliated Formations and Fitting Classes // Proceedings of the IMM UB RAS. - 2001. - V. 7, № 2. - P. 55-71.

4. Vedernikov V.A., Sorokina M.M. Q -Foliated Formations and Fitting Classes of Finite Groups // Discrete Mathematics. - 2001. - V. 13, № 3. - P. 125-144.

5. Vedernikov V.A., Sorokina M.M. w-Fibered Formations and Fitting Classes of Finite Groups // Mathematical Notes. - 2002. - V. 71, № 1. - P. 43-60.

6. Vorobyov N.T. On Radical Classes of Finite Groups with Lockett's Condition // Mathematical Notes. - 1988. - V. 43, № 2. - С. 161-168.

7. Vorobyov N.N., Skiba A.N. On Boolean Lattices of n-multiple Local Fitting Classes // Siberian Mathematical Journal. - 1999. - V. 40, № 3. - P. 523-530.

8. Vorobyov N.N. Algebra of Classes of Finite Groups. - Vitebsk: VSU named after P.M. Masherov, 2012. - 322 p.

9. Egorova V.E. Critical non-one-generated Totally Canonical Fitting Classes of Finite Groups // Mathematical Notes. - 2008. - V. 83, № 4. - P. 520-527.

10. Kamozina O.V. Algebraic Lattices of Multiply Q -Fibred Fitting Classes of Groups // Discrete Mathematics. - 2006. - V. 18, № 2. - P. 139-145.

11. Kamornikov S.F., Selkin M.V. Subgroup Functors and Classes of Finite Groups. - Minsk: Belarusian Navuka, 2003. - 254 p.

12. Monakhov V.S. Introduction to the Theory of Finite Groups and their Classes. - Minsk: High school, 2006. - 207 p.

13. Semenchuk V.N. Minimal non-T-groups // Algebra and Logic. - 1979. - V. 18, № 3. -P.348-382.

14. Semenchuk V.N. Finite Groups with a System of Minimal non-T-subgroups // Subgroup Structure of Finite Groups. Minsk: Science and technology, 1981. - P. 138-149.

15. Sidorov A.V. On Groups closed to Minimal non-T-groups // Issues of Algebra. - Minsk: University, 1986. - № 2. - P. 55-61.

16. Skiba A.N. Algebra of Formations. - Minsk: Belarusian Science, 1997. - 240 p.

17. Skiba A.N., Shemetkov L.A. Multiple w-Local Formations and Fitting Classes of Finite Groups // Mathematical Works. - 1999. - V. 2, № 2. - P. 114-147.

18. Khodalevich A.D. Minimal non-T-groups // Dokl. AN BSSR. - 1984. - V. 28, № 5. - P. 389-391.

19. Shemetkov L. A. Formations of Finite Groups. - Moscow: Nauka, 1978. - 272 p.

20. Shemetkov L.A. New Ideas and Results of the Theory of Formations // Issues of Algebra. - Minsk: University, 1989. - N 4. - P. 65-76.

21. Bryce R.A., Cossey J. A Problem in Theory of Normal Fitting Classes // Math. Z. - 1975. Bd. 141, № 2. - S. 99-110.

22. Dixon M.R. Sylow Theory, Formations and Fitting Classes in Locally Finite Groups. -Singapore - New Jersey - London Hong Kong: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 1994. -304 p.

23. Doerk K., Hawkes T. Finite Soluble Groups. - Berlin - New York: Walter de Gruyter, 1992. - 901 p.

24. Fischer B. Klassen konjugierter Untergruppen in endlichen auflosbaren Gruppen // Habilitationsschrift, Universitat Frankfurt (M). - 1966.

25. Guo W. The Theory of Classes of Groups. - Beijing - New York: Science Press, 2000. -

258 p.

26. Hartley B. On Fischer's Dualization of Formation Theory // Proc. London Math. Soc. -1969. - V. 3, № 9. - P. 193-207.

27. Lockett F.P. On the Theory of Fitting Classes of Finite Soluble Groups // Math. Z. - 1973. Bd. 131. - S. 103-115.

28. Reifferscheid S. On T -normal Fitting Classes of Finite Soluble Groups // Arch. Math. -2000. V. 75, № 3. - P. 164-172.

About authors

Sorokina M.M. - Doctor in Physical and Mathematical Sciences, Professor of Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].

Gorepekina A.A. - Postgraduate student, Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].