Исследование свойств инъекторов конечных групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

Матем атика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 1 (1), с. 197-202

УДК 512.542

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ИНЪЕКТОРОВ КОНЕЧНЫХ ГРУПП © 2014 г. В.И. Гойко

Гомельский государственный технический университет им. П.О. Сухого

[email protected]

Поступила в редакцию 20.11.2012

П. Г ерманн построил специальный класс групп ^(р, q) (класс конечных групп без минимальных не ^-нильпотентных подгрупп порядка радп ( р, д — простые, р Ф д ; а, п — любые натуральные числа) и доказал, что этот класс групп является ненасыщенной формацией Фиттинга. В. Гойко доказал существование ^(р, д)-инъекторов в произвольных конечных группах. В данной работе устанавливаются свойства ^(р, д)-инъекторов в конечных группах.

Ключевые слова: формация Фиттинга, конечная группа, инъектор, силовская подгруппа.

Хорошо известно [1], что для произвольного класса Фиттинга F конечных групп в произвольной конечной группе F-инъектор не существует. Однако в частично разрешимых конечных группах известны обобщения (см. работы [2] и [3]). Кроме того, если в качестве F рассматривать некоторые специальные классы групп, то в произвольной конечной группе F-инъекторы могут существовать (см. работы [49]). В [10] Ито изучил (p, q) - группы (минимальные не p-нильпотентные группы порядка pmqn , p, q - простые, p Ф q ; m, n - любые натуральные числа). П. Германн [11] построил класс N(p, q) - класс конечных групп без (p, q) - подгрупп . Там же [11] доказано, что класс N(p, q) есть ненасыщенная формация Фиттинга, замкнутая относительно подгрупп. В работе [12] доказано существование N(p, q)-инъекторов в произвольной конечной группе.

Приведём некоторые определения и обозначения, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Класс Фиттинга F - это такой непустой класс конечных групп, для которого выполняются условия: а) если G G F и N - нормальная в G подгруппа, то N G F ; b) если M и N - нормальные подгруппы в группе G и MG F, N G

F, то MN G F.

Подгруппа H разрешимой группы G называется F-инъвктором, если для любой субнормальной подгруппы V группы G пересечение H П V G F и является F-максимальной подгруппой в V (первыми ввели этот объект Фишер, Гашюц, Хартли). Подгруппа M группы

G называется V-максимальной подгруппой в

группе G, если М 6 Б и из условий М С L С G,

L 6 Б всегда следует, что М = L. Формацией называется класс групп, замкнутый относительно гомоморфных образов и подпрямых произведений. Класс конечных групп, который одновременно является формацией и классом Фиттинга, называется формацией Фиттинга.

Символом р всегда обозначаем простое число. N - класс всех конечных нильпотент-ных групп, S - класс всех конечных разрешимых групп, Sp - класс всех конечных р-групп, Е - класс всех конечных групп, Ор - силовская р-подгруппа группы G. Через (А,В,...,С^ обозначаем подгруппу, порожденную множествами А,В,..., С.

Подгруппа Н конечной группы G называется Nр, д) -инъектором [12], если для любой неединичной субнормальной подгруппы V группы G пересечение Н п V е Nр, д) и является Nр, д) -максимальной подгруппой в группе V. Если наибольшая субнормальная подгруппа V группы G равна 1, то п(р, д) -инъектором группы G называется ж(р, д) -максимальная подгруппа группы G. Класс Б называется Q-замкнутым, если для любой группы Н е Б гомоморфный образ группы Н также принадлежит Б. Класс Б называется S-замкнутым (Sn-замкнутым), если для любой группы Н е Б любая ее подгруппа (любая нормальная подгруппа) также принадлежит Б. Символом B-pne-S обозначается тот факт, что подгруппа В группы S является р-нормально погружённой в группе S.

Остальные необходимые определения и обозначения см. в [1]. Все рассматриваемые в данной работе группы и классы групп берутся из класса Е (класс всех конечных групп).

Говорят [1], что класс групп X сильно вложен в класс Y (обозначается: X << Y), если для любой конечной группы её Y-инъектор содержит Х-инъектор.

В дальнейшем для простоты будем пользоваться обозначением X = ж(р, д), то есть символом X на протяжении данной работы обозначаем класс п( р, д)

Определение. Построим класс групп Lp (X) следующим образом:

Lp ^) = ^: X - инъектор G содержит

Gp, р е т^) }.

Теорема 1. Справедливы утверждения:

1) Ьр (X) - формация Фиттинга, замкнутая относительно подгрупп;

2) X и е XSg е Lp ^) = Ьр ^, д Ф р;

3) ЬР (ьр (X)) = Ьр (X;

4) следующие утверждения эквивалентны:

a) X = Ьр (X),

b) X = XGq , д ф р,

c) в любой конечной группе индекс ее X-инъектора имеет степень р-числа (р - простое),

ф Ьч (X) = Е, д Ф р.

Доказательство (см. доказательство теоремы 1 в работе [13]).

Теорема 2. Пусть G — конечная группа, %(0) = {р, д,..., г}, р, д,..., г — различные простые числа, F - X-инъектор группы

G, А = (рд,..., G^j , W = (р, А. Тогда справедливо утверждение: W есть Ьр (X) -инъектор группы G тогда и только тогда, когда РА = АР.

Доказательство. Пусть W — Ьр (X) -инъектор группы G. По теореме 1 (пункт 3): Ьр (X) = Ьр (Ьр (X)) По теореме 1 (пункт 4) получим, что Ьр (X) -инъектор группы G имеет индексом степень числа р. Отсюда следует, что W з А. Далее, так как Р е W, то Р является X-инъектором группы W (по теореме 3 из [12]). Следовательно, так как W е Ьр (X), то Р содержит Wp — р-силовскую из W. Теперь видно, что | Р | • | А | > | W |. Поскольку обратное неравенство очевидно, то W = РА. Значит, РА = АР.

Обратно, пусть РА = АР. Отсюда получаем равенство: W = РА = АР. Допустим, что W

не является Ьр (X) -инъектором группы G. Выберем группу G наименьшего порядка с таким свойством. (Если G = 1, то утверждение теоремы выполняется очевидным образом. Поэтому полагаем, что G Ф1.) Возьмем произвольную собственную максимальную нормальную подгруппу М в G и силовскую р-подгруппу Рр из Р По лемме 11.6 из [14] получим равенства: Wp =(РА)р = ЕрАр = Ер (здес ь использовали

очевидное равенство: Ар = ф). Далее, рассмотрим следующие равенства:

Рр п М = Wp п М =

= (^ п М )п Wp =(W п М )р. (1)

Введем обозначение: А = (Мд,..., М^, где Мд, ...,Мх — силовские подгруппы из М для

всех д е%(М), д Ф р. Ясно, что W п М з А . Кроме того, индекс А в W есть степень числа р и

W п М = 1^ п М)р, А. Применяя (1), получим:

п М, А} з <Рр пМ, А) =

= ^ п М)р, = W п М.

С другой стороны, очевидно, что п М, А е Ж п М. Отсюда следует равенство ^ п М, А = W п М. Значит, Р п М

перестановочна с А. Кроме того, Р п М — X-инъектор в подгруппе М, М с G. В силу индуктивных рассуждений получим, что

ПМ, А^ = W ПМ является Ьр (X) -инъекто-

ром группы М. Покажем теперь, что W является Ьр (X) максимальной подгруппой в группе G. Допустим противное, т.е. W с и с G, где и — Ьр (X) — максимальная подгруппа в G. По теореме 3 из [12] Р — X-инъектор в подгруппе и е Ьр (X). По определению класса X получим: Р з ир (ир — р-силовская из и). Так как Р е W, то и е W. Далее используем включение: (ид, - , и, )е А е W, где ид , ... , и, -

все силовские подгруппы из и кроме и . Отсюда следует, что и е W. Полученное противоречие доказывает, что W — Ьр (X)— максимальная подгруппа в G. Так как выше показали, что W п М является Ьр (X) -инъектором в собственной максимальной нормальной подгруппе М группы G, то W — Ьр (X) -инъектор в G. Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть п(О) = {р, д,..., г}, где р, д,..., г — различные простые числа. Справедливо утверждение:

X << Ьр (X) тогда и только тогда, когда X-инъектор X группы G перестановочен с подгруппой А = (о.,..., Gr ^.

Доказательство. Возьмём Ьр (X) -инъектор

V в группе G. Пусть X перестановочен с подгруппой А. Введём обозначение: W = (X, А. В силу теоремы 2 подгруппа W есть Ьр (X) -инъектор группы G. Ясно, что X входит в W, т.е. X-инъектор группы G входит в Ьр (X) -инъектор группы G. Следовательно, X << Ьр (X). Обратно, пусть X << Ьр (X). Последнее означает, что X е V. В силу теоремы 3 из [12] подгруппа X является X-инъектором группы V. Далее, т.к. V е Ьр (X), то в силу определения класса Ьр (X) получаем, что Vp е X. Теперь с учётом включения X е V получаем следующее включение: Xр е Vp , V е V . Легко видеть, что Vp = Xр . Далее, получим следующие соотношения:

Г = {Ур, (У.. -, У)) =

={хр • V, -, к})е <х• А = *•

где Vq,... , Vr - все силовские подгруппы группы V кроме Vp . Теперь очевидно, что

V е W. (2)

Поскольку Ьр (X ) = Ьр (Ьр (X)) (по теореме 1), то V имеет индексом степень простого р (по той же теореме 1). Значит, А е V. Так как, кроме того, X е V, то W = (X,А ^ е V. Теперь с учётом (2) получаем, что W = V. Значит, W есть Ьр (X) -инъектор в группе G. Применяя теорему

2, получаем: XA = AX. Теорема 3 доказана.

Теорема 4. Пусть X = &(р, д), V - X-инъектор в G, V-pne-G, Vp - р-силовская подгруппа в группе V, К = {VpG } - нормальное замыкание подгруппы Vp в группе G, Т / К = Ор,(О / К) - наибольшая нормальная р' — подгруппа в G/K, А = (о. ,..., .

Справедливы утверждения:

(a) подгруппа Т есть Ьр (X) -радикал группы

О;

(b) подгруппа ТА есть Ьр (X) -инъектор группы О;

(с) X « Ьр (X);

^) Ьр (X) -инъектор группы О есть р-нормально погружённая подгруппа в группе О.

Доказательство. (а) Допустим, что О -простая группа. Тогда либо К = 1, либо К = О. Если К = 1, то Vp = 1. Последнее равенство противоречит условию теоремы. Пусть К = О. Отсюда следует, что Т = О. Теперь из равенства К = О и условия теоремы ^-рт-О) следует, что Vp = Ор. Значит, Ор С V. Следовательно,

О 6 Ьр(К). Поскольку Т = О, то Т - Ьр^)-радикал группы О.

Пусть теперь О - не простая группа. Из условия V-pne-G получаем, что подгруппа Vp является р-силовской подгруппой в группе К. В силу равенства Т / К = Ор, (О / К) получаем

К з Тр . Отсюда следует включение Тр е Vp .

Т.к. Vp е Т, то Vp е Тр, ? е Т . Теперь из включения Тр е Рр следует неравенство | Тр | <| Vp |, а из включения Vp е Тр следуют соотношения \ ¥р |<| Тр| = |Тр|. Следовательно,

Vp = Тр . (3)

Далее, т.к. Т п V есть X-инъектор группы Т, то с учётом (1) получаем: Т е Ьр (X). Отсюда следует включение

Т с R (4)

(здесь через Я обозначили Ьр (X) -радикал группы О).

С другой стороны, V п Я есть X-инъектор группы Я, Я е Ьр (X). С учётом (3) получаем следующие соотношения: V п Я з Яр з

з Тр = Vp . Отсюда следует включение

Яр з Vp. (5)

Далее, т.к. V п Я < V, Vp п V п Я = (V п Я )р ,

то Vp есть р-силовская в группе V п Я . Следовательно, Яр есть р-силовская в группе V п Я и Vp = Яр;, х е V п Я . Так как с использованием (5) имеем следующие соотношения 1^1 < |Яр| = = |Яр; | = ^1, то получим равенство

Vp = Яр . (6)

Теперь из (6) и (4) следует, что |Я : Щ есть р -число. Значит, фактор-группа Я / К есть нормальная р -подгруппа в фактор-группе

О / К . Отсюда следует, что

Я е Т . (7)

Теперь из (4) и (7) следует, что R = T, т.е. кроме того, в силу пункта (а) подгруппа T есть подгруппа T есть Lp (X) -радикал в группе G. Lp (X) -радикал в группе G, то получим вклю-

(b) При G = 1 утверждение выполняется чение очевидно. Пусть G Ф1. Если G - простая H с T . (8)

группа, то нормальное замыкание К подгруп- Из (8) следует включение НА с ТА . Попы Vp в группе G либо равно 1, либо К = G. скольку, кроме того,

Допустим К = 1. Отсюда следует, что Vp = ^ hA с tA nM = А(Т nM), (9)

T/1 = T =1. Значит, 0р(G/1) = Op(G) =1. В то HA - Lp(X)-инъектор в группе А(ТnM).

силу равенства Vp =1 получаем включение: Далее, так как H с Т n M < M ,

V с Ag, g е G. Без ограничения общности Т nM е Lp(X) и H есть Lp (X) -радикал в

считаем, что V с A . Далее, т.к. V является X- группе M, то получим равенство: H = Т nM .

инъектором группы А, то следующие равенст- Теперь в силу (9) получим равенство

ва выполняются очевидно: VA = AV = A . Те- HA = A(TnM). Поскольку HA - Lp(X)-

перь в силу теоремы 1 получаем, что A являет- — , ч

т /,,\ „ т-т инъектор в группе M, то TA nM - Lp(X)-

ся Lp(X)-инъектором группы G. Поскольку г rj pv /

Г, ч инъектор в группе M. Возьмём теперь в группе

1 i ’Г’ А Т IТ/ \ 11^ 11^

= ^ то А = ^ - Lp (X) -инъектор группы G. g произвольную субнормальную подгруппу N.

Пусть теперь К = G. Тогда с учётом условия Без ограничения общности можно считать, что

(V-pne - G) получим: Vp = Gp. Значит, Gp с V. N с M . Так как N- субнормальная п°дгр\ ппа в

В силу определения класса Lp (X) получим, M, то N n Т А - Lp (x) -максимальная подгруп-

что G е Lp (X). Поскольку при этом пав N (в силу определения инъектора). Значит,

, гг ^ гг. т ТА - Lp(X)-инъектор в группе G. Далее исА с Т = G, то очевидно, что ТА - Lp (X) - p v ’ v ^

пользуем очевидное включение инъектор группы G. _

Пусть теперь G - не простая группа. Возь- ТА с Т А . (10)

мём произвольную (собственную) максималь- Покажем теперь, что ТА е Lp(X). В самом

ную нормальную подгруппуM в группе G. Тогда деле, возьмём X-инъектор D в группе ТА . То-

V nM - X-инъектор гру ппы M. Поскольку гда в силу того, что Т < M , получим: D n Т -

V n M < V и Vp - p-силовская в группе V, то в X-инъектор в группе Т е Lp (x) . Теперь в силу

силу равенства V n M nVp = (V n M)p получим определения класса Lp (X) имеем следующие

Vp nM = (V n M)p . Т.к. Vp n M с К n M < G, соотношения: Tp с D n T с D . Используя

то получим, что Vp nM- p-силовская в X- лемму 116 из [14], получим равенства

(TA)p = TpAp , а учитывая тот факт, что Ap = 1, инъекторе V n M группы M и Vp n M - p- p p p p

p получим равенство (ТА) = Tp. Значит,

силовская в группе К n M < M . Возьмём S - / ч

М(ТА) с D . Опять, используя определения клас, та- p

кую, что Vp n M с S и S с К n M . Ясно, что са Lp(х), получим, что ТА е Lp(х). Теперь с

S = VM } - нормальное замыкание подгрупп^1 учётом (10) получим равенство: Ш = Т А , т.а

т. , . „ (/т/ wW) ТА -Lp(х)-инъекторв группе G.

Vp в группе M. Далее, j(Vp nM) | - нормаль- pV

, ч (c) Предположим, что условие X << Lp (X)

ное замыкание подгрупп^1 (V n M) в группе M. _

p не выполняется. Пусть G - группа минималь-

Обозначим {(Vp n M f }= D . Рассмотрим фак- ного порядка, для которой это условие не вы-

гл и .f r-л т-r полняется. В силу пункта (а) подгруппа ТА

тор-группу / = p,( / ). о индукции является F-инъектором в группе G. Так как

имеем следующие два утверждения: b1) H явля- v n Т - X-инъектор в группе Т е Lp (х), то в

ется Lp(х) -радикалом в группе M; b2) HA яв- силу определения класса Lp (X) получим:

ляется Lp (X) -инъектором в M, где Tp с V n Т. Отсюда следует, что Tp с Vp . ТеА = {Mg,_,Mr}. Так как H char M,M < G, то перь ясно, что Т с(V, А) и ТА с(V, А). Зна-

H < G и, кроме того, H е Lp (х). Поскольку, чит, ТА есть Lp (X) -инъектор в группе (V, А)

(в силу теоремы 3 из [12]). Допустим, что

V • А с О . В силу индуктивных рассуждений получим включение: V с ТА (с применением того, что V - X-Инъект0р в группе V, А и ТА - Ьр (X) -инъектор в группе (V,А). Последнее включение приводит к доказываемому условию. Пусть теперь (V,А = О. По лемме 11.6 из [14] получим равенства: Ор = (VA)p = ^рА^^ = V (напомним, что в этом случае Ар = 1). Из последнего равенства следует, что р-силовская подгруппа группы О входит в X-инъектор группы О. Значит, О е Ьр (X). Следовательно, группа О является X-инъектором группы О. Последнее означает, что X-инъектор V группы О входит в Ьр (X) -инъектор группы О. Полученное противоречие завершает доказательство пункта (с).

^) Докажем, что Ьр (X) -инъектор группы О есть р-нормально погружённая подгруппа в

О. Рассмотрим равенства:

|ТА| _ |Т|^|А _ |А |Т|

IV}=рТ= Т п а '|{VpG}|.

Так как | А |/| Т п А | является р’ -числом и

|Т|/1{ VpG }| - тоже р' -число (по условию), то

| ТА : { VpG } | есть р' -число. Отсюда получаем

включение К0 }з (ТА)р = ТрАр = Тр. Теперь из включения Тр е {vp0} следует включение

Тр е { ^ }р. Дaлее, так как { ^ }р = vp, то по-

лучим включение

Tp с Vp .

(11)

Следовательно, т.к. Vp с {VpG }с Т, то Vp с Т‘р , t е Т . Отсюда следуют соотношения: Vp <

< Г\ = Т

~ p p

т.е.

V < Т

p p

(12)

Из (11) и (12) следует, что Tp = Vp . Поскольку Tp =(TA)p , то Vp =(TA)p . Но Vp - p -силовская в группе {VpG }. Значит, (TA)p - p-силовская в

группе (VpG } = {(ta)g }. Поскольку {(ta)g } -

нормальное замыкание для (TA)p в группе G,

то ТА - p-нормально погружённая в G. Пункт

(d) доказан. Теорема 4 доказана.

Список литературы

1. Doerk K., Hawkes T.O. Finite soluble groups. Walter de Gruyter, Berlin, 1992.

2. Шеметков Л.А. О подгруппах я:-разрешимых групп // В сб.: Конечные группы. Мн.: Наука и техника. 1975. С. 207-212.

3. Сементовский В.Г. Инъекторы конечных групп // Исследование нормального и подгруппо-вого строения конечных групп. Мн.: Наука и техника, 1984. С. 166-170.

4. Шеметков Л.А. Некоторые свойства инъекторов в конечных группах // Известия Г омельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. Вопросы алгебры. 1999. № 1(15). С. 5-13.

5. Shemetkov L.A. Injectors in finite groups // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. Вопросы алгебры. 2000. № 3(16). С. 186-187.

6. Vorobiev N.T. Gaschutz's local method in the theory of Fitting classes of finite soluble groups // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. Вопросы алгебры. 2000. № 3(16). С. 155-66.

7. Залесская Е.Н. О новых классах сопряженных инъекторов конечных групп // Дискретная математика. 2004. Т. 16. Вып. № 1. C. 105-113.

8. Blessenohl D, Laue H. Fittingklassen endlicher Gruppen in denen gewisse Haupfaktoren einfach sind // J. Algebra. 1979. Vol. 56. P. 516-532.

9. Iranso M. J., Perez-Monasor F. Fitting classes F such that all finite groups have F-injectors // Israel J. Math. 1986. Vol. 56. P. 97-101.

10. Ito N. Note on (L, M) -groups of finite order // Kodai Math. Seminar Report. 1951. P. 1-6.

11. Hermann P. Groups without certain subgroups form a Fitting class // Ann. Univ. sci. Budapest. Sec. math. 1983. Vol. 26. P. 183-186.

12. Гойко В.И. О существовании сопряженного класса инъекторов в конечных группах // Доклады НАН Беларуси. 2008. Т. 52. № 6. С. 17-22.

13. Гойко В.И. Инъекторы конечных групп // Весшк Вщебскага дзяржаунага ушверсггэта. 2012. №1(67). С. 5-11.

14. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978. 272 с.

INVESTIGATION OF PROPERTIES OF INJECTORS IN FINITE GROUPS

V.I. Goiko

P. Hermann constructed a special class of groups N(p, q) (the class of finite groups without minimal non-p-nilpotent subgroups of order pmqn , p, q - prime, p * q; m, n - any natural numbers) and proved that this class of groups was an unsaturated Fitting formation. V. Goiko proved the existence of N(p, q)-injectors in arbitrary finite groups. In the present paper, the properties of N(p, q)-injectors in finite groups are established.

Keywords: Fitting formation, finite group, injector, Sylow subgroup.

References

1. Doerk K., Hawkes T.O. Finite soluble groups. Walter de Gruyter, Berlin, 1992.

2. Shemetkov L.A. O podgruppah p-razreshimyh grupp // V sb.: Konechnye gruppy. Mn.: Nauka i teh-nika. 1975. S. 207-212.

3. Sementovskij V.G. In#ektory konechnyh grupp // Issledovanie normal'nogo i podgruppovogo stroenija konechnyh grupp. Mn.: Nauka i tehnika, 1984. S. 166170.

4. Shemetkov L.A. Nekotorye svojstva in#ektorov v konechnyh gruppah // Izvestija Gomel'skogo gos. un-ta im. F. Skoriny. Voprosy algebry. 1999. № 1(15). S. 5-13.

5. Shemetkov L.A. Injectors in finite groups // Iz-vestija Gomel'skogo gos. un-ta im. F. Skoriny. Voprosy algebry. 2000. № 3(16). S. 186-187.

6. Vorobiev N.T. Gaschutz's local method in the theory of Fitting classes of finite soluble groups // Iz-vestija Gomel'skogo gos. un-ta im. F. Skoriny. Voprosy algebry. 2000. № 3(16). S. 155-66.

7. Zalesskaja E.N. O novyh klassah soprjazhen-nyh in#ektorov konechnyh grupp // Diskretnaja matemati-ka. 2004. T. 16. Vyp. № 1. C. 105-113.

8. Blessenohl D, Laue H. Fittingklassen endlicher Gruppen in denen gewisse Haupfaktoren einfach sind // J. Algebra. 1979. Vol. 56. P. 516-532.

9. Iranso M. J., Perez-Monasor F. Fitting classes F such that all finite groups have F-injectors // Israel J. Math. 1986. Vol. 56. P. 97-101.

10. Ito N. Note on (L, M) -groups of finite order // Kodai Math. Seminar Report. 1951. P. 1-6.

11. Hermann P. Groups without certain subgroups form a Fitting class // Ann. Univ. sci. Budapest. Sec. math. 1983. Vol. 26. P. 183-186.

12. Gojko V.I. O sushhestvovanii soprjazhennogo klassa in#ektorov v konechnyh gruppah // Doklady NAN Belarusi. 2008. T. 52. № 6. S. 17-22.

13. Gojko V.I. In#ektory konechnyh grupp // Vesnik Vicebskaga dzjarzhaynaga yniversitjeta. 2012. № 1(67). S. 5-11.

14. Shemetkov L.A. Formacii konechnyh grupp. M.: Nauka, 1978. 272 s.