CC BY
8
Владикавказский математический журнал 2013, Том 15, Выпуск 4, С. 76-81
УДК 512.54
ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП С НЕЗАВИСИМЫМИ АБЕЛЕВЫМИ ПОДГРУППАМИ
А. А. Цирхов
Дано полное описание конечных групп с независимыми абелевыми подгруппами.
Ключевые слова: группа, нильпотентная подгруппа, независимая подгруппа.
Подгруппа Н группы О называется (нормально) независимой (в О) подгруппой, если ) ^ Жс(Н) для любой нетривиальной (нормальной) подгруппы и из Н.
В [1] доказано, что в конечной группе О все неабелевы подгруппы независимы тогда и только тогда, когда О метагамильтонова, т. е. в ней все неабелевы подгруппы нормальны.
Ранее Л. И. Шидов [2] описал конечные группы, в которых нормально независимы все нильпотентные подгруппы. Обобщая этот результат, А. Х. Журтов и Цирхов А. А. в [3] показали, что конечная группа, в которой независима любая абелева подгруппа, является либо двустепенно нильпотентной группой, либо группой Фробениуса с нильпотентным дополнительным множителем, либо группой, изоморфной одной из следующих групп: Я А6, ¿2(7), Ь2(2т), т ^ 2.
Следующий результат дает полное описание нильпотентных конечных групп, в которых независимы все абелевы подгруппы.
Теорема 1. В конечной нильпотентной группе О все абелевы подгруппы независимы тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий:
(1) О — абелева или гамильтонова группа, т. е. группа, в которой все подгруппы нормальны;
(2) О — р-группа нечетного порядка, являющаяся центральным произведением экс-
3
траспециальной группы порядка р на циклическую группу;
(3) О изоморфна
(а, Ь : ар = = 1, а-1Ьа = Ь^-1)
для некоторого т ^ 2. Здесь р — простое число;
(4) О — центральное произведение группы диэдра порядка 8 на циклическую 2-группу или группу кватернионов порядка 8.
Следующий результат завершает описание всех конечных групп с независимыми абе-левыми подгруппами.
Скажем, что циклическая группа (Н) действует скалярно на абелевой группе К, если найдется такое целое число а, что кн = ка для любого к £ К.
Теорема 2. Пусть О — конечная группа Фробениуса с ядром К и дополнением Н. В О тогда и только тогда все абелевы подгруппы независимы, когда выполнено одно из следующих условий:
© 2013 Цирхов А. А.
(1) И = (К), К — экстраспециальная группа периода р, т. е.
К = (а,Ъ : ар = Ъ = [[а, Ъ] ,а] = [[а, Ъ] ,Ъ] = 1^,
где р — нечетное простое число, и существует целое число а такое, что ан = аа, Ън = Ъа;
(2) К — абелева группа, а И — циклическая подгруппа, действующая скалярно на К;
(3) К = (к1) х (к2) — элементарная абелева группа И = (К), к^ = к^1, = к%2 для некоторых целых а1, а2;
(4) И — циклическая группа, К — нециклическая элементарная абелева группа, И действует неприводимо на К при сопряжении, а любая собственная подгруппа из И действует на К либо неприводимо, либо скалярно;
(5) К — элементарная абелева группа порядка р2 для некоторого нечетного простого числа р, И = Q х И0, где Q — группа кватернионов порядка 8, И0 — циклическая группа, действующая скалярно на К.
1. Предварительные сведения
На протяжении всей работы рассматриваются только конечные группы. Если О — группа, то 2(О), О', Ф(О) и Е(О) обозначают соответственно ее центр, коммутант, подгруппу Фраттини (пересечение всех максимальных подгрупп) и подгруппу Фиттинга (наибольшую нильпотентную нормальную подгруппу). Если х и у — элементы, а И и К — подмножества группы, то (И) — подгруппа, порожденная И,
[х, у] = х-1 у-1 ху = х-1ху, [И, К] = ([К, к]: К £ И, к £ К^.
Гамильтоновой группой называется неабелева группа, все подгруппы которой нормальны.
Группой Фробениуса называется полупрямое произведение Е = К • С, где 1 = К < Е, С = 1, С к (с) ^ С для любого нетривиального элемента с £ С; К называется ядром, а С — дополнением группы Фробениуса Е.
Лемма 1.1 [4, теорема 12.5.4]. Если О — гамильтонова группа, то О = Q х V х К, где Q изоморфна группе кватернионов Qg, V — элементарная абелева 2-группа и К — абелева группа нечетного порядка.
Лемма 1.2 [5, теоремы У8.7, У8.18]. Пусть Е — группа Фробениуса с ядром К и дополнением С. Тогда (|К|, |С|) = 1, К — нильпотентная группа, все силовские р-под-группы И при р > 2 циклические, а при р = 2 циклические или (обобщенные) группы кватернионов. Если Ь — элемент порядка 2 из С, то кг = к-1 для любого к £ К.
Следующая лемма является частным случаем теоремы 1.17.4 из [5].
Лемма 1.3. Пусть Е = К • С — полупрямое произведение К на С, где (|К| , |С|) = 1. Если К = К1 х К2, где К1 инвариантна относительно С, то К = К1 х Ко, где Ко — также С-инвариантна.
В дальнейшем, для краткости, группу, в которой абелевы подгруппы независимы, будем называть А1-группой, а соответствующее свойство группы — свойством А1. Очевидно, свойство А1 наследуется подгруппами. Пару (X, У) подгрупп группы О будем называть запрещенной, если У — абелева, 1 = X ^ У и Мс(Х) ^ /Мс(У).
Понятно, что в А1-группе нет запрещенных пар подгрупп.
Лемма 1.4 [3]. Для конечной неабелевой А1-группы О справедливо одно из следующих утверждений:
(1) О —двустепенно нильпотентная группа с коммутантом простого порядка;
(2) О — группа Фробениуса с нильпотентным дополнением;
(3) О изоморфна А6, £2(7) или Ь2(2т) для некоторого натурального числа т ^ 2.
Лемма 1.5. Циклическая группа (Н) действует скалярно на абелевой группе К тогда и только тогда, когда любая подгруппа из К является (Н)-инвариантной.
< Пусть любая подгруппа из К является (Н)-инвариантной.
Так как К коммутативна, то К — прямое произведение циклических подгрупп. Пусть к\,... ,кт — порождающие этих подгрупп.
Так как циклические подгруппы (к1),..., (кт), (к1 •...• кт) инвариантны относительно (Н), найдутся целые числа а1,...,ат,/3 такие, что к^ = к^1,..., к^ = к, (к1 ■... ■ кт)^ = (к1 ■ ... ■ кт)р. Из равенств
«ш
т '
кР . . кв = (к . .к )Р = (к . .к )к = кк . . кк = ка1 . . каш к1 ' ... ' кт = (к1 ' ... ' кт) = (к1 ' ... ' кт) = к1 ' ... ' кт = к1 ' ... ' кт
вытекает, что к^1 = кв,..., ктш = кт-
Пусть к = к^1 ■ ... ■ ктш — произвольный элемент из К. Тогда
= (кщ)л . . (кпшФ = (кь\П1 . . (кн\Пш = (кв. . (кв \Пш = кв
к = (к1 ) ... (кт ) = I к1 I ... I кт I = I к1 I ... I кт I = к ,
т. е. (Н) действует скалярно на К.
Справедливость обратного утверждения очевидна. >
2. Строение нильпотентных Л1-групп
Пусть О — нильпотентная А1-группа. Если в О нормальна любая подгруппа простого порядка, то по условию в О нормальна любая абелева подгруппа и, поскольку любая группа порождается своими абелевыми подгруппами, О — абелева или гамильтонова группа, т. е. выполнен пункт (1) теоремы 1. Наоборот, любая абелева или гамильтонова группа является, очевидно, А1-группой.
В дальнейшем будем предполагать, что в О есть неинвариантная подгруппа простого порядка р.
Лемма 2.1. О — р-группа.
< По условию О нильпотентна, поэтому О = Р х N, где Р — силовская р-подгруппа группы О, а N — р-дополнение. Предположим, что N = 1. Пусть 1 = г £ 2^). Тогда пара ((г), (с, г)) является запрещенной, поскольку Р ^ N0 ((г)), но Р ^ /N0 ((с, г)).
Полученное противоречие доказывает лемму. >
Пусть й £ О^с ((с)). Тогда г = [с, й] = 1 и по лемме 1.4 О' = (г). Обозначим (с, й) через О.
Лемма 2.2. Подгруппа О изоморфна либо экстраспециальной группе порядка р3 (при нечетном р), либо группе
(с,й : сР = = 1, с-1 йс = й1+Рш-1) ,
где т ^ 2.
< Если # = 1 и р — нечетно, то В, очевидно, имеет порядок р3 и ее период равен р. Если же р = 2 и с12 = 1, то (с,й) — группа диэдра порядка 8. В этом случае, после замены I на Ы, получим, что В удовлетворяет заключению леммы с т = 2.
Если же порядок I равен рт, где т ^ 2, то с £ Мс(1р) и поэтому с £ Мс((1)), иначе пара (((р), (I)) является запрещенной. Поэтому г £ [с,(] £ (I) и после замены I на подходящую степень можно считать, что г = (т-1.
Таким образом, с" -11с = 11+рт 1. Это доказывает лемму. >
Лемма 2.3. О = ВС, где С = Сс(В).
< Если д £ О, то по лемме 1.4 с9 = сга, I9 = 1гв, где г = [с,(] = с-1(-1с(; а, в — целые. Другими словами, с-1^ = Iг-1, I-1cI = сг. Поэтому с9Л"с в = с, в = I, откуда д^с-? £ С, д £ С В = ВС. >
Лемма 2.4. Если х £ С и хр = 1, то х £ (г).
< Предположим противное. Тогда пара ((х), (х,с)) является запрещенной: I £ Хс((х)), но I £ Мс((х,с)), поскольку г = [с,!] £ (х,с). >
Таким образом, С — циклическая группа или группа кватернионов.
Пусть элемент I выбран так, что его порядок наименьший из возможных. Если порядок I равен р, то справедлив один из пунктов (2) или (4) теоремы 1.
Пусть порядок I есть рт, где т ^ 2. По лемме 2.2 С П В = 2(В) = (Ip).
Если С содержит элемент х, не лежащий в (I), то (!,х) — циклическая группа и, следовательно, содержит элемент д порядка р, не лежащий в (г). Если у перестановочен с с, то у £ С вопреки лемме 2.4. Поэтому I можно заменить на у вопреки выбору I. Таким образом, справедлив пункт (3) теоремы 1.
Без труда проверяется, что все группы из пунктов (1)-(4) теоремы 1 являются А1-группами.
3. Строение групп Фробениуса, являющихся ЛГ-группами
Пусть О — группа Фробениуса с ядром К и дополнением И, являющаяся А1-группой. По лемме 1.4 И — нильпотентная группа. Так как по лемме 1.2 в дополнении Фробениуса каждая силовская р-подгруппа циклическая или (при р = 2) группа кватернионов, то И = С х Q, где С — циклическая группа, а Q — либо тривиальная группа, либо группа кватернионов. Так как по лемме 1.2 Q двуступенно нильпотентна, то = 1 или =8.
Лемма 3.1. Если К неабелева, то выполнен пункт 1 теоремы 2.
< Так как порядок коммутанта К не может равняться двум, то по теореме 1 К — р-группа нечетного порядка и либо К — центральное произведение экстраспециальной группы
Е = (а, Ъ : ар = Ър = [а, [а, Ъ]] = [Ъ, [а, Ъ]] = простого периода и порядка р3 на циклическую группу С, либо К изоморфна
(а,Ъ : ар = Г™ = 1, а-1Ъа = Ъ1+рт-1)
для некоторого т ^ 2.
Рассмотрим вначале первую возможность. Так как И действует точно на коммутанте [К, К] группы К, имеющем простой порядок, то И = (К) — циклическая группа.
Пусть С = (с). Так как С = 2(К), то С инвариантна относительно И. Поскольку I = [а,Ъ] £ С, то ^ = 11, где 7 — целое число, 7 = 1(шоё р). Пусть у = (а, I). Так как
(I) <О, то N0(у) = О и, в частности, у инвариантна относительно И. То же самое верно для V = (Ъ, I). Поэтому, ah(I) = аа(I), = Ъв(I), где а и в — целые числа.
Отсюда аа = Ih = [а,Ъ^ = [ан,Ъ^ = [аа,Ъв] = Iав и ав = 7(шоёр). Так как а ф 1 ф в(шоё р), то а ф 7(шоё р) или в ф 7(шоё р).
Не нарушая общности, можно считать, что а ф 7(шоёр). Если ^| > р, то пара ((I), (а, с)) является запрещенной: I £ (а, с), но (а, с) не является И-инвариантной подгруппой, поскольку, если (ас^ = ас6 для некоторого целого числа 5, то а6с6 = (ас)6 = аас111, где ^ £ (I), откуда а ф 5 ф 7(шоёр), вопреки а ф 7(шоёр). Итак, ^| = (I) и К = Е.
Если теперь а ф в(шоё р), то пара ((I), (^аЪ)) является запрещенной, поэтому можно считать, что а = в, т. е. выполнен пункт 3 теоремы 2.
Аналогичные рассуждения показывают, что вторая возможность не реализуется. >
Лемма 3.2. Если К — абелева группа, то выполнен один из пунктов 2-5 теоремы 2.
< Индукция по порядку О. Пусть Ко — минимальная И-инвариантная подгруппа в К. Тогда Ко — элементарная абелева р-группа, на которой И действует неприводимо.
Предположим вначале, что Ко = К. Если К — циклическая группа, то выполнен пункт 2 теоремы 2. Поэтому К — нециклическая группа.
Рассмотрим случай, когда И неабелева, т. е. И = Q х И0, где Q — группа кватернионов порядка 8, а Ио — циклическая группа нечетного порядка. Если Ио = 1, то по индукции, примененной к подгруппе KQ, порядок К равен р2, где р нечетно и И можно отождествить с подгруппой из ОЬ2 (р).
Так как централизатор Q в ОЬ2 (р) состоит из скалярных матриц, то выполнен пункт 5 теоремы 2.
Если И о = 1, то пусть а, Ъ — элементы порядка 4, порождающие Q. Если при этом (а) действует неприводимо на К, то по лемме 1.2 ка = к-1, поскольку а2 — инволюция и поэтому (к, ка) инвариантна относительно (а), т. е. К = (к, ка) — группа порядка р2, и снова выполнен пункт 5 теоремы 2. Если же (а) действует приводимо на К, то по индукции, примененной к К • (а), в К найдется а-инвариантная нетривиальная циклическая подгруппа (к), и (к,кь) инвариантна относительно (а,Ъ) = И, откуда снова следует, что О удовлетворяет пункту 5 теоремы 2.
Итак, можно считать, что И — циклическая группа. Если какая-то подгруппа Ио = 1 из И действует приводимо на К, то по индукции, примененной к К • Ио, подгруппа Ио действует скалярно на К и выполнен пункт 4 теоремы 2.
Таким образом, К не является минимальной И-инвариантной подгруппой. Покажем, что любая минимальная И-инвариантная подгруппа Ко ^ К является циклической.
Предположим противное. Пусть Ко — циклическая минимальная И-инвариантная подгруппа из К.
Если Ко ^ Ф(К), то Ко П Ф(К) = 1 и поэтому К = Ко х К1, где по лемме 1.3 К1 можно выбрать И-инвариантной.
Пусть к £ Ко. Тогда (к) не является И-инвариантной подгруппой и пара (к1, (к, к)) является запрещенной.
Если же Ко ^ Ф(К), то существует элемент к £ К порядка р2, где р — некоторое простое число, такой, что 1 = к2 £ Ко. Так как в К/Ко по условию А1 любая подгруппа является И-инвариантной, то (ко,к), а вместе с ней и (к2) = Ф((Ко,к)) является И-ин-вариантной, что противоречит нецикличности Ко.
Пусть V — подгруппа, порожденная всеми элементами простого порядка из К, и Vl — минимальная И-инвариантная подгруппа из К. Тогда Vl ^ V и, в силу вышесказанного,
Vi — циклическая группа простого порядка. По лемме 1.3 V = Vi х V0, где V0 инвариантна относительно H. Повторное применение леммы 1.3 позволяет представить V в виде V = Vi х ■ ■ ■ х Vm, где все Vj (i = 1,..., m) — инвариантные относительно H циклические группы простых порядков. Если все подгруппы простых порядков из V инвариантны относительно H, то по условию AI все подгруппы из К инвариантны относительно H и по лемме 1.5 выполнен пункт 2 теоремы 2.
Предположим, что (v) — подгруппа простого порядка р из V, не являющаяся H-инвариантной. Так как (v,vi) по условию AI является H-инвариантной подгруппой, то (vh) = (v, v1). Если m > 2, то найдется ы G (v, vi), откуда следует, что пара (vj, (v, Vj)) является запрещенной.
Таким образом, m = 2 и V — группа порядка p2. В частности, K — прямое произведение двух циклических р-групп.
Если V ^ Ф(К), то существует элемент x из K порядка р2 такой, что xp = v и подгруппа (v) = $((v,x)) является H-инвариантной вопреки выбору v. Поэтому V ^ Ф(К).
Если V = К, то выполнен пункт 3 теоремы 2. Предположим, V = К. Так как V ^ Ф(К), то v1 или v2 не содержатся в Ф(К). Можно считать, что v2 G Ф(К), а v1 G Ф(К), т. е. К = К1 х (v2) для некоторой циклической подгруппы К1 ^ К, содержащей (vi). По условию AI любая подгруппа из К/(vi) инвариантна относительно H. По лемме 1.5 H действует скалярно на К/^), т. е. k^ = kfa, = v^b, где — порождающий элемент циклической подгруппы К1, а a, b G (vi). Поскольку (v2) инвариантна относительно H, то b =1. Далее, (k^)h = (kp )aap = (k^)a, откуда вытекает, что v^ = vf. Это означает, что vh = va, что противоречит выбору v. >
Нетрудно проверить, что все группы, перечисленные в теореме 2, действительно являются AI-группами. Это доказывает теорему 2.
Литература
1. Журтов А. Х., Цирхов А. А. О некоторых группах с независимыми подгруппами // Владикавк. мат. журн.—2010.—Т. 12, № 7.—C. 15-20.
2. Шидов Л. И. О некоторых группах с нормализаторным условием // Сиб. мат. журн.—1980.—Т. 21, № 6.—C. 141-145.
3. Журтов А. Х., Цирхов А. А. Конечные группы с независимыми абелевыми подгруппами // Тр. Института математики и механики УрО РАН.—2011.—Т. 17, № 4.—C. 88-91.
4. Холл М. Теория групп.—М: Изд-во иностр. лит-ры, 1962.
5. Huppert B. Endlishe Gruppen I.—Berlin: Springler-Verlag, 1979.
Статья поступила 27 декабря 2012 г. Цирхов Аубекир Ахметханович
Кабардино-Балкарский госуниверситет им. Х. М. Бербекова, ассистент кафедры геометрии и высшей алгебры РОССИЯ, 360000, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 165 E-mail: [email protected]
CHARACTERIZATION OF FINITE GROUPS WITH INDEPENDENT ABELIAN SUBGROUPS
Tsirkhov A. A.
A complete description of finite groups in which all abelian subgroups are independent is given.
Key words: group, nilpotent subgroup, independent subgroup.
