О τ-МИНИМАЛЬНЫХ НЕ ℱ-ГРУППАХ ДЛЯ Ω-РАССЛОЕННОЙ ФОРМАЦИИ ℱ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.542

О т-МИНИМАЛЬНЫХ НЕ 7-ГРУППАХ ДЛЯ П-РАССЛОЕННОЙ ФОРМАЦИИ 7

П.В. Петрушин, М.М. Сорокина

Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского

В работе изучаются свойства г-минимальных не 7-групп (^-критических групп) в случае, когда Т — ß-расслоенная формация конечных групп с r-направлением <р. т — регулярный ^-радикальный

подгрупповой функтор. Установлена взаимосвязь между ^-критичностью группы G и /(.4)1-

критичностью ее факторгруппы G/G. где А Е П П К(G).

Ключевые слова: конечная группа, подгрупповой функтор, класс групп, формация групп, Ü-расслоенная формация, т-минимальная не 7-группа.

В теории классов конечных групп центральное место занимают формации. Понятие формации было введено в рассмотрение В. Гашюцом в 1963 году [1]. В этой же работе В. Гашюц, используя функциональные методы, определил локальные формации, имеющие большое значение как в теории классов групп, так и в теории групп в целом. В 1974 году Л.А. Шеметков ввел в рассмотрение композиционные формации [2], тесно связанные с локальными формациями и представляющие собой другой важный вид формаций, определяемых с помощью функциональных методов.

Общая проблема изучения локальных формаций, обладающих некоторым определенным свойством, была поставлена Л.А. Шеметковым на VIII Всесоюзном симпозиуме по теории групп в 1982 году (г. Сумы). На этом направлении была сформулирована задача исследования минимальных не 7-групп для формации 7 (см., например, [3]). Группа, не принадлежащая классу 7, называется минимальной не 7-группой, если все ее собственные подгруппы классу 7 принадлежат. Наиболее значимые результаты о минимальных не 7-группах принадлежат В.Н. Семенчуку (см., например, [4-6]). Исследованиями в данном направлении также занимались А.Д. Ходалевич, А.Ф. Васильев, A.B. Сидоров и другие (см., например, [7Ш9]).

Как отмечается в [8, 9], интерес представляет случай, когда для группы G £ 7 некоторая фиксированная система ее собственных подгрупп содержится в 7. Такой случай приводит к рассмотрению понятия г-минимальной не 7-группы (см., например, [10], с. 38), где т — подгрупповой функтор, т.е. отображение, ставящее в соответствие каждой группе некоторую непустую систему ее подгрупп. Основные положения и центральные результаты теории подгрупповых функторов наиболее полно представлены в монографии С.Ф. Каморникова, М.В. Селькина [11].

Естественным обобщением понятия композиционной формации является понятие расслоенной формации, введенное в рассмотрение В.А. Ведерниковым в 1999 году (см., например, [12]). Изучением различных видов ß-расслоенных формаций занимались Ю.А. Еловикова, Н.В. Силенок, М.М. Сорокина, М.А. Корпачева, Е.Н. Демина и другие (см., например, [13-16]). Настоящая работа посвящена изучению свойств т-минимальных не 7-групп в случае, когда 7 — ß-расслоенная формация конечных групп с г-направлением.

Рассматриваются только конечные группы. Используемые обозначения и определения можно найти в [11, 12, 17]. Приведем лишь некоторые из них.

Пусть (5 — класс всех конечных групп, 3 — класс всех конечных простых групп, £2 — непустой подкласс класса 3.

Через K(G) обозначается класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы G; К'(ЗЕГ) — объединение классов К (С) для всех G G X, где £ — класс групп.

Пусть ЗС — непустое множество групп. Тогда (£■) обозначает класс групп, порожденный ЗЕ; в частности, (G) — класс всех групп, изоморфных группе G.

Через обозначается класс всех fí-групп, т.е. таких групп, для которых if(C) £ Q. Пусть A G 3. Используются следующие обозначения: = =

Через обозначается класс всех конечных групп, у которых каждый главный А-фактор централен.

Пусть Т — класс Фиттинга. У-радикалом группы G называется произведение всех нормальных подгрупп группы G, принадлежащих Т, и обозначается GF. Используются следующие обозначения: Ол(С) = Oa'(G~) = G^., Oa<a(G) = G©^, ^i(G) = •

Функция /: П ü {/?'} {формации групп} называется ¿2Р-функцией; функция S- 3 -^{формации групп} называется F-функцией; функция <р\ 3 непустые формации Фиттинга} называется /'/¿-функцией. Функции f, g i\ ф принимают одинаковые значения на изоморфных группах из области определения [12, с. 126].

Формация Т— fiF{f,<p) = (G G <£ | С/Ол(С) G /(Л') и G/G^ G f(Á) для всех

А E П П ^(G)) называется fi-расслоенной формацией с fí-спутником / и направлением <р; формация Т= F{g,<p) = (G Е ® | G/G^j^ Е д(А~) для всех А Е K(G)~) называется расслоенной формацией со спутником д и направлением ц> [12, с. 127].

Формация Т— QF{fr(p) называется fí-свободной, или, коротко, .ßFr-формацией, если <р(А) = 6у Для любого А Е 3, и обозначается Т= íiFr(f) т.е. Т= (G е <5 | С/Ол(С) Е /(Я') и G/Oa<(G~) Е f(A) для всех áeílnJf(C)) Формация

Т— Fr{g,<p) — (G G (£ | GfOA<(G) Е д(А~) для всех А Е ä(C)) называется свободной формацией со спутником д [12, с. 128]. Направление fí-свободной формации обозначается через <р0.

Формация Т= ílF{f , <р) называется fí-канонической, или, коротко, ¿Ж-формацией, если ф{А) — для любой группы А Е 5, и обозначается Т—ßKF(f), т.е.

Т— (G G (§ | С/Ол(С) G f(n'~) и G/Oa'^{G) Е f{Á) для всех А Е П П К(С)). Формация Т= KF{g) = (G G® | GfOA'A(G) G g(Ä) для всех A G if(C)) называется канонической формацией со спутником д [12, с. 128]. Направление Q-канонической формации обозначается через q¿¿.

Формация Т= ÜF{ f, <р ) называется fí-композиционной, или, коротко, £?С-формацией, если ф{А) = Gcj4 для любой группы A G и обозначается Т= í2CF(f), т.е. Т= (G Е ® I С/Ол(С) G f(n') и G/Fa(G) Е f{Ä) для всех А Е П П Jf(G)) Формация Т— CF(g) = (G G <£ | G/f^(G) G g(Ä) для всех A G íf(G)) называется композиционной формацией со спутником д [12, с. 128]. Направление Q-композиционной формации обозначается через <рэ.

Направление <р fí-расслоенной формации называется /'-направлением, если ф(А~) = 0Ьа!ф{А) для любой группы А Е 5 [17, с. 218].

Пусть т — отображение, которое ставит в соответствие всякой группе G некоторую непустую систему т(б) ее подгрупп. Отображение т называется подгрупповым функтором, если = т(С) для любого изоморфизма <р каждой группы G [11, с. 13].

Подгрупповой функтор т называется регулярным, если для любой группы G выполняются два условия:

1) Л/ о G, М G т(G) => MN/N G t(G/jV); 2) M/N G т(G/N~) М G t(G) [11, с. 14].

Пусть qu — i7/?-функция. Подгрупповой функтор т называется ß-радикальным, если для любой группы G и для любой N G т(С) справедливо öß (G) П А/ = Оп (Л/); (р-радикальным, если для любой группы G и для любой Л/ G т(С) выполняется равенство ^(рСд) ^ ^ = ^р(д) Ддя всех Л е ß^-радикальным, если т является ß-радикальным и (р-

радикальным [18, с. 76].

Формация 7 называется г-замкнутой, если t(G) £ Т для любой группы GET [10, с.

23]. ß-спутник ß-расслоенной формации Т называется т-замкнутым, если все его значения являются г-замкнутыми формациями.

Пусть Т — класс групп, т — подгрупповой функтор. Группа G называется т-минимальной не 7-группой, или 1 -критической группой, если G G Т, но каждая собственная г-подгруппа группы G принадлежит классу Т [10, с. 38]. Через Мт(Т) обозначается класс всех г-минимальных не 7-групп.

Теорема 1. Пусть <р — г-направление Q-расслоенной формагцш, т — регулярный ер-радикальный подгрупповой функтор, Т — непустая т-замкнутая Q-расслоенная формация с направлением <р и Q-спутником f,G — группа, А Е П П К(G), G/0А(С") ET и HG^^ Ф G для

любой собственной т-подгруппы Н группы G. Если G(Ge;A-, Е МГ(/(Л)), mo G Е МТ(Т).

Доказательство. Пусть G/Gp^ G МГ(/(Д)). Покажем, что G G МТ(Т). Так как С/С^д) £ f(A) иАЕПП K(G), то по определению ß-расслоенной формации G £Т. Пусть Н — собственная г-подгруппа группы G. Покажем, что НЕТ.

Установим, что Н/0А(Н^) G Т. Поскольку Н G t(G), то, ввиду регулярности подгруппового функтора т, получаем, что HOa(G)/Oa(G] Е t(g/Оа(С)). Так как по условию теоремы G/ОДС) G Т и Т — т-замкнутая формация, то ЯОд(С)/Ол(С) G Т, и значит, Н/Н П Ол(С) G Т. Поскольку НГ\0Д(С^ — нормальная подгруппа группы Н, принадлежащая классу то Н П Oa(G) £ 0А(Н) и

Jf/0A(tf) ^(н/н П 0А(С)){0А(Н~)/Н П ОДС)) G Т. Таким образом, Н/0А(Н) G Т.

Покажем, что H/H^j^ Е f(Ä). Из Н G т(G) и регулярности подгруппового функтора т получаем, что HG^/G^ G t(G/G^). Если HG^/G^, = G/G!pU,, то HG^ = G, что противоречит условию. Поэтому HG^^/G^^ < С/Ср(-д>. Так как G/Gp(-^ G МТ(/"(Л)), то Н&ф(а)/1-'<p(Ä) — Н/Н П Gpfjfj Е f(Ä). Тогда, в силу ^-радикальности подгруппового функтора т, справедливо Н/Н^^ = Н/Н П G f(Ä). Тем самым установлено, что

Поскольку направление <р формации Т является /'-направлением, то по лемме 2 [17] получаем, что НЕТ. Следовательно, G G Мт(Т). Теорема доказана.

Следствие 1.1. Пусть т —регулярный ^-радикальный подгрупповой функтор, Т — непустая т-замкнутая Q-свободная формация с Q-спутником f, G — группа, А G il П К(G), G/Oa{G") G Т и НОА'(С") ф G для любой собственной т-подгруппы H группы G. Если G/Oa< (G) G MT(f Ш mo G G MT(T).

Следствие 1.2. Пусть т — регулярный <р'2 -радикальный подгрупповой функтор, Т — непустая т-замкнутая Q-каноническая формация с Q-спутником f, G — группа, A G П ПК(С~), G/0А(С") G Т и HOa'a(G) Ф G для любой собственной т-подгруппы H группы G. Если G/0А<¿(G) G Mr(/(A)}, то G G М.Т(Т).

Следствие 1.3. Пусть т — регулярный tp3 -радикальный подгрупповой функтор, Т — непустая т-замкнутая Q-композиционная формация с Q-спутником f, G — группа, A G il П A'(G), G/Оа(С") G T и ЯFa (G) =± G для любой собственной т-подгруппы H группы G. Если G/Fa(G} G MT(f(A)), mo G G MT(T).

Следствие 1.4. Пусть <p — r-направление расслоенной формации, т — регулярный <р-радикальный подгрупповой функтор, Т — непустая т-замкнутая расслоенная формация с направлением <р и спутником f, G — группа, A G К (G), G /0А(С") G Т и HGV^ Ф G для любой

собственной т-подгруппы И группы G. Если G}G^!a-, G МГ[/(Л)), mo G G Мт(Т).

Из следствия 1.4 непосредственно получаем результаты для свободных, канонических и композиционных формаций.

Теорема 2. Пусть <р — г-направление Q-расслоенной формации, т — регулярный Q(p-радикальный подгрупповой функтор, Т — непустая т-замкнутая Q-расслоенная формация с направлением <р и минимальным Q-спутником f, ¿1 £ К(Т). Если G G МТ(Т), то справедливо по крайней мере одно из следуюгцих утверждений :

1)G/On(G-)EMT(f(n'));

2) GfGq>{Â) G мг (/00)()1Я некоторого A G Л П K(G).

Доказательство. Пусть G G MT(!F). Если G/Or (G) G /(Л') и GE f(A) для любого AE£lr\K(G), то G G T, что невозможно. Следовательно, С/Ол (G) £ f(.fl') или G/Gtp(À) £ /00 Для некоторого A G П П if(G).

Рассмотрим случай, когда G/Û^, (G) £/(Л'). Пусть Н/Оп(С~) — собственная r-подгруппа группы С/Ол(С). Установим, что fi/Ол (G) G/(/?'). Так как

Я/Ол(С)<С/Ол(С), то H < G. Ввиду регулярности подгруппового функтора т, имеем H Е t(G). Поскольку G Е Мт(Т), то НЕ Т, и значит, H/Од(Н) Е f(iî'~). Так как подгрупповой функтор т является ^-радикальным, то H П Qn{G~) — Оп(Н). Следовательно,

Таким образом, С/Ол(С) G МГ(/(Л')).

Теперь рассмотрим случай, когда GfG^^ £ f{À) для некоторого A G П П K(G). Пусть L/Gp(i0 G t(G/Gp(^) и L/GvÇÀ) < G/Gv(Ay Покажем, что L/G^ E f{À). Ввиду регулярности подгруппового функтора т, L является собственной г-подгруппой группы G. Из G G МГ(Т) получаем, что L ET, и значит, L/LG f{B) для любого Б Е £1 П K(L).

Пусть A EK{L). Так как подгрупповой функтор т является ^-радикальным, то

Пусть теперь А £ Поскольку направление <р формации § является г-

направлением, то L Е £ = и значит, = t Так как/ — минимальный

ß-спутник формации 7 и А Е £2 Г\ К(Т), то по теореме 5 [12] f(A) ^ 0 и поэтому — ^/^рС^О = 1 е /Ü) Таким образом, GfG^, G МГ(/(Л)). Теорема доказана. Следствие 2.1. Пусть т —регулярный И<р0-радикальный подгрупповой функтор, Т — непустая т-замкнутая Q-свободная формация с минимальным Q-спутником f,fl'= К(Т). Если G G МТ(Т), то справедливо по крайней мере одно из следующих утверждений :

1) G/Oq{G) 6 MT(ttn%

2) G/Оа' (G) е Мг (/CA)) для некоторого А Е П n K(G~).

Следствие 2.2. Пусть т —регулярный £2<p'z -радикальный подгрупповой функтор, Т — непустая т-замкнутая Q-каноническая формация с минимальным Q-спутником f, £2 £ К(Т). Если G Е МТ(Т), то справедливо по крайней мере одно из следуюгцих утверждений:

1) G/On(G) Е MT(f(n'));

2) G/Oa< a(G~) Е Мт (/(А)) для некоторого А Е Л /1 K{G).

Следствие 2.3. Пусть т —регулярный £2<рэ -радикальный подгрупповой функтор, Т — непустая т-замкнутая й-композиционная формация с минимальным Q-спутником f, £2 £ К(Т). Если G Е МТ(Т), то справедливо по крайней мере одно из следуюгцих утверждений:

1) g/Oö(G) б мТ(Пт);

2) G fFA{G) G MT(f(Ä)) для некоторого А Е £2 П K{G\

Следствие 2.4. Пусть <р — r-направление расслоенной формации, т — регулярный >р-радикальный подгрупповой функтор, Т — непустая т-замкнутая расслоенная формация с направлением <р и минимальным спутником f. К(Т) = Если G Е МТ(Т), то

G/G<p(Äj Е Мт{/00) для некоторого А Е K(G).

Из следствия 2.4 непосредственно получаем утверждения для свободных, канонических и композиционных формаций.

Список литературы

1. Gaschütz W. Zur Theorie der endlichen auflösbaren Gruppen // Math. Z. — 1963. — Vol. 80, № 4. — P. 300-305.

2. Шеметков Л.А. Ступенчатые формации групп // Матем. сб. — 1974. — Т. 94, № 4.

— С. 628-648.

3. Шеметков Л.А. Новые идеи и результаты теории формаций // Вопросы алгебры.

— Минск: Университетское. — 1989. — Вып. 4. — С. 65И76.

4. Семенчук В.Н. Минимальные не Т-группы // Алгебра и логика. — 1979. — Т. 18, № 3. — С. 348И382.

5. Семенчук В.Н. Конечные группы с системой минимальных не Т-подгрупп // Подгрупповое строение конечных групп. Мн.: Наука и техника. — 1981. — С. 138И149.

6. Семенчук В.Н. Описание конечных разрешимых минимальных не Т-групп для произвольной локальной формации Т // Мат. заметки. — 1988. — Т. 43, № 4. — С. 452И459.

7. Ходалевич А.Д. Минимальные не Т-группы // Докл. АН БССР. — 1984. — Т. 28, № 5. — С. 389Ш391.

8. Васильев А.Ф. (Ж, it)-различимые локальные формации // Вопросы алгебры. — Минск: Университетское. — 1986. — Вып. 2. — С. 34И40.

9. Сидоров А.В. О группах, близких к минимальным не 7-группам // Вопросы алгебры. — Минск: Университетское. — 1986. — Вып. 2. — С. 55И61.

10. Скиба А.Н. Алгебра формаций. — Минск: Беларуская навука, 1997. — 240 с.

11. Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. — Минск: Беларуская навука, 2003. — 254 с.

12. Ведерников В.А., Сорокина М.М. ^-расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп // Дискретная математика. — 2001. — Т. 13. Вып. 3. — С. 125-144.

13. Скачкова (Еловикова) Ю.А. Решётки U-расслоенных формаций // Дискретная математика. — 2002. — Т. 14. Вып. 2. — С. 85-94.

14. Силенок Н.В. Минимальные ^-канонические нормально наследственные не формации конечных групп // Известия Гомельского гос. университета им. Ф. Скорины, 1(12). — Вопросы алгебры, 2003. — С.103-110.

15. Сорокина М.М., Корпачева М.А. О критических U-расслоенных формациях конечных групп // Дискретная математика. — 2006. — Т. 18. Вып. 1. — С. 106-115.

16. Ведерников В.А., Демина Е.Н. ^-расслоенные формации мультиоператорных Т-групп // Сиб. матем. ж. — 2010. — Т. 51. № 5. — С. 990-1009.

17. Vedernikov V.A. Maximal satellites of U-foliated formations and Fitting classes // Proc. Steklov Inst. Math. — 2001. — № 2. — P. 217-233.

18. Корпачева М.А., Сорокина М.М. Критические ^-расслоенные т-замкнутые формации конечных групп // Вестник Брянского государственного университета. Точные и естественные науки. — 2012. — №4. — Выпуск 2. — С. 75И79.

Сведения об авторах

Сорокина М.М. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, email: [email protected].

Петрушин П.В. - магистрант Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, e-mail: [email protected].

UDC 512.542

ON т-MINIMAL NON 7-GROUPS FOR AN П-FOLIATED FORMATION 7

Petrushin P.V., Sorokina М.М. Bryansk State University

We study the properties of т-minimal non 7-groups (Jr-critical groups) for a Q-foliated formation 7 of finite groups with r-direction cp, where т is a regular ^-radical subgroup functor. We revealed a relationship between Jr-criticality of G and (^)-criticality of G/(A), where AenHK(G).

Keywords: a finite group, a subgroup functor, a class of groups, a formation of groups, a U-foliated formation, a т-minimal non 7-group.

About authors

Sorokina M.M. - candidate of Physical and Mathematical Science, associate professor, department of Algebra and Geometry at BSU, e-mail: [email protected].

Petrushin P.V - Bryansk State University Undergraduate, e-mail: [email protected].