О бесконечных группах Фробениуса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2018, Том 20, Выпуск 2, С. 80-85

УДК 512.54

1Э01 10.23671 ДП\ГС.2018.2.14724

О БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУППАХ ФРОБЕНИУСА1 Д. В. Лыткина, В. Д. Мазуров, А. X. Журтов

К 65-летию Анатолия Георгиевича Кусраева

Аннотация. В работе исследуется строение периодической группы, удовлетворяющей следующим условиям: (Е1) Групп а О является полупрямым произведением подгруппы Е на подгруппу Н; (Е2) Н действует свободно на Е относительно сопряжения в О, т. е. / = ^ ^^^ ^даментов f £ Е, Н £ Н только в случаях f = 1 или Н = 1. Иными словами, Н действует на Е как группа регулярных автоморфизмов. (Ез) Порядок любого эле мента д £ О гада д = ГЬ,, где f £ Е, 1 = Н £ Н, равен порядку Н; иными словами, любой нетривиальный элемент из Н индуцирует при сопряжении в О расщепляющий автоморфизм подгруппы Е. (Е4) Подгруппа Н порождается элементами порядка 3.

ОЕ

четырех. Если О — конечная группа Фробениуса, то условие (Ез) — следствие условий (Е1) и (Е2). Для бесконечных групп с условиями (Е1) и (Е2) условие (Е3) может не выполняться, и группой

( Е1 ) ( Ез )

результат статьи дает описание периодических групп Фробениуса, обладающих свойством (Е4).

Ключевые слова: периодическая группа, группа Фробениуса, свободное действие, расщепляющий автоморфизм.

1. Введение

В работе исследуется строение периодических групп, удовлетворяющих следующим условиям:

(^1) Групп а О является полупрямым произведением подгруппы ^ на подгруппу И,

где

(^2) И действует свободно на ^ относительно сопряжения в О, т. е. / = / для

элементов / £ Н £ И только в случаях / = 1 или Н = 1. Иными слов ами, И действует на ^ как группа регулярных автоморфизмов.

(*э) Порядок любого эле мента д £ О гада д = /Н, где / £ 1 = Н £ И, равен поряд-НИ в О расщепляющий автоморфизм подгруппы

(^4) Подгруппа И порождается элементами порядка 3.

Если О — конечная группа, то условие (^3) — следствие условий ) и (^2) и группа О является группой Фробениуса. Для бесконечных групп с условиями ) и (^2) условие ) может не выполняться, и группой Фробениуса мы будем называть группу, для которой выполнены все три условия )-(^э).

© 2018 Лыткина Д. В., Мазуров В. Д., Журтов А. X.

1

№ 1.1.1., проект № 0314-2016-001.

Основным результатом работы является следующая теорема.

Теорема. Пусть О — периодическая группа, удовлетворяющая условиям (^1 ). Тогда

1. Подгруппа Н конечна, и либо Н ~ БЬ2(р), гдер = 3 илир = 5, либо Н циклическая порядка 3.

2 .Если Н = (Н) — циклическая группа порядка 3, то F нильпотентна ступени 2 (т. е. [[/1, /2], /3] = 1 для всех /1,/2,/3 £ F) и любой главный фактор С группы О внутри F является элементарной абелевой группой порядка р или р2 для некоторого р = 3

3. Если Н ~ БЬг(3), то ^ ^^^^^^^ ^ главный фактор С группы О внут-

ри F явдяется элементарной абелевой группой порядка р2 для некоторого простого числа р> 3.

4 .Если Н ~ БЬг(Ь), то ^ ^^^^^ ^ ^^^^^ ^^авный фактор группы О внутри F является элементарной абелевой р-группой для некоторого простого числа р > 5.

При этом, если р2 — 1 делится на 5, то ржмерность С как HОF(р)-модуля равна двум,

С4

Определение 1. Пусть ^ Fl, F2 — нормальные подгруппы группы О и F2 — собственная подгруппа в F1. Факторгруппа V = F1/F2 называется главным фактором группы О, если любая нормальная подгруппа Fз группы О, содержащаяся в Fl и содержащая ^^^ ^^^тадает с F1 ми ^^^ ^^^^^ при этом F1 ^ ^о V называется главным фактором группы О внутри F.

Определение 2. Пусть группа Н действует на группе F. Это действие называется свободным, если образ /н элемента / £ ^ ^^^ ^^ствием Н £ Н совпадает с /, только если / = 1 или Н = 1. Другими словами, Н действует на F как группа регулярных автоморфизмов.

Определение 3. Автоморфизм а конечного порядка п = 1 группы F называется

расщепляющим автоморфизмом, если / • /а...../а™ = 1 для любого элемента / £ F.

О

мое произведение О = F X Н нетривиальных групп ^ и Н, для которых выполнены следующие условия:

(а) Н действует свободно на F;

(б) любой отличный от единицы элемент Н £ Н конечного порядка действует на F как расщепляющий автоморфизм.

Группа ^ ^ ^^^^ ^^^^^^ ^^ывается ядром, а Н — дополнением группы Фробениуса О.

Для конечных групп ^ и Н это определение эквивалентно обычному определению группы Фробениуса; для бесконечных групп часто используются другие определения, не эквивалентные этому.

2. Предварительные результаты

Лемма 1. Пусть конечная группа Н действует свободно на абелевой группе F. Тогда:

(а) Естественное полупрямое произведение О = F X Н является группой Фробениуса с ядром ^ ^ ^^^тшенпем Н.

(б) Если группа ^ ^^^^^^^^^^^^ ^^ ^юбой главный фактор V группы О внутри F

рр

простого с |Н\, и Н действует свободно и неприводимо на V при сопряжении в О.

< (а): Нужно только проверить условие ^3) из определения группы Фробениуса.

Пусть д = /Н, где / £ 1 = Н £ И, и порядок Н равен п. Тогда

(/Н)п = /Н ■ /Н ■ /Н ■ ■ ■ /Н = / ■ Н/Н-1 Н2/Н-2Н ■ ■ ■ /Н = ///л""2 ■ ■ ■ /л

и

((/Н)га)л = //л" / л"-1 ••• / = (/Н)п

в силу коммутативности Так как Н действует на ^ без неподвижных точек, то

(/Н)п = 1.

(б) Пусть /^2 — главный фактор О внутри Можно считать, что = ^ и = 1. Из коммутативности ^ и конечности И вытекает, что V = — конечная

элементарная абелева р-группа для некоторого простого числа р. Если У1, г;^, ..., — минимальный набор порождающих группы V, Ро = {^1,..., г>га} — множество некоторых прообразов элементов ..., в .Р, то V! = ) — конечно порожденная И-инва-риантная подгруппа в ^ и группа V /Р1 П^2 изоморфна как И-модуль группе V. Поэтому можно считать, что ^ конечно порождена. Так как группа ^ по условию периодическая, О

леммы хорошо известна. >

О

3О

изморфна либо (5), либо БЬ2(3), либо циклической группе порядка 3.

< Лемма является частным случаем теоремы 1 из [1|. >

Лемма 3 [2]. Нетривиальная группа X, допускающая расщепляющий автоморфизм 33 виального элемента из третьего члена нижнего центрального ряда группы X равен 3.

О3

И О 3

при этом ядро ^ группы О нилыютентно ступени 1 или 2, либо ядро И изоморфно 5Ь2(3) или 5£2(5) и ^ — абелева группа.

< Пусть ^ — ядро Фробениуса группы ОН — элемент порядка 3 из И. Тогда Н индуцирует в ^ при сопряжении в О расщепляющий автоморфизм. По лемме 3 ^ ниль-потентна и период третьего члена ^3 = ^] нижнего центрального ряда группы ^ равен 3. Так как Н при сопряжении в О индуцирует в ^3 регулярный автоморфизм, то

= 1, т. е. ступень нильпотентности ^ не превосходит двух. Подгруппа И действует свободно на центре 2 группы и по лемме 2 И удовлетворяет заключению леммы. Если И содержит элемент Ь порядка 2, то // = 1 для любого элемента / £ поэтому / = /откуда вытекает коммутативность >

Лемма 5. Пусть конечная группа И действует на модуле V над полем Р, характеристика которого не делит |И |. Это действие является свободным тогда и только тогда, когда для любой циклической подгруппы А ^ И простого порядка верно равенство

8 = Е х(а) = °>

а€Л

где х — характер представления И на V.

< Доказательство тривиально, поскольку в/|И| равно размерности пространства неподвижных точек подгруппы А в V. >

Лемма 6. Пусть И = ЙХ2(3) (соответственно, И = БХ2(5)) и Р — поле, характери-

|И|

(и алгебраической сопряженности) (абсолютно) неприводимый HP-модуль V, на котором H действует свободно. При этом dim(V) = 2 и значения характера V на элементах H лежат в поле P (соответственно, в поле P(А), где А — корень полинома x2 + x — 1).

< Доказательство вытекает из леммы 6 и соответствующих вычислений таблицы характеров групп SL2(3) и SL2(5), доступных в GAP [3J с помощью команд:

H:=SL(2,3); (соответственно, H:=SL(2,5);) С:=CharacterTable(С); Display(С);

Таблица 1

Характеры SL2 (3)

1a 2a 4a 3a 6a 3b 6b

Xi 1 1 1 1 1 1 1

X2 1 1 1 е е е2 е2

Хз 1 1 1 е2 е2 е е

Х4 3 3 —1

X5 2 —2 —1 1 —1 1

X6 2 —2 —е е —е2 е2

X7 2 —2 —е2 е2 —е е

Здесь е - корень полинома x2 + x + 1.

Характеры SL2(5)

1a 10a 10b 2a 5a 5b 3a 6a 4a

X1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

X2 2 (7 7* —2 —7 —7* —1 1

X3 2 a* 7 —2 —7* —7 —1 1

X4 3 7* 7 3 7* 7 —1

X5 3 7 7* 3 7 7* —1

X6 4 —1 —1 4 —1 —1 1 1

X7 4 1 1 —4 —1 —1 1 —1

X8 5 5 —1 —1 1

X9 6 —1 —1 —6 1 1

Таблица 2

Здесь & и &* — различные корни полинома х2 + х — 1.

Для 6X2(3) искомым модулем является модуль, соответствующий характеру Значения этого характера лежат в Р.

Для 6X2(5) искомым модулем является один из модулей, соответствующих характерам Х2 и Хз (они алгебраически сопряжены). Значения его характера лежат в поле Р(е + е-1), где е — примитивный корень пятой степени из единицы, т. е. корень полинома

4 3 2 2

x + x + x + x + 1 = x

2 11,

X +Ж + 1Н---1--2 I = X

x+

1

x

+

Ж+-)-1

x

Поскольку е + е 1 = 0, то е + е 1 — корень полинома x2 + x — 1. >

2

2

Лемма Т. Пусть х — характер абсолютно неприводимого представления X конечной группы над полем простой характеристики p. Тогда X эквивалентно некоторому представлению над полем GF(р)(х)-

< Доказательство вытекает из [4, следствие 9.23]. >

3. Доказательство теоремы

Пусть G = F X H — группа, удовлетворяющая условиям теоремы. По лемме 4 либо |H| = 3 и F — шиьпотентная группа ступени 1 или 2, либо H ~ SL2(3) или H ~ SL2(5) и F абелева. В любом случае по лемме 1 H действует свободно на любом главном факторе V группы G внутри F, и этот фактор является элементарной абелевой р-группой

p | H|

Если H = (h) — циклическая группа порядка 3 и v G V, то vvhvh2 = 1, откуда vh G (v, vh) и V — группа порядка р или р2. В этом случае теорема доказана.

Пусть H ~ SL2(3). Тогда V — неприводимый H-модуль, та котором H действует

V

Пусть H ~ SL2 (5). По леммам 6 и 7 размерность V равна двум, если корни полинома x2 + x — 1 лежат в GF (р), и равна четырем в противном случае. Если е — примитивный корень степени 5 из единицы, то, как показано выше, е+е-1 — корень полинома x2+x — 1, и поэтому е+е-1 G GF(р) тогда и только тогда, когда е G GF(р2), т. е. когда 5 — делитель р2 — 1

Литература

1. Мазуров В. Д. Обобщение теоремы Цассенхауза // Владикавк. мат. журн.^2008.^Т. 10, № 1,— С. 40-52.

2. Журтов А. X. О регулярных автоморфизмах порядка 3 и парах Фробениуса // Сиб. мат. журн.^

2000.^Т. 41, № 2.-С. 329-338.

3. GAP: Groups, algorithms, and programming.—http://www/gap-system.org.

4. Isaacs I. M. Character theory of finite groups.—Providence (R. I.): American Math. Soc. Chelsea Publ., 2006.^304 p.

Статья поступила 19 января 2018 г.

Мазуров Виктор Данилович Институт математики им. Соболева СО РАН главный научный сотрудник лаборатории теории групп РОССИЯ, 630090, Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 4 E-mail: mazuroT@math.nsc.ru

Журтов Арчил Хазешович

Кабардино-Балкарский государственный университет РОССИЯ, 360004, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173 профессор кафедры алгебры и дифференциальных уравнений E-mail: zhurtov_a@mail.ru

Лыткииа Дарья Викторовна

Сибирский гос. ун-т телекоммуникаций и информатики РОССИЯ, 630102, Новосибирск, ул. Кирова, 86, профессор кафедры высшей математики Новосибирский государственный университет РОССИЯ, 630090, Новосибирск, ул. Пирогова, 2 доцент кафедры алгебры и математической логики E-mail: daria.lytkin@gmail.com

O ôecKOHe'iHMx rpynnax <Ppo6eimyca

85

Vladikavkaz Mathematical Journal 2018, Volume 20, Issue 2, P. 80-85

ON INFINITE FROBENIUS GROUPS

3

Mazurov V. D.1, Zhurtov A. K.2, Lytkina D. V.3'4

1 Sobolev Institute of Mathematics; 2 Kabardino-Balkar State University; Siberian State University of Telecommunications and Information Sciences; 4 Novosibirsk State University

1

4

Abstract. We study the structure of a periodic group G satisfying the Mowing conditions: (Fl) The group G is a semidirect product of a subgroup F by a subgroup H; (F2) H acts freely on F with respect to conjugation in G, i. e. for f £ F, h £ H the equality fh = f holds only for the cases f = 1 or h = 1. In other words H acts on F as the group of regular automorphisms. (F3) The order of every element g £ G of the form g = f h with f £ F and 1 = h £ H is equal to the order of h; in other words, every non-trivial element of H induces with respect to conjugation in G a splitting automorphism of the subgroup F. (F4) The subgroup H is generated by elements of order 3. In particular, we show that the rank of every principal G F G ( Fi )

and (F2) imply (F3). For infinite groups with (Fi) and (F2) the condition (F3) may be false, and we say

( Fi ) ( F3 )

( F4 )

Key words: periodic group, Frobenius group, free action, splitting automorphism.

1. Mazurov V. D. A Generalization of a Theorem of Zassenhaus, Vladikavkazskij matematicheskij zhurnal [Vladikavkaz Math. J.], 2008, vol. 10, no. 1, pp. 40-52 (in Russian).

2. Zhurtov A. Kh. On Regular Automorphisms of Order 3 and Frobenius Pairs, Siberian Math. J., 2000, vol. 41, no. 2, pp. 268-275. DOI: 10.1007/BF02674596.

3. GAP: Groups, Algorithms, and Programming, http://www/gap-system.org.

4. Isaacs I. M. Character Theory of Finite Groups, Providence (R. I.), American Math. Soc. Chelsea Publ., 2006, 304 p.

Received January 19, 2018

Viktor D. Mazurov

Sobolev Institute of Mathematics,

4 Acad. Koptyug av., Novosibirsk 630090, Russia

E-mail: mazurovfimath .nsc.ru

Archil Kb. Zhurtov Kabardino-Balkar State University, 173 Chernyshevskogo st., Nalchik 360004, Russia E-mail: zhurtov_a®mail. ru

Daria V. Lytkina

Siberian State University of Telecommunications

and Information Sciences,

86 Kirova st., Novosibirsk 630102, Russia

Novosibirsk State University,

2 Pirogova st., Novosibirsk 630090, Russia

E-mail: daria.lytkin@gmail.com

http://orcid.Org//0000-0003-3028-8490

References